Tên đề tài :
“PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN VÀ NHỮNG
SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI TÍNH TÍCH PHÂN”
PHẦN A : ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong đề thi tốt nghiệp Bổ túc trung học phổ thổng
(BTTHPT),Trung học phổ thông (THPT) , Đại học , cao đẳng và
trung học chuyên nghiệp của các năm bài toán tích phân hầu như
không thể thiếu nhưng đối với học sinh THPT , BTTHPT bài toán
tích phân là một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự linh
hoạt của định nghĩa,tính chất và các phương pháp tính tích
phân.Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức
máy móc đó là : tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân
rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc các phương pháp tính tích
phân như đổi biến hoặc từng phần.
Khi học sinh dùng phương pháp từng phần gặp nhiều khó khăn
trong quá trình tính như Đặt u bằng đại lượng nào? dv bằng đại
lượng nào học sinh rất mơ hồ trong cách đặt và dạng bài tập nào là
phải dùng tích phân từng phần.
Hoặc là trong quá trình tính tích phân học sinh cứ việc tính mà
không để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên
hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không?phép đổi
1
biến đã đổi cận hay chưa?phép đặt biến mới trong phương pháp đổi
biến số có nghĩa không?phép biến đổi hàm số có tương đương
không?
Vì vậy trong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc phải
những sai lầm dẫn đến lời giải sai.
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi nhận thấy rõ điều này của học
sinh vì vậy tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến : Phương pháp tính tích
phân từng phần và một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính

V . PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Giới hạn ở vấn đề giảng dạy Nguyên hàm – Tích phân trong chương
trình lớp 12 ở BTTHPT,THPT
3
PHẦN B: NỘI DUNG
I . CƠ SỞ KHOA HỌC
Dưa trên nguyên tắc nhận thức của con người đi từ “cái tổng quát đến
cái cụ thể, từ cái sai đến cái gần đứng rồi mới đến cái đúng”,các
nguyên tắc dạy học và đặc điểm quá trình nhận thức của học sinh.
II . NỘI DUNG CỤ THỂ.
1. Tích phân bằng phương pháp từng phần
4
Công thức từng phần :
∫∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduvuudv .
Phương pháp :
B1/ Đặt một biểu thức nào đó dưới dấu tích phân bằng u tính d
u
.
Phần còn lại là d
v
, tìm v.
B2/ Dùng công thức tính tích phân từng phần.

baxbaxe
bãx
++
++
+
- Đặt



=
=
dxxgdv
xfu
).(
)(

Nếu bậc của
)(xf
là 2;3;4 thì ta tính từng phần 2;3;4 lần theo cách đặt
trên.
Loại 2 :
∫
b
a
dxxgxf ).(ln).(
5
Trong đó : -
)(xf
là một hàm đa thức
Đặt :

3
dxex
x
giải
a/ Đặt :



=
=
dxxdv
xu
.cos



=
=
⇔
xv
dxdu
sin
vậy : I =
1
2
cos
2
.sinsin.
2
0

12
2
Vậy : J =
( )
52)1
2
(41.cos.4cos12
2
0
2
0
2
−=−+−=+−−
∫
π
π
π
π
dxxxxx
c/ Đặt :





=
=
⇔



3
1
.
3
1

3
1
3331
0
33
1
0
31
0
3
+=+−=−=−
∫
eeeeedxeex
xxx
Ví dụ 2 ; tính các tích phân sau
a/ I =
∫
e
dxxx
1
.ln.
b/ J =
∫
+

dx
x
du
dxxdv
xu
vậy : I =
)1(
4
1
4
1
42
.
4
1
2
.
2
1
ln.
2
2
22
1
2
2
1
1
2
+=+−=−=−

2
.
)1ln(
2
2
2
x
v
dx
x
x
du
dxxdv
xu
Vậy : J =
dx
x
x
xdx
x
x
x
x
).
1
(2ln
2
1
.
1

1
0
22
−=+−− xx
Một số bài tập tương tự
Bài 1.tính các tích phân
a/ I =
dxex
x
)1(
1
0
22
∫
+
b/ J =
∫
3
4
2
sin
.
π
π
x
dxx
c/ K =
dxxx .cos.)13(
2
0

1
3
2x
dx
• Sai lầm thường gặp : I =
3ln2ln
2
1
3
1
3
=+=
+
−
−
∫
x
x
dx
7
• Nguyên nhân sai lầm: hàm số
2
1
+
=
x
y
không xác định tại
]1;3[2 −∈−=x


2
0
3
1x
dx
2./ J =
dxxx .1
2
3
2
−
∫
−
3./ K =
∫
2
0
6
sin
π
x
dx
Ví dụ 2. Tính tích phân : I =
∫
−
2
0
cos2
sin
π

xu
dux
• Nguyên nhân sai lầm : vì khi đổi cận về 1 và 2 thì trong biểu thức vẫn
còn chứa x
8
• Lời giải đúng :
xu cos2
−=
dxxdu .sin
=⇔
Đổi cận :
2
2
;10 =⇒==⇒= uxux
π
Vậy : I =
2lnln
2
1
2
1
==
∫
u
u
du
Chú ý : Khi làm bài tập về tích phân đổi biến cần chú ý
- Đổi cận.
- sau khi đổi cận ta làm hoàn toàn trên biến mới và cận mới mà không
còn biến cũ suất hiện trong phép tính tích phân khi ta đã đổi cận.

1
2
t
dt
dx
+
=
Mà :
2
2
)1(
1
sin1
1
t
t
x
+
+
=
+
Do đó ta có :
( ) ( )
c
t
tdt
t
dt
t
dt

Suy ra :
0tan1
2
2
tan1
2
2
tan1
2
sin1
0
0
+
+
+
−
=
+
−=
+
∫
π
π
π
x
x
dx
Do tan
2
π

−+
=
+
πππππ
π
π
πππ
0
2
0
2
000
)
42
(cos
)
42
(
)
42
(cos2)
42
(2cos1)
2
cos(1
sin1
x
x
d
x

−
πππ
π
x
• Chú ý : Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x)
phải là một hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a;b]
• Bài tập tương tự.
Tính tích phân : J =
∫
+
π
0
cos1 x
dx
Ví dụ 4 : Tính tích phân sau
a.) I =
dxx.sin1
2
0
∫
+
π
b.) J =
dxxx .12
2
0
2
∫
+−
Sai lầm thường gặp :






+=






+
ππ
= 2
( ) ( )
40sin0cos2sincos2
2
sin
2
cos
2
0
=+−−+−=









+=






+
ππ
Nhớ lại rằng :
AA =
2
do đó
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
xxxx
+=





∫∫
+=+
ππ
10
=






+






+=






+
∫∫
42
.
42






+






+
∫∫
42
.
42
sin22
42
.
42
sin22
2
2
3
2
3
0
ππππ
π




+−
π
π
π
ππ
xx
b. Sai lầm thường gặp :
J =
( ) ( ) ( )
( )
0
2
1
)1(.1.1.1.12
2
0
2
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2

2
∫∫∫∫∫
−+−−=−=−=+−
=
( ) ( )
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
0
2
=+=
−
+
−
−
xx
Chú ý : + đối với giá trị tuyệt đối
( )
)()(
2

−
π
2.) J =
dxxx .44
2
3
0
+−
∫
11
3.)
dxxx .2cottan
3
6
22
∫
−+
π
π
Ví dụ 5.Tính tích phân : I =
dx
x
x
.
1
1
1
1
4
2

∫∫
−−
−






+






−
=
+
−
Đặt : t =
dx
x
dt
x
x .
1
1
1
2

2
1
22
1
2
−
−−
−−+
−
=






−
−
+
−=
−
∫∫
ttdt
tt
t
dt
=
2
2
2

22
1
+
−
• Nguyên nhân sai lầm :
Khi ta chia cả tử và mẫu của biểu thức :
4
2
1
1
x
x
+
−
cho
2
x
là sai vì trong [-
1;1] chứa
0
=
x
nên ta không thể chia cả tử và mẫu cho
2
x
được.
• Lời giải đúng :
Ta thấy
12
12

x
xx
xx
xF
+
−
=








++
+−
=
Do đó : I =
223
223
ln
22
1
12
12
ln
22
1
.

1. Kết quả thực tế:
Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc giải những
dạng tích phân như đã nêu.Tuy nhiên giáo viên hướng dẫn học sinh tỉ
mỉ cách phân tích một bài toán tích phân,lựu chọn phương pháp phù
hợp trên cơ sở giáo viên đưa ra cách đặt u,dv(đối với những bài toán
sử dụng phương pháp từng phần), đưa ra những sai lầm mà học sinh
thường mắc phải trong quá trình suy luận,trong các bước tính tích
phân.Từ đó các em có nhưng lời giải đúng.
Sau khi hướng dẫn học sinh và yêu cầu học sinh giải một số bài tập
tích phân trong sách giáo khoa Giải tích lớp 12 , một số bài tập tích
phân trong sách bài tập Giải tích lớp 12 cơ bản , nâng cao và một số
bài trong các đề thi tuyển sinh vào đại học , cao đẳng và trung học
chuyên nghiệp của các năm trước thì các em đã làm tốt khi trình bày
cách giải,biết phân loại bài tâp, đặt u , dv rất thành thạo , không mắc
phải các sai lầm đáng tiếc.
13
2. Kết quả thực nghiệm
Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2011 – 2012
Kiểm tra trên lớp 12B(41 học sinh) không áp dụng sáng kiến .cho kết
quả
Xếp
loại
Đối tượng
Giỏi Khá TB Yếu
12B 0% 2% 38% 60%
Kiểm tra trên lớp 12B(41 học sinh) áp dụng sáng kiến.Cho kết quả như
sau:
Xếp
loại
Đối tượng

phần và những sai lầm khi tính tích phân.
17
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Giải tích cơ bản 12. TRần Văn Hạo – Vũ Tuấn ( Nhà Suất bản :
Giáo Dục )
2. Bài tập Giải tích cơ bản 12 . Vũ Tuấn – Lê Thị Thiên Hương
( Nhà Suất Bản Giáo Dục )
3. Bài tập giải tích nâng cao 12 . Nguyễn Huy Đoan – Đoàn Quỳnh
( Nhà Suất Bản Giáo Dục )
4. Hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp môn toán lớp 12. Phạm Vĩnh Phúc
( Nhà Suất Bản Giáo Dục )
5. Phương pháp tính tích phân. Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc ( Nhà
suất Bản Hà Nội)
6. Giải Tích Nâng Cao 12 . Nguyễn Huy Đoan – Đoàn Quỳnh ( Nhà
Suất Bản Giáo Dục )
18
MỤC LỤC:
PHẦN A: ĐẶT VẤN
ĐỀ……………………………………………… 1
19
I. Lý do chọn đề
tài……………………………………………… 1
II. Nhiệm vụ nghiên
cứu…………………………………………… …1
III. Đối tượng nghiên
cứu……………………………………… …… 2
IV. Phương pháp nghiên cứu………………………………………
… 2
V. Phạm vi nghiên
cứu 2