Bảng công thức tích phân bất định :
∫
= Cdx0
∫
+= Cxdx
1
1
1
−≠+
+
=
∫
+
nC
n
x
dxx
n
n
Cxdx
x
+=
∫
ln
1
∫
+= Cedxe
xx
∫
= C
a

)(
)(
∫
+
+
−
=
−
C
ax
ax
a
dx
ax
ln
2
11
22
∫
+++++=+ Caxx
a
ax
x
dxax
222
ln
22
Phương pháp biến số phụ :
Cho hàm số
)(xf

1
1x
xdx
I
b)
∫
−
=
1
0
2
1
x
x
e
dxe
I
c)
∫
+
=
e
x
dxx
I
1
3
ln1
Bài làm :
a) Đặt

1
2
1
===
+
=
∫ ∫
t
t
dt
x
xdx
I
b) Đặt
dxedtet
xx
=⇒−= 1
Đổi cận :



−=→=
−=→=
12
11
2
etx
etx
Trang 1
Vậy :

x
c) Đặt
dx
x
tdtxt
1
ln1 =⇒+=
Đổi cận :



=→=
=→=
2
11
tex
tx
Tích phân lượng giác :
Dạng 1 :
∫
=
β
α
nxdxmxI cos.sin

Cách làm: biến đổi tích sang tổng .
Dạng 2 :
∫
=
β







+
−
=
+
=
⇒=
2
2
2
1
1
cos
1
2
sin
2
tan
t
t
x
t
t
x
x

Sau đó dùng đồng nhất thức .
Dạng 5:
∫
++
++
=
β
α
dx
nxdxc
mxbxa
I .
cos.sin.
cos.sin.
Cách làm :
Đặt :
nxdxc
C
nxdxc
xdxcB
A
nxdxc
mxbxa
++
+
++
−
+=
++
++

a)
∫
+
=
2
0
4
1
)1(sin
cos
π
x
xdx
I
b)
∫
=
2
0
5
2
cos
π
xdxI
c)
∫
=
4
0
6

3
2
1
4
2
0
4
1
=−==
+
=
∫∫
tt
dt
x
xdx
I
π
b) Đặt :
xdxdtxt cossin =⇒=
Đổi cận :





=→=
=→=
1
2









+−=
−+=−==
∫
∫ ∫∫
tt
t
dtttdttxdxI
π
c) Đặt :
dxxdtxt )1(tantan
2
+=⇒=
Đổi cận :





=→=
=→=
1
4

π
π
π
−=−








+−=






+
−+−=
+
==
∫
∫ ∫∫
dut
tt
dt
t
tt

dx
x
x
I

Bài làm :
a) Đặt :
xdxxabdtxbxat cos.sin)(2cos.sin.
222222
+−=⇒+=
Đổi cận :





=→=
=→=
2
2
2
0
btx
atx
π
Nếu
ba ≠
Vậy :
( )
ba

cos.sin.
cos.sin
2222
2
0
22
22
1
2
2
2
2
π
Nếu
ba =
Vậy :
a
x
a
xdx
a
a
xdxx
dx
xbxa
xx
I
2
1
2cos






=→=
=→=
2
3
3
00
tx
tx
π
Vậy :
∫∫∫
−
=
−
=
+
=
2
3
0
2
2
3
0
2





=→=
=→=
42
3
2
0
π
π
ut
ut
Trang 4
Vậy :
( )
242
1
2
1
cos1
2
3
sin
2
3
2
1
2

udu
t
dt
I
Tính các tích phân sau :
a)
∫
++
=
2
0
1
5cos3sin4
1
π
dx
xx
I
b)
∫
++
++
=
2
0
2
5cos3sin4
6cos7sin
π
dx

t
Đổi cận :





=→=
=→=
1
2
00
tx
tx
π
Vậy :
( )
6
1
2
1
1
5
1
1
3
1
2
4
1

t
t
t
t
t
I
b)Đặt :
5cos3sin45cos3sin4
sin3cos4
5cos3sin4
6cos7sin
++
+
++
−
+=
++
++
xx
C
xx
xx
BA
xx
xx
Dùng đồng nhất thức ta được:
1,1,1 === CBA
Vậy :
( )
6

++
−
+=
++
++
=
∫∫
π
π
ππ
Ixxx
dx
xxxx
xx
dx
xx
xx
I
Bạn đọc tự làm :
a)
∫
=
2
6
2
3
1
sin
cos
π

+
=
2
0
3
3
1cos
sin4
π
dx
x
x
I
d)
∫
++
=
2
0
5
3cos2sin
1
π
dx
xx
I
d)
∫
++
+−

1
.
1
1
với
( ) { }( )
1,0, −×∈ NCna
ta có :
Nếu
Ran ∈= ,1
ta có :
Cx
ax
dx
I +=
−
=
∫
ln
Dạng 2 :
( )
∫
++
+
= dx
cbxax
x
I
n
2

−+
++
+
=
++
−++
=
nnn
cbxax
dx
b
a
a
dx
cbxax
bax
a
dx
cbxax
b
a
bax
a
I
222
2
2
2
2
2

n
t
dt
a
a
dx
cbxax
dx
I
2
22
1
2
.
4

* Giai đoạn 3 :
Tính
( )
∫
+
= dt
t
I
n
1
1
2
có thể tính bằng hai phương pháp , truy hồi hoặc đặt
φ

+++
=
Nếu :
( ) ( )
QP degdeg ≥
thì ta thực hiện phép chia
( )
( )
( )
( )
( )
( )
xQ
xR
xA
xQ
xP
n
r
nm
n
m
+=
−
trong đó
phân số
( )
( )
xQ
xR

−
++
−
=
−
−
−
1
11

Vdụ 1a :
( )
( )
( )
∑
∏
=
=
−
=
−
n
i
i
i
i
n
i
i
i

−
=
−−−
Trang 6
*Qt 2':
( )
( )
( )
( ) ( )
n
nn
n
nn
n
m
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
xP
++
+
+
++
+
++
++

m
i
n
k
i
i
i
i
n
m
t
cbxax
BxA
x
A
cbxaxx
xP
1 1
2
1
2
α
α
Vdụ 1 :
( )
( ) ( )
cbxax
CBx
x
A

CxB
x
A
cbxaxx
xP
t
++
+
+
++
+
+
−
=
++−
α
α
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
a)
∫
++
=
1
0
2
1
23xx
dx
I

++
=
1
0
1
0
1
0
2
1
2
1
1
1
21
23
dx
xxxx
dx
xx
dx
I

b)
( )
( ) ( )
( )( )
dx
xx
xx

1
1
1
23

( )
OKxx
xx
=






+−+−
+
−
+
−=
1
0
2ln1ln2
2
1
1
1
Tính các tích phân sau :
a)
∫

+=
+
= C
a
x
aax
dx
I arctan
1
22
0
với
0
>
a
( )( )
dx
xxxx
dx
xx
dx
I
∫ ∫∫






+

arctan
2
1
1
0
−=






−=
π
x
x
Trang 7
[ ]
3
4
ln2ln1ln
1
0
=+−+=
xx
b) Đặt :
( )
( )
( ) ( )
( )





=
=
−=
⇔





=+
=+
=+
0
2
2
02
42
0
C
B
A
AC
CB
BA
Vậy :
( )

x
x
dx
xx
x
I

[ ]
9
4
ln1ln2ln2ln3ln21ln2ln2
1
0
2
=−++−=+++−= xx
Bạn đọc tự làm :
a)
( )
∫
−
+
=
3
2
2
1
1
1
dx
xx

d)
∫
+−
=
2
3
24
3
23
dx
xx
x
I

HD:
a)
( )
1
1
1
22
−
++=
−
+
x
C
x
B
x

+=
−
−
1212
4
1
4
1
4
1
3
3
xxx
x
xx
x
d)
22
11
23
24
−
+
+
+
+
+
−
=
+−

Xét
( )
∫
−=
1
0
1 dxxxI
n
m
Đặt :
dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−=1
Trang 8
Đổi cận :



=→=
=→=
01
10
tx
tx
Vậy :
( ) ( ) ( )
∫ ∫∫
−=−−=−=
0
1
1
0

+==
a
a a
a
dxxfdxxfdxxfI
Xét
( )
∫
−
0
a
dxxf
. Đặt
dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−=
Đổi cận :



=→=
=→−=
00 tx
atax
V ậy :
( ) ( ) ( )
∫ ∫∫
−=−=
−
a a
a
dttfdttfdxxf

.
Chứng minh rằng :
( )
( )
∫ ∫
−
=
+
α
α
α
dxxfdx
a
xf
x
0
1
Bài làm :
Xét
( )
dx
a
xf
x
∫
−
+
0
1
α

a
tfa
dt
a
tf
dx
a
xf
Trang 9
( ) ( ) ( )
( )
∫ ∫ ∫
− −
+
+
+
=
+
α
α α
α
0
0
1
111
dx
a
xf
dx
a

a
xf
xx
x
x
(đpcm)
Cho hàm số
( )
xf
liên tục trên
[ ]
1,0
. Chứng minh rằng :
( ) ( )
∫ ∫
=
π π
π
0 0
sin
2
sin. dxxfdxxfx
Bài làm :
Xét
( )
∫
π
0
sin. dxxfx
. Đặt

sin.sin dttftdttf
( ) ( )
( ) ( )
dxxfdxxfx
dxxfdxxfx
∫∫
∫∫
=⇒
=⇒
ππ
ππ
π
π
00
00
sin
2
sin.
sinsin.2
Từ bài toán trên , bạn đọc có thể mở rộng bài toán sau .
Nếu hàm số
( )
xf
liên tục trên
[ ]
ba,
và
( ) ( )
xfxbaf =−+
. Thì ta luôn có :

dxxfdxxf
0
Bài làm :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
∫∫∫∫∫ ∫
+++
++=+=
Ta
T
T
a
Ta
T
Ta
a
T
a
dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf
0
0
Vậy ta cần chứng minh
( ) ( )
∫ ∫
+
=
a Ta
T
dxxfdxxf
0
Xét

+
=
Ta
a
T
dxxfdxxf
0
(đpcm)
Từ bài toán trên , ta có hệ quả sau :
Nếu hàm số
( )
xf
liên tục,xác định , tuần hoàn trên
R
và có chu kì
T
, thì ta luôn
có :
( ) ( )
∫ ∫
−
=
T
T
T
dxxfdxxf
0
2
2
Bạn đọc tự làm :

sin.
dx
x
xx
I
d)
∫
+
=
π
0
2
4
cos1
sin.
dx
x
xx
I

e)
∫
−
+
=
2
2
2
5
21

π
2
0
2
7
sin1sinln dxxxI
h)
dxxI
∫
−=
∗
π
2009
0
8
2cos1
Tích phân từng phần :
Cho hai hàm số
u
và
v
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[ ]
ba,
, thì ta có :
[ ]
∫ ∫
−=
b
a

2
0
2
2
cos.
π
xdxxI
c)
∫
=
e
xdxI
1
3
ln
Trang 11
Bài làm :
a) Đặt :



=⇒=
=⇒=
xx
evdxedv
dxduxu
Vậy :
( )
11
1

0
2
0
2
2
0
1
0
1
∫∫∫
−=−−==
ππ
π
π
xdxxxdxxxxdxexI
x
Ta đi tính tích phân
∫
2
0
sin.
π
xdxx
Đặt :



−=⇒=
=⇒=
xvxdxdv

==
∫
π
dxexI
x
c) Đặt :





=⇒=
=⇒=
xvdxdv
dx
x
duxu
1
ln
Vậy :
1ln.ln.ln
01
1
1
1
3
=−=−==
∫∫
ee
e

e
dxxI
1
3
lncos
Bài làm :
a) Đặt :



−=⇒=
=⇒=
xvxdxdv
dxedueu
xx
cossin
Vậy :
( )
∫∫
++=+−==
π
π
π
π
0
0
0
1
11cos.cos.sin. JexdxexexdxeI
xxx

π
π
e
IeI
b) Đặt :





=⇒=
=⇒=
xvdx
x
dv
dxduxu
tan
cos
1
2
Vậy :
( )
2
2
ln
4
cosln
4
tantan.
cos

xvdxdv
dxx
x
duxu lnsin
1
lncos
Vậy :
( ) ( ) ( )
( )
JedxxxxdxxI
e
e
e
++−=+==
∫∫
1lnsinlncos.lncos
1
1
1
3
π
π
π
π
Đặt :
( ) ( )





33
+
−=⇒+−=
π
π
e
IeI
Bạn đọc tự làm :
a)
∫
−
=
2ln
0
1
. dxexI
x
b)
( )
∫
−=
e
dxxI
1
2
2
ln1

c)
∫

( )
∫
=
3
4
5
tanln.sin
π
π
dxxxI
f)
( )
∫
=
e
dxxI
1
2
6
lncos
g)
∫
=
∗
4
0
2
7
2cos
π

[ ]
ba,
, khử trị tuyệt đối
Trang 13
Muốn tính
( ) ( )
[ ]
∫
=
b
a
dxxgxfI ,max
ta đi xét dấu
( ) ( )
xgxf −
trên đoạn
[ ]
ba,
Muốn tính
( ) ( )
[ ]
∫
=
b
a
dxxgxfI ,min
ta đi xét dấu
( ) ( )
xgxf −
trên đoạn

4
2
2
1
4
1
1
2
22
2222






−+






−=++−=−=
∫∫∫
x
xx
xdxxdxxdxxI
( ) ( ) ( )
[ ]

2
1
0
2
2
0
2
1
323232 dxxxdxxxdxxxI
.
Tính
∫
−=
1
0
dxaxxI
a
với
a
là tham số :
Bài làm :
x
∞−
a
∞+
x-a - 0 +
(Từ bảng xét dấu trên ta có thể đánh giá ).
Nếu
0≤a
.

3
3
3
2
1
3
2
1
0
3
2
1
=






++−+






−−=
x
xx
x


+−+






−=
Nếu
1≥a
.
( )
∫∫
+−=






−−=−−=−=
1
0
1
0
23
2
1
0

∈∀− xx
Vậy :
( )
3
4
3
,1min
2
1
2
0
3
2
1
1
0
2
2
0
2
1
=+=+==
∫∫∫
x
x
dxdxxdxxI
b) Xét hiệu số :
( )
[ ]
3,01 ∈∀− xxx

−=
3
2
2
1
3,min dxxxI
b)
( )
∫
=
2
0
2
cos,sinmax
π
dxxxI
c)
∫
−=
4
3
0
3
cossin
π
dxxxI
d)
( )
∫
−

ở đây ta đang xét dạng hữu tỷ.














∆−
+
+
∆−
=++→



<∆
>
2
2
2
1
4










∆−
+
−
∆−
=++→



<∆
<
2
2
2
1
4
0
0
bax
a
cbxax
a







∆−
+∆
=++→



>∆
>
1
2
4
0
0
2
2
bax
a
cbxax
a
(
)
(
)
dtttSdxcbxaxxR

dt
cbxaxx
dx
1
22

Một số cách đặt thường gặp :
(
)
dxxaxS
∫
−
22
,
đặt
π
≤≤= ttax 0cos.
(
)
dxxaxS
∫
+
22
,
đặt
22
tan.
ππ
<<−= ttax
(

=++−=++
>±=++
0;.
0;
0;
2
000
2
2
atxacbxax
cbxaxxxtcbxax
ccxtcbxax
∫








+
+
m
dcx
bax
xS ,
đặt
0; ≠−
+

xt
t
dt
xx
dx
Đặt :
( )
duudtut 1tan3tan3
2
+=⇒=
Ta có
( )
( )
∫∫
=
+
+
=
uu
udu
u
duu
I
tan3tan3
3
2
2
cos
3
1

1
2
xx
xdx
I
b)
∫
−−
=
12
2
xxx
dx
I
Bài làm :
a)
∫∫∫
+
=
+
−
=
+






+

x
t
+






+++++−++=
+++−+=
+
−
=
∫
+
=
1
2
1
ln
2
1
1
1ln
2
1
1
2
3

+−
−=
−−
=
∫∫
=
2
1
arcsin
12
12
1
22
C
x
C
x
+
+
−=+
+
−=
2
1
arcsin
2
1
1
arcsin
Tìm các nguyên hàm sau


+
−+−=
+
=
+++
=
66
1
2
1
23
5
3
1
1
166
11
xtxt
dt
t
tt
tt
dtt
xx
dx
I
Cxxxx
Ctttt
+++−+++−+=

dx
I
1
2
1
1
2
1
2
11
11
2
1
( )
1
1
2
1
2
1
dx
x
x
xx
∫
+
−+=
Xét
dx
x

OK
t
dtt
dx
x
x
x
x
t
=
−
−=
+
∫∫
+
=
1
2
2
1
2
1
Tìm các nguyên hàm sau :
a)
∫
+= dxxxI 9.
22
b)
∫
+= dxxxI 4.16

xx
xx
C
t
t
t
dt
tt
t
dt
t
t
dt
t
t
t
t
t
t
I
+








+−


−−








+
=
∫
∫∫
4
2
2
4
2
4
4
5
3
5
2
4
2
2
22
2

t
dx
t
t
xtxx
2
22
2
2
4
2
4
4
+
=⇒
−
=⇒−=+
( ) ( )
( )
(
)
C
xx
xx
xx
C
t
t
t
dt







−−−=






+−−=
−
−=
−








−−





64
ln36
4
25636
16
4
4
.
2
4
.
2
4
16
Tính các tích phân sau :
a)
∫
−=
1
2
1
2
1
dxxxI
b)
∫
−
−
−
=

1
sin12 =⇒=−
Đổi cận :







=→=
=→=
2
1
0
2
1
π
tx
tx
Vậy :
( )
2
0
2
0
2
0
2
1

=→−=
38
23
tx
tx
Vậy :
( )
∫∫∫
−
=
−
=
−
=
−
−
3
2
2
3
2
2
8
3
2
1
2
1
2
1

=
3
2
3
4x
dx
I
d)
∫
+= dxxI
2
4
1
d)
∫
−−
−+
=
∗
dx
x
x
I
11
11
2
2
5
d)
dx

≥⇒∈∀≥ ,
Nếu
( )
[ ]
( ) ( ) ( )
abMdxxfabmbaxxfm
b
a
−≤≤−⇒∈∀≤≤
∫
,
Trong các trường hợp nầy ta thường dùng khảo sát , Bunhiacopxki, AM-GM
Và các bước chặn sinx,cosx
BÀI TẬP
Trang 19
( )
16
000
28
1
ππ
=






+−


( )
∫
≤−
1
0
4
1
1 dxxx
b)
2
1
15
2
2
1
2
≤
+
≤
∫
dx
x
x
c)
( )
∫
≤−++
1
0
211 dxxx

1
0
1
0
=≤−
∫ ∫
dxdxxx
(đpcm)
b) Xét hàm số :
( )
[ ]
2,1
1
2
∈∀
+
= x
x
x
xf
Đạo hàm :
( )
( )
( )



−=
=
⇔=

=
5
2
2
2
1
1
f
f
Vậy :
[ ]
2
1
15
2
2
1
15
2
2,1
2
1
15
2
2
1
2
2
1
2

∈∀=−+++≤−++ xxxxx
Vậy :
( )
( )
01211
1
0
−≤−++
∫
dxxx

( )
∫
≤−++
1
0
211 dxxx
(đpcm)
Chứng minh rằng :
e
dx
x
xe
x
121
sin.
3
1
2
π

sin.
dx
xe
dx
x
xe
x
Xét
( )
∫
+
3
1
2
1
1
dx
xe
Đặt :
( )
dttdxtx 1tantan
2
+=⇒=
Đổi cận :







+
∫∫
e
dt
te
dtt

Từ đó ta được đpcm.
Bạn đọc tự làm :
Chứng minh rằng :
a)
10
cos35
16
2
0
2
ππ
π
≤
+
≤
∫
x
dx
b)
2
1sin
4
3

[ ] [ ] [ ] [ ]
1,01,0:;1,01,0: →→ gf
Chứng minh rằng :
( ) ( ) ( ) ( )
∫∫∫
≤






1
0
1
0
2
1
0
dxxgdxxfdxxgxf
Một số ứng dụng của tích phân thường gặp :
1)Tính diện tích :
Cho hai hàm số
( ) ( )
xfxf &
liên tục trên đoạn
[ ]
ba,
. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đường là :

22
+
<
+
⇒
−
xex
xe
x
Nếu diện tích
( )
xS
của mặt cắt vật thể do mặt phẳng vuông góc với trục tọa độ , là
hàm số liên tục trên đoạn
[ ]
ba,
thì thể tích vật thể được tính :
( )
dxxfV
b
a
∫
=
Nếu hàm số
( )
xf
liên tục trên
[ ]
ba,
và (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường:

n
∫
∑
=∆
=
∞→
1
.lim
ξ
trong đó



−=∆
≤≤
−
−
1
1
iix
ii
xx
xx
ξ
Từ đó ta xây dựng bài toán giới hạn như sau :
Viết dãy số thành dạng :
∑
=









=
∞→
1
0
1
1
lim dxxf
n
i
f
n
n
i
n
4)Tính độ dài cung đường cong trơn:
Nếu đường cong trơn cho bởi phương trinh
( )
xfy =
thì độ dài đường cung nó được tính
như sau :
( )
dxyl
b
a

4
Đặt :
tdtRdxtRx cossin =⇒=
Đổi cận :





=→=
=→=
2
00
π
tRx
tx





=→=
=→=
2
00
π
tRx
tx
Vậy :
( )

∫∫
Xét hình chắn phía dưới bởi Parabol
2
xy =
, phía trên bởi đường thẳng đi qua điểm
A(1,4) và hệ số góc là k . Xác định k để hình phẳng trên có diện tích nhỏ nhất .
Bài làm (hình 1b)
Phương trình đường thẳng có dạng.
( )
41 +−= xky
Phương trình hoành độ giao điểm .

( )
0441
22
=−+−⇔+−= kkxxxkx
Phương trình trên luôn có hai nghiệm , giả sử
21
xx <
Trang 23
Vậy diện tích là :
( )
[ ]
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
*4
2
1

−++−=−+−=
∫
kxxkxxxxxx
xkx
kx
dxxxkS
x
x
x
x
Với :
( )
( )
( )







−−=−+=−
−=
=+
44.4
4.
2
12
2
1







−+++−−+−=
kkkk
kkkkkkS
( )
( )
[ ]
34122
6
1
164
6
1
3
2
3
2
≥+−=+−= kkk
Vậy :
34min =S
khi
2
=
k
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

>
=
=
0
0
0
22
2
a
xay
ayxyx
a
xay
yax
Với
yx =
ta được :
( )
( )



=
=
⇔






⇔





>
=
=++
lx
nax
a
xay
aaxx
a
xay
ayx
0
0
0
0
0
2
22
2
Ta lại có :
Trang 24




( )
dvtta
a
x
xa
dx
a
x
xadx
a
x
axS
a
aa
2
0
3
2
3
0
2
2
1
0
2
3
1
32
3
=

=
=−+
=+−
2
01
01
3
x
yx
yx
b)





=
=
=
4
4
2
y
xy
xy
c)
0
0
2


Hình vẽ tương ứng ↓↓↓

hình a hình b

hình c hình d
Trang 25