Saùng kieán kinh nghieäm
Đào
Anh Tuấn
Hình học tọa độ trong không gian và những sai lầm của học sinh
A.Lý do chọn đề tài:
- Toán học thường được xem là bộ môn khoa học căn bản, tuy vậy mỗi giờ học
toán thường rất căng thẳng và thường học sinh quan niệm rằng toán học là
những công thức, quy tắc,…
- Cùng một vấn đề, toán học bao giờ cũng có thể luận giải được bằng phương
pháp giải tích, phương pháp đại số, phương pháp hình học, hoặc bằng sự kết
hợp của các phương pháp đó.
-Với phương pháp toạ độ trong không gian chúng ta đã có sự kết hợp của tất cả
các phương pháp trên. Việc làm này đã làm cho việc học hình học không bắt
buộc phải tự dạy cụ thể và trực quan với những hình vẽ không gian 3 chiều,
tránh được tính trừu tượng, nhằm đạt tới sự khái quát hoá của hình học không
gian nói riêng và của toán học nói chung.
- Lý thuyết của phương pháp toạ độ trong không gian bao gồm tất cả những lý
thuyết của phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và những lý thuyết mở rộng
trong không gian với một khối lượng kiến thức đáng kể.
- Bài tập của PP toạ độ trong KG rất đa dạng, số lượng tương đối nhiều. Muốn
giải tốt các bài tập này đòi hỏi học sinh phải biết nhận dạng các đối tượng cơ
bản của HHKG, biết tìm sự liên hệ giữa chúng, biết kết hợp giữa PP toạ độ với
HHKG.
- Do thời gian phân phối chương trình cho phần này còn hạn chế: Có những bài
cả lý thuyết và bài tập chỉ có 1 tiết. Bản thân một số giáo viên chưa nhiều kinh
nghiệm. Đa số học sinh học toán với kỹ năng tính toán kém, tư duy tưởng tượng
HHKG không có, kiến thức HHKG lớp 11 nắm không vững , chỉ coi trọng công
thức, chưa hiểu đúng vai trò của lý thuyết với bài tập …
- Qua nhiều năm giảng dạy và qua theo dõi các bài làm, bài kiểm tra của học
sinh tôi nhận thấy các em có những sai lầm phổ biến sau:
1) Về lý thuyết:

. Công thức được sử dụng đơn giản hơn nhiều.
- Kỹ năng trình bày, diễn đạt của Hs chưa tốt. Nhiều khi đứng trước một nội
dung đã hiểu nhưng lại không biết diễn đạt như thế nào, hoặc nếu có thì diễn đạt
không đủ ý, nhiều khi còn lủng củng.
- Đa số các em không biết phân loại các dạng bài tập và các phương pháp chung
cho từng loại bài tập đó Vì thế khi gặp các bài tập tương tự nhưng hỏi theo
cách khác các em lại tưởng như đó là một loại bài tập mới.
Trang2
Saựng kieỏn kinh nghieọm
o
Anh Tun
- ng trc mt bi tp m gi thit cho l nhng to , phng trỡnh ca cỏc
i tng c bn trong KG, cỏc em khụng bit liờn h gia gi thit vi kt lun
nh th no. Tc l khụng bit bt u t õu, khụng bit s dng trớ tng
tng HHKG v hỡnh v tỡm mi liờn h gia cỏc i tng ú.
T nhng nhn nh trờn, tụi xin a ra mt s gii phỏp nhm khc phc
nhng thiu sút ca hs, giỳp cỏc em hiu v gii c nhng bi tp loi ny.
T ú giỳp cỏc em phn khi hn khi hc mụn Toỏn, t tin hn khi bc vo
k thi hc k II, k thi TN THPT, k thi i hc. Nhng k thi ma cỏc bi tp
loi ny luụn luụn cú.
ú l lý do tụi chn ti trờn.
B)NI DUNG:
I) Mt s gii phỏp hn ch nhng sai sút v kin thc v k nng ca hc
sinh:
1) Vn lý thuyt:
- Khi dy lý thuyt a s cỏc giỏo viờn phi dy nhanh vỡ phõn phi chng
trỡnh rt hn ch v thi gian. Khi ú nhiu nh lý khụng hoc khụng chng
minh k c, hay mt s cụng thc tớnh khụng c ch ra, dn dt n nú
mt cỏch bi bn, rừ rng con ng i ti nú. T ú vic hc cụng thc cu
hc sinh rt mỏy múc, dn n khú thuc, do khụng c hiu mt cỏch rừ

VD: Khi học về phương trình mặt phẳng gio vin cần cho học sinh biết rằng
một mặt phẳng xẽ xc định được khi biết một đường thẳng có hướng vuông góc
với nó và một điểm nằm trên mặt phẳng, để học sinh biết được khi viết mộ
phương trình mặt phẳng cần phải biết những yếu tố gì.
*) Khi dạy có thể sắp xếp lại thứ tự trình bày của kiến thức trong SGK cho hợp
lý hơn với thực tế vận dụng kiến thức đó vào bài tập.
VD: Khi xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng trong KG không nên chỉ ra việc
cho 2 đt bởi PTCT như SGK mà cho:
Đt (d) qua M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) , có VTCP
( )
cbau ;;
Đt (d’) qua M
0
’(x
0
’;y
0
’;z
0
’) , có VTCP
( )
';';'' cbau

':':'::
00
MMuu
cbacba
+) (d) v (d) chộo nhau

[ ]
0'M . ',
00
Muu
Chỳ ý vic tớnh
[ ]
'M . ',
00
Muu
ch thc hin khi hai vộc t ch phng khụng cựng
phng, trỏnh nhng phn tớnh toỏn tha.
*) i mi phng phỏp trong mi gi dy: Nu bi lý thuyt quỏ di khụng
th thi gian cho vic chng minh cỏc lý, cụng thc mt cỏch k lng thỡ
gv cú th ch ng son , dy bng giỏo ỏn in t
( trỏnh mt thi gian ghi bng ca c gv v hs).
Ngoi ra cũn cú th s dng c nhng hỡnh v sinh ng minh ho cho phn
chng minh.
Vớ d:
*) Lp cụng thc tớnh th tớch ca t din:
So sỏnh th tớch ca mt t din ABCD v th tớch ca mt khi hp cú
3 cnh xut phỏt t nh B l BA, BC, BD:
Coi ABCD l mt hỡnh chúp nh A, ỏy l
ABC
, BCED l mt ỏy ca

6
1
zzzzz
*) Một cách tính véc tơ chỉ phương của một đường thẳng cho bởi phương
trình tổng quát:
[ ]
βα
nnu
d
,
=
Hình vẽ minh hoạ:
2) Vấn đề bài tập:
- Số lượng bài tập ở mỗi mục đều rất nhiều nên không thể sửa tất cả trong giờ
bài tập, vì vậy giáo viên phải yêu cầu đại trà cả lớp làm các bài tập cơ bản bắt
buộc, đồng thời không giới hạn cho những hs khá, giỏi.
Trang6
A
B
C
D
H
E
D’
E’
C’
d
u
d
α

phẳng và một mặt cầu cho trước phương trình.
+) Lập phương trình mặt cầu có tâm I(a;b;c) và tiếp xúc với mp (P) cho
bởi pt :Ax + By + Cz + D = 0
+) Lập pt mặt cầu đi qua 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng
+) Xét vị trí tương đối giữa một mặt cầu và một mặt phẳng đã cho pt.
+) Viết pt tiếp diện của một mặt cầu cho trước tại một điểm cho trước
hoặc tiếp diện song song với một mặt phẳng cho trước.
Đồng thời nêu phương pháp cơ bản cho từng loại.
- Khi ôn tập cần phân loại các dạng bài tập thường gặp khi thi, nhắc lại phương
pháp giải cho từng loại, cho bài tập hs giải để ghi nhớ phương pháp và rèn
luyện kỹ năng. Cụ thể có những loại bài tập sau:
a) Viết pt của đường thẳng trong KG.
Phương pháp chung:
+) Xác định được VTCP và một điểm của đt rồi sử dụng PTTS
hoặc PTCT để viết.
Trang7
Saùng kieán kinh nghieäm
Đào
Anh Tuấn
+) Xác định được pt của 2 mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến là
đường thẳng phải tìm. (Chú ý sử dụng cho dạng bài tập viết pt đt là hình chiếu
vuông góc của một đt cho trước trên một mặt phẳng cho trước)
b) Viết pt của mặt phẳng:
Phương pháp chung:
Từ giả thiết tìm được toạ độ một điểm và VTPT của mặt phẳng , sau đó sử dụng
công thức: A(x – x
0
) + B(y - y
0
) + C( z – z


=+++
=+−−−++
0
0222
222
DCzByAx
dczbyaxzyx

Lập hệ pt tìm toạ độ tâm H của đường tròn:







=+++
=−
=−
=−
0DCzByAx
tCcz
tBby
tAax
Tính bán kính của đường tròn: r =
22
IHR −
e) Tính khoảng cách, góc giữa các đối tượng cơ bản của HHKG:
Phương pháp chung:

2
1
===
∆
CBACABCV
ABC
++=
∆
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
DA . ,CA . ,BA . ,AD . ,
6
1
DD . ,CC . ,BB . ,AA . ,
''''
.
''''
DCDBCDCBBDBCACABV
DCDACDCBBABCADABV
ABCD
DCBAABCD
====
====

h) Loại bài tập chứng minh:
+) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
Phương pháp: Lấy lần lượt trên hai đt hai véc tơ khác véc tơ không, tính tích vô
hướng của chúng và khẳng định được bằng 0.
+) Chứng minh hai đt song song.
Phương pháp: Lấy lần lượt trên hai đt các véc tơ chỉ phương, dùng toạ độ chỉ ra

a
, trên mặt phẳng lấy cặp véc tơ chỉ
phương
{ }
cb,
. Chứng minh: đt không thuộc mặt phẳng và
[ ]
cba ,⊥
, từ đó kết luận.
II)Thời gian thực hiện:
- Tiết: 22. 23. 24. 25: Hệ toạ độ ĐềCác vuông góc trong KG- toạ độ của
véc tơ và của đểm.
- Tiết: 26, 27, 28: Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
- Tiết: 32, 33, 34, 35, 36, 37: Phương trình của đường thẳng.
- Ôn tập chương.
- Tiếp tục ôn trong thời gian học phụ đạo và ôn tập cuối năm.
III) Một số sai lầm của học sinh khi giải bài tập và cách khắc phục:
Ví dụ 1: Viết pt mặt phẳng (P) đi qua điểm M(-1;2;3) và có VTPT
)6;5;4(n

Bài giải của HS Sai lầm – Cách khắc
phục
Bài giải đúng
Pt mp (P) có dạng:
A(x-x
0
)+B(y-y
0
)+C(z-z
0

điểm M vào pt tìm D rồi
kết luận ptmp.
Điểm M (-1;2;3) thuộc
(P) nên ta có :
4.(-1) +5.2 + 6.3 + D =
0
24
−=⇔
D
Suy ra pt của mp (P):
4x+5y+6z -24 = 0
Bài tập tương tự: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(2;-2;5) và
vuông góc với đường thẳng có phương trình:
11
3
5
12
−
=
−
=
− zyx
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng và mặt phẳng
( )
02-z-5y3x :
1
1-z

3
9-y

=
−
=
−
0253
1
1
3
9
4
12
zyx
zyx
Tìm được nghiệm là
( 0;0;-2)
2) Đt
( )
'
∆
là hình chiếu
vuông góc của
( )
∆
trên
*) Sai lầm: Ở câu 2) hs đã
hiểu sai sự xác định của đt
trong KG, coi sự xác định
một đt giống như trong mặt
phẳng. Đó là một đt có thể
được xác định bởi một điểm

α
n
I
( )
'
∆
∆
u
Saùng kieán kinh nghieäm
Đào
Anh Tuấn
mặt phẳng
( )
α
Nên đt
( )
'
∆
đi qua điểm I
và nhận VTPT là
[ ]
( )
11;7;8,
'
−==
∆
∆
α
nun
Suy ra pt của đt

'
∆
=
( ) ( )
βα
∩
Trong đó
( )
β
là mặt phẳng
đi qua đt
( )
∆
và vuông góc
với mp
( )
α
.
2) Gọi
( )
β
là mặt phẳng đi
qua đt
( )
∆
và vuông góc
với mp
( )
α
Mp

là:



=+++−
=−−+
0221178
0253
zyx
zyx
Trang12
Saùng kieán kinh nghieäm
Đào
Anh Tuấn
Bài tập tương tự: Tìm phương trình hình chiếu vuông góc của đt (d) :
1
1
4
2
3
2
−
=
+
=
−
z
y
x


Đt (d) đi qua điểm
M
0
(7;3;9) và có VTCP
( )
1;2;1 −u
Đt (d’) đi qua điểm
M
0
’(3;1;1) và có VTCP
( )
3;2;7' −u
.
Gọi
( )
∆
là đường vuông
góc chung của (d) và
(d’) thì
( )
∆
có VTCP
[ ]
)16;4;8(,
'
=
d
d
uu
Hay

và ở bài này là
không.
Tương tự hs đã sai
lầm ở sự xác định
*) Cách 1:
Đt (d) đi qua điểm M
0
(7;3;9) và có
VTCP
( )
1;2;1 −u
Đt (d’) đi qua điểm M
0
’(3;1;1) và
có VTCP
( )
3;2;7' −u
.
Gọi
( )
∆
là đường vuông góc chung
của (d) và (d’) thì
( )
∆
có VTCP
[ ]
)16;4;8(,
'
=

Anh Tuấn
( )
3;2;7
'
−
d
u
suy ra pt
(P) :
-7(x -7) + 2(y -3) +
+3(z -9) = 0
016327 =+++−⇔ zyx

Gọi (Q) là mp chứa
( )
∆

và (d’) suy ra (Q) là mp
chứa (d’) và vuông góc
với (d) . Như vậy mp
(Q) qua M
0
’ và có
VTPT
( )
1;2;1 −
d
u
Suy ra pt (Q) :
(x -3) +2(y -1) -(z -1) =

nếu chúng chéo
nhau và không
vuông góc thì thông
qua hình vẽ: Giả sử
đt
( )
∆
đã dựng
được.
với
( )
∆
là đường
vuông góc chung
của d và d’suy ra
( )
∆
có VTCP là
[ ]
)16;4;8(,
'
=
d
d
uu
Tiếp đến gv chỉ ra
cho hs thấy mp (P)
chứa
( )
∆




=−−+
=−−−
∆⇒
∩=∆⇒
=−−+⇔
03811345
0623
:
03811345
zyx
zyx
pt
QP
zyx
*) Cách 2: Gọi HK là đoạn vuông
góc chung của (d) và (d’). H thuộc
(d) , K thuộc (d’).
Ptđt (d)





−=
+=
+=
⇔

d
u

H là một điểm thuộc (d) và K là
một điểm thuộc (d’) suy ra:
( )
( )
( )
stststKH
sssK
tttH
38;222;74
31;21;73
9;23;7
−−−+++⇒
++−
−++
KH là đường vuông góc chung
của (d) và (d’)
⇔





⊥
⊥
⇔
'd
d

chung, với 2 giả
thiết H,K lần lượt
thuộc (d), (d’)và
HK cùng vuông góc
với (d), (d’).Từ đó
viết pt của
( )
∆
theo
kiểu pt đt đi qua 2
điểm phân biệt.
Hướng dẫn hs thứ
tự trình bày bài
toán.
)1;1;3();9;3;7(
0
0
0626
0
0)38(3
)222(2)74(7
0)38(
)222(2)74(
KH
s
t
st
st
st
stst






+=
+=
+=
tz
ty
tx
49
3
27
Bài tập tương tự: Viết pt đường vuông góc chung của 2 đt (a) và (b)
(a) :
1
2
3
1
2
1 −
=
−
=
+ zyx
, (b) :
25
2
1

∆
(d)
(d’)
H
K
Saựng kieỏn kinh nghieọm
o
Anh Tun
t
( )

qua I( 1;2;3) cú VTCP
).5;4;2(u
Gi (x;y;z) l to
ca M, ta cú :
( ) ( )
[ ] [ ]
( ) ( )





=+
+++
=++





uIM
zyx
dd
uMM
MM
dn n khụng phng trỡnh
gii tỡm 3 n x;y;z.
Khụng hon thnh bi toỏn.
*) Sai lm: Hs ó khụng
khai thỏc iu kin
xỏc nh M l im i
xng ca M qua
( )


trong KG. Cha hiu
ỳng v v trớ i xng
ny. Khụng ch cn iu
kin:
( ) ( )
( )
1
'
;';





=

3 n thỡ mi gii v tỡm
c.
T gi thit ta cú t
( )


quaI(1;2;3)cúVTCP
).5;4;2(u
Mp (P) qua M v
vuụng gúc vi
( )

cú
pt:
2(x-4)+4(y-3)+5(z-
10)=0
070542 =++ zyx
Pt tham s ca
( )

:





+=
+=
+=
tz

( )
∆
.
( )
∆





=
=
=
⇔







=−++
+=
+=
+=
8
6
3
070542
53

M
M
⇒









=
+
=
+
=
+
Bài tập tương tự: Trong Kg với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1;2;-1)
và đt (d) :
2
2
2
2
3
1
−
−
=
−





=+++
=+++
=+
04649
04649
021
dcb
dca
dc
Khụng iu kin tỡm
a,b,c,d, suy ra khụng vit
c pt mt cu (S)
HS2: Tõm I ca mt cu (S)
thuc mp (Oxy) suy ra
I(0;0;c)
Nh th pt mt cu (S) cú
dng: x
2
+y
2
+z
2
-2cz+d = 0
(S) qua A,B,C nờn ta cú:



HS2 s dng sai iu kin
ca tõm I. Em ó ngh rng I
thuc mp (Oxy) thỡ honh
v tung ca nú u
bng 0. Dn ti lp h pt
tỡm to tõm sai v dn ti
ỏp s sai.
*) Cỏch khc phc:
- Chỳ ý cho hs khi mun
vit c pt ca mt mt
cu thỡ phi tỡm c y
cỏc giỏ tr ca a,b,c,d
trong pt dng khai trin
hoc a,b,c,R
2
trong dng
tng quỏt. Nu trong quỏ
trỡnh gii m cha cú
iu kin tỡm c tt c
cỏc giỏ tr ú thỡ phi xem
li xem ó s dng cỏc
gi thit ca bi toỏn cho
hay cha.
- Ngoi ra cn phi khai
thỏc ỳng cỏc gi thit.
a) Tõm I ca mt cu
(S) thuc mp (Oxy) suy
ra I(a;b;0)
Nh th pt mt cu (S)
cú dng:

0649
0649
01
d
b
a
db
da
d
Suy ra pt mt cu (S) :
x
2
+y
2
+z
2
- 4x - 4y - 1 =
0
Trang18
Saùng kieán kinh nghieäm
Đào
Anh Tuấn
I thuộc mp toạ độ nào thì
toạ độ còn lại bằng 0.
- Củng cố lại các pt của các
mp toạ độ:
(Oxy) : z = 0
(Oyz) : x = 0
(Oxz) : y = 0.
- Hướng dẫn hs các bước

++−+=
=−++
+++−=
=−++
⇔





=
=
⇔



=
=
⇔
1266
1266
2)3(
1
23
1
(*)
2
22
2
22

*) Khắc phục: Gv giúp hs
b)
( ) ( )
[ ]
( )
9;9;9,
3;3;0 AC ,3;0;3
=⇒
−−
ACAB
AB
Mp (ABC) có VTPT
( )
1;1;1n
01
:)(
=−++
⇒
zyx
ABCptmp
Mặt cầu (S) qua 3 điểm
A,B,C suy ra:
Đường tròn ngoại tiếp
ABC
∆
là giao tuyến của
mp(ABC) với mặt cầu
Trang19
Saùng kieán kinh nghieäm
Đào

(S)nên có pt:





=−++
=
=−−−++
01
0
144
222
zyx
yxzyx
Bài tập tương tự: Trong KG với hệ toạ độ Oxyz cho A,B,C lần lượt là giao
điểm của mặt phẳng (P) có phương trình: x+y+z-1=0 với các trục Ox,Oy,Oz.
a) Viết pt mặt cầu (S) qua 4 điểm A,B,C, O.
b) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ví dụ 6: Tìm khoảng cách sau:
a) Giữa hai đt
( ) ( )





+=
+−=
−=

Saùng kieán kinh nghieäm
Đào
Anh Tuấn
b) Giữa hai đt
( ) ( )
1
1
21
3
:'
11
1
2
1
:
−
==
−
−
∆
−
=
+
=
−
∆
zyxzyx
c) Từ điểm M(2;3;1) đến đt
( )
∆

( )
1
2
2
2' .',
2',)0;0;2(',
',
' .',
)2;1;1(')1;1;1('
';
00
00
';
00
==⇒
=
=⇒=
=⇒
−=⇒−
∆∆
∆∆
d
MMuu
uuuu
uu
MMuu
d
MMu
b)
( )

- Xét vị trí tương đối giữa hai
đt trước khi sử dụng công
thức tính khoảng cách . Nếu 2
đt song song thì k/c giữa
chúng bằng k/c từ một điểm
bất kỳ trên đt này đến đt kia.
Nếu hai đt cắt nhau hoặc
trùng nhau thì k/c quy ước
bằng 0. Nếu 2 đt chéo nhau
a)
( )
∆
qua M
0
(1;-1;1) và
có VTCP
)1;1;1( −−u
( )
'∆
qua M
0
’(2;-2;3) và
có VTCP
)1;1;1(' −u
( )
2;1;1'
00
−=MM
Nhận thấy:
1 : (-1): (-1)=

( )
∆
qua M
0
(1;-1;0) và có
VTCP
)1;1;2( −u
( )
'∆
qua M
0
’(3;0;1) và có
VTCP
Trang21
Saùng kieán kinh nghieäm
Đào
Anh Tuấn
VTCP:
( )
[ ]
[ ]
( )
( )
[ ]
3
65
6
10
114
5.11).1(2.3

nhau.
b) *) Sai lầm:HS đã sử dụng
công thức một cách khuôn
mẫu, trong đó có nhiều đại
lượng khó nhớ do đó các em
đã lẫn lộn khi sử dụng công
thức và tính toán sai.
*) Khắc phục:- Để tránh
việc sử dụng công thức khó
nhớ, trong câu này giáo viên
có thể hướng dẫn hs tính theo
một cách khác. Trước hết
kiểm tra để khẳng định 2 đt
chéo nhau. Sau đó sử dụng
cách tính k/c giữa hai đt chéo
nhau được học trong HHKG
lớp 11. Đó là được tính bằng
k/c giữa một trong hai đt đó
với mp (P) song song với nó
và chứa đt kia. Cụ thể được
tính bằng k/c từ một điểm đến
một mp.
- Giáo viên hướng dẫn thứ tự
trình bày cho bài toán:
+ Tìm trên mỗi đt một điểm
và một VTCP.
( )
[ ]
( )
[ ]

d

Cách 2:
( )
∆
qua M
0
(1;-
1;0) và có VTCP
)1;1;2( −u
( )
'∆
qua M
0
’(3;0;1) và có
VTCP
)1;2;1(' −u
[ ]
)5;1;3(', −=⇒ uu
Gọi (P) là mặt phẳng
chứa
( )
∆
và song song
với
( )
'∆
. Suy ra mp (P)
qua M
0

0
’ và
nhận VTPT là
[ ]
',uu
+ Tính k/c cần tìm bằng k/c
từ điểm M
0
’ đến mp (P).
Bài giải của HS Sai lầm – Cách khắc phục Bài giải đúng
c) HS 1:
( )
6
67

114
1132.2
;
=
++
+−+
=
∆M
d
HS 2:
( )
30
30

2514

c) Từ pt đt
( )
∆
:



=−+−
=+−+
0552
012
zyx
zyx
Đặt z = t, thế vào hệ pt
trên suy ra pt tham số của
đt
( )
∆
:





=
+−=
−=
tz
ty
tx

=
=⇒
−=⇒
∆
u
uMM
d
uMM
M
Trang23
Saùng kieán kinh nghieäm
Đào
Anh Tuấn
+ Chuyển pt đt về dạng tham
số từ đó tìm được toạ độ M
0
và VTCP
)1;1;2( −u
+ Tính
[ ]
uMM ,
0
+ Tính
( )
[ ]
u
uMM
d
M
,

=
=
022
0
:a'
3t 3z
t 8y
t
:
zyx
zyx
x
a
c)
( ) ( )



=−+
=−+
∆



=+
=+−
∆
08
082
:'

đúng trọng tâm. Sau đó giáo viên có thể kiểm tra lại để nắm được học
sinh đã khắc phục được những sai lầm đã nêu trong thể loại bài tập đó
hay chưa. Từ đó giáo viên có thể tiếp tục dẫn dắt, điều chỉnh cho phù
hợp.
- Những giải pháp khắc phục sai lầm trên đây, tôi đã thực hiện qua nhiều
năm giảng dạy của mình ở những giờ dạy theo phân phối chương
trình và cả những giờ phụ đạo, ôn thi tốt nghiệp.
- Vận dụng các giải pháp này đã làm giảm đi nhiều những sai sót thường
gặp của đa số học sinh. Kết quả là qua so sánh bài kiểm tra giữa chương,
kiểm tra trắc nghiệm cuối chương của các năm, phần trăm bài trên trung
bình tăng đáng kể: Từ 30% đến 35%.
- Các tài liệu tôi đã tham khảo để thuận lợi cho việc viết sáng kiến kinh
nghiệm này:
1. Sách giáo khoa hình học 12 ( sách chỉnh lý hợp nhất năm
2000) Tác giả : Văn Như Cương – Tạ Mân.
2. Để học tốt Hình học 12.Tác giả : Nguyễn Vĩnh Cận.
3. Sai lầm phổ biến khi giải toán ( Nhà Xuất bản giáo dục )
Tác giả : Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh
Quang.
4. Các đề thi tốt nghiệp THPT các năm học từ năm 1996 đến
nay.
Trang25