TRƯỜNGĐHSPHÀNỘI ĐỀTHITHỬĐẠIHỌCLẦNIVNĂM2010
TRƯỜNGTHPTCHUYÊN–ĐHSP Mônthi:TOÁN
_______________ Thờigianlàmbài:180 phút, không kểthờigianphatđề
==========================================
Ngàythi:18–4–2010
Cừu1.(2,0điểm).Chohàmsố:y=2x
3
–3(2m+1)x
2
+6m(m+1)x+1,trongđómlàthamsố.
1. Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịcủahàmsốkhim=0.
2. Chứngminhrằngvớimọigiátrịcủam,hàmsốluôncócựcđại,cựctiểuvàkhoảng
cáchgiữacácđiểmcựcđại,cựctiểucủađồthịhàmsốkhôngđổi.
Cừu2.(2,0điểm).
1. Giảihệ:
ï
î
ï
í
ì
- + = - +
- - = +
232
262
yxyxx
yx
y
x
y
(Vớix,y ÎR).
2. Giảiphươngtrình:sin

Cừu4.(2,0điểm).
1. Tìmnghiệmphứccủaphươngtrình:2(1+i)z
2
–4(2–i)z– 5– 3i=0.
2. Chocácsốthựcdươngx,y,z.Chứngminhrằng:
0
222
³
+
-
+
+
-
+
+
-
xz
zxz
zy
yzy
yx
xyx
Cừu5.(2,0điểm).
1. TrongmặtphẳngOxy,hãyxácđịnhtọađộcácđỉnhcủatam giácABCvuôngcântại
A.Biếtrằngcạnhhuyềnnằmtrênđườngthẳngd:x+7y– 31=0,điểmN(7;7)thuộc
đườngthẳngAC,điểmM(2;3)thuộcABvànằmngoàiđoạnAB.
2. TrongkhônggianOxyz,chođườngthẳng
ï
î
ï

1
¹ x
2
vớimọimnênhàmsốluôncócựcđại,cựctiểu.GọiA(x
1
;y
1
),B(x
2
;y
2)là
cácđiểm
cựctrị
y
1
=f(x
1
)=2m
3
+3m
2
+1;y
2
=f(x
2
)=2m
3
+3m
2
Þ

y
yx 2 -
=3
Û
î
í
ì
+ =
>
yyx
y
29
0
2
thayvàopt(2)tađượcnghiệmx=
9
24
,y=
9
4
Với
y
yx 2 -
=2
Û
î
í
ì
+ =
<

xx
xx
x
Û
5+
xx
x
23
3
sin
1
.2
sin
cos
- =0
Û
cot
3
x–2cot
2
x+3=0
Û
(cotx+1)(cot
2
x–3cotx+3)=
0
Û
cotx=1(Vỡcot
2
x –cotx+3>0)

3
sin
cos2
- nờn
I=
ò
-
2
4
2
)
sin
1
(
2
1

p
p

x
xd =
2
4
2
|
sin
1
.
2

x
x
dx
- - - =
ò
=
2
1
.
2.Tính thể tíchkhốichóp:HạSH ^ BC
Þ
SH ^ (ABC)(vỡ:(SBC) ^ (ABC)).
HạHM ^ AB,HN ^ ACthỡ Ð SMH= Ð SNH=
a

Þ
D SHM= DSHN
Þ
HM=HN
Þ
HlàtrungđiểmcủaBC(vỡtamgiỏcABCđều)
Þ
HM=
4
3
2
ah
=
Þ
SH=HM.tan

i
i
i
i
2
5
2
3
2
)1)(4(
1
4
)1(2
4)2(2
- =
- -
=
+
-
=
+
+ -
Z
2
=
i
ii
i
i
i

yx
xyyxx
yx
xyx -
=
+
- =
+
+
- ³
+
- =
+
- +
=
+
-
(1)(vỡx,y>0)
Tươngtự:
2
2
zy
zy
yzy -
³
+
-
(2),
2
2

xyx
.Đẳngthứcxảyrakhix=y=z
(đpcm!).
Câu5.1.Xácđịnhtọađộcácđỉnh:
ĐườngthẳngABđiquaM(2;3)nêncóphươngtrình:a(x–2)+b(y+3)=0,(a
2
+b
2
¹ 0).
DotamgiỏcABCvuôngcântạiAnên:
22
0
.50
7
45cos
2
1
ba
ba
+
+
= =
Û
12a
2
7ab12b
2
=0
Û
ê

0134
yx
yx
Û
A(1;1)
Hệphương trìnhtọađộB:
î
í
ì
= - +
= + +
0317
0134
yx
yx
Û
B(4;5).
Tacó: MAMBMBMA 2)8;6(),4;3( = Þ - = - =
Þ
MnằmngoàiđoạnAB(Thỏamãn)
HệphươngtrìnhtọađộC:
î
í
ì
= - +
= + -
0317
0743
yx
yx

MN
=0–36– 4=40 ¹ 0.
Vậy D, D ’chéonhau.
b).Đườngvuônggócchungdcủa D,D ’cóVTCP:
u
=(4;2;1)(=ẵ.[
21
,uu ]).
GọiHKlàđoạnđườngvuônggócchungcủa D, D’vớiH D Î D Î K, ’.
Tacó:H=(t;7+2t;4),K(s;2+s;6+2s)
Þ
HK(s–t;9+s–2t;2+2s)cũnglàVTCPcủa
d.
Suyra:
1
22
2
29
4 -
+
=
-
- +
=
- ststs
Þ
s=
21
11
- ,t=

4
7
23
.