SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH BÌNH
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MÔN: TOÁN
GIẢI PHÁP MỚI ĐỂ ỨNG DỤNG HÌNH CHIẾU
CỦA MỘT ĐIỂM XUỐNG MẶT PHẲNG TRONG
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Giáo viên: Nguyễn Văn Lưu
Tổ: Toán – Tin
Trường: THPT Gia Viễn A
Ninh Bình, tháng 05 năm 2014
1
MỤC LỤC
Nội dung Trang
Vị trí của nội dung sáng kiến trong chương trình 2
Phần I: Giải pháp cũ thường làm trong việc giảng dạy các bài
toán về góc và khoảng cách trong hình học không gian
4
I. Nội dung về góc và khoảng cách trong hình học không gian ở
các tài liệu giáo khoa hiện hành
4
II. Hạn chế của giải pháp cũ 4
Phần II: Những giải pháp mới để ứng dụng hình chiếu vuông
góc của một điểm xuống mặt phẳng trong hình học không gian
6
I. Những giải pháp mới 6
II. Những giải pháp mới trong các nội dung cụ thể 7
1. Hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng 7
1.1. Khái niệm hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt
phẳng
7
nhiều lần thay sách với nhiều thay đổi song hình học không gian vẫn là nội dung
bắt buộc trong các đề thi Tốt nghiệp THPT, GDTX. Trong chương trình trước
đây cũng như trong những năm 2002 tới nay (khi thi theo đề chung), trong các
đề thi Đại học, Cao đẳng thì hình học học không gian là phần bắt buộc và không
thể thiếu. Trong đó, có hai phần là hình học không gian thuần túy và hình học
giải tích trong không gian. Mặc dù hình học giải tích trong không gian là phần
ứng dụng giải tích vào hình học không gian, tuy nhiên cách phân tích vấn đề
cũng như giải bài tập đều sử dụng hình học không gian thuần túy.
Với các đề thi Đại học, Cao đẳng gần đây; câu hình học không gian thuần
túy có hai phần, một phần tương đối dễ với học sinh, phần còn lại là câu phân
loại học sinh khá. Đa số học sinh hiểu đề và không khó khăn để giải phần đầu
tiên chủ yếu là tính thể tích khối đa diện. Tuy nhiên phần thứ hai liên quan đến
nhiều yếu tố hình học không gian như yếu tố về góc, về độ dài, về khoảng cách
giữa các yếu tố trong không gian. Do đó, chỉ một phần các em dự thi có thể làm
được và chủ yếu là các học sinh khá, giỏi môn Toán. Hơn nữa, hình học không
gian thuần túy vốn là phần cần khả năng tưởng tượng, phân tích, phán đoán và
tư duy tốt nên học sinh thường gặp nhiều khó khăn trong giải quyết các bài toán
hình học không gian thuần túy.
Trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh các năm gần đây thì hình học
không gian luôn là phần kiến thức trọng tâm và không thể thiếu. Đây cũng là câu
hỏi phân loại mức độ tư duy của các học sinh giỏi. Để làm được các bài toán đó,
không những cần nắm chắc các kiến thức cơ bản mà còn có hệ thống liên kết
chặt chẽ các kiến thức trong hình học không gian.
Trong hình học không gian thuần túy, góc và khoảng cách giữa các yếu tố
trong không gian, các quan hệ vuông góc là nội dung trọng tâm. Trong đó các
quan hệ vuông góc sẽ xoay quanh quan hệ đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng. Nếu bài toán chỉ dừng lại ở việc tìm hình chiếu vuông góc của một điểm
xuống mặt phẳng, đa số học sinh có thể làm được do kiến thức đã được rèn
luyện và hệ thống khá rõ ràng. Tuy nhiên để áp dụng nó trong các bài tập khác
thì đa số học sinh còn lúng túng do không hiểu vận dụng như thế nào. Nguyên
GIAN
I. Nội dung về góc và khoảng cách trong hình học không gian ở các tài liệu
giáo khoa hiện hành:
Trong các tài liệu giáo khoa hiện hành (Sách giáo khoa và Sách bài tập cơ
bản và nâng cao), kiến thức về góc và khoảng cách trong hình học không gian
được trình bày ở học kỳ II sách giáo khoa Hình học 11. Về tổng thể, tài liệu giáo
khoa đã trình bày các khái niệm cơ bản, các trường hợp đặc biệt cũng như hệ
thống các ví dụ và bài tập minh họa cho các kiến thức về góc và khoảng cách
trong hình học không gian. Tuy nhiên một số dạng toán còn chưa được đưa ra
(khoảng cách giữa hai điểm), một số dạng toán chỉ đưa ra cách giải chung nhất
mà thông thường không thể áp dụng ngay trong bài học (khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng…), một số dạng toán còn không có hoặc
rất ít các ví dụ minh họa cũng như bài tập rèn luyện (góc giữa đường thẳng và
mặt phẳng, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng…)
II. Hạn chế của giải pháp cũ:
Ở phần trên đã trình bày một số nội dung cơ bản về góc và khoảng cách
trong hình học không gian ở các tài liệu giáo khoa hiện hành. Sau một thời gian
nghiên cứu các nội dung trên, cũng như đọc qua rất nhiều tài liệu tham khảo và
dự giờ nhiều giáo viên khác, tôi nhận thấy trong cách giảng dạy cũ còn một số
hạn chế như sau:
Hạn chế 1: Các bài toán cũng như cách giải nêu ra còn khá tổng quan,
chưa rõ ràng chi tiết theo từng bước cụ thể chi tiết nên làm học sinh khó tiếp thu.
Một số dạng toán còn chưa được nêu đầy đủ trong các tài liệu giáo khoa do
lượng thời gian có hạn trong chương trình. Tuy nhiên trong các đề thi vẫn xuất
hiện những dạng toán đó làm cho học sinh lúng túng, không định hướng được
cách giải.
Hạn chế 2: Các bài toán cơ bản nêu trong các tài liệu giáo khoa đã nêu ra
một số cách giải tổng quát để học sinh áp dụng. Tuy nhiên thực tế giảng dạy cho
thấy chỉ một số ít học sinh có thể áp dụng được cách giải đó. Còn đa số học sinh
cảm thấy lúng túng, có thể hiểu cách giải nhưng không biết áp dụng, bắt đầu từ
nhiên”.
Như vậy có thể thấy rằng nếu giáo viên chỉ giảng dạy theo các tài liệu
giáo khoa hiện hành thì làm cho học sinh khó tiếp thu các kiến thức về góc và
khoảng cách trong hình học không gian, dẫn đến tâm lý ngại học và nghĩ rằng
chúng quá khó và chỉ dành cho học sinh giỏi. Ngoài ra, kiến thức các em được
học không đủ để các em tham gia các kì thi học sinh giỏi hoặc thi tuyển sinh đại
học, cao đẳng. Và học sinh thường mất điểm ở câu hỏi này, một điểm mất rất
đáng tiếc. Do đó những yêu cầu của giải pháp mới cần phải đạt được và chi tiết
hóa trong các nội dung của sáng kiến sẽ được trình bày trong phần tiếp theo.
6
Phần II.
NHỮNG GIẢI PHÁP MỚI ĐỂ ỨNG DỤNG HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC
CỦA MỘT ĐIỂM XUỐNG MẶT PHẲNG TRONG HÌNH HỌC KHÔNG
GIAN
I. Những giải pháp mới:
Để khắc phục những hạn chế của giải pháp cũ, giúp học sinh và các thầy
cô giáo có cách tiếp cận tốt hơn với các ứng dụng của hình chiếu vuông góc của
một điểm xuống mặt phẳng trong hình học không gian, tôi đưa ra các giải pháp
sau:
Giải pháp 1: Đưa ra các nguyên tắc cơ bản và một số trường hợp thường
gặp để dựng hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng. Từ đó
chuyển nội dung trọng tâm từ “đường thẳng vuông góc vơi mặt phẳng” sang
nội dung trọng tâm “hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng”.
Với nội dung này, học sinh dễ nhớ và áp dụng hơn.
Giải pháp 2: Hệ thống hóa thành một số dạng bài tập cơ bản về góc và
khoảng cách trong hình học không gian, hoàn thiện và bổ sung các dạng toán
thường gặp trong các đề thi Đại học Cao đẳng mà trong các tài liệu giáo khoa
chưa trình bày. Với mỗi dạng bài tập đều đưa ra phương pháp giải ứng dụng
hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng với các bước áp dụng cụ
thể. Qua đó học sinh có kiến thức tổng hợp, hệ thống và tư duy mạch lạc để giải
A
α
∉
. Ngoài ra, hình
chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (α) luôn tồn tại duy nhất.
Hình chiếu vuông góc của một điểm có tính chất hình học rất thú vị. Nếu
M là điểm bất kỳ trên (α) thì AM ≥ AH hay H là điểm thỏa mãn khoảng cách từ
A đến một điểm bất kỳ trên (α) là nhỏ nhất.
1.2. Cách dựng hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng.
Để dựng hình chiếu vuông góc H của điểm A trên mặt phẳng (α), ta thường
dựng đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với mặt phẳng (α). Khi đó, H chính là
giao điểm của đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α).
Tuy nhiên, việc dựng đường thẳng ∆ thông thường là khó khăn. Do đó, việc
xác định điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (α) thông
thường được xác định thông qua các bước sau:
Bước 1: Qua điểm A, dựng mặt phẳng (β) vuông góc với mặt phẳng (α).
Bước 2: Xác định d là giao tuyến của mặt phẳng (α) và (β).
8
α
H
A
M
Bước 3: Trong mặt phẳng (β), từ A kẻ đường thẳng ∆ vuông góc với d tại H.
Khi đó H là điểm cần dựng.
1.3. Một số trường hợp đặc biệt tìm hình chiếu vuông góc của một điểm xuống
mặt phẳng.
Trong phần trên, ta đã có các bước cơ bản để dựng hình chiếu vuông góc của
một điểm xuống mặt phẳng. Tuy nhiên, việc dựng mặt phẳng (β) là không hề
đơn giản trong một số trường hợp cụ thể. Do đó, để việc dựng hình chiếu vuông
góc của điểm A xuống mặt phẳng (α) đơn giản và cụ thể hơn, ta tìm hiểu một số
d
∆
a
A
H
β
α
d
∆
A
H
β
α
d
H
d'
A
M
α
Hình chiếu vuông góc H của điểm A xuống mặt phẳng (α) là tâm đường tròn
ngoại tiếp của ∆MNP.
Dạng VI: Tồn tại hai điểm M, N phân biệt nằm trên mặt phẳng (α) sao cho
AM = AN (hay AM, AN tạo với mặt phẳng (α) các góc bằng nhau).
Gọi I là trung điểm của MN. Trong mặt phẳng (α), kẻ đường thẳng d qua I,
vuông góc với MN. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d. Khi đó H là
điểm cần dựng.
Dạng VII: Tồn tại các điểm M, N, P phân biệt sao cho AM, AN, AP đôi một
vuông góc với nhau tại A.
Hình chiếu vuông góc H của điểm A xuống mặt phẳng (α) là trực tâm
∆MNP. Hoặc ta gọi I là hình chiếu của M trên đường thẳng NP, H là hình chiếu
2.1. Ứng dụng trong bài toán về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Trong không gian, cho đường thẳng d và mặt phẳng (α). Trường hợp d song
song hoặc nằm trong (α) thì góc giữa d và (α) là 0
0
. Do đó, ta chỉ xét trường hợp
đường thẳng d và mặt phẳng (α) cắt nhau. Khi đó, góc giữa đường thẳng d và
mặt phẳng (α) được xác định thông qua các bước sau:
Bước 1: Tìm giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng (α).
Bước 2: Trên đường thẳng d, chọn một điểm A khác M sao cho dễ dàng dựng
hình chiếu vuông góc H của A xuống mặt phẳng (α).
Bước 3: Chứng minh góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) là
AMH
∠
.
Việc tính góc đó cũng rất đơn giản do đó là một góc nhọn trong ∆AMH
vuông tại H. Điều quan trọng là việc chọn điểm A thích hợp. Để làm rõ hơn, ta
xét một số ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết
rằng ∆ABC đều cạnh a.
a/ Tính SA biết rằng góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) là 60
0
.
b/ Xác định và tính góc giữa SM và mặt phẳng (ABC), với M là trung điểm
của cạnh BC.
c/ Xác định và tính góc giữa AC và mặt phẳng (SBC).
d/ Xác định và tính góc giữa BC, SC và mặt phẳng (SAB).
Giải:
a/ Do SB cắt mặt phẳng (ABC) tại B. Do SA ⊥ (ABC) nên góc giữa SB và
mặt phẳng (ABC) là
0
. Xét ∆ACH vuông tại H. Ta có AC = a,
2 2
. 3 3
sin
15 15
SA AM a
AH ACH
SA AM
= = ⇒ =
+
.
d/ BC cắt mặt phẳng (SAB) tại B. Gọi N là trung điểm của cạnh AB. Khi đó
CN ⊥ AB nên N là hình chiếu vuông góc của C trên mặt phẳng (SAB). Do đó
góc giữa BC và mặt phẳng (SAB) là
0
60CBN
∠ =
.
SC cắt mặt phẳng (SAB) tại S. Hình chiếu vuông góc của C xuống mặt phẳng
(SAB) là N nên góc giữa SC và (SAB) là
CSN
∠
.
Ta có
2 2
3 13 13
; tan
2 2
3
a a SN
= = ⇒ = ⇒ =
.
b/ Do O là hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) nên góc giữa SM và
(ABCD) là
SMO
∠
.
Xét ∆SOM vuông tại O,
2 2
5
2, 2. . .sin
2
a
SO a OM OC CM OC CM OCM
= = + − =
. Vậy
2 10
tan
5
SO
SMO
OM
= =
.
c/ Gọi P là trung điểm của cạnh OD. Khi đó NP // SO hay P là hình chiếu
vuông góc của N trên (ABCD). Do đó góc giữa AN và (ABCD) là
NAP
∠
. Xét
∆APN vuông tại P,
2, sin
3
3
SO OE a OH
OA a OH OAH
OA
SO OE
= = = ⇒ = =
+
.
Ví dụ 3: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a tâm O. Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và BC. Biết góc giữa MN và mặt
phẳng (ABCD) là 60
0
. Xác định và tính góc giữa MN và mặt phẳng (SBD).
Giải:
Do S.ABCD là hình chóp đều nên hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD)
là O. Gọi H là trung điểm của OA. Khi đó MH // SO nên H là hình chiếu vuông
góc của M trên (ABCD). Do MN cắt (ABCD) tại N nên góc giữa MN và
(ABCD) là
0
60MNH
∠ =
. Ta có
3 3 2 10
;
2 4 4 4
a a a
CN CH AC NH
= = = ⇒ =
MIP
IP
= =
.
15
A
B C
D
O
S
N
M
P
Q
H
I
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, BA =
a. ∆SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC). Gọi M, N là
trung điểm của SA, BC. Tính độ dài cạnh SB biết góc giữa MN và (ABC) bằng
60
0
.
Bài 2: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa AB’ và mặt phẳng
(ABC) là 60
0
. Gọi M là trung điểm đoạn thẳng B’C’.
a/ Tính côsin góc giữa đường thẳng AI và mặt phẳng (A’B’C’), với I là giao
điểm của BC’ và B’C.
b/ Tính góc giữa đường thẳng AM và mặt phẳng (A’BC).
thẳng BC tạo với mặt phẳng (α) góc 45
0
.
2.2. Ứng dụng trong bài toán về góc giữa hai mặt phẳng.
Trong chương trình sách giáo khoa đã đưa ra hai phương pháp xác định góc
giữa hai mặt phẳng (α) và (β). Cách thứ nhất là xác định hai đường thẳng d và d’
lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng; khi đó góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa
d và d’. Cách thứ hai là xác định mặt phẳng (P) vuông góc với giao tuyến ∆ của
hai mặt phẳng, xác định giao tuyến a và b của (P) lần lượt với (α) và (β); khi đó
góc giữa a và b là góc giữa hai mặt phẳng.
Tuy nhiên, trên thực tế học sinh rất lúng túng trong việc xác định góc giữa
hai mặt phẳng. Do với cách thứ nhất, việc xác định các đường thẳng vuông góc
16
với các mặt phẳng đã khó, việc xác định góc giữa hai đường thẳng bất kỳ đó
cũng không phải đơn giản. Với cách thứ hai, việc xác định mặt phẳng (P) vuông
góc với giao tuyến là khá trừu tượng.
Do đó, để học sinh có cách nhìn rõ ràng hơn, qua đó có thể giải quyết được
bài toán về góc giữa hai mặt phẳng, ta xét hai cách tường minh hơn như sau:
Cách 1: Chọn trong không gian một điểm M sao cho từ M có thể dựng được
A và B lần lượt là hình chiếu vuông góc của M xuống (α) và (β). Khi đó góc
giữa (α) và (β) là
·
AMB
(nếu là góc nhọn) hoặc
·
0
180 AMB
−
(nếu góc
·
N
Giao tuyến của (SBC) và (ABC) là đường thẳng BC. Do đó để dựng góc giữa
(SBC) và (ABC), ta chỉ cần tìm hình chiếu của A xuống đường thẳng giao tuyến
BC.
a/ Gọi M là trung điểm của BC, khi đó AM ⊥ BC. Do đó góc giữa (SBC) và
(ABC) là
SMA
∠
. Xét ∆SMA vuông tại A,
3 2
; tan
2
3
a
SA a AM SMA= = ⇒ =
.
b/ Do AB ⊥ BC nên góc giữa (SBC) và (ABC) là
0
45SBA
∠ =
(do ∆SAB
vuông cân tại A).
c/ Do ∆ABC cân tại C,
0
120ACB
∠ =
nên hình chiếu của A xuống BC là
điểm N nằm ngoài đoạn thẳng BC về phía C (như hình vẽ). Do đó góc giữa
(SBC) và (ABC) là
SNA
H
G
Q
N
P
a/ Do (SBC) và (ABCD) cắt nhau theo giao tuyến BC, hình chiếu vuông
góc của S xuống (ABCD) là tâm O của hình vuông ABCD, OM ⊥ BC nên góc
giữa (SBC) và (ABCD) là
0
45SMO
∠ =
. Xét ∆SMO vuông tại O,
0
.tan 45OM a SO OM a
= ⇒ = =
. Do đó
2 2
3SA SO OA a
= + =
.
b/ Tương tự ý a, (SAM) cắt (ABCD) theo giao tuyến AM, O là hình chiếu
của S xuống (ABCD). Gọi H là hình chiếu của O xuống AM. Khi đó góc giữa
(SAM) và (ABCD) là
SHO
∠
. Gọi G là giao của OB và AM, khi đó G là trọng
tâm ∆ABC nên
1 2
3 3
a
2
2
BD
MN a
= =
. Do ∆SOM có SO = OM = a, SO ⊥ OM nên P là trung điểm
của đoạn thẳng SM. Khi đó
2
2
SM a
OP
= =
. Do đó
0
, 60
2
2 2
MN a a
PQ OM ON MON
= = = = ⇒ ∠ =
. Vậy góc giữa hai mặt phẳng
(SBC) và (SCD) là 60
0
.
Chú ý: Qua ví dụ 2, ta thấy việc áp dụng cách 1 hay cách 2 phụ thuộc vào
vị trí của hai mặt phẳng và cách nhìn vị trí điểm thuận lợi với mặt phẳng. Tuy
nhiên, ở một số trường hợp cụ thể với các vị trí của hai mặt phẳng đặc biệt, ta có
thể dựng góc giữa hai mặt phẳng theo một cách khác. Ví dụ câu 2c, ta có thể lợi
19
dụng tính chất SC ⊥ BD, do đó gọi I là hình chiếu của B trên SC thì I là hình
AA a AM A MA
= = ⇒ =
.
20
B’
B
A
A’
C’
C
M
H
b/ Tương tự như trên, gọi H là hình chiếu của A xuống BC. Do đó góc giữa
(A’BC) và (ABC) là
'A HA
∠
. Xét ∆A’AH vuông tại A,
3 ' 2
' ; tan '
2
3
a AA
AA a AH A HA
AH
= = ⇒ = =
.
c/ Do AB ⊥ BC nên tương tự như trên, góc giữa (A’BC) và (ABC) là
'A BA
∠
. Xét ∆A’BA vuông tại A, ta có
đáy ABCD là hình thoi có góc ∠BAD = 60
0
và mặt (SDC) tạo với (ABCD) một
góc 30
0
. Tính V khối chóp S.ABCD.
Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, AB = 2a,
0
120BAC
∠ =
. Biết
0
90SBA SCA
∠ = ∠ =
, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và
(ABC) là 45
0
. Tính V khối chóp S.ABC theo a, góc giữa mặt phẳng (SAB) và
(ABC).
Bài 6: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông
tại B, AB = 1, AA’ = 2,
2BC
=
. Mặt phẳng (P) đi qua A vuông góc với A’C.
Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (ABC).
Bài 7: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có A’.ABC là hình chóp tam giác
đều cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA’ = b. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng
(ABC) và mặt phẳng (A’BC). Tính tanα theo a và b.
Bài 8: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB =
2, BC = 4. Hình chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với
Bước 2: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng (α). Tính độ
dài đoạn thẳng AH và HB.
Bước 3: Khi đó xét ∆AHB vuông tại H, ta có:
2 2
AB AH HB
= +
.
Để làm rõ hơn phương pháp trên, ta xét một số ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có AB = a và đường thẳng A’B tạo
với đáy một góc 60
0
.
a/ Gọi P là trung điểm của cạnh CC’, Q là điểm trên cạnh A’B’ sao cho A’Q
= 2QB’. Tính độ dài đoạn thẳng PQ.
a/ Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và B’C’. Tính độ dài
đoạn thẳng MN.
c/ Gọi E là điểm trên cạnh B’C sao cho B’E = 2EC, F là trung điểm của cạnh
AA’. Tính độ dài đoạn thẳng EF.
22
Giải:
Góc giữa A’B và mặt phẳng (ABC) là
0
' 60 ' 3A BA AA a
∠ = ⇒ =
.
a/ Do lăng trụ đứng nên hình chiếu vuông góc của P trên (A’B’C’) là C’. Do
đó
2 2
' 'PQ PC C Q
= +
A
C
M
A’
N
C’
P
B
B’
E
K
Q
M’
F
G
Ta có
3 2 3
2 3 3
a a
CK EG CK= ⇒ = =
,
2 2 0
7
' ' 2 ' . ' .cos30
6
a
GF A F A G A F A G= + − =
nên
2 2
19
MN MI NI
= + =
.
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a. Trên đường
thẳng vuông góc với (ABC) tại điểm A lấy điểm S sao cho góc giữa (ABC) và
(SBC) bằng 60
0
. Tính độ dài đoạn thẳng SA theo a.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, SB vuông
góc với đáy, BC = a, SB = 2a. Gọi M và N là trung điểm của AB, SC. Tính độ
dài đoạn thẳng MN theo a.
Bài 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
0
120ABC
∠ =
. Điểm A’ cách đều các điểm A, B, D. Góc giữa đường thẳng AA’
24
S
N
M
C
B
A
I
H
và mặt phẳng (ABCD) là 60
0
. Gọi M là trung điểm đoạn thẳng A’B’, N là điểm
trên cạnh AD sao cho AN = 2ND.
Để làm rõ hơn phương pháp, ta xét một số ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau
tại S biết
; 2; 3SA a SB a SC a
= = =
.
a/ Tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng AC.
b/ Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.
Giải:
25
S
H
C
A
B
I
Copyright: Tài liệu đại học ©