SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN XÁC SUẤT LỚP 11"
PHẦN I : LỜI NÓI ĐẦU
1 . Lý do chọn đề tài
Trong chương trình sách giáo khoa đại số và giải tích 11 ở chương II đề cập đến
chủ đề: Tổ hợp - xác suất. Để có thể giải quyết được các bài toán Tổ hợp - xác suất
học sinh phải nắm vững các kiến thức theo chuẩn kiến thức kỹ năng đồng thời phải
biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán vào những tình huống cụ
thể. Qua thực tiễn giảng dạy xác suất cho học sinh lớp 11 chương trình cơ bản môn
Toán tôi nhận thấy: đa số các em chưa hiểu thấu đáo các khái niệm cơ bản như: không
gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối,… các em chỉ biết
giải bài toán xác suất trong một số kiểu bài tập quen thuộc, đa số học sinh chưa biết sử
dụng linh hoạt các quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất để giải quyết các tình huống
cụ thể.
Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên. Do đặc
thù của chuyên ngành nên các bài toán về xác suất có nhiều điểm khác biệt so với các
bài toán đại số, giải tích, hình học. Chính vì vậy, đứng trước một bài toán xác suất học
sinh thường lúng túng, không biết cách giải quyết như thế nào, thậm chí có nhiều em
đã làm xong vẫn băn khoăn cũng không dám chắc mình đã làm đúng.
Với mong muốn giúp các em học sinh lớp 11 nắm vững các kiến thức cơ bản về
xác suất đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức đó để giải quyết
nhiều tình huống khác nhau, tôi chọn đề tài: “Phương pháp giải bài toán xác suất
lớp 11”.
Đề tài của tôi gồm 3 phần:
Phần I: Lời nói đầu
Phần II: Nội dung
A: Cơ sở lý thuyết
B: Phương pháp giải một số bài toán xác suất 11
C: Một số bài tập tham khảo
Phần III: Kết luận

Biến cố thường được kí hiệu bằng chữ in hoa A, B, C,… và cho dưới dạng mệnh
đề xác định tập hợp diễn đạt bằng lời hoặc dạng mệnh đề xác định tập con.
Trong một phép thử luôn có hai biến cố đặc biệt:
- Tập
φ
được gọi là biến cố không thể ( gọi tắt là biến cố không).
- Tập
Ω
được gọi là biến cố chắc chắn.
• Phép toán trên biến cố
Trước hết ta giả thiết các biến cố đang xét cùng liên quan đến phép thử và các kết
quả của phép thử là đồng khả năng.
+ Tập
\ A
Ω
được gọi là biến cố đối của biến cố , kí hiệu là . Và xảy ra khi và
chỉ khi không xảy ra.
+Tập
A B∪
được gọi là hợp của các biến cố A và B.
+ Tập được gọi là giao của các biến cố A và B, còn được viết là
A.B.
+ Nếu thì ta nói và là xung khắc.
+ Hai biến cố và được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay
không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.
2) Định nghĩa cổ điển của xác suất
Giả sử là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả
đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số
( )
( )

( ) ( ) ( )P A B P A P B
∪ = +
• Nếu A
∩
B =
φ
thì
( ) ( ) ( )P A B P A P B
∪ = +
• Với mọi biến cố và bất kì ta có:

( ) ( ) ( ) ( . )P A B P A P B P A B
∪ = + −
c) Quy tắc nhân xác suất:
Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi
( . ) ( ). ( )P A B P A P B
=
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT LỚP 11
B1. Dạng 1: Các bài toán tính xác suất đơn giản: Áp dụng định nghĩa cổ điển
của xác suất. Xác suất của biến cố A là:
( )
( )
( )
n A
P A
n
=
Ω
Bài toán 1.
Cho một lục giác đều ABCDEF. Viết các chữ cái A, B, C, D, E, F vao 6

=
6 2
15 5
=
B =
A

⇒
P(B) = 1 – P(A) = 1 -
2 3
5 5
=

( ) 3n C
=

⇒
P(C) =
( ) 3 1
( ) 15 5
n C
n
= =
Ω
Bài toán 2.
Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng
ngang. Tìm xác suất sao cho.
a) Nam nữ ngồi xen kẽ nhau.
b) Ba bạn nam ngồi cạnh nhau.
Phân tích:

( ) 144
( ) 720
n B
n
=
Ω
=
1
5

Như vậy phần lớn các bài toán dạng 1 là các bài toán sử dụng công thức và kĩ
thuật của toán tổ hợp. Đối với các bài toán như vậy thì học sinh chỉ cần phải nắm vững
công thức về tổ hợp và định nghĩa xác suất.
Bên cạnh đó, có những bài toán chỉ cần dùng phương pháp liệt kê.
Bài toán 3.
Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất để tổng số chấm trờn mặt xuất
hiện của hai con súc sắc bằng 8.
Hướng dẫn học sinh:
Phộp thử T: ‘‘Gieo đồng thời hai con súc sắc’’
Không gian mẫu:
(1,1),(1,2),(1,3), (1,6)
(2,1),(2,2),(2,3), (2,6)

(6,1),(6,2),(6,3), (6,6)
 
 
 
Ω =
 
 

7
A
= 210
( )n⇒ Ω =
210
Số cách chọn một số chẵn từ S là 3.6.5 = 90 cách
( )n A⇒ =
90
Xác suất cần tính là P =
90 3
210 7
=

Phân tích: Trong bài toán này ta không thể sử dụng phương pháp liệt kê vì số phần tử
của biến cố là tương đối lớn học sinh đếm số phần tử quy tắc nhân
Tương tự học sinh giải bài toán sau đây :
Bài toán 5. ( Đề thi đại học khối B năm 2013)
Có hai chiếc hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng, hộp
thứ 2 chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hôp ra 1 viên bi, tính
xác suất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu.
Lời giải :
Số cách chọn 2 viên bi, mỗi viên từ một hộp là 7.6 = 42.
Số cách chọn 2 viên bi đỏ, mỗi viên từ một hộp là 4.2 = 8
Số cách chọn 2 viên bi trắng, mỗi viên từ một hộp là 3.4 = 12
Xác suất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu là: P =
8 12 10
42 21
+
=
Bài toán 6.

định không gian mẫu vì học sinh vốn quen với các bài toán cho trước số lần gieo. Bài
toán này trước hết phải xác định được số lần gieo. Giáo viên có thể gợi ý cho học sinh
bằng các câu hỏi như:
o Nếu không có giả thiết “cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại” thì ta
phải gieo đồng tiền bao nhiêu lần?
o Nếu kết hợp với giả thiết “cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại” thì ta
phải gieo đồng tiền tối đa bao nhiêu lần?
Tất nhiên với câu hỏi đầu tiên học sinh không thể đưa ra một con số cụ thể vì nếu gieo
100 lần vẫn có thể là cả 100 lần đều xuất hiện mặt sấp do đó vẫn chưa thể dừng lại
nhưng học sinh đã hình dung ra dạng các phần tử đầu tiên. Với câu hỏi thứ hai học
sinh có thể trả lời được số lần gieo tối đa là 6. Từ đó học sinh có thể xác định được
không gian mẫu.
Lời giải:
a) Không gian mẫu
Ω
=
{ }
, , , , , ,N SN SSN SSSN SSSSN SSSSSN SSSSSS

b) Ta có: A =
{ }
, ,N SN SSN
, n(A) =3
⇒
P(A) =
3
7
B =

{ }

.
1
2
.
1
2
.
1
2
=
1
16
. Khi đó xác suất cần tìm là P =
6 3
16 8
=
.
B2. Dạng 2: Biến cố đối
Trong toán học, có những bài toán khi tính toán trực tiếp rất dài dòng và phức tạp. Khi
đó phương pháp gián tiếp lại rất hiệu quả và cho ta cách làm ngắn gọn. Phương pháp
sử dụng biến cố đối là một phương pháp như vậy
Bài toán 9.
Gieo đồng tiền xu cân đối đồng chất 3 lần. Tính xác suất của các biến cố:
a) Biến cố A: “Trong 3 lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”.
b) Biến cố B: “Trong 3 lần gieo có cả hai mặt sấp, ngửa”.
Phân tích:
Học sinh có thể giải quyết bài toán theo định hướng là: ít nhất 1 lần xuất hiện
mặt ngửa thì có 3 khả năng có thể xảy ra là: 1 lần xuất hiện mặt ngửa, hai lần xuất hiện
mặt ngửa, ba lần xuất hiện mặt ngửa.
Do vậy học sinh sẽ giải bài toán như sau:

⇒
P(
A
) =
1
8
. Vậy P(A) =
7
8
b) Tương tự ta có:
B
=
{ }
,SSS NNN
⇒
n(
B
) = 2
⇒
P(
B
) =
1
4
suy ra P(B) =
3
4
Bài toán 10.
Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác
suất của các biến cố sau:

3
. Số trường hợp thuận lợi là 365.364.363
Vậy P = 1-
3
365.364.363
1 0,9918 0,0082
365
≈ − =

Bài toán vận dụng
Bài toán 12. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi xanh và 6 viên bi
vàng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó. Tính các suất để 4 viên bi được chọn không
có đủ 3 màu.
Lời giải: Số kết quả có thể là:
Ω
=
4
15
C
= 1365.
Gọi A là biến cố “4viên bi lấy được có đủ 3 màu”, khi đó các kết quả thuận lợi cho
biến cố A là :
A
Ω
=
1 1 2 1 2 1 2 1 1
4 5 6 4 5 6 4 5 6
. . . . . .C C C C C C C C C
+ +
= 720

gợi mở, dẫn dắt học sinh để đi tới giải bài toán theo định hướng này như sau:
Gọi A là biến cố “Con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt chẵn”
B là biến cố “Con súc sắc thứ hai xuất hiện mặt chẵn”
X là biến cố “Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn”
Thấy rằng và là hai biến cố độc lập và
3 1
6 2
=
(Trong 6 mặt thì có 3 mặt chẵn)
Do vậy ta có:
b) Gọi là biến cố “Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số chẵn”
Có 3 khả năng xảy ra để tích số chấm trên con súc sắc là số chẵn:
• Con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt chẵn, con súc sắc thứ hai xuất hiện
mặt lẻ.
• Con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt lẻ, con súc sắc thứ hai xuất hiện mặt
chẵn.
• Cả hai con súc sắc cùng xuất hiện mặt chẵn.
Và ta có “Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số lẻ” chỉ có 1 khả năng là cả hai
con súc sắc đều xuất hiện mặt lẻ.
Như vậy một lần nữa ta lại thấy ưu thế của biến cố đối.
Ta có và , độc lập nên ta có:
Và do đó P(Y) = 1- P(
Y
) = 1-
1 3
4 4
=
Nhận xét: Bài toán trên ta đã sử dụng quy tắc nhân xác suất. Muốn sử dụng được quy
tắc nhân phải khẳng định được hai biến cố là độc lập. Vậy hai biến cố thường độc lập
trong các phép thử nào? Tất nhiên ở đây tôi không thể nêu tất cả mà chỉ đưa ra một số

) + P(A
2
)
Số cách lấy ra 6 chi tiết từ 10 chi tiết là
6
10
C

6
10
( )N C⇒ Ω =
= 210
Có 8 chi tiết không bị hỏng nên
6
1 8
( )n A C
=
= 28
Số cách lấy 5 chi tiết từ 8 chi tiết bị hỏng là
5
8
C
Số cách lấy 1 chi tiết từ 2 chi tiết hỏng là
1
2
C
Theo quy tắc nhân ta có
5 1
2 8 2
( )n A C C

Bài toán 15.
Có hai hộp cùng chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất có 7 quả cầu đỏ, 5 quả cầu
xanh. Hộp thứ hai có 6 quả cầu đỏ, 4 quả cầu xanh. Từ mỗi hộp lấy ra ngẫu nhiên 1
quả cầu.
a) Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra cùng màu đỏ.
b) Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra cùng màu.
Phân tích: Bài toán này vẫn có thể giải theo dạng 1, tuy nhiên việc giải rất dài dòng và
phức tạp. Nếu sử dụng phối hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân thì việc giải quyết bài
toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều.
Lời giải
a) Gọi:
A là biến cố “Quả cầu lấy ra từ hộp thứ nhất màu đỏ”
B là biến cố “Quả cầu lấy ra từ hộp thứ hai màu đỏ”
X là biến cố “Hai quả cầu lấy ra cùng màu đỏ”
Ta có ,
Mặt khác A và B độc lập nên P(X) = P(A).P(B) =
7
12
.
3
5
=
7
20
b) Gọi:
Y là biến cố “Hai quả cầu lấy ra cùng màu xanh”
Z là biến cố “Hai quả cầu lấy ra cùng màu”
Ta có . Mặt khác và độc lập nên
Thấy rằng nên
Những bài toán sử dụng quy tắc cộng xác suất và quy tắc nhân xác suất là các bài toán

Phân tích: Đây là bài toán cho trước xác suất nên chắc chắn ta phải sử dụng phép toán
tính xác suất để giải quyết. Biến cố cơ sở sẽ là “Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ
nhất” và “Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ hai”
Lời giải:
Gọi “Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ nhất”
“Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ hai”
Khi đó ta có: P(A) = 0,7
⇒

( )P A
= 1 – 0,7 = 0,3
P(B) = 0,8
⇒

( )P B
= 1 – 0,8 = 0,2
a) Gọi là biến cố “Trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm có
chất lượng tốt”. Suy ra
Do ba biến cố là độc lập nên ta có

b) Gọi là biến cố “Trong 2 sản phẩm lấy ra có đúng một sản phẩm có
chất lượng tốt”. Suy ra
Do xung khắc và biến cố và B; A và độc lập nên ta có
Bài toán 17.
Một phòng được lắp hai hệ thống chuông báo động phòng cháy, một hệ
thống báo khi thấy khói và một hệ thống báo khi thấy lửa xuất hiện. Qua thực nghiệm
thấy rằng xác suất chuông báo khói là , chuông báo lửa là và cả 2 chuông báo
là . Tính xác suất để khi có hỏa hoạn ít nhất một trong 2 chuông sẽ báo.
Phân tích: Biến cố cần tính xác suất là chuông báo khói báo hoả hoạn hoặc chuông
báo lửa báo lửa sẽ báo hỏa hoạn. Do đó bài toán này chắc chắn là dùng quy tắc cộng.

C C
C
P A P B
C C
= = = =
. Vậy
20 6 13
( ) ( )
36 36 18
P C P A B= ∪ = + =
Bài 19 . Trên giá sách có 4 quyển sách Toán, 3 quyển sách Lí và 2 quyển sách Hóa. lấy
ngẫu nhiên ba quyển sách. Tính xác suất sao cho:
a) Ba quyển lấy ra thuộc ba môn khác nhau
b) Cả ba quyển lấy ra đều là sách Toán
c) Ít nhất một quyển sách Toán
Hướng dẫn : Không gian mẫu là một tổ hợp chập 3 của 9 quyển sách nên
3
9
( ) 84n C
Ω = =
. Kí hiệu A, B, C là các biến cố tương ứng câu a), b), c)
a) Để có một phần tử của A ta phải tiến hành ba lần lựa chọn (từ mỗi loại
sách một quyển).
Vậy n(A) = 4.3.2 = 24 và
2
( )
7
P A =
b) Cả ba quyển sách lấy ra đều là sách Toán , nên
3