Giải pháp : Hớng dẫn học sinh tiếp cận bài toán
" chứng minh họ các đờng đi qua điểm cố định"
Phần I: đặt vấn đề
1- lí do chọn đề tài
Hình học là môn học có tính tổng hợp cao, đòi hỏi học sinh không những phải
biết nắm chắc các kiến thức, mà cần phải biết suy luận và vận dụng kiến thức một
cách hợp lí.
Trong các kì thi học sinh giỏi các cấp, thi tuyển sinh vào các trờng Trung học
phổ thông ở tỉnh ta, rất nhiều năm trong bài tập hình có yêu cầu "Chứng minh họ
các đờng đi qua điểm cố định" nh : Đề thi chọn học sinh giỏi toán 8 cấp tỉnh năm
học 2001-2002; Đề thi tuyển sinh vào THPT năm học 2000- 2001; Thi tuyển sinh
vào THPT Chuyên Thái Bình năm học 2003-2004; 2007-2008; Đề thi chọn học
sinh giỏi toán 7 cấp huyện năm học 2013-2014;
"Chứng minh họ các đờng đi qua điểm cố định" trong hình học là một dạng
toán tơng đối khó, bởi dạng toán này rất phong phú, nhng không có kiến thức riêng
để giải, mà luyện tập kĩ năng này không đợc phân phối thành tiết riêng trong phân
phối chơng trình toán của bộ giáo dục đào tạo.
Thực trạng còn có một bộ phận không nhỏ học sinh học ngại học môn hình,
một lí do phổ biến là các em cha có phơng pháp t duy thích hợp, nên hiệu quả học
tập bộ môn nói chung và chuyên đề "Chứng minh họ các đờng đi qua điểm cố
định " nói riêng còn cha cao.
Vấn đề trên đặt ra cho giáo viên cần có giải pháp hợp lý cả về mặt thời gian và
phơng pháp truyền đạt nhằm nâng cao chất lợng giảng dạy nói riêng , chất lợng
giáo dục nói chung.
1i- mục đích nghiên cứu đề tài
Đã có nhiều tác giả nghiên cứu về đề tài này, nhng phần lớn chỉ đa ra ví dụ và
lời giải bài toán, mà cha chỉ rõ định hớng chung để giải quyết đợc bài toán.
Để giúp các em dễ dàng tiếp cận với bài toán "chứng minh họ các đờng đi
qua điểm cố định" trong hình học, đồng thời phát huy các năng lực sáng tạo cho
học sinh, trong đề tài này tôi xin trao đổi với các đồng chí đồng nghiệp một giải
pháp hớng dẫn học sinh tiếp cận bài toán trên mà tôi đã thử nghiệm, thấy có tính

- Trong bài toán hình, các yếu tố thờng liên quan chặt chẽ với nhau. Khi một yếu tố
trong bài toán di động thì kéo theo đờng d nào đó trên hình vẽ cũng di động. Đờng
d di động nhng luôn đi qua điểm S cố định thì ở mọi vị trí d cũng đi qua S, từ đó ta
nghĩ tới xác định S là giao điểm 2 vị trí của d và chứng minh S cố định
- Điểm S cố định thờng là giao điểm của 2 đờng cố định, từ đó cần xác nh xem
im S di ng trên những đờng cố định nào?
Đến đây ta thấy bài toán "Chứng minh họ các đờng đi qua điểm cố định " có nét
tơng đồng với bài toán toán "tìm tập hợp điểm".
* Trên cơ sở đó, tôi đã xây dựng cho học sinh hớng tiếp cận bài toán "Chứng minh
họ các đờng đi qua điểm cố định " nh sau:
B/ Nội dung Đề TàI
I- giải pháp H ớng dẫn học sinh tiếp cận bài toán
"Chứng minh họ các đờng đi qua điểm cố định"
Để giúp học sinh tiếp cận dễ dàng hơn với bài toán "Chứng minh họ các đờng đi
qua điểm cố định" trong học hình, tôi hớng dẫn học sinh suy nghĩ và làm theo quy
trình sau:
I-1. Nghĩ:
* Điểm cố định thờng nằm trên những đờng cố định, nh vậy nó phải quan hệ tới các
yếu tố cố định và yếu tố không đổi trong bài, nên ta cần
1/ Xác đinh yếu tố cố định: Học sinh tự suy nghĩ và trả lời: Trên hình vẽ có:
- Những điểm nào cố định?
- Những đờng nào cố định?
- Những hình nào khác cố định? (góc cố dịnh; cung tròn cố định; )
2/ Xác đinh yếu tố không đổi: Học sinh tự suy nghĩ và trả lời: Trên hình vẽ có
- Đoạn thẳng nào có số đo không đổi.
- Góc nào có số đo không đổi.
- Cung tròn nào có số đo không đổi.
- Chu vi, diện tích hình nào không đổi.
- Những đại lợng nào khác không đổi?
3/ Xác định điểm cần chứng minh cố định:

* Nếu d là đờng thẳng, ta có thể chứng minh bằng 1 trong các cách sau:
- Cách 1: Chỉ ra S cùng với 2 điểm khác trên d là 3 điểm thẳng hàng
- Cách 2: Chỉ ra S cũng có tính chất của những điểm nằm trên d (thờng dùng khi d
là đờng đặc biệt nh: đờng trung trực của đoạn thẳng; tia phân giác của góc; )
* Nếu d là đờng tròn (O; R) ta có thể chứng minh bằng 1 trong các cách sau:
- Cách 1: Chỉ ra OS = R
- Cách 2: Chỉ ra S cùng với 3 điểm phân biệt khác trên d tạo thành một tứ giác nội
tiếp
- Cách 3: Dựa vào quỹ tích cung chứa góc
b/ Ph ơng án 2: Chỉ ra S đã nằm trên đờng d
1
cố định, gọi giao điểm của d và d
1
là
S
1
rồi ta chứng minh cho S trùng với S
1

c/ Ph ơng án 3: Chỉ ra S là giao điểm của hai đờng cố định d
1
và d
2
, rồi ta chứng
minh cho d; d
1
; d
2
là ba đờng đồng quy
2/ Cấp độ 2: :"Chứng minh họ đờng d luôn đi qua điểm S cố định " mà S cha

MBD = NCE (g-c-g) DM = EN
b/ Lấy giao điểm của đoạn thẳng MN và cạnh BC
dựa vào quan hệ đờng vuông góc- đờng xiên-
hình chiếu vàđiểm nằm giữa 2 điểm ta
chứng minh đợc MN > BC.
c/ H ớng dẫn phân tích
1- Xác định yếu tố cố định:
+ Điểm cố định: A; B; C
+ Đờng cố định: đờng thẳng AB; BC; AC và
các đờng chủ yếu trong ABC (đờng cao;đờng trung trực; đờng trung tuyế; đờng
phân giác của ABC)
2- Xác định yếu tố không đổi
+ Độ dài các cạnh và độ lớn các góc của ABC
+ Các góc 90
0

3- Xác định điểm cố định mà đờng trung trực của đoạn thẳng MN đi qua
Vì D di động trên cạnh BC (D b; D C), ta có thể cho D đến vị trí đặc biệt là
trung điểm cạnh BC
* Nếu cho D trùng với trung điểm của cạnh BC thì M A MB = AB
Do BM = CN (vì MBD = NCE) )và ABC cân AB = AC nên ta suy ra đợc
AC = CN C là trung điểm của đoạn thẳng AN đờng trung trực d của đoạn
thẳng MN khi đó trùng với đờng thẳng Cx vuông góc với AC tại C
- Nếu đổi chỗ của B và C (Vì B; C có vai trò nh nhau) thì ta cũng thấy đờng thẳng
By vuông góc với AB tại B cũng là một vị trí của d
- Nếu gọi S là giao điểm của Cx và By thì ta dễ dàng chứng minh đợc
ABS = ACS SB = SC và từ đó chứng minh đợc MBS = NCS (c-g-c)
SM = SN S thuộc đờng trung trực d của đoạn thẳng MN
+ Vói sự phân tích trên ta có hớng giải quyết sau:
Cách 1: Kẻ Cx AC tại C; Kẻ By AB tại B;

theoSCSB
0
90
))2((
MBS = NCS (c-g-c) SM = SN (3)(2 cạnh tơng ứng)
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MN IM = IN (4)
- 4 -
S
A
B
D
C
E
M
N
I
Cạnh huyền AS chung
(Vì ABC cân tại A (gt))
(theo cách vẽ)
(vì MBD = NCE)
S
A
B
D
C
E
M
N
I
(theo cách vẽ)

Vì A; B; C cố định đờng thẳng AC và đờng thẳng BC cố định
By và Cx cố định (Vì Cx AC tại C; By AB tại B)
S cố định (Vì S là giao điểm của Cx và By).
Vậy khi D thay đổi trên cạnh BC thì đờng trung trực của đoạn thẳng MN luôn đi
qua điểm S cố định
* Nếu đặc biệt hoá cho D B thì






CNE
BM
đờng trung trực d của đoạn
thẳng MN trùng với đờng trung trực d
1
của đoạn thẳng BC, từ đó ta nghĩ tới vẽ thêm
đờng trung trực d
1
của đoạn thẳng BC; d
1
cắt đờng trung trực d của đoạn
thẳng MN tại S, dễ thấy đợc





==


ACSNCS =
(theo (1))
Mà
0
180=+ ACSNCS
(Tổng 2 góc kề bù)
0
90== ACSNCS
CS AC
- Vì A; B; C cố định đờng trung trực d
1
của đoạn thẳng BC cố định và đờng thẳng
CS vuông góc với AC tại C cố định
S cố định (Vì S là giao điểm của d
1
và CS).
Vậy khi D thay đổi trên cạnh BC thì đờng trung trực
của đoạn thẳng MN luôn đi qua điểm S cố định
Bài 2: Cho góc nhọn xOy. Hai điểm A; B lần lợt di chuyển trên tia Ox và tia Oy
sao cho
3
111
=+
OBOA
. Chứng minh đờng thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định
(Trích đề thi HSG lớp 8 cấp tỉnh 2001-2002)
* H ớng dẫn phân tích
1- Xác định yếu tố cố định:
- Góc xOy cố định, tia phân giác của góc xOy

OBOA
3- Xác định điểm cần chứng minh cố định
Vì A; B có vai trò nh nhau, nên không mất tính tổng quát ta
giả sử 0 < OA OB
0
11
>
OBOA
(1)
Từ giả thiết
3
111
=+
OBOA
và (1)







<
<<

3
12
0
2
3

ờng thẳng ES cố định S cố định. Ta có cách chứng minh sau
Chứng minh:
Gọi giao điểm của AB vói tia phân giác Ot của
xOy
là S
Từ S kẻ SE // Oy (E tia Ox); kẻ SF // Ox (F tia Oy)
Theo cách vẽ ta có



SEOF
SFOE
//
//

Tứ giác OESF là hình bình hành
Mà có tia OS là tia phân giác của
xOy
hình bình hành OESF là hình thoi
SE = SF = OE (1)
Xét AOB có






OASF
OBSE
OBFABSOAE

AB
BS
AB
AS
OA
SF
OB
SE
(vì S nằm giữa A và B AS + BS = AB)
1)
11
( =+
OAOB
OE
(theo(1))
1
3
1
. = OE
(Vì theo gt có
3
111
=+
OBOA
)OE = 3 (đvđd)
Vì E tia Ox cố định và OE = 3 đvđd E cố định
Vì
xOy
cố định; E cố định và ES // Oy tia phân giác Ot của
xOy

=
==
SBNMAB
ABSAMB
0
90

Từ đó ABM = BSN (g-c-g) SB = AB
Do A; B; (O) cố định tia Bx cố định và đoạn thẳng AB có độ dài không đổi
S cố định. Từ phân tích trên ta có cách chứng minh sau
Chứng minh:
O
B
A
C
M
Có M thuộc nửa đờng tròn (O)- đờng kính AB (gt)
0
90= AMB
(1) (theo hệ quả góc nội tiếp)
- 7 -
N
S
* Phân tích bài toán:
1- Yếu tố cố định:
+ Điểm cố định: A; B; C; O
+ Đờng cố định: AB; CB; AC; CO;
(O); tiếp tuyến của đờng tròn tại A;
B; C và các đờng chủ yếu của ABC
2- Yếu tố không đổi:

theoNBSMAB
gtBNAM
gtSNBNtheoBNSAMB

AMB = BNS (g-c-g) AB = BS
Vì A; B; (O) cố định tia tiếp tuyến Bx cố định và độ dài đoạn thẳng AB không
đổi, mà S thuộc tia Bx cố định và BS = AB không đổi S là điểm cố định
Vậy khi M di động trên cung AC thì đờng thẳng d luôn đi qua điểm S cố định
* Nếu cho M C BM BC và N C d AC
Gọi giao điểm của d với AC là S:
- ta dễ dàng thấy tứ giác BNCS nội tiếp
)1(NBCNSC =
- AMC = BNC(c-g-c) MC = NC và
NCBMCA =
)2(NCSMCB =
CMB = CNS (g-c-g) CS = BC
Do A; B; (O) cố định AC cố định và đoạn BC có độ dài không đổi S cố định
Từ đó ta có cách chứng minh thứ hai. Tôi xin phép không trình bày cách 2 ở đây
III- Các bài tập đề nghị
Bài 1: Từ A ngoài (O) kẻ các tiếp tuyến AB; AC với (O) (B; C là 2 tiếp điểm,
B C). Điểm M thuộc cung nhỏ BC (M C; M B). Gọi H; I; K thứ tự là hình
chiếu của M trên CB; BA; AC. Biết MB cắt IH tại E; MC cắt IK tại F
1/ C/minh: a/ MI
2
= MH. MK b/ EF MI
2/ Đờng tròn ngoại tiếp MFK cắt đờng tròn ngoại tiếp MEH tại điểm thứ hai là
N, chứng minh rằng khi M thay đổi trên cung BC nhỏ thì đờng thẳng MN luôn đi
qua một điểm cố định
(Trích đề thi tuyển sinh THPT Chuyên Thái Bình 2007-2008)
Bài 2: Hình vuông ABCD, điểm P nằm trong ABC

Bài 5: Cho ABC; trên cạnh AB lấy M, trên cạnh AC lấy N sao cho BM = CN.
Chứng minh: MN luôn đi qua một điểm cố định khi M; N di động
Bài 6: Cho tam giỏc ABC cỏc gúc u nhn, cnh BC c nh. Cỏc
ng cao
ca tam giỏc ABC l AD, BE, CF. ng thng EF ct BC ti P.
ng thng i
- 8 -
qua D song song EF ct AC ti R v ct AB Q. Chng minh ng
trũn ngoi
tip tam giỏc PQR luụn i qua mt im c nh khi im A di động
Bài 7: Cho gúc vuụng xOy. Cỏc im A v B theo th t di chuyn
trờn cỏc tia
Ox v Oy sao cho OA + OB = k (k khụng i). V cỏc ng trũn
(A; OB), v (B;
OA). Gi M, N l cỏc giao im ca (A) v (B). Chng minh ng
thng MN
luụn i qua mt im c nh
Bài 8: Cho ABC. M trên BC, Đờng tròn qua M tiếp xúc với BA tại B và đờng
tròn qua M tiếp xúc với AC tại C cắt nhau tại P. Chứng minh PM đi qua một điểm
cố định khi M thay đổi trên BC
Bài 9: Cho ng trũn (O) v dõy cung AB. Ly im E trờn dõy
cung AB (E
khỏc A v B). Qua E v dõy cung CD ca ng trũn (O). Trờn hai
tia DA, DB ly
hai im P, Q i xng qua E. Chng minh rng ng trũn (I) tip
xỳc vi PQ ti
E v i qua C luụn i qua mt im c nh khi E di ng trờn dõy
cung AB.
Phần 3: kết luận
A- Kết quả thực hiện

5- Đối với mỗi chuyên đề giáo viên cần có sự tổng hợp các kiến thức, phân
loại các dạng toán và xây dựng các kĩ năng giải toán, định hớng phơng pháp suy
nghĩ cho học sinh.
* Trên đây tôi đã trình bày giải pháp: Hớng dẫn học sinh tiếp cận bài toán
chứng minh họ các đờng đi qua điểm cố định trong hình học phẳng trong ch-
ơng trình THSC và các bài học rút ra trong quá trình dạy toán nói chung.
Do bản thân còn có những hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót,
Tôi rất mong đợc sự giúp đỡ và góp ý chân thành của đồng chí!
Một lần nữa xin trân trọng cảm ơn các đồng chí!
Tài liệu tham khảo
1. Sách giáo khoa; sách bài tập và sách hớng dẫn giảng dạy toán lớp 7 - 8 - 9
(Nhà xuất bản Giáo dục - 2011)
2. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 7- 8- 9
(Bùi Văn Tuyên- Nhà xuất bản Giáo dục - năm 2006)
3. Toán nâng cao và các chuyên đề hình học 7- 8- 9
(Vũ Dơng Thuỵ- Nguyễn Ngọc Đạm- NXBGD- năm 2009)
4. Toán bỗi dỡng học sinh lớp 9
(Vũ Hữu Bình- NXBGD- năm 2004)
5. Nâng cao và phát triển Toán 7- 8- 9
(Vũ Hữu Bình- NXBGD- năm 2007)
6. Bỗi dỡng Toán lớp 7- 8- 9
(Đỗ Đức Thái- Đỗ thị Hồng Thuý- NXBGD- năm 2005)
7. Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi Toán 7- 8- 9
(Đinh Vũ Nhân- Võ Thị ái Nơng- Hoàng Chúng- NXBGD)
8. Học tốt Toán 7- 8- 9
(Nguyễn Đức Tấn- Đặng Đức Trọng- Vũ Minh Nghĩa- Nguyễn Đức
Hoà- Nguyễn Minh Sơn - NXB đại học quốc gia TPHCM- 2005)
9. Ôn kiến thức luyện kĩ năng hình 7- 8- 9
(Tôn Thân- Vũ Hữu Bình- Vũ Quốc Lơng- Bùi Văn Tuyên -
NXBGD- 2008)