PHÒNG GD&ĐT NINH HÒA
TỔ BỘ MÔN TOÁN
CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2014 - 2015
MỘT SỐ BIỆN PHÁP TỔ CHỨC BỒI DƯỠNG
MỘT SỐ BIỆN PHÁP TỔ CHỨC BỒI DƯỠNG
HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS
HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS
A. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:
1. Thuận lợi:
- Đối tượng bồi dưỡng là những học sinh khá giỏi, có khả năng học tập tự giác, tích cực
và tự lực; khả năng tư duy sáng tạo cao và đã được tuyển chọn từ các trường THCS.
- Được sự quan tâm, động viên kịp thời cả về tinh thần lẫn vật chất của gia đình và nhà
trường và của lãnh đạo Phòng GDĐT
2. Khó khăn:
- Nội dung bồi dưỡng: Vì đối tượng bồi dưỡng ở đây không phải là học sinh lớp chuyên,
trường chuyên mà là học sinh ở các trường đại trà nên không có chương trình dành cho lớp
chuyên, thiếu định hướng và thiếu tính liên thông trong hệ thống chương trình. Tất cả giáo viên
dạy bồi dưỡng đều phải tự soạn, tự nghiên cứu và tự sưu tầm tài liệu.
- Học sinh: Một số không yên tâm khi theo học lớp bồi dưỡng HSG, vì phải mất nhiều thời
gian, ảnh hưởng đến sức khỏe và kết quả học tập chung.
- Giáo viên dạy bồi dưỡng: Vẫn phải hoàn thành nhiệm vụ công tác tại trường, thực hiện
giảng dạy như các giáo viên khác, đôi khi còn kiêm nhiệm nhiều công tác khác như: chủ nhiệm,
tổ trưởng bộ môn, … Đó là một thực tế, vì lãnh đạo nhà trường lúc nào cũng muốn giao công tác
cho những giáo viên tốt, giỏi, có uy tín. Vì vậy, việc đầu tư cho công tác bồi dưỡng HSG cũng có
phần bị hạn chế.
B. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN:
Để công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán có hiệu quả, giáo viên phải làm được những
công việc sau:
1. Phát hịên, tuyển chọn HSG: thông qua kỳ thi HSG cấp thị xã.
2. Phân loại học sinh: thông qua kết quả thi HSG cấp thị xã, giáo viên tiến hành phân loại học

- Bước 1: Kiểm tra, nhận xét kết quả học tập ở nhà.
- Bước 2: Hệ thống hóa, mở rộng kiến thức đang học theo từng chủ đề.
- Bước 3: Nâng cao kiến thức Toán cần bồi dưỡng cho học sinh.
- Bước 4: Tổng kết và giao nhiệm vụ học tập ở nhà.
Ngoài những công việc trên thì việc giảng dạy là quan trọng nhất. Khi giảng dạy phải dạy
cho học sinh theo từng dạng toán, theo từng chuyên đề, ở mỗi dạng toán phải nêu bật cho học
sinh cách làm và khai thác bài toán ở nhiều khía cạnh khác nhau.
2
Và sau đây chúng tôi xin đưa ra một số ví dụ nhằm nâng cao tính khái quát hoá, đặc biệt
hoá, tổng quát hoá một bài toán; từ đó phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo, linh hoạt cho các
em HS; giúp cho HS nắm chắc, hiểu sâu rộng kiến thức hơn một cách lôgic, khoa học, tạo hứng
thú khoa học yêu thích bộ môn toán hơn.
VÍ DỤ 1:
KHAI THÁC BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
A = a
3
+ b
3
+ c
3
- 3abc
Giải:
( ) ( ) ( )
( )
2
2
a b c c 3ab a b c
3 3
2 2 2
A=(a+b) + c - 3ab(a+b)-3abc = (a+b+c) a+b

* Nhận xét: Nếu thay a = x – 3; b = 2x + 1; c = 2 – 3x thì a + b + c = 0. Sử dụng kết quả trên
ta có (x – 3)
3
+ (2x + 1)
3
+ (2 – 3x)
3
= 3(x – 3)(2x + 1)(2 – 3x). Ta đến với bài toán:
Bài 5: Giải phương trình: (x – 3)
3
+ (2x + 1)
3
= (2 – 3x)
3
.
* Nhận xét: Nếu thay a = x – y; b = y – z ; c = z – x thì a + b + c = 0. Theo kết quả trên ta có a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc; suy ra (x – y)
3
+(y – z)
3
+ (z – x)
3
= 3(x – y)(y – z)(z – x). Nên ta có bài toán
sau:
Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: (x – y)

Bài 7: a) Biết
1 1 1
0
a b c
+ + =
(a,b,c khác 0). Tính giá trị của biểu thức Q =
2 2 2
bc ca ab
+ +
a b c
b) Cho x, y, z là các số khác 0 thoả mãn xy + xz + yz = 0. Tính giá trị của biểu thức:
2 2 2
yz xz xy
P = + +
x y z
* Nhận xét: Ta thấy với a + b + c = 0 thì
3 3 3 2 2 2
3abc a + b + c a b c
3 = = = + +
abc abc bc ac ab
. Ta có một số
bài toán:
Bài 8: Cho a, b, c là ba số khác 0 thoả mãn a + b + c = 0. Tính giá trị của biểu thức:
a)
2 2 2
a b c
M = + +
bc ac ab
.
b)

+ b
3
+ c
3
= 3abc và a + b +c
≠
0. Tính giá trị của biểu thức:
2 2 2
2
a + b + c
A =
(a + b +c)
* Nhận xét : Suy luận và phát triển thành các bài toán hay và khó hơn:
Thay c bởi c + d vào a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc ta được:
a
3
+ b
3
+ (c+d)
3
= 3ab(c+d)
<=> a
3
+ b

3
+ (y + 2)
3
+ 6
Bài 13: Tìm giá trị của k để x
3
+ y
3
+z
3
+kxyz chia hết cho x + y + z với mọi x, y, z
* Tiểu kết: Trong quá trình giảng dạy và học tập toán, việc khai thác, tìm hiểu sâu thêm kết
quả của bài toán là rất quan trọng và rất có ích.
4
VÍ DỤ 2:
Trong chuyên đề biến đổi căn thức, một phép biến đổi đơn giản nhưng đã giúp ta giải
quyết nhiều bài toán một cách hiệu quả, đó là trục căn thức ở mẫu. Học sinh hiểu được việc nhân
biểu thức liên hợp nhằm trục căn ở mẫu và giải toán một cách dễ dàng. Và chúng tôi xin hệ thống
lại như sau:
I. Tính giá trị biểu thức:
Bài tập 1: Rút gọn biểu thức:
a) A =
nn +−
++
+
+
+
+
+ 1
1

32
1
21
1
−
+−
−
+
−
−
−
Bài tập 2: Tính: A =
139
4
13
2
333
+−
−
−

Bài tập 3: Cho
(
)
(
)
2 2
2012 . 2012 2012a a b b+ + + + =
, Hãy tính tổng a + b.
Bài tập 4: Cho

vô nghiệm
Bài tập 1: Giải phương trình:
( ) ( )
2
2 1 2x x x x x+ + − =
(1)
HD: ĐK
2; 1x x≤ − ≥
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 3
1 2 2 2
1 2 1 2
x x x x x
x x
x x x x x x x x
− − − −
⇔ = ⇔ =
− − + − − +
Nếu x
≥
1 ta có
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3
1 2
3

2
1 2 2
x x x x
x x x
x x x x x

− − + =

⇒ − = − +


− + + = −

Giải (4) ta tìm được x
Bài tập 2:. Giải phương trình sau:
( )
2 2 2 2
3 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x− + − − = − − − − +
HD: Ta nhận thấy:
( ) ( )
( )
2 2
3 5 1 3 3 3 2 2x x x x x− + − − − = − −

( ) ( )
( )
2 2
2 3 4 3 2x x x x− − − + = −
Ta có thể trục căn thức 2 vế:


( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
4 4
12 4 3 6 5 3 3 2
12 4 5 3
2 1
2 3 0 2
12 4 5 3
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
− −
+ − = − + + − ⇔ = − +
+ + + +
 
+ +
⇔ − − − = ⇔ =
 ÷
+ + + +
 
Dễ dàng chứng minh được:
2 2
2 2 5

2 5
1 2 1 4
x x x
x
x x x x
x
x x
 
− + +
+
 
− − + − = − − ⇔ − + =
 
− +
− + − +
 
 
6
Ta chứng minh:
( )
(
)
2
2
2 2 23 3
3
3 3
1 1 2
1 2 1 4 1 1 3
x x

(
)
( )
(
)
2 2 2 2
3 3 3 3 3.x x x x x x x− + − − + − − =
( ) ( )
3 3
2 2
3 3 3 3.x x x⇒ − + + =

( ) ( )
( )
3 3
3
2 2 4 2
0
3 3 2 3 27
x
x x x x
>


⇒

− + + + − =


( )

2
2
2
9
3 9 2
x
x
x
= +
− +
HD: ĐK:
9
2
0
x
x

≥ −



≠

Pt
( )
( ) ( )
2
2
2 2
2 3 9 2

7
thức:
2 2 2
1 1 1
h a b
= +
. Ở đây chúng tôi sẽ khai thác đơn vị kiến thức này từ một bài toán ở SGK
nhằm giới thiệu cho HS cách hệ thống bài tập theo chủ đề, khai thác để phát triển tư duy cho HS,
kiến thức trọng điểm của chủ đề, của bài tập. Cụ thể như sau:
Bài toán 1: Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt
nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L.
Chứng minh rằng:
a) Tam giác DIL là tam giác cân
b) Tổng
2 2
1 1
DI DK
+
không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.
* Nhận xét: Nếu bỏ đi câu a thì bài toán trở nên khó khăn hơn nhiều. Và càng khó khăn hơn khi
bỏ bớt giả thiết bài toán. Ta có bài toán sau:
Bài toán 1.1: Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ một cát tuyến bất kỳ cắt các cạnh BC và
CD (hoặc đường thẳng chúa các cạnh đó) tại các điểm E và F. Chứng minh rằng
2 2 2
1 1 1
AFAE AD
+ =
* Nhận xét: Nếu tứ giác ABCD là hình chứ nhật, AB = 2BC thì ta có bài toán sau:
Bài toán 1.2: Cho hình chứ nhật ABCD, AB = 2BC. Trên cạnh BC lấy điểm E. Tia AE
cắt đường thẳng CD tại F. Chứng minh

AN 3AM AB
+ =
8
Bài toán: 2.2: Cho tam giác ABC có AB = 1cm; ∠A = 105
0
; ∠B = 60
0
. Trên cạch BC lấy
điểm E sao cho BE = 1cm. Vẽ ED//AB (D∈ AC). Chứng minh rằng
2 2
1 1 4
AD 3AC
+ =
Bài toán 2.3: Cho hình thoi ABCD có
·
0
120BAD =
. Tia Ax tạo với tia AB một góc
·
0
15BAx =
và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N. Tính giá trị của biểu thức
2
2 2
1 1
T AB
AM AN
 
= +
 ÷

h
H
C
E
B
D
A
Kết quả suy từ công thức: S=
1
a.h
2
, với cạnh đáy a thay đổi, còn chiều cao AH = h
(không đổi)
Bài toán 2: Nếu hai tam giác ABC và DBC (chung đáy BC) với hai đường cao AH và DK thì:
ABC
DBC
S AH
S DK
=
. Đặc biệt: Nếu AD // BC thì: S
ABC
= S
DBC
Nếu AD cắt BC tại E thì:
ABC
DBC
S AH AE
S DK DE
= =


Các bài toán sau đây giải được dựa trên các công thức đã học và các bài toán cơ bản
nêu ở phần trên. Ở phần này chúng tôi đưa ra trên 30 bài toán từ dễ đến khó. Ví dụ như sau:
Bài toán 1: Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy K sao cho
KB 1
KC 2
=
, trên cạnh AC lấy H sao
cho
HA 1
HC 3
=
. Gọi O là giao điểm của AK và BH. Biết S
ABC
=
S. Tính S
AOB
?
HD: Vẽ KE // BH (E ∈ AC)
Bài toán tổng quát: K ∈
[ ]
BC
với
KB m
KC n
=
; H ∈
[ ]
AC
với
HA p

AM BN CP
k
MB NC PA
= = =
(k > 0)
a/ Biết S
ABC
= S. Tính S
MNP
theo S và k.
b/ Tìm k biết S
MNP
=
1
S
4
Bài toán 4: Cho tam giác ABC cân tại C, cạnh AB =
3
, đường cao CH =
2
. Gọi M là
trung điểm HB, N là trung điểm BC; AN cắt CM tại K, O là giao điểm CH và AN.
a/ Tính S
AOH
b/ Chứng minh: KA = 2.KM
Bài toán 5: Cho hình thoi ABCD có tâm O. Đường trung trực AB cắt BD và AC lần lượt tại O
1
và O
2
. Biết rằng O

ABC
Bài toán 10: Cho tứ giác lồi ABCD, M và N là trung điểm AB và CD, AN cắt MD tại P, BN cắt
MC tại Q. Chứng minh: S
MPNQ
= S
APD
+ S
BQC
Bài toán 11: Trên cạnh AB và CD của tứ giác ABCD lấy các điểm M và N sao cho
AM CN
k
AB CD
= =
(k > 0). Các đoạn thẳng AN và DM cắt nhau tại E, các đoạn thẳng BN và CM
cắt nhau tại F. Chứng minh: S
MENF
= S
ADE
+ S
BCF

11
* Tiểu kết: Việc chuyên sâu một vấn đề nào đó, liên hệ được các bài toán với nhau, phát triển
một bài toán sẽ giúp cho HS khắc sâu được kiến thức. Quan trọng hơn là nâng cao được tư
duy cho các em HS, giúp HS có hứng thú hơn khi học toán.
C. KẾT LUẬN:
Chúng tôi xin mạnh dạn đưa ra một số giải pháp để góp phần làm tốt nhiệm vụ BDHSG như sau:
I. Về phía GV:
1. Muốn có HSG phải có Thầy giỏi, vì thế người thầy phải luôn luôn có ý thức tự rèn luyện, tích
lũy tri thức và kinh nghiệm, trau dồi chuyên môn, luôn xứng đáng là “người dẫn đường tin cậy”

trong buổi học trước. Qua việc chuẩn bị bài trước giúp học sinh hiểu biết sơ bộ về kiến thức mới.
Trong quá trình chuẩn bị thường gặp những vấn đề khó, lúc nghe giảng dễ dàng tiếp thu hơn.
Việc chuẩn bị bài trước hoặc tìm hiểu một vấn đề nào đó có thể bồi dưỡng khả năng tự học, xây
dựng thói quen chủ động trong học tập, dần dần biến thành quá trình tự mày mò, nghiên cứu.
Để thực hiện tốt điều này, GV phải soạn phần tự học cho HS, có chuẩn bị trước các bài
tập và hướng dẫn HS làm ở nhà, đồng thời giao khối lượng bài mới hoặc một vấn đề mới nào đó
để HS tự tìm hiểu.
2. Tổ chức cho HS nghe giảng trên lớp: HS giỏi toán thường tập trung cao độ, GV cần chuẩn bị
các kiến thức, hệ thống bài tập theo chủ đề, khai thác để phát triển tư duy cho HS, kiến thức
trọng điểm của chủ đề, của bài tập
3. Việc học và làm bài ở nhà của HS: Học và tự học là khâu quan trọng nhất để học sinh giỏi
môn Toán, để giúp cho HS có được định hướng ở phần này như đã nói ở trên, GV phải soạn phần
tự học cho HS, có chuẩn bị trước các bài tập và hướng dẫn HS làm ở nhà, đồng thời giao khối
lượng bài mới hoặc một vấn đề mới nào đó để HS tự tìm hiểu và tất nhiên, GV phải kiểm tra.
III. Về phía nhà trường và Phòng GDĐT:
1. Tuyển chọn và bồi dưỡng giáo viên giỏi để dạy toán cho học sinh giỏi.
- Những giáo viên dạy bồi dưỡng Toán phải là những người có trình độ năng lực, chuyên
môn nghiệp vụ cao, có nhiệt huyết với công việc, có kĩ năng sư phạm, kĩ năng tự tìm tòi, học hỏi,
tự bồi dưỡng, có tinh thần cầu tiến, có sức khỏe tốt và có kinh nghiệm dạy học toán cho học sinh
giỏi.
- Hình thức bồi dưỡng giáo viên thông qua hội thảo, hội thi, chuyên đề, bồi dưỡng thông
qua sinh hoạt chuyên môn, tự học
2. Huy động gia đình, cộng đồng xã hội cùng tham gia công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.
Kết quả bồi dưỡng học sinh giỏi còn phụ thuộc rất nhiều vào gia đình và các lực lượng
giáo dục trong xã hội. Vì vậy nhà trường và ngành GDĐT cần có kế hoạch hoạt động để thu hút
các lực lượng này quan tâm tạo điều kiện và cùng tham gia vào công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.
Cụ thể là:
13
+ Tạo niềm tin cho các bậc phụ huynh, cho con em mình tham gia vào các lớp bồi dưỡng
HSG, các cấp lãnh đạo.