CHUYÊNĐỀVỀ PHƯƠNGTRÌNHBẬCHAI
******************************
1
Ứngdụng1
Ứngdụng2
Ứngdụng3
Ứngdụng4
Ứngdụng5
Ứngdụng6
Ứngdụng7
Ứngdụng8
Nhẩmnghiệmcủap hươngtrìnhbậchaimộtẩn
Lậpphươngtrìnhbậchai
Tìmhaisốbiếttổngvàtíchcủachúng
Tínhgiátrịcủabiểuthứcnghiệmcủaphươngtrình
Tìmhệthứcliênhệgiữahainghiệmcủaphươngtrìnhsaochohai
nghiệmnàykhôngphụthuộcvàothamsố
Tìmgiátrịthamsốcủaphươngtrình thỏamãnbiểuthứcchứa
nghiệm 
Xácđị nhdấucácnghiệmcủaphươngtrìnhbậchai
Tìmgiátrịlớnnhất,giátrịnhỏnhấtcủabiểuthứcnghiệm

B.NỘIDUNGCHUYÊNĐỀ:
ỨNGDỤNGCỦAHỆTHỨCVIÉTTRONGGIẢITOÁN

Chophươngtrìnhbậchai: ax
2
+bx+c=0 (a¹0) (*)
Cóhainghiệm
1
2

= = = =
Vậy đặt: TổngnghiệmlàS: S=
1 2
b
x x
a
-
+ =
Tích nghiệmlàP: P=
1 2
c
x x
a
=
Nhưvậy tathấy giữahainghiệm củaphươngtrình(*)cóliênquanchặtchẽvới cáchệsốa,b,c.
Đâychínhlànội dungcủaĐịnhlí VIÉT,sauđâytatìm hiểumộtsốứngdụngcủađịnhlí này tronggiải
toán.

I.NHẨMNGHIỆMCỦAPHƯƠNGTRÌNH:
1.Dạng đặcbiệt:

Xétphươngtrình (*)tathấy :
a)Nếuchox =1thì tacó(*)ó a.1
2
+b.1+c=0 ó a+b+c=0
Nhưvâyphươngtrìnhcómộtnghiệm
1
1x = vànghiệm cònlại là
2
c

2
x
-
=
Phươngtrình(2)códạnga+b+c=0nêncónghiệm
1
1x = và
2
11
3
x
-
=

Bàitậpápdụng:
Hãy tìm nhanhnghiệm củacácphươngtrìnhsau:
1.
2
35 37 2 0x x - + = 2.
2
7 500 507 0x x + - =
3.
2
49 50 0x x - - = 4.
2
4321 21 4300 0x x + - =

2.Chophươngtrình ,cómộthệsốchưabiết,chotrướcmộtnghiệmtìmnghiệmcònlạivàchỉrahệsố
củaphươngtrình:


2
x
x
= =
b)Thay
1
5x = v àphươngtrìnhban đầutađược
25 25 0 50q q + + = Þ = -
Từ
1 2
50x x = - suyra
2
1
50 50
10
5
x
x
- -
= = = -
c)Vì vaitròcủax
1
vàx
2
bình đẳngnên theođềbài giảsử
1 2
11x x - = vàtheoVIÉT tacó
1 2
7x x + = ,ta
giảihệsau:

5
x
x x
x
= -
é
= Û = Û
ê
=
ë
Với
2
5x = - thì
1
10x = -
Với
2
5x = thì
1
10x =

II.LẬPPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAI
1.Lậpphươngtrìnhbậchaikhibiếthainghiệm

1 2
;x x
Vídụ:Cho
1
3x =
 ;

=3
2. x
1
=3a vµ x
2
=a
3. x
1
=36 vµ x
2
=104
4. x
1
=
1 2 +
vµ x
2
=
1 2 -

2.Lậpphươngtrìnhbậchaicóhainghiệmthoảmãnbiểuthứcchứahainghiệmcủamộtphương
trìnhchotrước:

V ídụ:Chophươngtrình:
2
3 2 0x x - + = có2nghiệmphânbiệt
1 2
;x x .Khônggiảiphươngtrìnhtrên,
hãylậpphươngtrìnhbậc2cóẩnlày thoảmãn:
1 2

2 2
P y y x x x x
x x x x
= = + + = + + + = + + + =
Vậy phươngtrìnhcầnlậpcódạng:
2
0y Sy P - + =
hay
2 2
9 9
0 2 9 9 0
2 2
y y y y - + = Û - + =

Bàitậpápdụng:

1/Chophươngtrình
2
3 5 6 0x x + - = có2 nghiệmphânbiệt
1 2
;x x .Khônggiảiphươngtrình,Hãylập
phươngtrìnhbậchaicócácnghiệm
1 1
2
1
y x
x
= + và
2 2
1

;x x .Hãylậpphươngtrìnhbậchaicócác
nghiệm
1 2
;y y saocho:
a)
1 1
3y x = -
và
2 2
3y x = - b)
1 1
2 1y x = -
và
2 2
2 1y x = -
(Đápsố a)
2 2
4 3 0y y m - + - = b)
2 2
2 (4 3) 0y y m - - - = )

III.TÌMHAISỐBIẾTTỔNGVÀTÍCHCỦACHÚNG

NếuhaisốcóTổngbằngSvàTíchbằngPthì haisốđólàhainghiệm củaphươngtrình:
2
0x Sx P - + = (điềukiện đểcóhaisốđólàS
2
- 4P ³ 0)
Vídụ: Tìm haisốa,bbiếttổngS=a+b= -3vàtích P=ab= -4
Vì a+b= -3và ab= -4n êna,blànghiệm củaphươngtrình:

2.a -b=5và ab=36
3.a
2
+b
2
=61v à ab=30
Hướngdẫn:1)Theođềbài đãbiếttổngcủahaisốavàb,vậy để ápdụnghệthứcVIÉT thì cần tìm tích
củaav àb.
Từ
( )
( )
2 2
2
2 2
81
9 81 2 81 20
2
a b
a b a b a ab b ab
- +
+ = Þ + = Û + + = Û = =
Suyra:a,blànghiệm củaphươngtrìnhcódạng:
1
2
2
4
9 20 0
5
x
x x

4nênb=4
Cách2:Từ
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
4 4 169a b a b ab a b a b ab - = + - Þ + = - + =
( )
2
2
13
13
13
a b
a b
a b
+ = -
é
Þ + = Þ
ê
+ =
ë
*)Với
13a b + = -
vàab =36,nêna,blànghiệm củaphươngtrình:
1
2
2
4
13 36 0
9
x

Từ:a
2
+b
2
=61
( )
2
2 2 2
2 61 2.30 121 11a b a b ab Þ + = + + = + = =
11
11
a b
a b
+ = -
é
Þ
ê
+ =
ë
*)Nếu
11a b + = -
vàab=30thì a,blàhainghiệm củaphươngtrình:
1
2
2
5
11 30 0
6
x
x x

ê
=
ë
Vậy nếua=5thì b=6;nếua=6thì b=5.

IV.TÍNHGIÁTRỊCỦACÁCBIỂUTHỨCNGHIỆM

Đối cácbài toán dạngnày điềuquantrọngnhấtlàphảibiếtbiến đổi biểuthứcnghiệm đãchovề
biểuthứccóchứatổngnghiệm Svàtích nghiệm PđểápdụnghệthứcVIÉT rổi tính giátrị củabiểuthức

1.Biếnđổibiểuthứcđểlàmxuấthiện:(

1 2
x x +
 )và

1 2
x x
CHUYấNV PHNGTRèNHBCHAI
******************************
5
Vớ d1 a)
2 2 2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
( 2 ) 2 ( ) 2x x x x x x x x x x x x + = + + - = + -
b)
( )
( )
( ) ( )
2

4 4x x x x x x x x x x x x - = + - ị - = + -
Tcỏcbiuthcóbin i trờnhóy bin i cỏcbiuthcsau:
1.
2 2
1 2
x x - (
( )( )
1 2 1 2
x x x x = - + =.)
2.
3 3
1 2
x x - (=
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
x x x x x x x x x x x x
ộ ự
- + + = - + -
ở ỷ
=.)
3.
4 4
1 2
x x - (=
( )( )
2 2 2 2

2
8 15 0x x - + = Khụnggiiphngtrỡnh,hóytớnh
1.
2 2
1 2
x x + (34) 2.
1 2
1 1
x x
+
8
15
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
3.
1 2
2 1
x x
x x
+
34
15
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
4.
( )
2
1 2

ố ứ
2.
2 2
1 2
x x + (138)
d)Chophngtrỡnh:
2
2 3 1 0x x - + = Khụnggiiphngtrỡnh,hóytớnh:
1.
1 2
1 1
x x
+ (3) 2.
1 2
1 2
1 1x x
x x
- -
+ (1)
3.
2 2
1 2
x x + (1) 4.
1 2
2 1
1 1
x x
x x
+
+ +

2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
6 10 6 6( ) 2 6.(4 3) 2.8 17
Q
5 5 80
5.8 (4 3) 2.8
5 2
x x x x x x x x
x x x x
x x x x x x
+ + + - -
= = = =
+ ộ ự ộ ự
-
+ -
ở ỷ
ở ỷ
CHUYÊNĐỀVỀ PHƯƠNGTRÌNHBẬCHAI
******************************
6

V. TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI
NGHIỆMNÀYKHÔNGPHỤTHUỘC(HAYĐỘCLẬP)VỚITHAMSỐ

Đểlàm cácbài toán loại này,talàm lầnlượttheocácbướcsau:
Đặtđiềukiện chothamsốđểphươngtrình đãchocóhainghiệm x
1
vàx
2

1
vàx
2
th ì :
2
1
1
1 0 1
4
' 0 5 4 0
( 1)( 4) 0
5
m
m
m m
m
m
m m m
¹
ì
¹
- ¹ ¹
ì
ì ì
ï
Û Û Û
í í í í
³ - ³
³
- - - ³

ï ï
- -
î î
Rút m từ (1)tacó:
1 2
1 2
2 2
2 1
1 2
x x m
m x x
= + - Û - =
- + -
(3)
Rútm từ (2)tacó:
1 2
1 2
3 3
1 1
1 1
x x m
m x x
= - Û - =
- -
(4)
Đồngnhấtcácvếcủa(3)và(4)tacó:
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
2 3

m m
m
m
m m m
¹
ì
¹
- ¹ ¹
ì
ì ì
ï
Û Û Û
í í í í
³ - ³
³
- - - ³
î î
î
ï
î
V
TheohệthứcVI ÉT tac ó:
1 2
1 2
2
1
4
.
1
m

= + + - = + - = = =
- - - -
Vậy A=0với mọi
1m ¹
và
4
5
m ³ .DođóbiểuthứcAkhôngphụthuộcvàom

Nhậnxét:

Lưuý điềukiện chothamsốđểphươngtrình đãchocó2nghiệm
SauđódựavàohệthứcVIÉTrútthamsốtheotổngnghiệm,theotíchnghiệmsauđóđồngnhất
cácvếtasẽđượcmộtbiểuthứcchứanghiệm khôngphụthuộcvào thamsố.

Bàitậpápdụng:

1.Chophươngtrình:
( ) ( )
2
2 2 1 0x m x m - + + - = có2nghiệm
1 2
;x x .Hãylậphệthứcliênhệgiữa
1 2
;x x
saocho
1 2
;x x độclậpđốivới m.
Hướngdẫn:Dễ thấy
( ) ( ) ( )

= -
=
î
ï
î
Từ(1)và(2)tacó:
( )
1 2
1 2 1 2 1 2
1
2 2 5 0
2
x x
x x x x x x
+
+ - = Û + - - =
2.Chophươngtrình:
( ) ( )
2
4 1 2 4 0x m x m + + + - = .
Tìmhệthứcliênhệgiữa
1
x và
2
x saochochúngkhôngphụthuộcvàom.
Hướngdẫn:Dễ thấy
2 2
(4 1) 4.2( 4) 16 33 0m m m D = + - - = + > dođóphươngtrình đãcholuôncó2
nghiệm phânbiệtx
1

Vídụ1:Chophươngtrình:
( ) ( )
2
6 1 9 3 0mx m x m - - + - =
Tìmgiátrịcủathamsốm để2nghiệm
1
x và
2
x thoảmãnhệthức:
1 2 1 2
.x x x x + =
Bàigiải: Điềukiện đểphươngtrìnhcó2nghiệmx
1
vàx
2
l à:
CHUYÊNĐỀVỀ PHƯƠNGTRÌNHBẬCHAI
******************************
8
( )
( )
( )
2
2 2
0
0
0
0
' 9 2 1 9 27 0 ' 9 1 0
1

Theoh ệ th ứcVI ÉT tac ó:
1 2
1 2
6( 1)
9( 3)
m
x x
m
m
x x
m
-
ì
+ =
ï
ï
í
-
ï
=
ï
î
v àtừ gi ảthi ết:
1 2 1 2
x x x x + = .Suyra:
6( 1) 9( 3)
6( 1) 9( 3) 6 6 9 27 3 21 7
m m
m m m m m m
m m

4 7 0
4
m m Û - ³ Û ³
TheohệthứcVIÉTtacó:
1 2
2
1 2
2 1
2
x x m
x x m
+ = +
ì
í
= +
î
vàtừgiảthiết
( )
1 2 1 2
3 5 7 0x x x x - + + = .Suyra
2
2
2
3( 2) 5(2 1) 7 0
3 6 10 5 7 0
2( )
3 10 8 0
4
( )
3

1
x và
2
x thoảmãnhệthức:
1 2
2 0x x - =
2. Chophươngtrình:
( )
2
1 5 6 0x m x m + - + - =
Tìm m để2nghiệm
1
x và
2
x thoảmãnhệthức:
1 2
4 3 1x x + =
3. Chophươngtrình:
( ) ( )
2
3 3 2 3 1 0x m x m - - - + = .
Tìm m để2nghiệm
1
x và
2
x thoảmãnhệthức:
1 2
3 5 6x x - =

Hướngdẫncáchgiải:

x x
m
m
x x
m
- -
ì
+ =
ï
ï
í
+
ï
=
ï
î
Từ
1 2
2 0x x - = Suyra:
1 2 2
2
1 2 1 2
1 2 1
3
2( ) 9
2( ) 3
x x x
x x x x
x x x
+ =

1 1 2
1 2 1 2 1 2
2 1 2
2
1 2 1 2 1 2
x 1 3(x x )
x x 1 3(x x ) . 4(x x ) 1
x 4(x x ) 1
x x 7(x x ) 12(x x ) 1
= - +
ì
Þ = - + + -
í
= + -
î
Û = + - + -
(2)
Thế(1)vào(2)tacóphươngtrình:
0
12 ( 1) 0
1
m
m m
m
=
é
- = Û
ê
=
ë

3 5 6x x - = .Suyra:
[ ] [ ]
1 1 2
1 2 1 2 1 2
2 1 2
2
1 2 1 2 1 2
8 5( ) 6
64 5( ) 6 . 3( ) 6
8 3( ) 6
64 15( ) 12( ) 36
x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x x
= + +
ì
Þ = + + + -
í
= + -
î
Û = + - + -
(2)
Thế(1)vào(2)tađượcphươngtrình:
0
(45 96) 0
32
15
m
m m

D

Điềukiệnchung

tráidấu
±
m
P<0
D ³0 D ³0 ;P <0.
cùngdấu,
± ±
P>0
D ³0 D ³0;P>0
CHUYÊNĐỀVỀ PHƯƠNGTRÌNHBẬCHAI
******************************
10
cùngdương,
+ + S>0
P>0
D ³0 D ³0;P>0;S>0
cùngâm
- -
S<0
P>0
D ³0 D ³0 ;P>0;S<0.
Ví dụ:Xácđịnhthamsốmsaochophươngtrình:
( )
2 2
2 3 1 6 0x m x m m - + + - - = có2nghiệmtráidấu.
Đểphươngtrìnhcó2nghiệm trái dấuthì

= - + <
= <
î
î
ï
î
Vậy với
2 3m - < <
thì phươngtrìnhcó2nghi ệm trái dấu.

Bàitậpthamkhảo:

1.
( ) ( )
2
2 2 3 2 0mx m x m - + + - = có2nghiệmcùngdấu.
2.
( )
2
3 2 2 1 0mx m x m + + + = có2nghiệmâm.
3.
( )
2
1 2 0m x x m - + + = cóítnhấtmộtnghiệmkhông âm.

VIII.TÌMGIÁTRỊLỚNNHẤTHOẶCGIÁTRỊNHỎNHẤTCỦABIỂUTHỨCNGHIỆM

Ápdụng tính chấtsauvềbấtđẳngthức:trongmọi trườnghợpnếutaluônphântích được:
A m
C

6A x x x x = + - cógiátrịnhỏnhất.
Bàigiải:TheoVIÉT:
1 2
1 2
(2 1)x x m
x x m
+ = - -
ì
í
= -
î
Theođềb ài :
( )
2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
6 8A x x x x x x x x = + - = + -
( )
2
2
2
2 1 8
4 12 1
(2 3) 8 8
m m
m m
m
= - +
= - +
= - - ³ -

Tacó: TheohệthứcVIÉT thì :
1 2
1 2
1
x x m
x x m
+ =
ì
í
= -
î
( )
1 2 1 2
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 3 2 3 2( 1) 3 2 1
2 1 ( ) 2 2 2
x x x x m m
B
x x x x x x m m
+ + - + +
Þ = = = =
+ + + + + + +

Cách1:
Thêmbớtđểđưavềdạngnhưphần (*)đãhướngdẫn
Tabiến đổi Bnhưsau:
( )
( )
2

max B=1 Û
m =1
Với cách thêmbớtkháctalại có:
( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2
2
2 2
2
1 1 1 1
2 1 4 4 2
2
1
2 2 2 2
2 2 2
2 2
m m m m m m
m
B
m m
m
+ + - + + - +
+
= = = -
+ +
+
Vì
( )
( )

B Bm m B
m
+
= Û - + - =
+
(Với m làẩn,B làthamsố) (**)
Tacó:
2
1 (2 1) 1 2B B B B D = - - = - +
Đểphươngtrình(**)luôncónghiệm vớimọi mthì D ³0
hay
( )( )
2 2
2 1 0 2 1 0 2 1 1 0B B B B B B - + + ³ Û - - £ Û + - £
1
2 1 0
2
1 0 1
1
1
2
2 1 0 1
2
1 0
1
B
B
B B
B
B

í - £
ê
î
ë
ê
ï
£
î
ë
Vậy:
max B=1 Û
m =1
1
min 2
2
B m = - Û = -

Bàitậpápdụng

1.Chophươngtrình:
( ) ( )
2
4 1 2 4 0x m x m + + + - = .Tìmm đểbiểuthức
( )
2
1 2
A x x = - có
giátrịnhỏnhất.
CHUYÊNĐỀVỀ PHƯƠNGTRÌNHBẬCHAI
******************************

2
( 1) 0x m m + + + = .Xácđịnhm đểbiểuthức
2 2
1 2
E x x = + đạtgiátrịnhỏnhất.