LỜI NÓI ĐẦU
Lí thuyết lọc đã được các nhà toán học nghiên cứu đến hai thế kỷ nay.
Lý thuyết lọc hiện đại dựa trên toán học hiện đại, nó có nhiều ứng dụng trong
vật lý kỹ thuật và các ngành khoa học khác.
Đề tài này chỉ đề cập đến vấn đề lý thuyết lọc tối ưu đối với quá trình
Gaussian điều kiện và áp dụng của nó vào các bài toán thống kê và các bài
toán điều khiển tối ưu với thời gian rời rạc và các bài toán điều khiển tối ưu
với thời gian liên tục.
Do hạn chế về mặt thời gian lên luận văn không thể tránh khỏi những sai
lầm thiếu sót. Em rất mong các thầy và các bạn đọc đóng góp ý kiến để em tiếp
tục ngiờn cứu, bổ xung làm cho luận văn này hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn !
1
Chương I
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Các khái niệm cơ bản
Cho không gian xác suất đầy đủ
( , , )F PΩ
,
( ,0 )
t
F t T
≤ ≤
là họ không giảm các
σ
-đại số con của
σ
- đại số F,
,0
t
F t T

θ ξ
là F
t
–đo được trên cơ sở những quan sát
1
,1 t
ξ
≤
.
Nếu
2
t
Eh < ∞
khi đó ước lượng tốt nhất trùng với kỳ vọng điều kiện
( ) ( / ),
t t t t
h E h F F
ξ ξ
π
=
là
σ
- đại số sinh bởi quá trình
( , )
t t
F
ξ ξ
=
. Đại lượng
( )

t
F
là quá trình wiener,
( , ),( , )
t t t t
A A F B F
=
thỏa mãn giả thiết
2
0 0
( ( ) ) 1, ( ( ) ) 1
T T
t t
P A dt P B dt
ω ξ
< ∞ = < ∞ =
∫ ∫
(3)
Và
2
2
1 2
0
( ) ( ) ( ) ( )
t
t t s s s s
B x B y L x y dK s L x y
− ≤ − + −
∫
(4)

là quá trình ngẫu nhiên đo được nào đó thỏa
mãn
t
E g < ∞
và kỳ vọng điều kiện
( / )
t t
E g F
ξ
là cải tiến đo được (bản sao đo
được) ký hiệu là
( )
t
g
π
.
Phương trình lọc cơ bản (trường hợp một chiều).

I.1. Biến ngẫu nhiên: Giả sử (
Ω
, F) là không gian đo đã cho,
( ; )R
= −∞ +∞
Định nghĩa1:
Hàm thực
( )X X
ω
=
xác định trên
Ω

{ }
1
: ( ) ( )X B X B
ω ω
−
∈ = ∈
F với mỗi B
∈
B
( )
R
được gọi là biến ngẫu nhiên
suy rộng.
I.2. Quá trình ngẫu nhiên
Định nghĩa 1:
Cho không gian xác suất (
Ω
, F, P) và
[
)
0,T
= +∞
. Họ các biến ngẫu nhiên
( )
,
t
X t T
∈
được gọi là quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục t∈ T.
Trong trường hợp T=N=

. Quá trình
( )
,
t
Y t T∈
được
gọi là quá trình cải tiến của quá trình
( , )
t
X t T
∈
.
Định nghĩa 3 :
Quá trình ngẫu nhiên
( , )
t
X t T
∈
xác định trên TxΩ được gọi là đo được nếu
với bất kỳ tập borel B∈ B (R) ta có
{ }
( , ) : ( )
t
t X B
ω ω
∈
∈F x B(T).
Trong đó B (T) là б- đại số borel trên T=
[
)

≤ ∈
∈F
t
x B (
[ ]
0,t
). Trong đó B là tập borel trên R, và B (
[ ]
0,t
) là
б -đại số các tập borel trên
[ ]
,o t
. Rõ ràng, mọi quá trình ngẫu nhiên đo được
tiến đều là đo được và phù hợp với họ б- đại số F
t
, t∈T.

Định nghĩa 6:
4
Quá trình ngẫu nhiên
( , )
t
X t T
∈
với X
0
là F
o
-đo được, là dự báo được nếu nó

ε
 
− > →
 
,
o
s t
→
Nếu quá trình ngẫu nhiên liên tục tại mọi điểm của tập
S T
≤
thì ta núi nú liên
tục ngẫu nhiên trên S.
Định nghĩa 8:
Quá trình ngẫu nhiên
( , )
t
X t T
∈
được gọi là liên tục (liên tục phải, liên tục
trái) trên S ⊆ T nếu hầu hết quỹ đạo của nó liên tục (liên tục phải, liên tục trái).
Nghĩa là, ∃ N có P(N)=0 sao cho ∀ ω∈N, quỹ đạo X
t
(ω), t∈S là liờn tục(liờn
tục phải, liên tục trái).
Định nghĩa 9:
Nếu tồn tại giới hạn theo nghĩa xác suất (h.c.c):
0
lim
t h t

σ
-đại số G đã cho là đại lượng ngẫu
nhiên, kí hiệu là
( / )E x G
đo được đối với
σ
-đại số G và thỏa mãn
( / ) ( )
A
B B
E x G dP I dP
ω
=
∫ ∫
đối với bất kì
B G
∈
5
Định nghĩa 2: xác suất điều kiện. xác suất điều kiện của biến cố A với điều
kiện
σ
-đại số G đã cho là đại lượng ngẫu nhiên
( / )P A G
đo được đối với
σ
-
đại số G sao cho
( / ) ( ), .
B
P A G dP P A B B G

t s s t s s t s s
s t E x F x E x F x E x F x
≤ = ≥ ≤
Định nghĩa này tương đương với mệnh đề:

( , ),
t t
X x F t T
= ∈
là martingale (submartingale, supermartingale) nếu
s
A F
∈
tùy
ý (s<t) ta có:

,
s t s t t
A A A A A A
x dP x dP x dP x dP dP x dP
 
= ≤ ≥
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Bổ đề 4.12. Giả sử
t
w=(w , ),0
t
F t T

chặn, v(t) là hàm khụng õm khả tích
0 1t
≤ ≤
, sao cho
s
0 1 2
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )[ u(b)dK(b)]ds
t t
u t c c v s u s ds c v s
≤ + +
∫ ∫ ∫
trong đó K(s) là hàm không giảm
liên tục phải,
0 ( ) 1K s
≤ ≤
. Khi đó
1 2
0
0
( )
( ) ( ( ) ) ( )
!
t
j
j
n
c c
u s c v s ds t
j

θ
≤ ≤
, là
quá trình không quan sát được,
( ,0 )
t
t T
ξ
≤ ≤
là quá trình quan sát được.
Trong trường hợp đó xột ở trương trước quá trình
( , )
θ ξ
là Gaussian mà nó
được bổ xung thêm tính điều kiện

3 2 3
( ) 3 ( ) ( ) 2[ ( )]
t t t t
π θ π θ π θ π θ
= −
(II
0
)
Đối với kỳ vọng hậu nghiệm
( ) ( / )
t t t
E F
ξ
π θ θ

0
)
Cho không gian xác suất
( , , )F PΩ
với họ không giảm các
σ
−
đại số
,0
t
F t T
≤ ≤

con của
σ
−
đại số F và cho
1 1 2 2
w (w ( ), ),w (w ( ), )
t t
t F t F
= =
là hai quá trình wiener
độc lập. biến ngẫu nhiên
0 0
,
θ ξ
được giả thiết là độc lập với quá trình w
1
, w

T
2 2
1
0
( { a ( , ) ( , ) }+ b ( , ) ( , ))
{ A ( , ) }=1
T
i
i
t
t x A t x t x B t x dt
P t m dt
ξ
=
+ + < ∞
< ∞
∑ ∑
∫
∫
Với phân phối điều kiện
0
0 0
( ) ( / )F a P a
ξ
θ ξ
= ≤
là Gaussian
Bổ đề 2.1: Giả sử
1 1
( , ) , ( , )a t x L A t x L

(2.6)
Chứng minh: Đặt
4
s t
inf{t:sup }
N s
N
τ θ
≤
= ≥
Lấy
N
T
τ
=
nếu
4
sup
s
s T
N
θ
≤
<
, thì
2
4 4
0 0 1 i
1
0 0 0

θ θ ξ ξ θ ξ
θ ξ ξ θ ξ
θ τ ξ τ ξ θ
∧ ∧ ∧
∧
=
∧ ∧ ∧
=
∧
= + + +
≤ + + +
≤ + ∧ + ∧
∑
∫ ∫ ∫
∑
∫ ∫ ∫
2
4
i
1
0 0
( ( , ) w ( )) ]
N N
t t
i
i
b s d s
τ τ
ξ
∧ ∧

i
t
t s
E b s d s T Eb s ds i
s t
E E T Ea s ds T L E ds Eb s ds
E C C E ds
τ
τ τ
τ τ
ξ ξ
θ θ τ τ
θ θ ξ θ ξ
θ θ
∧
∧ ∧
=
∧ ∧
≤ =
= ∧ ≤ ∧
≤ + + +
⇒ ≤ +
∫ ∫
∑
∫ ∫ ∫
∫
(2.8)
Trong đó C
1
, C

≤ ≤
→∞
≤ ≤
⇒ ≤ ≤ ⇒ < ∞
(2.9)
Bây giờ ta chỉ ra rằng
4
0
(sup )
t
t T
E
θ
≤ ≤
< ∞
Thay
N
t
τ
∧
bởi t ta nhận được

2
4 4 3 4 3 4 4
0 0 i
0 0
1
0 0 0
sup 125[ ( , ) sup ( , ) w ( ) ]
T T t

0 0
0 0
1
0 0
4
[sup ] 125[E ( , ) sup ( ) 36 ( , ) ]
3
T T
t s i
t T t T
i
E T Ea s ds T L E T Eb s ds
θ θ ξ θ ξ
≤ ≤ ≤ ≤
=
≤ + + + < ∞
∑
∫ ∫

Định lý II.1: Cho
( , )
θ ξ
là qỳa trỡnh ngẫu nhiên với vi phân cho bởi (2.1)
và (2.2)
Nếu các điều kiện (2.3), (2.4), (2.5)sau được thỏa mãn và

2 2
i j
0,1 j=1,2
0

t
s s t t
B t x B t y L x y dK s L x y
− ≤ − + −
∫
(2.13)
2 2 2
1 2
0
( , ) (1 ) ( ) (1 )
t
s t
B t x L x dK s L x
≤ + + +
∫
(2.14)
Được thỏa mãn
Trong đó K(s) là hàm liên tục phải,
0 ( ) 1K s
≤ ≤

9
Và phân phối điều kiện
0 0
( / )P a
θ ξ
≤
là Gaussian,
0 0
( , )N m

× − +
(2.15)

' 2 2 2
2 1
1 1 2
( , ) ( , ) ( , )
2 ( , ) ( , ) ( , ) ( )
( , )
t
t t
b t B t A t
a t b t b t
B t
ξ ξ γ ξ
γ ξ γ ξ ξ
ξ
+
= + + −
(2.16)
Với điều kiện
2
0 0 0 0 0 0 0
( / ), [( ) / ]m E E m
θ ξ γ θ ξ
= = −
Chứng minh. Khai thác điều kiện
2 2
0
,w ( , )

= + +
−
+ +
∫
∫
(2.17)
Trong đó
0 1
( ( , ) ( , ) )
w
( , )
t
s s
t
d A s A s m ds
B s
ξ ξ ξ
ξ
− +
=
∫

2 2
( / )
s s s s
E F m
ξ
θ γ
− =
, kết hợp với (2.17) suy ra

=
, ta có
2
t t t
m
δ γ
− =

Từ phương trình
%
2 2
0
, w 2 ( , )
t
t s
x b s ds
θ ξ
< > =
∫
và từ (8.9) ta nhận được
2 2
0 0 1 1 2
0
1 3
s 2 0 1 0 1
0
[2a ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , )]ds
{2m ( , ) ( , )[A ( , ) ( , ) ( / ) ( ( , ) ( , ) )]}dw
t
t s s

ξ
δ δ ξ ξ δ ξ ξ
ξ ξ ξ ξ θ δ
−
= + + + +
+ + −
∫
∫
(2.19)
Do công thức I tô và (2.18) ta suy ra

2 2 2
2 1
0 0 1
0
2 1
0
b ( , ) ( , ) ( , )
(2 [a ( , ) ( , ) ] [ ] )
( , )
( , ) ( , ) ( , )
2 w
( , )
t
s
t s s
t
s
s
s

0
( , ) ( , ) ( , )
[2a ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ]ds
( , )
A ( , )
+ {E( / ) 2 }dw
( , )
t t t
t
t
t s
s
s s s s s
m
b s B s A s
s b s b s
B s
s
F m m
B s
ξ
γ δ
ξ ξ γ ξ
γ γ ξ γ ξ ξ
ξ
ξ
θ δ γ
ξ
= −
+

s
t s
b s B s A s
s b s b s
B s
ξ ξ γ ξ
γ γ ξ γ ξ ξ
ξ
+
= + + + −
∫
(2.22)
Định lý II.2 : Cho
( )
θ θ ω
=
là biến ngẫu nhiên với
4
E
θ
< ∞
, và vi phân

0 1 2
[A ( , ) ( , ) ]dt+B(t, )dw ( ),
t
d t A t t
ξ ξ ξ θ ξ
= +
trong đó các hệ số

( , )
1
( , )
t
t
t
A s
m A s ds
B s
m
A s
ds
B s
ξ
γ ξ ξ
ξ
ξ
γ
ξ
+ + −
=
 
+
 ÷
 
∫
∫
(2.23)
11


thỏa mãn các phương trình

1
t 0 1
2
( , )
[d ( ( , ) ( , ) ],
( , )
t
t t
A s
dm A t A t m
B s
γ ξ
ξ ξ ξ
ξ
= − +
(2.25)

2
'
1
( , )
( , )
t
t
A t
B t
γ ξ
γ

t
2
a
2
0
1 1
0
- 0 0
0
( / ) { [ a]/F }=
( -m )
( , ) A ( , )1 1
exp{- ( ( )) w ( ( )) }
2 ( , ) 2 ( , )
2
t
t t
s
s s
P a F E
A s s
m d a m ds
B s B s
ξ ξ
θ χ θ
α
ξ ξ
α ξ ξ
γ ξ ξ
πγ

t
t t
s
s s
dP a F
da
A s A s
a m d a m ds
B s B s
ξ
θ
ξ ξ
ξ ξ
γ ξ ξ
πγ
≤
=
 
 
 
+ − − −
 
 
 
 
 
∫ ∫
(2.27)

2

t
A s
ds
B s
ξ
γ ξ γ
 
− − = −
 ÷
 
∫
(2.29)
12

2
0 1
1
0
0 0
( , ) ( )
( , )
w
( , ) ( , )
t t
s t
s
t
m A s m m
A s
d ds

0
( / )P a
ε
θ ξ
≤
với tham số
0 0
m m
ε
=
,
0 0
, 0
ε
γ γ ε ε
= + >
, thay cho phân phối

0
( / )P a
θ ξ
≤
. Khi đú cỏc giá trị liên đới
,
t t
m
ε ε
γ
được cho bởi (2.23) và (2.24) với
sự thay thế của


2 1
0 1
2
t 0 1
2
' 2
2 1
1 1
b ( , ) ( , ) ( ) ( , )
( ) [a ( , ) ( , ) ( )]dt+
( , )
[d ( ( , ) ( , ) ( ) ]
( , ) ( , ) ( ) ( , )
( ) 2 ( , ) ( ) ( , )
( , )
t B t y t A t
dx t t a t x t
B t
A t A t x t dt
b t B t y t A t
y t a t y t b t
B t
ξ ξ ξ
ξ ξ
ξ
ξ ξ ξ
ξ ξ ξ
ξ ξ
ξ

phương trình (2.32), khi đó ta có:

2
1 2 1 1 1 2
0
2
1
1 2 1 2
2
0
( , )
( ) ( ) 2 ( , ) ( , ) ( ) ( )
( , )
( , )
[y ( ) ( )] y ( ) ( )
( , )
t
t
b s
y t y t a s A s y s y s ds
B s
A s
s y s s y s ds
B s
ξ
ξ ξ
ξ
ξ
ξ
 

t
y t y t r s y s y s ds
ξ
− ≤ −
∫
Theo (4.13),
1 2
{y ( ) ( )}=1,0 t T,P t y t
= ≤ ≤
Do tính liên tục của các nghiệm
1 2
( ), ( )y t y t
nên

{ }
1 2
0
sup ( ) ( ) 0 1
t T
P y t y t
≤ ≤
− = =
Tính duy nhất nghiệm của (2.32) được chứng minh.
Gọi
1 2
( ), ( )x t x t
là hai nghiệm của (2.31)
Ta có

2

2
2 1
2 1 1
2
( , ) ( ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )
b s y s A s
r s a s A s
B s B s
ξ ξ
ξ ξ ξ
ξ ξ
= + +
Lại áp dụng bổ đề (4.13) ta tìm được:
1 2
( ) ( ), ,0x t x t t t T
= ∀ ≤ ≤
Từ đó suy ra
{ }
1 2
0
sup ( ) ( ) 0 1
t T
P x t x t
≤ ≤
− = =

W
Định lý II.4: Kí hiệu g(t, x) là mỗi hàm không khả đoán

14

1 1 1 2
2 2
0 0
3, ( , ) , ( , ) ;(2.37)
4, ( ) , 1(2.38)
n n
a t x L A t x L
E n
θ ξ
≤ ≤
+ < ∞ ∀ ≥
Khi đó hệ phương trình cho bởi (2.1) và (2.2)
Có nghiệm mạnh liên tục. nghiệm này duy nhất và

2 2
0
sup ( )
n n
t t
t T
E
θ ξ
≤ ≤
+ < ∞
Chứng minh định lý này giống như chứng minh định lý 4.9
Định lý II.5. Cho các hàm
1
( , ), ( , ), ( , ), ( , )

B t B t
A t
dm t a t m t
B t
ξ ξ ξ ξ
ξ ξ
γ ξ ξ γ ξ γ
ξ ξ
γ ξ
ξ ξ ξ
ξ


= +


= − + −



= + +


(2.39)
Có nghiệm mạnh duy nhất. trong trường hợp này
0
,w
,0
t t
F F t T

B s x
γ γ γ γ
 
= + + −
 
 
∫
%
(2.41)
Phương trình (2.41) là phương trình Ricati, nú có nghiệm khụng õm duy nhất
liên tục với mỗi
T
x C
∈

Dễ thấy
t t
2
1 1
0 1
0 0 0
( ) exp 2a ( , ) ( ) exp -2 a ( , ) ( , )
s
t
x s x x u x du b s x ds
γ γ
 
   
 
≤ +

∫
,
°
( )K s
là hàm liên tục phải.
15
Từ (2.41) ta nhận được
% %
2 2
2 2 2 2
1 1
1 1
1 1
2 2
0
A ( , ) ( , )
( ) ( ) 2[ ( , ) ( ) ( , ) ( ) [b ( , ) ( , )]- ( ) ( )
( , ) ( , )
t
t t s s s s
s x A s y
x y a s x x a s y y s x b s y x y ds
B s x B s y
γ γ γ γ γ γ
 
 
 
− = − + − −
 
 

, ,d d d
là các hằng số tồn tại ứng với sự bị chặn của các hàm số
%
1
( , ), ( ),
t T
a t x x x C
γ
∈
Tương tự

2
2 2
2 2
1 1 3 4
0
( , ) ( , ) ( )
t
s s t t
b t x b t y d x y dK s d x y− ≤ − + −
∫
(2.44)
2 2
2 2
1 1
2 2
2 2 2
5 6 7
0
( , ) ( , )

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t s
t t u u
t t
s s s s
t t t
s s s s s s
x y d x y dK u ds
d x y ds d x y ds
d T x y dK s d x y ds d x y ds
γ γ
γ γ
γ γ
 
− ≤ −
 
 
+ − + −
≤ − + − + −
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
Do bổ đề 4.13,

°
10
2
2 2
8 9

d T
K s s
K s d e d T d K T T
K T T
+
= = + +
+
Bây giờ ta xét hai phương trình

1
0 1 2
0 1
( , )
[ ( , ) ( , ) ] [ ( , ) ] w
( , )
[ ( , ) ( , ) ] ( , ) w
t
t
t t
t
t t
A t
dm a t a t m dt b t d
B t
d A t A t m dt B t d
γ ξ
ξ ξ ξ
ξ
ξ ξ ξ ξ
= + + +

t t
F F
ξ
ξ
⊆
. bao hàm ngược lại là hiển nhiên
0
,w
t t
F F
ξ
ξ
⊇
(do cách xây
dựng quá trình
w
).
W
II.3. Phương trình lọc tối ưu nhiều chiều
Cho không gian xác suất
( , , )F PΩ
với họ không giảm, liên tục phải các
σ
−
đại số
( ),0
t
F t T
≤ ≤
.

= + +
∑
(2.48)

2
0 1
1
[A ( , ) ( , ) ] ( , ) w ( )
t t i i
i
d t A t dt B t d t
ξ ξ ξ θ ξ
=
= + +
∑
(2.49)
Các thành phần của hàm véc tơ (cột)

0 01 0
0 01 0
( , ) ( ( , ), , ( , )),
( , ) ( ( , ), , ( , )
k
l
a t x a t x a t x
A t x A t x A t x
=
=
Và các ma trận
17

l l l
T o T T l T
o T C B B x x x C
× × = ∈
Xột các điều kiện

(1) (1) 2 (2) 2 (1) 2 (2) 2
0 ? ? ? ? ?
0
( , ) ( , ) ( ( , )) ( ( , )) ( ( , )) ( ( , ))
T
i
a t x a t x b t x b t x B t x B t x dt
 
+ + + + + < ∞
 
∫
(2.5
0)
2 (1) 2
0 ?
0
[( ( , )) ( ( , )) ] ;
T
i
A t x A t x dt
+ < ∞
∫
(2.51)
ma trận

t
s t
g t x g t y L x y dK s L x y
g t x L x dK s L x
− ≤ − + −
≤ + + +
∫
∫
(2.53)
Trong đó
2
2 2
1
( ) ( ), ( )
t l
x x t x t K s
= + +
là hàm không giảm, liên tục phải,

0 ( ) 1;K s
≤ ≤

(1)
?
0
( , ) ( )
T
i
E A t t dt
ξ θ

θ
=

18
Định lý II.6: Cho các điều kiện từ (2.50) đến (2.56) được thỏa mãn với xác
suất 1 và phân phối
0
0 0 0 0
( ) ( / )F a P a
ξ
θ ξ
= ≤
là Gaussian,
0 0 0 0 0
( , ), ( / )N m m E F
ξ
γ θ
=
và ma trận
*
0 0 0 0 0 0
[( )( ) / ]E m m F
ξ
γ θ θ
= − −
sao cho
0
Tr
γ
< ∞

∑
Là quá trình Gaussian điều kiện, với
0 1
,0 ,
n
t t t t t
∀ < < < < ≤

Phân phối điều kiện
0
0
0 0
( , , ) { , , / }
t
n
n t t n t
F a a P a a F
ξ
ξ
θ θ
= ≤ ≤
là Gaussian.
Chứng minh định lý này tương tự như chứng minh định lý II.1.
Định lý II.7: Cho các điều kiện từ (2.50) đến (2.56) được thỏa mãn và thỏa
mãn 3 điều kiện sau

(1) (1)
? ?
4 (1) 4 (2) 4
0 ? ?

*
{( )( ) / }
t t t t t t
E m m F
ξ
γ θ θ
= − −
là nghiệm
t
F
ξ
-đo được, liên tục và duy nhất của hệ phương trình
* 1
0 1 0 1 0
0 1
'
* *
1 1 0 0 1
1 * *
0 0 1
(2.60) : [ ( , ) ( , ) ] [ ( , ) ( , )]( ) ( , )
[ ( ( , ) ( , ) ) ]
(2.61) : ( , ) ( , ) ( )( , ) [( )( , ) ( , )]
( ) ( , )[( )( , ) ( , )]
t t t
t t
t t t
t
t
dm a t a t m dt b B t A t B B t

≤ ≤
cũng xác định dương.
Chứng minh định lý này tương tự như chứng minh định lý II.1 với

?
( ) ( ( ) / )
( ) {[ ( ) ( )][ ( ) ( )] / }
j j t
i i j j t
m t E t F
t E t m t t m t F
ξ
ξ
θ
γ θ θ
=
= − −
Chứng minh tính duy nhất nghiệm của hệ giống như chứng minh định lý II.3.
Định lý II.8: Cho
1
( , , )
k
θ θ θ
=
là biến ngẫu nhiên k chiều với
4
1
k
i
i

là Gaussian,
0 0
( , )N m
γ
. Khi đó

* * 1 1
0 1 1
0
1
* * 1
0 0 1 0
0
* * 1 1
0 1 1 0
0
(2.61) : [ ( , )( ( , ) ( , )) ( , ) ]
[ ( , )( ( , ) ( , )) ( ( , ) )]
(2.62) : [ ( , )( ( , ) ( , )) ( , ) ]
t
t
s
t
t
m E A s B s B s A s ds
m A s B s B s d A s ds
E A s B s B s A s ds
γ ξ ξ ξ ξ
γ ξ ξ ξ ξ ξ
γ γ ξ ξ ξ ξ γ

s
s s
s t
s s t
i i t
k
s k
t
s s
t t
t t t
m s t E F
s t E m s t m s t F
m s t E s F
m s t m s t m s t
s s
s t
m t s E F
t s E m t s m t s F
ξ
ξ
ξ
θ ξ
θ
θ ξ
θ θ
θ
γ θ θ
θ
θ θ θ

θ θ
ξ γ
ξ γ ξ ξ ξ ξ
γ
ξ γ γ ξ γ ξ ξ γ ξ
−
= + − +
+ −
= + + −
=
1
0 0 1
1 *
0 0 0 0
* 1
1 0 1
) ( )( , )( ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( )( , )( ) ( , )( ) ( , )
( , ) ( , )( ) ( , ) ( , )
b B t x B B t x A t x
b t x b b t x b B t x B B t x b B t x
c t x A t x B B t x A t x
−
−
−
−
= −
=
Bổ đề 2.2: Cho ma trận
( ),

t u
s s
s
u
q a u du b B u u s A u
B B u d A u du
ξ ϕ ξ ξ ξ γ ξ
ξ ξ ξ
−
−
= + + ×
× −
∫
(2.67)
Thì
s
( , ) ( )[ ( )]
s
t t
s s
m t s q
θ
ϕ ξ θ ξ
= +
(2.68)
Chứng minh. Áp dụng công thức I tô suy ra (2.69)
Bổ đề 2.3: Cho
0 s t T
≤ ≤ ≤
. Khi đó

t t t t t t t
m E F E E F F E m t s F
θ ξ
ξ ξ ξ
θ
θ θ
= = =

(2.72) là phần tử của véc tơ
( )
t
N s s
χ ϕ ξ θ
, trong đó

{ ( ) ( ) }
t t
N s s
q N
χ χ ϕ ξ ξ
= ≤
khả tích. Do đó

[ ( , ) / ] [ ( )( ( )) / ]
( )[ ( , ) ( )]
s
t t
N t N s s s t
t t
N s t

t
E m m F E m t s m t s m
m t s m t s m F
E E m t s m t s F F
E m t s m m t s m F
t s E m t s m m t
ξ
θ θ
ξ
θ θ
θ ξ
ξ
θ θ
ξ
θ θ
θ θ
θ θ θ
θ
θ θ
γ
− − = − + − ×
× − + −
= − −
+ − −
= + −
*
, ) ) / }
t t
s m F
ξ

E m s t m s t F
s t
ξ
θ θ
ξ
ϕ ξ θ θ ϕ ξ
ϕ ξ γ ϕ ξ
− −
= − −
=
Định lý II.9: Cho các điều kiện từ (2.50) đến (2.59) được thỏa mãn và cho
phân phối điều kiện
0 0
( / )P a
θ ξ
≤
là Gaussian. Khi đó m(t, s) và
( , )t s
γ
Được xác định bởi công thức

* * 1
1 0
0 1
* * 1 1
1 0 1
(2.72) : ( , ) ( , )( ( )) ( , )( ) ( , )
[ ( ( , ) ( , ) ) ]
(2.73): ( , ) ( ( ( )) ( , )( ) ( , ) ( , ) ( ) )
t

s t s
m m s t q
m q
ϕ ξ ξ
ϕ ξ ξ
−
= +
⇒ −
(2.74)
Ma trận
( )
t
s
ϕ ξ
không suy biến nên tồn tại ma trận
1
( ( ))
t
s
ϕ ξ
−
Do
( )
[ ( , ) ( , ) ( , )] ( )
t
t
s
s
d
a t t s c t


1 * 1
1 0
0 0
( , ) ( ( )) [ ( , )] ( , )( ) ( , )
[ ( ( , ) ( , ) ) ]
t
u
s s u
s
u u
m s t m u s A u B B u
d A u A u m du
ϕ ξ γ γ ξ ξ
ξ ξ ξ
− −
⇒ = + − ×
× − +
∫
(2.76)
Do
*
1 *
( , ) ( ) ( , )( ( ))
( ( )) [ ( , )] ( , )( ( ))
t t
t s s
u u
s u s
t s s t

*
1
1 * 1
, : ( ( )) ( , ) ( )
( ( )) ( , ) ( ),
t
u t
t t s s s
s
t t
t
t s s s s
U t s U E c u du
dU
U c t U E
dt
γ ϕ ξ ξ ϕ ξ
γ ϕ ξ ξ ϕ ξ
−
− −
≥ = +
⇒ = − =
∫

1
1 * 1
( )
( )( ( )) ( , ) ( )( )
t t
t s

phân phối điều kiện
0 0
( / )P a
θ ξ
≤
là Gaussian,
0 0
( , )N m
γ
và
0
{ inf det 0} 1
t
t T
P
γ
≤ ≤
> =
Khi đó

1
0 1
1
0 0 0 1
1
1 *
( , ) [ ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ( , ) ]
( )( , )( ) ( , )[ ( ( , ) ( , ) ( , ) ](2.80)
( , ) {[ ( , ) ( , ) ] ( , )
( , )[ ( , ) ( , ) ] ( , )} (2.

Trong đó a(u, x), b(u, x) được xác định như trong bổ đề 2.3
Để chứng minh định lý II.10 ta cần dùng hai bổ đề sau
Bổ đề 2.4: Cho
{inf det 0} 1
t
t T
P
γ
≤
> =
và cho ma trận
( )
t
s
R
ξ
là nghiệm của hệ
phương trình vi phân:

1
( )
( )
[ ( , ) ( , ) ] ( ), ( )
t
t s
s
t s s k k
dR
a t b t R R E
dt

( , )( ( )) ( , ) ( ) ( , )( ( ))
( , )( ( )) [ ( , ) ( , ) ( , )]
( , ) ( , )[ ( ) ( , )( ( )) ( , )]
t
t t t
s
s s s
t
s
t t t t
s s s s
dU
s t c t s t
dt
s t a t t s c t
U a t U c t s t t s
γ ϕ ξ ξ ϕ ξ γ ϕ ξ
γ ϕ ξ ξ γ ξ
ξ ξ ϕ ξ γ ϕ ξ γ
= −
+ −
= − +
Nhưng theo (2.69),
24

*
( ) ( , )( ( )) ( , )
t t
s s t
s t t s

V a t c t V E
dt
ξ ξ γ
×
= − =
(2.86)
Khi
1
0 0
( )
t t s
s
V V V
−
=
và ma trận
1
0
( )
s
V
−
là nghiệm của hệ phương trình 1
* 1 0 1
0
0 0 ( )
( )

= − − =
(2.87)
Nhưng
t s t t
s s s s s
U U V V
γ
= =

Trong đó
,
t
s s
V
γ
khả vi tại s. do đó, ma trận
t
s
U
khả vi tại s và

t t
t
s s s
s s
dU d dV
V
ds ds ds
γ
γ

dU
a s a s b s c s V
ds
a s c s V
a s b s U
ξ γ γ ξ ξ γ ξ γ
γ ξ ξ γ
ξ ξ γ
−
= + + − −
−
= +
(2.89)
25