Bộ môn: Toán ứng dụng
GIẢNG VIÊN: NGUYỄN VĂN PHÚ
NHÓM SINH VIÊN THỰC HIỆN: NHÓM 7:
STT HỌ VÀ TÊN MSSV
1 Nguyễn Duy Cường 410BK023
2 Mai Phạm Hoàn Hảo 410BK076
3 Nguyễn Phước Huy 410BK101
4 Nguyễn Xuân Huy 410BK103
5 Trần Thiên Hương 410BK114
6 Đoàn Nhựt Nam 410BK180
7 Nguyễn Bảo Ngọc 410BK189
8 Nguyễn Quang Thái 410BK272
9 Nguyễn Hoàng Thút 410BK300
10 Trần Tấn Toàn 410BK324
11 Phạm Nguyễn Ái Vi 410BK372
Bộ môn: Toán ứng dụng
Lớp: BK10HTĐ
Nhóm 7 Trang 1
Bộ môn: Toán ứng dụng
Mục lục:
Lời nói đầu……………………………… 3
Lý thuyết………………………………….4
Đề các bài tập……………………………
23
Bài giải các bài tập
• Chương 1………………………… 26
• Chương 2………………………… 26
• Chương 3………………………… 29
• Chương 4………………………… 31
• Chương 5………………………… 36
• Chương 6………………………… 38

Số được gọi là số gần đúng của số chính xác , kí hiệu là ( được gọi là xấp xỉ ), nếu khác
không đáng kể và được dùng thay cho trong tính toán. Đại lượng được gọi là sai số thật
sự của số gần đúng . Trong thực tế, do không biết A, ta ước lượng một đại lượng dương
càng bé càng tốt thỏa điều kiện.
Được gọi là sai số tuyệt dối của số gần đúng a.
Sai số tương đối của số gần đúng a so với A là dại lượng được tính theo công thức:
Nếu không biết A, ta có thể thay bằng:
Sai số tuyệt đối:
Công thức tính sai số tương đối:
Nhóm 7 Trang 4
Bộ môn: Toán ứng dụng
1.2 BIỂU DIỄN SỐ THẬP PHÂN
Bất kì một số thập phân a nào cũng có thể viết dưới dạng:
Làm tròn một số thập phân là bỏ một số các chữ số bên phải sau dấu chấm thập phân để
được một số ngắn gọn hơn và gần đúng nhất so với . Giả sử ta muốn làm tròn dến chữ số
thứ sau dấu chấm thập phân của số a.
Ta thấy : và chọn số làm tròn là hoặc theo điều kiện:

Để làm tròn đến chữ số thứ sau dấu thập phân, ta xét chữ số thứ là . Nếu ta tăng lên một
đơn vị; còn nếu , giữ nguyên chữ số . Sau đó bỏ phần đuôi từ chữ số trở đi. Sai số thực
của so với được gọi là sai số làm tròn:
Khi đó sai số tuyệt đối của so với A được đánh giá như sau:
Cho với sai số tuyệt đối . Trong cách viết thập phân của số , chữ số được gọi là đáng tin
nếu:
Trong trường hợp ngược lại, chữ số được gọi là không đáng tin.
Nhóm 7 Trang 5
Bộ môn: Toán ứng dụng
Chương 2:
PHƯƠNG PHI TUYẾN
2.1) Đặt bài toán

Như vậy ta thu được và độ dài . Tiếp tục quá trình chia đôi như vậy đến n lần, ta được
kết quả sau:
Như vậy ta đượclà dãy tăng và bị chặn trên,còn là dãy giảm và bị chặn dưới. DO đó
chúng cùng hội tụ. Từ(2.3) ta có
Thông thường ta sử dụng công thức đánh giá sai số sau
2.3 Phương pháp lặp đơn
Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x)=0 (1) đến đoạn cách li nghiệm [a,b]
*ND của phương pháp:
Chuyển phương trình (1) về dạng tương đương
X=g(x) (2)
Trong đoạn [a,b]
Chọn 1 giá trị [a,b] tuỳ ý
Xây dựng dãy lặp {theo công thức:
=g() , (2.6)
Nhóm 7 Trang 7
Bộ môn: Toán ứng dụng
*Lưu ý:
Nghiệm của phương trình (2) còn được gọi là điểm bất động của hàm g(x)
Định nghĩa: Hàm g(x) được gọi là hàm co trong [a,b] nếu một số q [0,1]
(3)
Số q đến bất đẳng thức (3) gọi là hệ số co
Định lí 2.3: Nếu g(x) là hàm co trên [a,b], thì nó liên tục trên đó.
Định lí 2.4: Nếu hàm g(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và 0sao cho (a,b), , thì
g(x) là hàm co trên [a,b] với hệ số co là q
Định lý 2.5: (Nguyên lí ánh xạ co). Giả sử g(x) là hàm co trên đoạn [a,b] với hệ số co là
q. Đồng thời, x [a,b], g(x) [a,b]. Khi đó với mọi giá trị ban đầu trong [a,b], dãy lặp xác
định theo công thức (2.6) sẽ hội tụ về nghiệm duy nhất của phương trình (2.5) và ta có
công thức đánh giá sai số
Hoặc
2.4.Phương pháp Newton (còn gọi là phương pháp tiếp tuyến)

Bộ môn: Toán ứng dụng
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
3.1) phương pháp Gauss
Xét hệ phương trình đại số tuyến tính ở dạng ma trận
; X= ;
A gọi là ma trận hệ số của hệ
X gọi là ma trận ẩn số
B gọi là ma trận cột vế phải
• Các phép biến đổi sơ cấp
+ Nhân một hàng cho một số khác 0
+ Đổi chỗ 2 hàng cho nhau
+ Cộng hàng với một hàng khác sau khi đã nhân một số khác 0
Ma trận bậc thang là 1 ma trận thỏa
Các hàng khác 0 bao giờ cũng nằm trên hàng 0.
Trên hai hàng khác 0 phần tử khác 0 đầu tiên ở hàng bên dưới bao giờ cũng nằm bên phải
cột chứa phần tử khác 0 đầu trên ở hàng bên trên.
Để giải hệ ta thực hiện.
Trong đó là ma trận bậc thang.
3.2) phương pháp nhân tử LU
Xét hệ , trong đó
Nội dung của phương pháp
• Phân tích A thành tích LU
Nhóm 7 Trang 10
Bộ môn: Toán ứng dụng
L là ma trận tam giác dưới
U là ma trận tam giác trên
a) Phương pháp Doolittle
Trong đó:
L là ma trận tam giác dưới nhưng các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1.
U là ma trận tam giác trên.

Ta có:
Nhóm 7 Trang 13
Bộ môn: Toán ứng dụng
Đặt:
Để tính giá trị gần đúng của hàm số ta có thể lặp bảng sau đây:
Khi đó giá trị gần đúng của đa thức nội suy lagrange tại điểm x là:
Ch ương 5:
ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN
5.1) Tính gần đúng đạo hàm
Xét trường hợp bảng số hai điểm nút:
x
y y
o
Y
1
Với y
0
=f(x
0
) và y
1
= f(x
1
)=f(x
1
)=f(x
0
+h).Đa thức suy Lagrange có dạng:
(x)=
Với h=x

= x
1
– x
0
= h và y
0
= f(x
0
), y
1
= f(x
1
) = f(x
0
+ h), y
2
= f(x
2
) = f(x
0
+ 2h). Đây là
trường hợp thường dùng để sấp xỉ các đạo hàm. Đa thức Lagrange có dạng:
(x)=
Và
’(x)=(y
2
– 2y
1
) (y
2

I = (b – a) (5.7)
Ở đây: = dq (5,8)
Với k = 0,1,…,n. Các hệ số (5.8) được gọi là các hệ số Cotes. Hệ số Cotes có các tính
chất sau đây.
+ H
1
+ …+ H
n
= 1 (5.9a)
(5.9b)
Đối với công thức đánh giá sai số của công thức Newton-Cotes, ta có định lí sau.
Định lí 5.1. Sai số của công thức Newton-Cotes cho bởi:
n lẻ (5.10a)
n chẵn (5.10b)
Với = và = .
Bây giờ ta sẽ xét một vài trường hợp thường dùng của công thức Newton-Cotes.
5.2.1Công thức hình thang
Trong công thức (5.7), cho n = 1 ta được = a, = b, h = b – a, = f(a), = f(b). Từ các tính
chất (5.9) của hệ số Cotes: + = 1 và = , ta thu được: = = . Khi đó công thức (5.7) có
dạng
= h (5.11)
Nhóm 7 Trang 16
Bộ môn: Toán ứng dụng
Công thức (5.11) được gọi là công thức hình thang, dùng xấp xỉ tích phân (5.5).
Ta có: công thức hình thang mở rộng:
Công thức đánh giá sai số là :

5.2.2 Công thức Simpson:
Từ công thức (5.7) cho n=2 ta thu được:
Khi đó công thức (5.7) có dạng:

y( x
k
)
Giả sử y(x) là nghiệm duy nhất của bài toán ( 6.1 ), có đạo hàm cấp 2 liên tục trên
đoạn [ a,b ]. Khi đó với mỗi k= 0,1,2,…,n-1 ta có:
y( x
k
+1) = y(x
k
) + ( x
k+1
– x
k
)y
’
(x
k
) + y
”
(
với : + (x
k
, x
k+1
)
+ h = x
k+1
- x
k


k
+

hf(x
k
,y
k
) , k = 0, 1 ,2,…… n -1
6.1.2 Công thức Euler cải tiến
Y
k+1
= y
k
+ h ,k = 0,1,2,…….n-1 (6.4)
Công thức (6.4) được gọi là công thức Euler. Việc tính toán theo công thức (6.4) rất phức
tạp vì cả vế phải và vế trái đều có chứa yk+1 là ẩn cần tìm. Vì vậy, để đơn giản người ta
thay giá trị yk+1 ở vế phải ở công thức (6.4) bởi giá trị được xác định được xác định theo
công thức (6.3). Ta thu được:
Nhóm 7 Trang 18
Bộ môn: Toán ứng dụng
Nhóm 7 Trang 19
Bộ môn: Toán ứng dụng
Đề các bài tập
Chương 1:
Bài 3c: Xác định số các chữ số đáng tin trong cách viết thập phân các số sau:
c) a = 3.4167,
Bài 5a: Cho . Hãy tính sai số tuyệt đối của:
a)
Chương 2:
Bài 10: Đa thức có nghiệm Sử dụng phương pháp Newton với giá trị lặp ban đầu để tìm

(a)
(b)
Nhóm 7 Trang 21
Bộ môn: Toán ứng dụng
(c)
(d)
Bài giải các bài tập:
Chương 1:
Bài 3c: Xác định số các chữ số đáng tin trong cách viết thập phân các số sau:
c) a = 3.4167,
Bài giải:
 Số các chữ số đáng tin là 2
Bài 5a: Cho . Hãy tính sai số tuyệt đối của:
a)
Bài giải:
-
-
-

Chương 2:
Nhóm 7 Trang 22
Bộ môn: Toán ứng dụng
Bài 10: Đa thức có nghiệm Sử dụng phương pháp Newton với giá trị lặp ban đầu để tìm
nghiệm này. Giải thích điều kiện xảy ra.
Bài giải:
Ta có:
Vậy đa thức nội suy p(x) hội tụ về nghiệm khác là 0.27
Hiện tượng mỗi lần lặp đều cho giá trị như nhau.
Giải thích do chọn sai điểm Fourier
Bài 11: Trong hệ các phương trình sau đây, hãy tìm theo phương pháp Newton.