Trường………………………………
Khoa…………………………..

Lý thuyết luyện thi
đại học môn toán

LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 1

KHẢO SÁT HÀM SỐ

Vấn đề 1: ÔN TẬP – CÔNG THỨC
I. Tam thức bậc hai:



x


,
2
ax bx c 0  


a b 0
c0
a0
0

a0
0
  
















 
2
+ bx + c = 0
Gi s g trình có 2 nghim
12
x ;x
thì:
12
b
S x x ;
a

b0
0
c0





  







 Pt có 2 nghim trái du
P0

 Pt có 2 nghim cùng du
0
P0







 Pt có 2 nghim phân bi

+ cx + d = 0
Gi s m
1 2 3
x ;x ;x
thì:
1 2 3
b
S x x x ;
a
    
1 2 2 3 3 1
c
x .x x .x x .x ;
a
   

1 2 3
d
P x .x .x
a


III. Đạo hàm:
BẢNG ĐẠO HÀM
(kx)' k

(ku)' k.u'

1
(x )' .x

1 u'
uu





(sinx)' cosx

(sinu)' u'.cosu

(cosx)' sin x

(cosu)' u'.sinu

2
1
(tan x)'
cos x


2
u'
(tanu)'
cos u


2
1
(cot x)'

log x '
xlna


 
a
u'
log u '
ulna


xx
(a )' a .lna

uu
(a )' u'.a .lna

Quy tắc tính đạo hàm
(u  v) = u  v (uv) = uv + vu
2
u u v v u
vv

  




(v  0)
x u x

Trang 2

Vấn đề 2: CÁC BƢỚC KHẢO SÁT
HÀM SỐ.
1. Các bƣớc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
của hàm số
 Tìm tnh ca hàm s.
 Xét s bin thiên ca hàm s:
o Tính y.
o m to hàm y bng 0
hoc không xnh.
o Tìm các gii hn ti vô cc, gii hn
vô cc và tìm tim cn (nu có).
o Lp bng bin thiên ghi rõ du co
hàm, chiu bin thiên, cc tr ca hàm s.
 V  th ca hàm s:
o m un c th i vi hàm
s bc ba và hàm s ).
 Tính y.
 m t = 0 và xét du y.
o V ng tim cn (nu có) c
th.
o nh mt s c bit c
th m c th vi các trc to 
ng h th không ct các trc to 
hoc vic tìm to  m phc tp thì có th
b qua). Có th tìm thêm mt s m thu
th  có th v 
o Nhn xét v  th: Ch ra tr i
xi xng (nu có) c th.

 Tnh D = R.
  th luôn nhn trc tung làm tri xng.
 Các d th:
m phân bit  ab < 0
a > 0 a < 0 1 nghim phân bit  ab > 0
a > 0 a < 0 4. Hàm số nhất biến
ax b
y (c 0,ad bc 0)
cx d

   

:
 Tnh D =
 
d
R\
c

.
y
x
0
I

5. Hàm số hữu tỷ
2
ax bx c
y
a'x b'




(
a.a' 0,
t không chia ht cho mu)
 Tnh D =
 
b'
R\
a'

.
  th có mt tim cng là
b'
x
a'

và mt
tim cm ca hai tim cn là tâm
i xng c th hàm s.
 Các d th:
y = 0 có 2 nghim phân bit
a0

0 0 0
M x ;f(x )
là:
y  y
0
= f (x
0
).(x  x
0
) (y
0
= f(x
0
))
Dạng 1: Lập phƣơng trình tiếp tuyến của
đƣờng cong (C): y = f(x)
Bài toán 1: Vip tuyn  ca
(C): y =f(x) tm
 
0 0 0
M x ;y

 Nu cho x
0
thì tìm y
0
= f(x
0
).
Nu cho y

  có h s góc k  f (x
0
) = k (1)
 Gic x
0
và tính y
0

= f(x
0
). T a .
Cách 2: u kin tip xúc.
 ng thng  có dng:
y = kx + m.
  tip xúc vi (C) khi và ch khi h 
trình sau có nghim:
f(x) kx m
f '(x) k





(*)
 Gii h c m. T 
trình ca .
0
x
y
0

.
Cỏch 1: Tỡm to tim.
Gi M(x
0
; y
0
) l tiú:
y
0
= f(x
0
), y
0
= f (x
0
).
p tuyn ti M:
y y
0
= f (x
0
).(x x
0
)

AA
A(x ;y )
nờn:
y
A



(*)
Gii h c x (suy ra k). T t
p tuyn .

Dng 2: Tỡm iu kin hai ng tip xỳc
u kin c ng (C
1
): y = f(x)
v (C
2
): y = g(x) tip xỳc nhau l h
trỡnh sau cú nghim:
f(x) g(x)
f '(x) g'(x)





(*)
Nghim ca h (*) l ca ti m
c

Dng 3: Tỡm nhng im trờn ng thng d
m t ú cú th v c 1, 2, 3, tip
tuyn vi th (C): y = f(x)
Gi s d: ax + by +c = 0. M(x
M

c 2 tip tuyn vi th (C): y = f(x)
v 2 tip tuyn ú vuụng gúc vi nhau
Gi M(x
M
; y
M
).
ng thng qua M cú h s
gúc k: y = k(x x
M
) + y
M

tip xỳc vi (C) khi h sau cú nghim:
MM
f(x) k(x x ) y (1)
f '(x) k (2)






Th k t (2) vc:
f(x) = (x x
M
).f (x) + y
M
(3)
Qua M v c 2 tip tuyn vi (C) (3)

1
) v (C
2
)
ta gii l
m).
S nghim cng s giao
Lí THUY Cao Hong Nam
Trang 5

m c th.
2. th hm s bc ba
32
y ax bx cx d (a 0)
ct trc honh ti 3
m phõn bit

32
ax bx cx d 0
cú 3
nghim phõn bit.
Hm s
32
y ax bx cx d
cú ci, cc
tiu v

Cẹ CT
y .y 0
.

Dng 2: F(x, m) = 0 f(x) = g(m) (2)
Thc hi, cú th t g(m) = k.
Bin lun lun theo m.

c bit: Bin lun s nghim ca phng
trỡnh bc ba bng th
c
c ba:
32
ax bx cx d 0
(a 0) (1) th (C)
S nghim ca (1) = S m ca (C)
vi trc honh

Bi toỏn 1: Bin lun s nghim ca phng
trỡnh bc 3
Trng hp 1: (1) ch cú 1 nghim (C) v
m chung










y .y <0Bi toỏn 2: Phng trỡnh bc ba cú 3 nghim
cựng du
Trng hp 1: (1) cú 3 nghi
bit (C) ct Ox tm phõn bit cú honh









Cẹ CT
Cẹ CT
f coự 2 cửùc trũ
y .y < 0
x > 0, x > 0
a.f(0) < 0 (hay ad < 0)
Trng hp 2: (1) cú 3 nghim cú õm phõn
y
c.
x
m

CÑ CT
CÑ CT
f coù 2 cöïc trò
y .y < 0
x < 0, x < 0
a.f(0) > 0 (hay ad > 0)
Vấn đề 4. HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU
GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1. Đồ thị hàm số
 
y = f x
(hàm số chẵn)
Gi
(C): y f(x)
và
 
1
(C ): y f x
ta thc hin
c sau:
Bƣớc 1. V  th (C) và ch gi li ph
th nm phía bên phi trc tung.
Bƣớc 2. Li xng ph th  c 1
qua tr th (C

2
(C ): y f(x)
và
 
3
(C ): y f x
. D th v (C
3
) ta thc hin
c v (C
1
) ri (C
2
) (hoc (C
2
) ri (C
1
)). Vấn đề 5. ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN
ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Dạng 1: Tìm cặp điểm trên đồ thị
(C): y = f(x) đối xứng qua đƣờng thẳng
d: y = ax + b
Cơ sở của phƣơng phápi xng nhau

, y
B
 A, B.

Chú ý:
 i xng nhau qua trc hoành

AB
AB
xx
yy






 i xng nhau qua trc tung

AB
AB
xx
yy






 i xng thng y = b

qua I  m ca AB.
 ng thng d qua I(a; b), có
h s góc k có dng:
y k(x a) b  
.
  m ca (C)
và d: f(x) =
k(x a) b
(1)
 u ki d ct (C) tm phân
bit

A
, x
B
là 2 nghim ca (1).
 T u kii xng qua I  I là
m cc k  x
A
, x
B
.
Chú ý:
i xng qua gc to  O 
AB
AB
xx
yy



2
22
11
AB.AC.sinA AB .AC AB.AC
22

 Nhận xét: Ngoài nh
tp phng kt hp vi phn hình hc
gii tíchnh lý Vi-et nên cn chú ý xem li các
tính cht hình hc, các công c gii toán trong
hình hc gii tích, áp dng thành thnh lý
Vi-et trong tam thc bc hai. LƢỢNG GIÁC

Vấn đề 1: ÔN TẬP
I. Góc và cung lƣợng giác:
1. Giá trị lượng giác của một số góc:
Α 0
6

2

0
Tanα 0
3
3

1
3



Cotα


3

1
3
3

0
2. Cung liên kết: (cos đối, sin bù, phụ chéo)

x

 x
2

 x

sin a


2. Công thức cộng:
cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
sin( ) sins .cos cos .sin
sin( ) sins .cos cos .sin
tan tan
tan( )
1 tan .tan
tan tan
tan( )
1 tan .tan
       
      
       
      
  
  
  
  
  
  

LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 8

3. Công thức nhân đôi, nhân ba:
2 2 2 2


5. Công thức biến đổi tổng thành tích:
x y x y
cosx cos y 2cos cos
22
x y x y
cosx cosy 2sin sin
22
x y x y
sin x sin y 2sin cos
22
x y x y
sin x sin y 2cos sin
22



  

  



6. Công thức biến đổi tích thành tổng:
 
 
 
1
cos cos cos( ) cos( )
2

Đặt
t tanx

:
2
22
2t 1 t
sin2x ; cos2x
1 t 1 t


Vấn đề 2: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG
GIÁC
I. Phƣơng trình cơ bản:

x k2
sin x sin k
x k2
   

   

    






        


cosx 0 x k k
2

      


cosx 1 x k2 k    

II. Phƣơng trình bậc hai hay bậc n của một
hàm lƣợng giác:

2
asin x bsinx c 0  
(1)

2
acos x bcosx c 0  
(2)

2
a tan x btanx c 0  
(3)

2
acot x acot x c 0  
(4)

cos .sin x sin .cosx
ab
   



22
c
sin(x )
ab
  


Lƣu ý:
2 2 2 2
ba
sin ;cos
a b a b

   


LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 9

Biến thể:
a.sinx b.cosx csin y dcosy  

cosx 0 x k2 ,k
2

      


2
cos x
. P
trình 
22
a.tan x b.tanx c d(1 tan x)   


t tan x
p.
Cách 2:
 
Chú ý: phƣơng trình thuần
nhất bậc 3 hay bậc 4 đối với sin và cos 

V. Phƣơng trình
a(sinx cosx) b.sinx.cosx c 0   

Cách giải:

t sinx cosx


t 2 Do t 2sin x

a(sinx cosx) b.sinx.cosx c 0   


t sin x cosx 2 sin x
4


   




.
VI. Phƣơng trình
A.B 0

Cách giải:
- 

A.B 0

A0
A.B 0
B0







(sinx cosx)
 trit
2
vì
t sin x cos x 2 sin x
4


   



 
c n
kh  kh
c hai theo sin (hoc
cos) v tích c nht.
Chú ý: Góc ln là góc có s 
Ta ch s dng công th  bài
toán v sinx,
2
sin x
hoc cosx,
2
cos x
.

Vấn đề 4: GIẢI TAM GIÁC
I. Công thức sin, cos trong tam giác:
Do

a b c
2R
SinA SinB SinC
  

III. Định lí hàm số cosin:
2 2 2
a b c 2bccosA  

IV. Công thức đƣờng trung tuyến:
2 2 2
2
a
2b 2c a
m
4



V. Công thức đƣờng phân giác:
a
A
2bc.cos
2
l
bc



VI. Các công thức tính diện tích tam giác: ĐẠI SỐ

Vấn đề 1: PHƢƠNG TRÌNH BẬC
HAI
I. Phƣơng trình bậc hai
c hai
2
ax bx c 0  

(a 0)
có
2
b 4ac  
.

0
 vô nghim.

0
:  có nghim kép
b
x
2a

.









 Nu bit
S x y
P x.y





thì
x, y
là nghim ca
ình
2
X SX P 0  
.
III. Bảng xét dấu của tam thức bậc hai
f(x) = ax
2
+ bx + c
(a 0)

0:



y Cùng 0 trái 0 Cùng
IV. Cách xét dấu một đa thức:
 Tìm nghim cc gm c nghim
t và nghim mu (nc là phân thc)
 Lp bng xét du
 Xét du theo quy tng cùng, l
i, ch
Chú ý: Không nhn nhm mà hàm s
nh.
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 11

Vấn đề 2: PHƢƠNG TRÌNH BẬC
CAO
I. Phƣơng trình bậc 3:
32
ax bx cx d 0(a 0)    

 c 1: nhm 1 nghim
x 

 c 2: chia
32
ax bx cx d  
cho
(
x 
) (dùn  
trình tích

+ cx
2


bx + a = 0 (
a0
)
c 1: Chia 2 v cho x
2
,
2
2
11
pt a x b x c 0
xx
   
     
   
   
.
c 2t
1
tx
x

 
bc hai theo t.
3. Phƣơng trình trùng phƣơng tịnh tiến:
(x + a)
4

6. Phƣơng pháp hệ số bất định:
Gi s c 4:
x
4
+ ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0
và có phân tích thành
(x
2
+ a
1
x + b
1
) ( x
2
+ a
2
x + b
2
) = 0
L
12
1 2 1 2
1 2 2 1
12
a a a
a a b b b

áp dng rt nhiu  các di nhóm
t tha s chung hay phân chia phân s.
III. Phƣơng pháp tham số, hằng số biến thiên:
: Coi các giá tr tham s, hng s là
bin. Còn bic coi làm hng s.
IV. Phƣơng trình
   
22
a f(x) b.f(x).g(x) c g(x) 0  

c f(x) và g(x)

2.
 Xét g(x) = 0 th
 Xét g(x)

0 chia hai v cho
 
2
g(x)
t
f(x)
t
g(x)

.

Vấn đề 3: PHƢƠNG TRÌNH – BẤT
PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ.
I. Các công thức:


2
2
b
ax bx c a x
2a 4a


    



2. Phƣơng trình – bất phƣơng trình chứa
dấu giá trị tuyệt đối:

22
A B A B A B     


B0
AB
AB







LÝ THUY Cao Hoàng Nam

A 0 B 0
AB
AB
  







2
A B B 0 A B    


A B 0 A B 0    


B0
AB
AB








2

A B A B  


2n 1
2n 1
A B A B


  


2n 2n
A 0 B 0
AB
AB
  







2n
2n
B0
AB
AB



f x g x h x
. u kin

Chú ý:  có th không u kin,
c   m
m qu c
i tìm nghim ta phi th li.

       
f x g x h x k x  

Vi
       
f x h x g x k x  

 Ta bi dng
       
f x h x k x g x

 Bình , gi qu.

33
3
A B C



 
33
3

   
 
   
 
22
P x Q x P x Q x
2 P x .Q x 0 0
   
       

Cách gii: t
   
t P x Q x

       
2
t P x Q x 2 P x .Q x   

Dạng 3: Phƣơng trình dạng:
P(x) Q(x) P(x).Q(x) 0    

 
0 

Cách gii:
* Nu
 
P x 0
 
 

  
a cx b cx d a cx b cx n      

Cách gii: t
t a cx b cx   

 
 
a b t 2 a b   

Dạng 5: Phƣơng trình dạng:
22
x a b 2a x b x a b 2a x b
cx m
        


Cách giit
t x b
u kin:
t0

LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 13

 v dng:
2
t a t a c(t b) m     

Dạng 6: Phƣơng pháp tham số, hằng số biến

2
ax b r ux v dx e    


a,u,r 0
và
u ar d,v br e   

Cách gii: t
uy v ax b  
:
 
 
2
2
uy v r ux v dx e
ax b uy v

    


  



Dạng 3: Phƣơng trình dạng:
   
nm
a f x b f x c   









Dạng 2ng:
       
 
f x g x a f x g x  

Chú ý: Bài toán nhân liên hing dùng nu
ta nhc nghim ca bài toán và nghi
là nghim duy nht.
Ta nên bi ng liên hip
tng  vic chng minh nghim duy nhc
d dàng.

e. Phương pháp hàm số:
Dạng 1: Chứng minh nghiệm duy nhất
 ch
có nghim duy nht, ta thc hic sau:
 Chc nghim x
0
c
 Xét các hàm s y = f(x) (C
1
) và y = g(x)
(C

 u ki
 Mt s công thc b sung:
a.
f(x) 0
f(x)
0
g(x) 0
g(x)






hoặc
f(x) 0
g(x) 0






b.
f(x) 0
f(x)
0
g(x) 0
g(x)


A
1
A0
B






hoặc
2
B0
A0
AB








LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 14

Vấn đề 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH

22
ac
D
ac


1.
D0
: H m duy
nht
x
y
x D / D
y D / D





.
2.
x
D 0, D 0
hoc
y
D0
: H 
trình vô nghim.
3. D = D
x
















III. Hệ đối xứng loại 1:
f(x, y) 0
g(x,y) 0





vi
f(x,y) f(y,x)
g(x, y) g(y,x)







Cách gii:
f(x;y) g(x;y) 0 (x y)h(x;y) 0
f(x;y) 0 f(x;y) 0
   




x y 0
f(x;y) 0









h(x;y) 0
f(x;y) 0





  



Cách gii:
 Xét y = 0.
 Xét
y0
t
x ty
và gii
c hai n t
VI. Hệ bậc hai mở rộng:
f(x, y) 0 f(x, y) 0
g(x, y) 0 .f(x, y) .g(x, y) 0




   
f(x, y) 0
(ax by c)(px qy r) 0




    LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 15

MŨ - LOGARIT

Vấn đề 1: CÔNG THỨC
I. Hàm số mũ y = a
x
(a > 0)
1. Tập xác định:
D  

2. Tập giá trị:
G (0; ) 

3. Tính đơn điệu:
 0 < a < 1: Hàm nghch bin trên


 a > 1: Hàm s ng bin trên


4. Một số công thức cơ bản:

0
a 1 (a 0)


m
m
m
aa
bb






m
m
n
n
aa

II. Hàm số logarit y = log
a
x
(0 a 1)

: y = log
a
x

x = a
y


a
log b log b







a
b
1
log b
log a



c
a
c
log b
log b
log a



a b a
log b.log c log c





2.
f (x) g(x)
aa

a1
x :f(x),g(x)
0 a 1
f(x) g(x)




  













3.
f (x)


4.
f (x)
a
b0
f(x) log b
ab
a1
b0
x :f(x)


















  


1.
a
b
log f(x) b
f(x) a
0 a 1







2.
aa
log f(x) log g(x)
f(x) 0
f(x) g(x)
0 a 1


















0 < f(x) < g(x)
6.
aa
log f(x) log g(x)
a1






f(x) > g(x) > 0
V. Các dạng toán thƣờng gặp:
1. Phƣơng trình mũ:
a. Đưa về cùng cơ số:
Vi a > 0, a  1:
f (x) g(x)
a a f(x) g(x)  

Chú ý: ng h có cha n s thì:

MN
a a (a 1)(M N) 0    


Chia 2 v cho
2f (x)
b
, rt
f (x)
a
t
b





Dạng 3:
f (x) f (x)
a b m
, vi
ab 1
.
Cách gii: t
f (x) f (x)
1
t a b
t
  

d. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
f(x) = g(x) (1)
 n x
0


f. Phương pháp đối lập:
f(x) = g(x) (1)
Nu ta chc:
f(x) M
g(x) M





thì
(1)
f(x) M
g(x) M







2. Bất phƣơng trình mũ:
Cách gii 
Chú ý: ng h a có cha n
s thì:
MN
a a (a 1)(M N) 0    
ki biu thc c
 Vi a, b, c > 0 và a, b, c  1 thì:
bb
log c log a
ac

4. Bất phƣơng trình logarit:
Cách gii 
Chú ý: ng h a có cha n
s thì:

a
log B 0 (a 1)(B 1) 0    
;

a
a
log A
0 (A 1)(B 1) 0
log B
    5. Hệ phƣơng trình mũ – logarit:
Cách gii: Kt hp các cách gii c
 logarit  trên và phn gi
h i s.


+1
x
+C
+1

(ax b)



1
a
1
(ax b)
C
1





1
x

ln x C

1
ax b

1


sinx -cosx + C
sin(ax+b)

1
cos(ax b) C
a


cosx sinx + C
cos(ax+b)

1
sin(ax b) C
a


2
1
cos x

tgx + C
2
1
cos (ax b)

1
tg(ax b) C
a




tgx
ln cosx C

22
1
xa

22
ln x x a C

cotgx
ln sinx C
Vn 1: NGUYấN HM
I. nh ngha:
Hm s

Fx
gi l nguyờn hm ca hm s

fx
trờn

a,b
nu


F x C
l h nguyờn hm hay tớch phõn bt
nh ca hm s

fx
v ký hiu l

f x dx

.
y:

f x dx F x C


II. Tớnh cht:
1.

kf x dx k f x dx; k 0


2.

f x g x dx f x dx g x dx




3.


kf x dx k f x dx (k 0)


3.

b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx




4.

b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx


5. Nu f x 0, x a;b
thỡ

b
a
f x dx 0



mu ta phi thc hin phộp chia t cho mu. Lí THUY Cao Hong Nam
Trang 18

Vn 3: TCH PHN I BIN S
I. Cụng thc:

.
b
a
f x x dx f t dt









II. Nhng phộp i bin ph thụng:
Hm s cú cha

n
(x)


t
tx

Tớch phõn cha
2
dx
x
t
1
t
x


Tớch phõn cha
cosxdx
t
t sinx

Tớch phõn cha
2
dx
cos x

t
t tgx

Tớch phõn cha
2
dx




Vn 4: TCH PHN TNG PHN
I. Cụng thc:

bb
b
a
aa
uv dx uv vu dx




hay

bb
b
a
aa
udv uv vdu


c thc hin:
c 1:


P(x)
x
e dx

P(x).cosxdx


P(x)
cosxdx

P(x).sin xdx


P(x)
sinxdx

P(x).lnxdx


lnx P(x)
Chỳ ý :
Tớch phõn hm hu t:
- Nu mu l bc nht thỡ ly t chia mu
- Nu mu l bc hai cú nghi
hng thc
- Nu mu l bc hai cú hai nghing
nht thc
- Nu mu l bc hai vụ nghim ti bin s.
Tớch phõn hm lng giỏc:
- Nu sinx,cosx cú s n thỡ h bc

LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 19

Vấn đề 5: TÍCH PHÂN CÓ CHỨA
DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI
Gi s cn tính tích phân
b
a
I f (x) dx

.
Bƣớc 1. Lp bng xét du (BXD) ca hàm s f(x)
n [a; b], gi s f(x) có BXD:
X a x
1
x
2
b
f(x) + 0  0 +
Bƣớc 2. Tính
12
12
xx
bb

S f(x) g(x) dx





 
, 
là nghim nh nht và ln
nht ca f(x) = g(x).
Chú ý:
 Nu trong khong
 
; 
 
f(x) g(x)
không có nghim thì:
 
f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx


  


 Nu tích S gii hn bi x = f(y) và x = g(y) thì
i vai trò x cho y trong công thc trên. II. Tính thể tích khối tròn xoay:
1. Trƣờng hợp 1.

do hình phng gii hn bng
y = f(x),
y g(x)
, x = a và x = b
 
 
a b, f(x) 0, g(x) 0 x a; b    
quay
quanh trục Ox là:
b
22
a
V f (x) g (x) dx  


4. Trƣờng hợp 4. Th tích khi tròn xoay V
do hình phng gii hn bng x = f(y),
x g(y)
, y = c và y = d
 
 
c d, f(y) 0, g(y) 0 y c; d    
quay
quanh trục Oy là:
d
22
c
V f (y) g (y) dy  



AB
= BH.BC 
2
AC CH.BC


2 2 2
1 1 1
AH AB AC



AH.BC AB.AC


b c b c
sinB , cosB , tanB ,cot B
a a c b
   

M là trung điểm BC nên MA = MB = MC và M là tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC

1.2 Hệ thức lƣợng trong tam giác thƣờng:
Cho tam giác ABC có các cnh lng trung tuyn AM.
 Định lý hàm cos:
a
2
= b
2
+ c

S BC.AH p.r
2
abc 1
.AB.AC.SinA
4R 2.
p(p a)(p b)(p c)



   

Hình thang ABCD
(AB // CD), đƣờng cao DH:
ABCD
1
S (AB CD).DH
2


Hình vuông ABCD cạnh a:
ABCD
2
S AB.AC
1
AC.BD a
2



Hình chữ nhật ABCD:

LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 21

1.4 Tam giác - Các trường hợp bằng nhau - đồng dạng của tam giác:
a. Trường hợp bằng nhau và đồng dạng của tam giác thường:
Tam giác ABC có các góc A;B;C các ci ding a;b;c. Chu vi 2p.
Din tích S
Tính chất:
 Hai tam giác bng nhau thì các yu t ng bng nhau.
 Hai ng dng thì :
 T s gia các yu t( không k góc; và ding bng nhau và bng t
s ng dng.
 T s din tích b s ng dng.
 Hai ng dng nu có 1 yu t v  ng bng nhau thì bng nhau.
b. Trường hợp bằng nhau và đồng dạng của tam giác vuông:
Do 2 tam giác vuông có góc vung bng nhau nên có s c bit so vi
ng:
 Hai cnh góc vuông bng nhau (t l ).
 Mt góc nhng bng nhau và 1 cnh góc vuông bng nhau (t l).
 Mt cnh góc vuông và cnh huyn bng nhau (t l).
1.5 Định lý Thalet:
 Nhng thnh ra trên 2 cát tuyn nhn thng t l.
 ng thng song song vi c nh ra trên 2
cnh kia nhn thng t l.
 ng thng song song vi mt cnh thì to vi 2 cnh kia 1 tam giác
ng dng vu.
1.6 Các yếu tố cơ bản trong tam giác:

Bài 1: ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Định nghĩa:
Mng thng và mt mt phng
c gi là song song nu chúng
m chung.
a / /(P) a (P)   

a
(P)

Định lý:
ĐL1: Nếu đường thẳng d không
nằm trên mặt phẳng (P) và song
song với đường thẳng a nằm trên
mặt phẳng (P) thì đường thẳng d
song song với mặt phẳng (P)
d (P)
d / /a d / /(P)
a (P)









d
a








a
d
Q
PBài 2: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Định nghĩa:
Hai mt phc gi là song
song nm
chung.
(P)/ /(Q) (P) (Q)   

Q
P

Định lý:
ĐL1: Điều kiện cần và đủ để 2 mặt
phẳng song song là trong mặt
phẳng này chứa 2 đường thẳng cắt
nhau cùng song song với mặt
phẳng kia.
a,b (P)

Q
P

LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 23

ĐL3: Cho 2 mt phng song song.
Mt phng nào ct mt phng này
t mt phng kia và 2
giao tuyn song song vi nhau.
(P) / /(Q)
(R) (P) a a / /b
(R) (Q) b


  





b
a
R
Q
PQuan hệ vuông góc:
Bài 1: ĐƢỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

a
b
P

ĐL2: (định lý 3 đƣờng vuông
góc): Cho đường thẳng a có hình
chiếu trên mặt phẳng (P) là đường
thẳng a’. Khi đó một đường thẳng b
chứa trong (P) vuông góc với a khi
và chỉ khi nó vuông góc với a’.
a (P),b (P)
b a b a'
a' a / (P)



  





a'
a
b
PBài 2: HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
Định nghĩa:

vuông góc với nhau thì bất cứ
đường thẳng a nào nằm trong (P),
vuông góc với giao tuyến của (P)
và (Q) đều vuông góc với (Q).
(P) (Q)
(P) (Q) d a (Q)
a (P),a d



   





d
Q
P
a

LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 24

ĐL3: Nu hai mt phng (P) và (Q)
vuông góc vi nhau và A là mt
ng th
m A và vuông góc vi (Q)
s nm trong (P)
(P) (Q)



  





a
R
Q
PBài 3: MỐI LIÊN HỆ QUAN HỆ SONG SONG VÀ VUÔNG GÓC

1.
 
 
a / /b
bP
aP









 
 
   
aP
P / / Q
aQ









5.
 
   
ab
a / / P haya P
Pb










H
O
Q
P

4. Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau :
Khong cách ging th dài
n vuông góc chung cng th
B
A
b
a