SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

VẬN DỤNG PHÉP DỜI HÌNH
ĐỂ GIẢI TOÁN
phần mở đầu

1. Lí do chọn đề tài :
Trong chương trình Hình Học 11, sách giáo khoa có phần : "Phép dời hình
và phép đồng dạng."
Phần này không chỉ nhằm cung cấp cho học sinh những công cụ mới để giải
toán mà còn tập cho học sinh làm quen với các phương pháp tư duy và suy luận
mới.
Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy, bản thân tôi còn gặp không ít khó khăn.
Đặc biệt là đối tượng học sinh có trình độ nhận thức và tư duy còn yếu, không
đồng đều. Do đó tôi luôn suy nghĩ phải làm thế nào để các em có thể nắm bắt
được kiến thức cơ bản nhanh nhất và vận dụng linh hoạt để giải toán.


A. Định nghĩa và các tính chất của phép dời hình:
I. Định nghĩa:
Phép dời hình là một quy tắc để với mỗi điểm M có thể xác định được một
điểm M' ( gọi là tương ứng với M )sao cho với hai điểm M', N' tương ứng với
M,N thì : M'N' = MN.

II. Tính chất :
1. Phép dời hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điẻm bất kỳ.
2. Phép dời hình biến 3 điểm A,B,C thẳng hàng với B nằm giữa A,C thành 3
điểm A',B',C' thẳng hàng với B' nằm giữa A',C'.3. Phép dời hình biến một đường
thẳng thành một đường thẳng, biến một tia thành một tia, biến một doạn thănghr
thành một đoạn thẳng bằng nó.
4. Phép dời hình biến một tam giác thành một tam giácbằng nó, biến một
góc thành một góc bằng nó, biến một đường tròn thành mmột đường tròn bằng
nó,với tâm đường tròn này biến thành tâm đường tròn kia.
5. Tích của hai phép dời hình là một phép dời hình
Mở rộng:
Tích của n phép dời hình là một phép dời hình. B. áp dụng một số phép dời hình để giải toán:
I. Phép đối xứng trục:
1. Định nghĩa:
Phép đặt tương ứng mỗi điểm M một điểm M' đối xứng M qua đường thẳng
d gọi là phép đối xứng trục.
d : trục đối xứng
Kí hiệu : Đd(M) = M'
* Chú ý: cho Đd


đề bài, Ta có:
Đd(B) = A S B y
Mà B Î Oy nên nằm trên O'
đường thẳng ảnh của Oy qua Đd: O'y'
Suy ra; {A} = O'y' Ç Ox
* Cách xác định M:
Đd(O) = O' ; Đd(S) = S ® Đd(Oy) =O'S ® O'S Ç Ox = {A}
Đd(A) = B . m là đường thẳng qua AB.

Bài số 3:
Cho góc nhọn xOy và điểm A thuộc miền trong góc này. Tìm trên Ox một
điểm B, trên Oy một điểm C sao cho DABC có chu vi nhỏ nhất.
Lời giải:
Đox(A) = A1
Đoy(A) = A2
A1A2 Ç Ox = {B}
A1A2 Ç Oy = {C}
®DABC có chu vi nhỏ nhất. Chứng minh:
CV DABC = AB + BC +CA
=A1B + BC + CA2 = A1A2
"B1Î Ox , C1Î Oy
B1¹ B , C1¹ C
CV DAB1C1 = A1B1 + B1C1 + C1A2 > A1A2.

Bài số 4:
Cho hai đường tròn (Q),(Q') và một đường thẳng d . Xác định hình vuông
ABCD có A,C lần lượt nằm trên (Q), (Q'), còn B,D nằm trên d?

thẳng đó là d).
Đd(AB) = A'B' ; A'B' Ç AC = {C1} ; Đd(C1) = B1
Khi đó ta có : DPB1C1 là tam giác cần tìm thoả mãn đề bài.

Bài số 6:
Cho 2 đường thẳng cắt nhau x,y và 2 điểm A,B không nằm trên x,y. Xác
định 2 điểm C,D lần lượt nằm trên 2 đường thẳng x,y sao cho tứ giác ABCD là
hình thang cân có AB là cạnh đáy.

Lời giải:
Gọi d là đường trung
trựccủa AB. Đd(x) = x'.
Khi đó: x'Ç y = {D}
Ta lại có Đd(D) = C Î x.
Vậy ABCD là
hình thang cần tìm.
* Biện luận:
- Nếu x'Ç y = {D!} ® Bài toán có 1 nghiệm.
- Nếu x' // y ® Bài toán vô nghiệm.
- Nếu x' º y ® bài toán vô số nghiệm.
II. Phép đối xứng tâm:
1. Định nghĩa:
Phép đặt tương ứng mỗi điểm M một điểm M' đối xứng với M qua O ®
Phép đối xứng tâm.
O : Tâm đối xứng
KH : Đo(M) = M'.
* Chú ý: Cho Đo
- Nếu M º O thì M' º O.
- Đo hoàn toàn xác định khi biết O.
- Mọi đường thẳng qua O đều biến thành chính nó.

Khi đó : ĐA(B) = D
Mà B Î (O;r) nên D Î (O';r)
là ảnh của (O;r) qua ĐA
* Cách xác định:
Lấy bất kì A Î (;r)
ĐA(O;r) = (O';r)
Khi đó : (O;r) Ç (O;R) = {D}
D
A
Ç (O;r) = {B} ; DA Ç (O;R) = {C}
Vậy đường thẳng cần tìm là DC thoả mãn ĐK đề bài.
* Biện luận:
Do r < R , mà AÎ (O;r) nên (O;r) Ç (O';r) ={D,D'}
Suy ra bào toán có 2 nghiệm hình.

Bái số 3:
Xác định hình bình hành ABCD , cho biết 2 đỉnh A,C, còn 2 đỉnh B,D nằm
trên (O;R) cho trước?
Lời giải:
* Phân tích:
vì ABCD là HBH nên
AC Ç BD = {I} với I là trung điểm mỗi đường.
Từ đó :
® B,D là ảnh của
nhau qua ĐI
® B,D nằm trên (O') là
ảnh của (O) qua ĐI.

1
.
Tương tự :
ĐI : NO ® QQ
1
, PO ® MM
1
, QO ® NN
1
Mà MO,NO,PO,QO đồng quy tại O
Nên PP
1
, QQ
1
, MM
1
, NN
1
đồng quy tại O' với Đ
I
(O) = O'
III. Phép tịnh tiến: 1. Định nghĩa:
Phép đặt tương ứng với mỗi điểm M, mộtđiểm M' sao cho :

MM' = v ¹ O cho trước Þ Phép tịnh tiến theo v .
v : Véc tơ tịnh tiến
Kí hiệu : T

AB
(M') = M Î d.
Vậy M,M' là 2 diểm cần tìm thoả mãn điều kiện ABMM' là HBH.

Bài số 2:
Cho (O;R) và điểm M Î (O). Cho đoạn AB trong đó A,B không nằm trên
đường tròn cho trước . Tìm tập hợp các điểm M' là đỉnh còn lại của hình bình
hành ABMM' khi m thuộc đường tròn cho trước.
Lời giải:
Vì ABMM' là HBH nên MM' = BA ® T
BA
(M) = M'
Mà M Î (O) nên M' Î (O') là ảnh của (O) qua T
BA
.
Vậy {M'} là (O') với (O') là ảnh của (O) qua T
BA
.
Vẽ Hình

Bài số 3 :
Cho DABC . Tìm điểm M bên cạnh AB và N bên cạnh AC sao cho MN //
BC và AM = CN. Lời giải:
A M N

đường tròn đó. Tìm quy tích trực tâm H của tam giác ABC?
Lời giải:

A
D
B C
Kẻ đường kính BD,

vì AH ^ BC , DC ^ BC ® AH // DC (1)
Tương tự : CH ^ AB , DA ^ AB ® CH // DA (2)
Từ (1), (2) ® ABCD là hình bình hành

AH = DC mà DC cố định nên:
T
DC
(A) = H
Mà A Î (O;R) nên H Î (O';R) là ảnh của (O;R) qua T
DC.
Vậy quỹ tích trực tâm H của DABC là (O';R) . IV. Phép quay:
1. định nghĩa:
Cho hai đường thẳng a,b cắt nhau tại O . Với mỗi điểm M ta xác định điểm

a
º Đ
O

- Q
O
a
xác định khi biết O và a.

3. Vận dụng giải toán:
Bài số 1:
Cho 2 đường thẳng a // b , với một điểm C không nằm trên 2 đường thẳng
đó . Tìm trên a,b lần lượt 2 điểm A,B sao cho DABC đều.
Lời giải:
* Nhận xét:
Vì DABC đều
nên Q
C
60
: B ® A
mà B Î b nên A Î b'
là ảnh của b qua Q
C
60
.
Theo gt : A Î a nên
{A} = a Ç b'
Suy ra cách xác định A,B như sau:
Q
C

(N) = B
Q
A
90
(C) = Q
Þ NC biến thành BQ
Qua Q
A
90

Vậy : NC ^ BQ
NC = BQ
b) Đ
A
(B) = (B
1
)
Q
A
90
(C; B
1
) = (Q; N)
Do đó : CB1 ^ QN.
Mà AN là đường trung bình của tam giác CBB
1
nên AM // CB
Do đó

: AM ^ QN.

{O;M} = {O';C'} nên OM ^ O'C ,
(ta còn suy ra OM = O'C)

Bài số 4:
Qua tâm G của DABC đều , Kẻ đường thẳng a cắt BC tại M, cắt AB tại N ,
kẻ đường thẳng b cắt AC tại P và cắt AB tại Q, Đồng thời tạo với a một góc 60
0
.
C/M: Tứ giác MPNQ là hình thang cân.
Lời giải:
Ta có :
a Ç CB = {M}
b Ç BA = {Q}
mà : Q
G
-120
biến
a thành b (1)
C thành B ; B thành A
Þ CB ® BA (2)
Từ (1), (2) Þ M ® Q
Þ GM = GQ.
Þ DGMQ cân
Tương tự: DGNP cân Þ MQ // NP và NQ = MP.

4. Tích cua 2 phép quay có tâm khác nhau, nói chung là một phép quay với
góc quay bằng tổng của 2 góc quay của 2 phép quay đã cho ( Đặc biệt đó sẽ là
một phép tịnh tiến nếu 2 phép quay đã chốc các góc đối nhau.)

C. Kết luận:

Do điều kiện có hạn, nên đề tài này chỉ nhằm mục đích hệ thống hoá một số
phép dời hình cơ bản. Qua đó đưa ra cho mỗi phần một số bài toán nhằm củng cố
kỹ năng vận dụng, thực hành .
Cuối cùng rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến xây dựng của quý bạn
đọc và đồng nghiệp.
Cảm Nhân , tháng 04 năm 2009.
Người viết đề tài
Lê Viết Hiến