TRNG THPT CHU VN AN
TRNG THPT CHU VN ANTRNG THPT CHU VN AN
TRNG THPT CHU VN AN
T TỐN
T TỐNT TỐN
T TỐN GV: Dương Phước Sang
GV: Dương Phước SangGV: Dương Phước Sang
GV: Dương Phước Sang Môn Toán
Môn ToánMôn Toán
Môn Toán 2013

Ôn tập Tốt nghiệp

Dương Phước Sang
Dương Phước Sang - 1 - THPT Chu Văn An

=
để tìm các nghiệm
0
x
(nếu có).
4 Tính hai giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞

5 Vẽ bảng biến thiên của hàm số.
6 Nêu sự đồng biến, nghịch biến và cực trị (nếu có) của hàm số.
7 Tìm điểm uốn (đối với hàm số bậc ba).
8 Lập bảng giá trị.
9 Vẽ đồ thị hàm số và nêu nhận xét.y = ax

3
+ bx

2
+ cx + d (a ≠ 0)
Số nghiệm của phương
trình
0
y
′


x
y
O
x
y
O

0
y
′
=
vô nghiệm

x
y
Ox
y
O

Đồ thị hàm số bậc ba luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

01688559752


x
y
O

0
y
′
=
có 1 nghiệm
duy nhất
x
y
O

x
y
O

Đồ thị hàm số trùng phương ln nhận trục tung làm trục đối xứngb) Viết phương trình tiếp tuyến (pttt) (dạng 1 - biết toạ độ tiếp điểm M
0

)
1 Chỉ rõ
0
x
và
0

vào (*) để tìm
0
x

3 Có
0
x
, tìm
0
y
và dùng cơng thức viết phương trình tiếp tuyến.
 Lưu ý:  Tiếp tuyến song song với y = ax + b có hệ số góc k = a
 Tiếp tuyến vng góc với y = ax + b (a ≠ 0) có hệ số
góc
1
a
k
= −

d) Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị (C

): y = f(x

)
1 Đưa phương trình về dạng: f

(x

) = b(m) (*)
2 Đặt

Dương Phước Sang - 3 - THPT Chu Văn An
x
y
y =1 - m
3
3
2 4
5
1
O 1
e) Sự tương giao giữa đồ thị (C

):y = f

(x

) và đường thẳng d

:

y = ax + b
1 Phương trình hoành độ giao điểm của (C

) và d

:

f

(x


3
– 6x

2
+ 9x + 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C

) tại giao điểm của (C

) với
trục tung.
c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau đây có
nghiệm duy nhất: x

3
– 6x

2
+ 9x + m = 0
Bài giải
Câu a: Hàm số y = x

3
– 6x

2

y x y x y
′′ ′′
= − = ⇔ = ⇒ =

Điểm uốn I(2;3)
 Bảng giá trị:

x 0 1 2 3 4
y 1 5 3 1 5
 Đồ thị hàm số là một đường cong nhận điểm
I(2;3) làm tâm đối xứng như hình vẽ bên đây:
 Bảng biến thiên:
(chú ý: do a > 0)
.x
–
∞
1 3 +
∞

y
′

+ 0 – 0 +
y
5 +
∞

–∞ 1
01688559752


⇔
x

3
– 6x

2
+ 9x + 1 = 1 – m (*)
 Đặt (C

) : y = x

3
– 6x

2
+ 9x + 1 và d : y = 1 – m thì
Phương trình (*) có nghiệm duy nhất
⇔
(C

) và d có 1 điểm chung
1 5 4
1 1 0
m m
m m
 
− > < −
 
⇔ ⇔

2
– 3a = 0
Bài giải
Câu a: Hàm số y = 3x

2
– 2x

3
 Tập xác định: D = R
 Đạo hàm:
2
6 6
y x x
′
= −

 Cho
2
0 6 6 0 0
y x x x
′
= ⇔ − = ⇔ =
hoặc x = 1
 Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = −∞

3
2

y
1 0
1
2
1 0
 Đồ thị hàm số là một đường cong nhận
điểm
1 1
2 2
( ; )
I
làm tâm đối xứng như hình:
 Bảng biến thiên:
(chú ý: do a < 0)
x
–
∞
0 1 +
∞

y
′

– 0 + 0 –
y
+
∞

′
=
, phương trình tiếp tuyến là: y = 0
 Tại
3
2
( ;0)
B
:
3 9
2 2
( )
y
′
= −
, phương trình tiếp tuyến là:
27
9 3 9
2 2 2 4
0 ( )
y x y x
− = − − ⇔ = − +

 Vậy, có 2 tiếp tuyến thoả đề là: y = 0 và
27
9
2 4
y x
= − +


3
2
:
d y a
= −
ta có,
 (*) có 3 nghiệm
⇔
(C

) và d có 3 điểm chung
3 2
2 3
0 1 0
a a
⇔ < − < ⇔ − < <

 (*) có 2 nghiệm
⇔
(C

) và d có 2 điểm chung

3
2
2
3
3
2
1

2
3
3
2
1
0
0
a
a
a
a


− >
< −


⇔ ⇔


>
− <





Bài 3 :a) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )
C

y
+ +
=
 Tập xác định:
D
=
ℝ

 Đạo hàm
2
3 6 3
0,
3
x x
y x
+ +
′
= ≥ ∀ ∈
ℝ

do đó hàm số luôn đồng biến trên
ℝ
và không đạt cực trị.
cho
2
( 0 3 6 3 0 1)
y x x x
′
= ⇔ + + = ⇔ = −


2
3 3 0 1
y x x y
′′
= + = ⇔ = − ⇒ = −

Điểm uốn
1
2
( 1; )
I
− −

 Bảng giá trị:
x
3
−

2
−

1
−
0 1

y

9
2
−

0
( )
k f x
′
= =
3
2

(trong đó
0
x
là hoành độ tiếp điểm)
2
2
0
0 0
0 0
0
0
3 6 3
3
3 6 0
2
2 2
x
x x
x x
x

=

 Với
0
2
x
= −
thì
0
( 2) 1
y y
= − = −
, tiếp tuyến tương ứng là
3 3
2 2
1 ( 2) 2
y x y x
+ = + ⇔ = +
(song song với
△
)
 Vậy, chỉ có một tiếp tuyến thoả đề là
3
2
2
y x
= +

Câu c: Hoành độ giao điểm (nếu có) của
( )
C
và




 x = 1
7
2
y
⇒ =
và x = –2 ⇒ y = –1
 Vậy,
( )
C
và d :
3
2
2
y x
= +
cắt nhau tại
7
2
(1; )
A
và
( 2; 1)
B
− −

) của hàm số y = f

(x

) = x

4
– 2x

2
– 3
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C

) tại điểm trên (C

)
có hoành độ x là nghiệm của phương trình
( ) 20
f x
′′
=

c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau đây có nhiều
hơn hai nghiệm: x

4
– 2x

2
+

x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = +∞

 Bảng biến thiên:
x
−∞
–1 0 1
+∞

y
′

– 0 + 0 – 0 +
y
+∞

3
−

+∞ –4 –4
 Hàm số đồng biến trên các khoảng trên (–1;0), (1;+∞) và nghịch
biến trên các khoảng (–
∞;–1), (0;1).
Đồ thị hàm số có điểm cực đại D(0;–


và
( 2) 4 2
f
′
=
, phương trình tiếp tuyến:
4 2( 2) 3 4 2 11
y x y x
= − − ⇔ = −

 Với
0 0
2, 3
x y
= − = −
và
( 2) 4 2
f
′
= −
, phương trình tiếp
tuyến:
4 2( 2) 3 4 2 11
y x y x
= − + − ⇔ = − −

 Vậy, có 2 tiếp tuyến thoả đề là:

4 2 11
y x

y = –m – 3 có nhiều hơn 2 giao điểm (3 hoặc 4
giao điểm) ⇔ –

4 <

–m –

3 ≤ –

3 ⇔ 0 ≤ m < 1

 Vậy với m ∈

[

0;1) thì phương trình đã cho có nhiều hơn 2 nghiệm
x
y
-4
-1
-3
O
1
01688559752Tài liệu tham khảo - 8 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
Bài tập về hàm số bậc ba và hàm số trùng phương
Bài 5 : Cho hàm số y = x


3
2
x

2
– 2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

) của hàm số.
b) Viết pttt của (C

)

tại điểm trên

(C

)

có tung độ bằng –2
c) Viết pttt với (C

) song song với đường thẳng d

:

9
2
2
y x


y = 12x – 1
d) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: 2x

3
+ 3x

2
+ 2m = 0
Bài 8 : Cho hàm số
1
3
y
=
x

3
– x

2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

) của hàm số.
b) Viết pttt của (C

) tại điểm trên (C

) có tung độ bằng 0.
c) Viết pttt của (C

) với trục hoành.
d) Viết pttt với (C

) biết tiếp tuyến vuông góc với
1
72
:
d y x
=

Bài 10 : Cho hàm số y = –x

3
+ 3x

2
– 2 có đồ thị (C

)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

) của hàm số.
b) Biện luận theo m số giao điểm của (C

) và d
m
: y = mx – 2
c) Viết pttt của (C

)

x

2
5
2
−
có đồ thị là (C

)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

) của hàm số.
b) Viết pttt với (C

) tại điểm trên (C

) có hoành độ x thoả
1
y
′′
=

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C

) và d

:

y – 2 = 0
d) Xác định các điểm trên (C


d

:

y = 2x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

) của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình 4x

3
– 6x

2
– m = 0
c) Tìm toạ độ các giao điểm của đồ thị (C

) và đường thẳng d
d
*
)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C

), d và Ox.
Bài 13 : Cho hàm số
1
2
y
=
(x

y
=
x

3
3
4
−
x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

) của hàm số.
b) Viết pttt của (C

) biết tiếp tuyến vuông góc với d
1
:

16x – 3y =0
c) Tìm k để đường thẳng y = 4k cắt (C

) tại ba điểm phân biệt.
d
*
)Dùng đồ thị (C

) hãy xác định điều kiện cần và đủ của tham số
a để phương trình sau đây có đúng hai nghiệm:
2 2
12

) của hàm số.
b) Viết pttt với (C

) tại điểm trên (C

) có hoành độ bằng
2
−

c) Viết pttt với (C

) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 24.
d) Với m nào thì phương trình sau có 4 nghiệm: x

4
– 2x

2
+ m = 0
Bài 16 : Cho hàm số y = x

4
+ 2x

2
– 3
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

) của hàm số.
b) Viết pttt của (C

2
có đồ thị (C

).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

) của hàm số.
b) Viết pttt với (C

) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng –4.
c) Tìm b để phương trình sau có 4 nghiệm: x

4
– 6x

2
+ logb = 0
d) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C

) và trục hoành.
Bài 18 : Cho hàm số y = (1 – x

2
)
2
– 6 có đồ thị (C

)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C


+ 2x

2
–

1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

) của hàm số.
b) Tìm m để phương trình x

4
– 8x

2
+ m = 0 có nhiều hơn 2 nghiệm
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C

) tại điểm trên (C

) có
hoành độ là nghiệm của phương trình
( ) 2 0
y x
′′
+ =

Bài 20 : Cho hàm số
1
3


) song song với d
1
:

y = 24x + 2013.
d) Gọi d
2
là tiếp tuyến của (C

)tại điểm
5
3
(2; )
A
−
. Tính diện tích
hình phẳng giới hạn bởi (C

), d
2
và trục tung.
Bài 21 : Cho hàm số y =

mx

4
– (2 – 3m)x

2

+ 3m – 1 (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

) hàm số khi
2
3
m
=

b) Biện luận theo a số nghiệm của phương trình x
4
– 6x
2
+ 2a = 0
c) Tìm điều kiện của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn
điểm phân biệt.
Bài 23 : Cho hàm số y = x

4
– (m + 4)x

2
+ 3 có đồ thị (C
m
)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C
0

)
b) Tìm m để (C

y
cx d
−
′
=
+
và khẳng định
y
′
dương hay âm,
d
c
x
∀ ≠ −

3 Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến trên mỗi khoảng xác
định
( ; ),( ; )
d d
c c
−∞ − − +∞
và không đạt cực trị.
4 Tính các giới hạn và tìm hai tiệm cận:
 Tính
lim
x
y
→−∞
a
c

y
+
→ −
, suy ra
d
c
y
= −
là TCĐ
5 Vẽ bảng biến thiên của hàm số.
6 Lập bảng giá trị.
7 Vẽ đồ thị hàm số (có 2 tiệm cận) và nêu nhận xét. ( 0, 0)
ax b
y c ad cb
cx d
+
= ≠ − ≠
+

0
y
′
>

0
y
′

Bài 24 : Cho hàm số
3
2
x
y
x
−
=
−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số
b) Viết pttt của
( )
C

tại điểm trên

( )
C

có tung độ bằng –2
c) Viết pttt của
( )
C
biết tiếp tuyến song song với d: y = –x
d) Tìm toạ độ các giao điểm của
( )

0, 2
(2 )
y x
x
−
′
= < ∀ ≠
−
, do đó hàm số nghịch biến
trên các khoảng (–∞;2), (2;+∞) và không đạt cực trị.
 Giới hạn và tiệm cận:

lim 1 ; lim 1 1
x x
y y y
→−∞ →+∞
= − = − ⇒ = −
là tiệm cận ngang.

2 2
lim ; lim
x x
y y
− +
→ →
= −∞ = +∞ ⇒
x = 2 là tiệm cận đứng.
 Bảng biến thiên:

 Bảng giá trị:

(2 1)
(1) 1
y
−
−
′
= = −
nên tiếp tuyến của
( )
C
tại M(1;–2) là:
y + 2 = –1(x – 1)
⇔
y = –x – 1
x
−∞
2
+∞
y
′

– –
y
–1
−∞
+∞


2 1 1
2 1 3
x x
x x
 
− = =
 
⇔ ⇔
 
− = − =
 
 

 Với
0
1
x
=
thì
0
(1) 2
y y
= = −
. Phương trình tiếp tuyến là:
y + 2 = –1(x – 1) ⇔ y = –x – 1
 Với
0
3
x
=


(thoả mãn x ≠ 2)
 Với x = 3 thì y = 0 và với
5
2
x
=
thì y = 1
 Các giao điểm của
( )
C
và y = –2x + 6 là: A(3;0) và
5
2
( ;1)
B

Câu e: Phương trình hoành độ giao điểm của
( )
C
và d
m
: y = mx + m là
3
2
x
mx m
x
−
= +


⇔ ⇔
 
 
∆ >
+ + >
 




hoaëc
1
9
0
1
m
m m


≠


⇔


< − > −




   
−
 
 
 
= − = − = − − =
 
 
 
   
− −
∫ ∫01688559752Tài liệu tham khảo - 14 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
Bài tập về hàm số nhất biến
Bài 25 : Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

3
x
y
x
+
=
−
có đồ thị
( )
C
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )
C
tại điểm trên
( )
C
có hoành độ bằng 1.
c) Viết pttt với
( )
C
tại điểm trên
( )
C
có tung độ bằng 6.
d) Viết pttt với


) biết tiếp tuyến song song
với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
d) Tìm m để đường thẳng y = mx + 1 cắt (C

) tại 2 điểm phân biệt.
Bài 28 : Cho hàm số
2 1
2
x
y
x
−
=
−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

) của hàm số.
b) Viết pttt với
( )
C
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng
3
4

c) Chứng minh rằng đường thẳng y

=


*
)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C

), tiếp tuyến của (C

)
tại điểm
3
2
(0; )
A
và trục hoành.
Dương Phước Sang
Dương Phước Sang - 15 - THPT Chu Văn An
Bài 30 : Cho hàm số
2
1
y
x
=
+
có đồ thị là (C

).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )
C

c) Viết pttt với (C

) tại các giao điểm của (C

) với d: y = 2x + 4
d) Tìm a để đường thẳng ∆:y =

ax –

3 và (C

) không giao nhau.
e
*
)Tìm tất cả các điểm trên (C

) có toạ độ đều là các số nguyên.
Bài 32 : Cho hàm số
2 3
1
x
y
x
−
=
−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

) của hàm số.


)

tại 2 điểm phân biệt có hoành độ
1 2
,
x x
thoả
2
1 2
2 7
x x
+ =

e
*
)Tìm các điểm trên (C

) có toạ độ đều là các số nguyên.
Bài 33 : Cho hàm số
2 4
4
x
y
x
−
=
−
có đồ thị (C


*
)Tìm điều kiện của tham số k để đường thẳng y = kx + 1 cắt đồ
thị (C

) tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh.
f
*
)Tìm điểm trên đồ thị có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận đạt
giá trị nhỏ nhất.

01688559752Tài liệu tham khảo - 16 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x ) trên đoạn [a;b ]
1 Hàm số y = f

(x

) liên tục trên đoạn [a;b].
2 Tính
( )
y f x
′ ′
=
.
3 Cho
0
y
′


(b

)
(không được tính f của các
x
l
đã bị loại)
5 Chọn kết quả lớn nhất và nhỏ nhất từ bước 4 để kết luận
về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a;b]
4. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị (tóm tắt)
 Nếu
0
0
( ) 0
( ) 0
f x
f x

′

=


′′

<





) đạt cực tiểu tại
0
x

 Hàm số y = ax

3
+ bx

2
+ cx +

d có cực đại, cực tiểu
0
0
y
a
′


≠


⇔


>



′


≤


′
⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔


>



△
ℝ

 Hàm số y = ax

3
+ bx

2
+ cx + d
( 0)
a
≠
nghịch biến trên
ℝ


luôn đồng biến trên các khoảng xác định
0, 0
y x D ad cb
′
⇔ > ∀ ∈ ⇔ − >
(không có dấu “=”)
 Hàm số
ax b
y
cx d
+
=
+
luôn nghịch biến trên các khoảng xác định
0, 0
y x D ad cb
′
⇔ < ∀ ∈ ⇔ − <
(không có dấu “=”)
Dương Phước Sang
Dương Phước Sang - 17 - THPT Chu Văn An
VÍ DỤ MINH HOẠ
Bài 34 : Tìm giá trị lớn nhất và giá nhị nhỏ nhất của hàm số:
a) y = x

3
– 8x

2
+ 16x – 9 trên đoạn [1;3]


2
+ 16x – 9 liên tục trên đoạn [1;3]
 Đạo hàm:
2
3 16 16
y x x
′
= − +

 Cho
2
0 3 16 16 0
y x x
′
= ⇔ − + =
loaïi
nhaän
4
3
4 [1;3] ( )
[1; 3]( )
x
x

= ∉

⇔

= ∈

3 27
( )
y
= =

Câu b: Hàm số y = x

2
– 4ln(1 – x) liên tục trên đoạn [–3;0]
 Đạo hàm:
2
4 2 2 4
2
1 1
x x
y x
x x
− + +
′
= + =
− −

 Cho
(nhaän)
(loaïi)
2
1 [ 3; 0]
0 2 2 4 0
2 [ 3; 0]
x

x
y y
∈ −
= − = −
và
[ 3;0]
max ( 3) 9 8 ln 2
x
y y
∈ −
= − = −

Câu c: Hàm số y = 2

ln

3
x – 3

ln

2
x – 2 liên tục trên đoạn [1;e

2
]
 Đặt t = lnx thì x ∈ [1;e

2
] ⇔ t ∈ [0;2] và hàm số trở thành

(2) = 2
 Do –3 < –2 < 2 nên
2
[1; ]
min (1) 3
x e
y g
∈
= = −
và
2
[1; ]
max (2) 2
x e
y g
∈
= =

Câu d: y = e

x
(x

2
– x – 1) liên tục trên đoạn [0;2] có
2
( 2)
x
y e x x
′


2
+ 4x + 3 (*)  Tập xác định: D = R
 Đạo hàm:
2
3 2 4
y x mx
′
= + +
có biệt thức
2
12
y
m
′
′
= −
△

 Hàm số (*) đồng biến trên R
0,
y x
′
⇔ ≥ ∀ ∈
ℝ

2
2
3 0
0


 Vậy, với
2 3;2 3
m
 
∈ −
 
thì hàm số (*) đồng biến trên R
Câu b:Hàm số (*) có cực đại và cực tiểu
0
y
′
⇔ =
có 2 nghiệm phân
biệt
2
0 12 0 ( ; 2 3) (2 3; )
y
m m
′
′
⇔ > ⇔ − > ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞
△

 Vậy
( ; 2 3) (2 3; )
m
∈ −∞ − ∪ +∞

Bài 36 : Tìm điều kiện của m để hàm số y = x

y x m y m
 
 
′ ′
= − + − = − +
 
 
⇒
 
 
′′ ′′
= − = −
 
 
 


Do hàm số (*) đạt cực đại tại
0
2
x
=
nên
(2) 0
y
′
=

⇔ m


y y y
′′ ′
+ + =

Hàm số
sin
.sin
x
x
x
y e x
e
−
= =
có tập xác định D = R

( ) .sin .(sin ) (cos sin )
x x x
y e x e x e x x
− − −
′ ′ ′
= + = −


( ) (cos sin ) (cos sin ) 2 cos
x x x
y e x x e x x e x
− −
′′ ′ ′
= − + − = −


3
– 3x

2
– 12x + 10 trên đoạn [–2;0]
b) f

(x

) = x

5
– 5x

4
+ 5x

3
+ 1 trên đoạn [–1;2]
c) f

(x

) = x

4
– 2x

3

( ) 1
x
f x x
+
= − + −
trên đoạn [–1;2]
h) f

(x

) = 3sinx – 2sin
3
x + 1 trên đoạn [0;π]
i) f

(x

) = cos2x – sinx + 3
j) f

(x

) = 2sinx + sin2x trên đoạn
[ ]
3
2
0;
π

Bài 39 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây:

= − −
trên đoạn [0;1]
e)
2
( ) 2( 2) 2
x
f x x e x x
= − + −
trên đoạn [0;2]
f)
2
( ) ln(1 2 )
f x x x
= − −
trên đoạn [–2;0]
g)
2
( ) 2 4 ln
f x x x x
= − −
trên đoạn [1;2]
h)
2
( ) ln( 1)
f x x x
= − +
trên đoạn [0;2]
i)
( ) ln 2 2
f x x x x

f x
x
= trên đoạn
2
[ ;
e
2
]
e

Bài 40
*
: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau đây:
2 2 2 2
( 1) ( 1) 2
A x y x y y
= − + + + + + −

với
,
x y
∈
ℝ

1 1 1
2B xyz
x y z
= + + +
, với
, , 0

– m + 2)x + m – 3
Bài 42 : Tìm các giá trị của tham số a để hàm số sau luôn nghịch biến
a) y = –x

3
+ (a +

1)x

2
– (2a +

1)x – 3

b)
7
5 3
ax a
y
x a
+ −
=
− +

Bài 43 : Tìm các giá trị của m để hàm số sau đây có cực đại và cực tiểu
a) y = x

3
+ 2mx


+ −
=
−

Bài 44 : Tìm các giá trị của tham số m để hàm số:
a) y = 2x

3
+ (m + 1)x

2
+ (m

2
– 4)x – m + 1 đạt cực đại tại
0
0
x
=

b) y = (2m

2
– 1)x

3
– mx

2
+ (2m + 3)x – 2 đạt cực tiểu tại

− +
đạt cực tiểu bằng –2 tại
0
1
x
=

Bài 45
*
: Tìm các giá trị của α để hàm số sau luôn đồng biến trên R:
1
3
y
=
3 2
(sin cos ) ( 3 cos2 1). 3
x x x
α α α
− − + − +

Bài 46 :Tìm m để hàm số y = mx

3
– mx

2
– (m +

1)x + 4 nghịch biến trên
a) Khoảng (–∞;0) b) Khoảng

Bài 48
*
: Tìm m để đồ thị hàm số y = x

4
– 2mx

2
+ 2m có ba điểm cực trị
lập thành ba đỉnh của một tam giác đều.
Bài 49 : Chứng minh rằng
a) Nếu
(cos 2 sin 2 )
x
y e x x
= +
thì
2 5 0
y y y
′′ ′
− + =

b) Nếu
4
2
x x
y e e
−
= +
thì










 !
 ! !
 !"
""
"

#
##
#

1. Phương trình mũ
Các tính chất về luỹ thừa cần lưu ý: với a > 0, b > 0 và m,n ∈ R ta có
(
)
.
1 1
n
m n m n m mn
m
m
m n m

n n n
n
a a
b
b
n n
a b
b a
ab a b
−
=
=
=
i
i
i

a) Phương trình mũ cơ bản: với a > 0 và a ≠ 1, ta có
 a

x
= b vô nghiệm nếu b ≤ 0

log
x
a
a b x b
= ⇔ =
nếu b > 0
b) Phương pháp đưa về cùng cơ số: với a > 0 và a ≠ 1, ta có


1 Đặt
( )
f x
t a
=
(kèm điều kiện cho t) và thay vào phương trình
2 Giải phương trình mới theo t để tìm nghiệm
0
t
(nếu có)
3 Đối chiếu nghiệm
0
t
tìm được với điều kiện ở bước 1 rồi tìm x.
 Lưu ý 1: với a > 0 ta có
( )
( )
1
f x
f x
a
a
−
=

 Lưu ý 2: gặp dạng
2 ( ) ( ) 2 ( )
. .( ) . 0
f x f x f x

Các công thức và quy tắc tính lôgarit: với
0 1
a
< ≠
và b > 0,
0
α
≠
:



log 1 0
a
=



log ( ) log
n
m
m
a
n
a
b b
= ⋅
(n ≠ 0)



m
a a a
n
m n
= −
(m,n > 0)



log ( ) .log
a a
b b
α
α=



log
log
log log .log
c
c
b
a a c
a
b c b
= =
(0 < c ≠ 1)



log
b
a
x b x a
= ⇔ =

b) Phương pháp đưa về cùng cơ số: với
0
a
>
và
1
a
≠
, ta có

log ( ) log ( ) ( ) ( )
a a
f x g x f x g x
= ⇔ =
(kèm điều kiện
( ) 0
f x
>
)

log ( ) ( )
b
a
f x b f x a

 

 Biến đổi sau đây rất dễ sai sót (không nên sử dụng):
 Đưa
α
ra ngoài:
log ( )
a
f x
α
 
 
 
thành
.log ( )
a
f x
α

 Tách
log ( ). ( )
a
f x g x
 
 
 
thành
log ( ) log ( )
a a
f x g x

α
thành
log ( )
a
f x
α
 
 
 

 Nhập
log ( ) log ( )
a a
f x g x
+
thành
log ( ). ( )
a
f x g x
 
 
 

 Nhập
log ( ) log ( )
a a
f x g x
−
thành
( )

2 Giải phương trình mới theo t để tìm nghiệm
0
t
(nếu có)
3 Từ
0
t t
=
ta giải phương trình lôgarit cơ bản tìm x.
d) Phương pháp mũ hoá: với
0 1
a
< ≠
và
0 1
b
< ≠
, ta có
log ( ) log ( )
log ( ) log ( )
a b
f x g x
a a
f x g x a a= ⇔ =

e) Phương pháp khác: dùng tính đơn điệu của hàm số, bất đẳng thức,…
3. Bất phương trình mũ – lôgarit (đơn giản)
Hàm số mũ
x
y a

a b x b
> ⇔ >


log
x
a
a b x b
< ⇔ <

Với
b
∈
ℝ
ta có 
log
b
a
x b x a
> ⇔ >

log 0
b
a
x b x a
< ⇔ < <

 Trường hợp 0 < a < 1:
Với b
≤

ta có 
log 0
b
a
x b x a
> ⇔ < <

log
b
a
x b x a
< ⇔ >

b) Phương pháp đưa về cùng cơ số
 Trường hợp a > 1: 
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
> ⇔ >


log ( ) log ( ) ( ) ( ) 0
a a
f x g x f x g x
> ⇔ > >

 Trường hợp 0 < a < 1: 
( ) ( )
( ) ( )

5 625
x x+
=
b)
(
)
1
5 7
2
3
(1, 5)
x
x
+

=
c)
1
2 .5 200
x x+
=

Bi gii
Cõu a:
2 2
3 3 4 2 2
5 625 5 5 3 4 3 4 0
x x x x
x x x x
+ +

x + 1
.5
x
= 200 2.2
x
.5
x
= 200 10
x
= 100 x = 2
Vy, phng trỡnh ó cho cú nghim duy nht: x = 2

Bi 2 : Gii cỏc phng trỡnh sau õy:
a) 9
x
5.3
x
+ 6 = 0 b) 4
x 1
+ 2.2
x + 1
21 = 0
c) 5
x
2.5
2 x
+ 5 = 0 d) 6.9
x
13.6
x


= >

3
t
=
thỡ 3
x
= 3 x = 1 t = 2 thỡ
3
3 2 log 2
x
x
= =

Vy, phng trỡnh ó cho cú 2 nghim: x = 1 v
3
log 2
x
=

Cõu b: 4
x 1
+ 2.2
x + 1
21 = 0
4

(t > 0). ỏp s: x = 1
Cõu d: 6.9
x
13.6
x
+ 6.4
x
= 0. Chia 2 v ca phng trỡnh cho 4
x
ta c
(
)
(
)
(
)
(
)
2
9 6 3 3
4 4 2 2
6 13 6 0 6 13 6 0
x x x x
+ = + =

Hng dn: t
(
)
3
2