Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Nguyễn Pháp

Một số phương pháp giải phương trình chứa căn trong chương trình toán ở trường trung học phổ thông.
1

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

I. Lý do chọn đề tài.

Trong chương trình giải tích cấp ba, nội dung giải phương trình, bất phương trình
chứa căn chiếm một vị trí không nhiều, nhưng nó lại là kiến thức cơ bản cho việc giải các
phương trình bất phương mũ, phương trình bất phương trình lôgarit, là một trong những bài
toán trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông cũng như trong các đề thi tuyển sinh
Đại học, Cao đẳng.
Ưu điểm của phương pháp này giúp cho học sinh có được một số phương pháp để
giải phương trình chứa căn.
Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy các em học sinh hay gặp khó khăn khi giải
các bài toán có chứa căn. Các em thường không biết bắt đầu từ đâu do trong quá trình học,
nội dung kiến thức sách giáo khoa cung cấp quá ít dạng, trong khi đề thi tuyển sinh đại học
hay là đề thi học sinh giỏi thì có quá nhiều dạng lạ, điều đó làm cho học sinh gặp nhiều khó
khăn. Do đó tôi chọn đề tài này nhằm giúp các em học sinh có thêm tư liệu để nghiên cứu.
Nhằm giúp học sinh nắm chắc các kiến thức về giải phương trình chứa căn, có kỹ năng để
giải các bài toán liên quan đến phương trình chứa căn, tôi chọn đề tài “Một số phương pháp
giải phương trình chứa căn trong chương trình toán ở trường trung học phổ thông”.
II. Mục đích nghiên cứu
- Chỉ ra cho học sinh thấy những phương pháp khác nhau để giải một phương trình
có chứa căn.
- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng
cao khả năng tư duy, sáng tạo.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Đánh giá thực tế quá trình vận dụng giải bài tập có liên quan đến việc giải phương









3)






4)

 









 





.
2) Nếu a 0, b 0 thì






3) Nếu a 0, b > 0 thì








.
4) Nếu a 0, b < 0 thì
aa
b
b
.
II. Cơ sở pháp lý
- Dựa trên những khái niệm, định nghĩa, định lí, các công thức cơ bản đã học trong quá
trình giải phương trình chứa căn.
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Nguyễn Pháp


- Phương pháp: phương pháp giải toán.
3. Đổi mới phƣơng pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm ).
- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế.
- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh.
- Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng sinh động
hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán. Chẳng hạn sử dụng bảng phụ,
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Nguyễn Pháp

Một số phương pháp giải phương trình chứa căn trong chương trình toán ở trường trung học phổ thông.
4

phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu đồ
thị hàm số, các hình vẽ, hình động liên quan trực tiếp tới bài giảng.
4. Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá.
- Tự luận với 6 mức độ nhận thức: nhận biết - thông hiểu - vận dụng - phân tích - tổng
hợp - đánh giá.
- Giáo viên đánh giá học sinh.
- Học sinh đánh giá học sinh.
5. Phƣơng pháp dạy học.
Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao cho phù hợp với từng loại đối
tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai lầm thường mắc phải khi giải các bài toán về
phương trình bất phương trình chứa căn. Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập.
6. Phân dạng bài tập và phƣơng pháp giải.
- Hệ thống kiến thức cơ bản.
- Phân dạng bài tập và phương pháp giải.
- Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao.
- Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết quả
mới, bài toán mới. Nhằm làm cho học sinh có tư duy linh hoạt và sáng tạo hơn.
II. Nghiên cứu thực tế.
1. DẠNG CƠ BẢN:







0 ( 0)A hay B
AB
AB








3
3
A B A B  
0
0
2
()
A
A B C B
C A B




2
20
4 2x 4x 4
2
2 6x=0
2
03
3
x
xx
x
x
x
x hay x
x




    











1
x 2x 15 0
1
x=5 v x=-3
5
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
   










   





Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Nguyễn Pháp

Một số phương pháp giải phương trình chứa căn trong chương trình toán ở trường trung học phổ thông.
6

6. Đs: x=-1/2
7. Đs: x=5
8. Đs: x=1
9. Đs: x=1;-1/3
10. Đs: x=1;-2
11. Đs: x=
12. Đs: x =
13. Đs:x=0;9;x=
14. Đs: x =
15. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt:
(B-2006) Đs:m 9/2.
Dạng 3) Đặt ẩn số phụ đƣa về phƣơng trình bậc hai,ba,4:
Khi gặp một số phương trình phức tạp thì chúng ta phải sử dụng phương pháp đặt ẩn số phụ
với mục đích làm giảm sự phức tạp của bài toán, thường thì chúng ta đặt t là biểu thức chứa
căn bậc hai, t là tổng các căn hay t là căn bậc cao hơn trong tổng căn. Từ đó ta dễ nhận ra
được sự quen thuộc của bài toán mà có thể tìm ra được cách giải nhanh hơn. Những dạng
toán này các em học sinh thường hay gặp khó khăn ở điều kiện của bài toán. Để tránh được
những khó khăn này đòi hỏi các em phải có kinh nghiệm trong quá trình giải toán.Trước
tiên, các em hãy xem xét sự cần thiết của điều kiện cho từng bài toán cụ thể, thông thường
thì khi đặt ẩn phụ thì ta chỉ quan tâm đến điều kiện cho ẩn phụ, cho đến khi nào quay lại ẩn
chính thì ta mới quan tâm đến điều kiện cho ẩn chính. Nếu thấy điều kiện cho bài toán quá
phức tạp thì ta có thể khoan xét đến điều kiện, trừ những bài toán sử dụng tính đơn điệu của
hàm số, ta hãy tiếp tục giải bài toán cho đến khi nào thật sự cần điều kiện thì mới xét đến
điều kiện.
Ví dụ:

3 4 1 2 3x x x    
11 11 4x x x x     
22
1 1 2x x x x     
22
3 2 8 3 2 15 7x x x x     
2 2 2
7 2 3 3 19x x x x x x       
22
3 2 1x x x x     
15
2

2
( 1)(2 ) 1 2 2x x x x    
1
2
2
9 9 9x x x x     
9 65
2

2
10x x x x    
2 2 1 5 4 2
2
  
2
2 2 1x mx x   










  






  






   


  

Với t = -5 ta có
1
5 (x 3)





  













   


  

Vậy phương trình có hai nhiệm là: x =

Bài tập áp dụng :
2. Đs: x=-7;2
3. (x+5)(2-x)=3 Đs: x=1;-4
4. Đs: x= 1
5. x

2
2 3 1 3 2 2 5 3 16x x x x x       
3
2 2 5 1 12 0xx    
3
4
22
17 2 1 1xx   
1
2
2
11
3
x x x x    
1
2
1
2
x x x x x     
2
3 2 6 2 4 4 10 3x x x x      
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Nguyễn Pháp

Một số phương pháp giải phương trình chứa căn trong chương trình toán ở trường trung học phổ thông.
8

Dạng 4) Đặt ẩn phụ nửa vời:
Có một số bài toán khi ta đặt ẩn số phụ thì rất khó để chuyển hết theo một ẩn số phụ, vì làm
như vậy thì bậc của phương trình sẽ cao dẫn đến việc giải khó khăn. Nên đôi khi ta không
thể đưa hết theo một ẩn, khi đó chúng ta coi những x còn lại như tham số và tiến hành giải


Với
1
2
t 
ta có
22
1 3 3 3
2x 3x 1 2x 3x 0
2 4 8
x

        

Với
1
2
x
t


ta có
2
2 2 2
11
1
2x 3x 1 1
2
8x 12x 4 2x 1 7x 10x 3 0
xx

hay
2 2 2
a 2a (a b)bb   
. Để nhận dạng, thì các em học
sinh nên chú ý đến các số hạng chứa căn bậc hai thông thường là
2ab
. Thường thì ta đưa
phương trình về một trong hai dạng sau:
Dạng 1:
22
.A B A Bhay A B    

Dạng 2:
22
0
0
0
A
AB
B


  




Ví dụ 1 Giải phương trình sau:
2
2 3 9x 4xx   

3 1 3x
3 1 3x
3x 1
3 9x 6x 1
3x 1
3 9x 6x 1
1
x
3
9x 7x-2=0
1
x
3
9x -5x-2=0
x
x
x
x
x
   

  


   
















5 97
1
18
x hay x

  Bài tập áp dụng:

1. Đs: x=2
2. Đs: y =5; y= 1
3. Đs:x= 3
4. Đs:x= 3; x = -1
5. Đs:
6. Đs: vô nghiệm.
7. Đs:x= 25/4
Dạng 6) Đoán nghiệm chứng minh nghiệm duy nhất:
Khi giải phương trình ,không phải khi nào cũng giải trực tiếp mà đôi lúc chúng ta phải đoán
nghiệm, chứng minh nghiệm đoán được là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. Đoán

1 2 2 1 2 2 1x x x x       
48
4
x
xx   
22
15 3 2 8x x x    
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Nguyễn Pháp

Một số phương pháp giải phương trình chứa căn trong chương trình toán ở trường trung học phổ thông.
10

Lời giải:
22
15 3x 2 8xx    

22
22
22
8 3 15 4 3x 3 0
11
3(x 1) 0
8 3 15 4
xx
xx
xx
        

    
   

  
   
vô nghiệm.
Ta có
2 2 2
2
1
1 2x 1 8 9 6 8
83
x
x x x
x

        

2
5 3 8xx   
hiển nhiên.
Tương tự
2
1
1
15 4
x
x



. Suy ra VT


2
4P.
Suy ra x,y là nghiệm của ptrình t
2
–St +P=0. Ví dụ :
1.
Đặt
2 2 2 2 2
17 17 17y x y x hay x y      

2
3 2 1
32
x
xx
x
   

2
10 x
22
2 1 2 ( 1) 2 3 0x x x x x x       
2
1 ( 1) 0x x x x x     
2
(1 ) 16 17 8 15 23x x x x    
2

Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Nguyễn Pháp

Một số phương pháp giải phương trình chứa căn trong chương trình toán ở trường trung học phổ thông.
11

Ta được hệ phương trình
2 2 2
17 ( ) 2x 17
99
x y x y y
x y xy x y xy

    


     


Đặt
.
S x y
P x y





ta có hệ phương trình
22
2 17 2(9 ) 17

loại
Với
5
4
S
P





ta có
5 1 4
. 4 4 1
x y x x
hay
x y y y
   
  

  
  
  

Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 1; x = 4

Bài tập áp dụng:

2. Đs:x = -15; x =13
Dạng 8) Đặt ẩn số phụ đƣa về hệ đối xứng loại II

x y x y y x y
y y y
  
         
  
  
  
     
  
  

3
3
22
1 2x
2x 1 0
x y xy 2 0
xy
y
hay
x







  
   

n
x p ax b
  
   





ax
n
b
()
()
n
n
x at b
t ax b



  


  


3
3
1 2 2 1xx  

2x 8 4x 16x 12   

B1: Ta viết phương trình về dạng:
2
4 .0 4 .0
(2x 8) 2x 8 ( x a) ( x a)
pp
pp
pp

      

B2: Ta lập bảng
P
1

4
p

2

B3: Thay vào B1 ta có
2
2x 8 2x 8 (2x ) 2xaa      

22
2x 8 4x (4a 2 2) 8x a a        
ta đồng nhất phương trình này với phương trình đề
bài ta được a = 4. Khi đó phương trình được viết lại có dạng đồng dạng như sau:
2

9 13
4
x hay x
x
    
  



   








  








   



2
2x 8 2x 4
2x 4 0
2x 8 4x 16x 16
x2
4x 14x 8 0
7 17
4
x
   




   





  




Vậy :
9 13
4
x


1

B3: Thay vào B1 ta có
3
3
(2x 9) 5 2x 9 (x a) 5(x a)      

3 2 2 3
3
5 2x 9 3a (3a 2 5)x 5a 9x x a         
ta đồng nhất phương trình này với phương
trình đề bài ta được a = -5. Khi đó phương trình được viết lại có dạng đồng dạng như sau:

3
3
33
33
22
3 3 3
22
3 3 3
(2x 9) 5 2x 9 (x 5) 5(x 5)
(x 5) ( 2x 9) 5[(x 5) 2x 9] 0
(x 5 2x 9)((x 5) (x 5) 2x 9+( 2x 9) +5] 0
x 5 2x 9 0hay(x 5) (x 5) 2x 9+( 2x 9) +5 0 vn
      
        
         
          


3
3
3 2 3 2xx  
2
55xx  
1 21 1 17
;
22
xx
  

3
3
1 2 2 1xx  
15
2
x


Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Nguyễn Pháp

Một số phương pháp giải phương trình chứa căn trong chương trình toán ở trường trung học phổ thông.
14

4. Olympic2009-LHP
5. Olympic2009-ĐT
III. Kết quả nghiên cứu
Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy kết quả đạt
được có khả quan hơn. Cụ thể qua kết quả thu hoạch được khi khảo sát tình hình giải bài tập
toán ở lớp 10CV như sau:


PHẦN 3: KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ
I – Kết luận
Trước hết, đề tài này nhằm cung cấp cho các em học sinh như một tài liệu tham khảo.
Với lượng kiến thức nhất định về giải các phương trình chứa căn, với những kiến thức liên
quan, người học sẽ có cái nhìn sâu sắc hơn về những cách giải toán. Đồng thời, từ những
phương pháp đó, học sinh rút ra cho mình những kinh nghiệm và phương pháp giải toán
riêng, có thể quay lại để kiểm chứng những lí thuyết đã được trang bị để làm toán. Từ đó
thấy được sự lôgic của toán học nói chung và của chuyên đề giải các phương trình có chứa
căn nói riêng.
32
3
3 3 3 5 1 3x x x x    
3
3 2 3 2
6 12 7 9 19 11x x x x x x       
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Nguyễn Pháp

Một số phương pháp giải phương trình chứa căn trong chương trình toán ở trường trung học phổ thông.
15

Ở cấp độ trường trung học phổ thông, đề tài có thể áp dụng để cải thiện phần nào chất
lượng bộ môn, củng cố phương pháp giải toán, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học,
giúp học sinh hiểu rõ hơn bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí cũng như những
kiến thức liên quan đã được học, giúp các em tránh khỏi lúng túng trước một bài toán đặt ra
và dễ dàng tìm ra một cách giải hợp lí cho bài toán.
Trong khuôn khổ bài viết này, tôi không có tham vọng sẽ đưa ra đầy đủ các phương
pháp để giải phương trình chứa căn. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của
Hội đồng sư phạm trường Trung học phổ thông Nguyễn Hữu Huân.
II – Kiến nghị