Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu - Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 1 -
MỤC LỤC

MỤC LỤC 1
L
ỜI MỞ ðẦU 2
I. S
Ử DỤNG CSC – CSN ðỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ
D
ẠNG DÃY SỐ CÓ CÔNG THỨC TRUY HỒI ðẶC BIỆT 3
D
ạNG 1 5
D
ạNG 2 6
DạNG 3 8
D
ạNG 4 9
D
ạNG 5 10
D
ạNG 6 12
D
ạNG 7 14
D
ạNG 8 15
D
ạNG 9 17
DạNG 10 18
D
ạNG 11 20

Nguyễn Tất Thu - Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 2 -
LỜI MỞ ðẦU
Trong ch
ương trình toán học THPT các bài toán liên quan ñến dãy số là một phần
quan tr
ọng của ñại số và giải tích lớp 11 , học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải
các bài toán liên qua
ñến dãy số và ñặc biệt là bài toán xác ñịnh công thức số hạng tổng
quát c
ủa dãy số . Hơn nữa ở một số lớp bài toán khi ñã xác ñịnh ñược công thức tổng
quát c
ủa dãy số thì nội dung của bài toán gần như ñược giải quyết. Do ñó xác ñịnh công
th
ức tổng quát của dãy số chiếm một vị trí nhất ñịnh trong các bài toán dãy số.
Chuyên
ñề “Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số ”
nh
ằm chia sẻ với các bạn ñồng nghiệp một số kinh nghiệm giải bài toán xác ñịnh CTTQ

mong quý Th
ầy – Cô và các bạn ñồng nghiệp thông cảm và góp ý ñể chuyên ñề ñược tốt
h
ơn.

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ðỊNH
CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐI. S
Ử DỤNG CSC – CSN ðỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ
D
ẠNG DÃY SỐ CÓ CÔNG THỨC TRUY HỒI ðẶC BIỆT.

Trong m
ục này chúng tôi xây dựng phương pháp xác ñịnh CTTQ của một số dạng dãy
s
ố có công thức truy hồi dạng ñặc biệt. Phương pháp này ñược xây dựng dựa trên
các k
ết quả ñã biết về CSN – CSC , kết hợp với phương pháp chọn thích hợp. Trước hết
chúng ta nh
ắc lại một số kết quả ñã biết về CSN – CSC .
1. S
ố hạng tổng quát của cấp số cộng và cấp số nhân
1.1: Số hạng tổng quát của cấp số cộng
ðịnh nghĩa: Dãy số
( )
n
u
có tính chất

u u n d
= + −
(1).
ðịnh lí 2: Gọi
n
S
là tổng n số hạng ñầu của CSC
( )
n
u
có công sai d. Ta có:

1
S [2 ( 1) ]
2
n
n
u n d
= + −
(2).
1. 2: Số hạng tổng quát của cấp số nhân
Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu - Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 4 -
ðịnh nghĩa: Dãy số
( )
n
u
có tính chất
1
. *

u
có công bội
q
. Ta có:
1
1 -
1 -
n
n
q
S u
q
=
(4). 2. Áp dụng CSC – CSN ñể xác ñịnh CTTQ của một số dạng dãy số ñặc biệt

Ví d
ụ 1.1: Xác ñịnh số hạng tổng quát của dãy số
( )
n
u
ñược xác ñịnh bởi:
1 1
1, 2 2
n n
u u u n
−
= = − ∀ ≥

Ta th
ấy dãy
( )
n
u
là một CSN có công bội
2
q
=
. Ta có:
1
3.2
n
n
u
−
=
.
Ví d
ụ 1.3: Xác ñịnh số hạng tổng quát của dãy
( )
n
u
ñược xác ñịnh bởi:
1 1
2, 3 1 2
n n
u u u n
−
= − = − ∀ ≥

n n n
u u u
− −
− = − = −
(1).
ðặt
1
1 5
2 2
n n
v u v
= − ⇒ = −
và
1
3 2
n n
v v n
−
= ∀ ≥
. Dãy
( )
n
v
là CSN công bội
3
q
=

Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu - Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 5 -

ồi của dãy về (1), từ ñó ta ñặt dãy phụ ñể chuyển về dãy
( )
n
v
là một CSN. Tuy
nhiên vi
ệc làm trên có vẻ không tự nhiên lắm! Làm thế nào ta biết phân tích
3 1
1
2 2
− = − +
? Ta có thể làm như sau:
Ta phân tích
1
1 3
2
k k k
− = − ⇒ =
.
Với cách làm này ta xác ñịnh ñược CTTQ của dãy
1 0
1
( ) :
2
n
n n
u x
u
u au b n
−

ếu
1
a
≠
, ta viết
1 1
ab b
b
a a
= −
− −
. Khi ñó công thức truy hồi của dãy ñược viết như
sau:
1
( )
1 1
n n
b b
u a u
a a
−
+ = +
− −
, từ ñây ta có ñược:
1
1
( )
1 1
n
n

( ) : , 2
n n n
u u x u au b n
−
= = + ∀ ≥
(
, 0
a b
≠
là các hằng số) có
CTTQ là:
1
1
1
1
( 1) khi 1

1
. khi a 1
1
n
n
n
u n b a
u
a
u a b
a
−
−

ñể chuyển về dãy số là một
CSN. Mu
ốn làm vậy ta viết :
3 1 3 5 2 3( 1) 5
n n n
 
− = − − + − +
 
(2).
Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu - Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 6 -
Khi ñó công thức truy hồi của dãy ñược viết như sau:
3 5 2 3( 1) 5
n n
u n u n
 
+ + = + − +
 
.
ðặt
3 5
n n
v u n
= + +
, ta có:
1
10
v
=
và

2 3
5 5
a b a
b b
 
− = = −
 
⇔
 
− = = −
 
 
.
2) Trong tr
ường hợp tổng quát dãy
( )
1
1
:
( ) 2
n
n n
u
u
u au f n n
−



= + ∀ ≥

−
   
− = − − = = −
   

Vậy ta có:
1
1
(1) ( )
n
n
u u g a g n
−
 
= − +
 
.
V
ấn ñề còn lại là ta xác ñịnh
( )
g n
như thế nào ?
Ta th
ấy :
*N
ếu
1
a
=
thì

ñẳng thức (3) ta cho
1
k
+
giá trị của
n
bất kì ta ñược hệ
1
k
+
phương trình,
gi
ải hệ này ta tìm ñược các hệ số của
( )
g n
.
* N
ếu
1
a
≠
thì
( ) ( 1)
g n ag n
− −
là một ña thức cùng bậc với
( )
g n
nên ta chọn
( )

=


= +


, trong
ñó
( )
f n
là một ña thức bậc
k
theo
n
;
a
là hằng số. Ta làm như sau:
Ta phân tích:
( ) ( ) . ( 1)
f n g n a g n
= − −
với
( )
g n
là một ña thức theo
n
. Khi ñó, ta ñặt
( )
n n
v u g n

ta chọn
( )
g n
là ña thức bậc
k
.

Ví d
ụ 1.5: Cho dãy số
1
1
2
( ) :
2 1
n
n n
u
u
u u n
−

=


= + +


. Tìm CTTQ của dãy
( )
n

g n n n
a b b
 
− + = =
 
⇔ ⇒ = +
 
+ = =
 
 
.
2
2 1
n
u n n
⇒ = + −
.
Ví dụ 1.6: Cho dãy số
1
1
1
( ) :
3 2 ; 2,3,
n
n
n n
u
u
u u n
−

−
= − ⇒ = − +

Nên ta có:
1 1
1 1
2.2 3( 2.2 ) 3 ( 4)
n n n
n n
u u u
− −
−
+ = + = = +

V
ậy
1 1
5.3 2
n n
n
u
− +
= −
.
Chú ý : Trong tr
ường hợp tổng quát dãy
1
( ) : . .
n
n n n

α α
− −
−
− = − = = −
Suy ra
1
1
( ) .
n n
n
u a u bk bk
α
−
= − +
.
Tr
ường hợp
a
α
=
, ta phân tích
1
. ( 1).
n n n
n n
α α α α
−
= − −
(
)

n n
u
u
u a u b n
α
−



= + ∀ ≥


, ta làm như sau:

•
Nếu
1
1
( 1)
n n
n
a u b n u
α α α
−
= ⇒ = − +
.

•
Nếu
a

ụ 1.7: Tìm CTTQ của dãy
1
1
2
( ) :
5 2.3 6.7 12 ; 2, 3,
n n
n
n n
u
u
u u n
−

= −


= + − + =


.

Gi
ải: Ta có:
1
1
3 .3 5 .3
7 .7 5 .7
n n n
n n n



H
ơn nữa
12 3 5.3
= − +
nên công thức truy hồi của dãy ñược viết lại như sau:
(
)
1 1 1
1 1
3.3 21.7 3 5 3.3 21.7 3 5 ( 9 147 3)
n n n n n
n n
u u u
− − −
−
+ + + = + + + = = + + +

Vậy
1 1 1
157.5 3 3.7 3
n n n
n
u
− + +
= − − −
.
Ví dụ 1.8: Tìm CTTQ của dãy
1


 
= − − + − +

 

nên ta viết công thức truy hồi của dãy
nh
ư sau:
1 1
1 1
3.3 2 2 3.3 ( 1) 2 2 ( 12)
n n n
n n
u n u n u
− −
−
 
− − − = − − − − = = −
 

Vậy
1 1
11.2 3 2
n n
n
u n
− +
= − + + +
.

k
, ta phân tích
n
α
và
( )
f n
như cách phân tích ở dạng 2
và dạng 3.

Ví d
ụ 1.9: Xác ñịnh CTTQ của dãy
0 1 1 2
( ) : 1, 3, 5 6 2.
n n n n
u u u u u u n
− −
= − = = − ∀ ≥Gi
ải: ðể xác ñịnh CTTQ của dãy số trên, ta thay thế dãy
( )
n
u
bằng một dãy số khác là
m
ột CSN. Ta viết lại công thức truy hồi của dãy như sau:
1 1 2 1 1 2
. ( )

x x x x
− + = ⇔ = =
. Ta chọn
1 2
2; 3
x x
= =
. Khi ñó:

1 1
1 1 2 1 0
2 3( 2 ) 3 ( 2 ) 5.3
n n
n n n n
u u u u u u
− −
− − −
− = − = = − =

1
1
2 5.3
n
n n
u u
−
−
⇒ = +
. Sử dụng kết quả dạng 3, ta tìm ñược:
5.3 6.2

là các số thực cho trước và
2
4 0
a b
− ≥

nh
ư sau:
G
ọi
1 2
,
x x
là hai nghiệm của phương trình :
2
0 (4)
x ax b
− + =
( phương trình này
ñược gọi là phương trình ñặc trưng của dãy).
Khi
ñó:
1
1 1 2 1 1 2 2 1 1 0
. ( . ) ( . )
n
n n n n
u x u x u x u x u x u
−
− − −

k l
là nghiệm của hệ:
0
1 2 1
. .
k l u
x k x l u

+ =


+ =


.
Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu - Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 10 -

•
Nếu
1 2
x x
α
= =
thì
1
0 0
1
( )
2 2

α

=


+ =


.
V
ậy ta có kết quả sau:
Dạng 5: ðể xác ñịnh CTTQ của dãy
( )
n
u
:
0 1
1 2
;
. . 0 2
n n n
u u
u a u b u n
− −



− + = ∀ ≥



u k x l x
= + , trong ñó
,
k l
là nghiệm của hệ :
0
1 2 1
. .
k l u
x k x l u

+ =


+ =


.

•
Nếu
1 2
x x
α
= =
thì
1
( )
n
n

1 1
1; 2
4 1
n n n
u u
u u u n
+ −

= =


= + ∀ ≥


.
Hãy xác ñịnh CTTQ của dãy
( )
n
u
.
Giải:
Ph
ương trình
2
4 1 0
x x
− − =
có hai nghiệm
1 2
2 5; 2 5

. Vậy
1
(2 5) (2 5)
2
n n
n
u
 
= + + −
 
.

Ví d
ụ 1.11: Xác ñịnh CTTQ của dãy:
0 1
1 2
1; 3
( ) :
4 4 0 2, 3,
n
n n n
u u
u
u u u n
− −

= =


− + = ∀ =

nên ta có hệ:
2
1; 2
3
l
k l
k l

=

⇔ = =

+ =


.
Vậy
1
( 2)2
n
n
u n
−
= +
.

Ví d
ụ 1.12: Cho dãy
0 1
2


2 2 2
( ) 5 ( 1) ( 1) 6 ( 2) ( 2)
kn ln t k n l n t k n l n t
   
= + + − − + − + + − + − +
   
(5)
Ở (5) cho
0; 1; 2
n n n
= = =
ta có hệ:
19 7 2 1 1
7 5 2 5 8
3 2 13 19
k l t k
k l t l
k l t t
 
− + = =
 
− + = ⇔ =
 
 
− − + = =
 
.
ðặt
2

+ = − = −
 
 

2
15.3 35.2 15.3 35.2 8 19
n n n n
n n
v u n n
⇒
= −
⇒
= − + + +
.
Chú ý : ðể xác ñịnh CTTQ của dãy số:
0 1
1 1
;
( ) :
. . ( ) ; 2
n
n n n
u u
u
u a u b u f n n
+ −



+ + = ∀ ≥

1 2
(0); (1)
( ) :
0 2
n
n n n
v u g v u g
v
v av bv n
− −

= − = −


+ + = ∀ ≥


. ðây là dãy số mà ta ñã xét
trong dạng 5. Do ñó ta sẽ xác ñịnh ñược CTTQ của
n n
v u
⇒
.

•
Vấn ñề còn lại là ta xác ñịnh
( )
g n
như thế nào ñể có (6) ?
Vì

Giả sử
1
1 1 0
( )
m m
m m
g n a n a n a n a
−
−
= + + + +

( 0
m
a
≠
) là ña thức bậc
m
. Khi ñó hệ
s
ố của
m
x
và
1
m
x
−
trong VP là:
.(1 )
m

)
ii
Nếu PT (1) có hai nghiệm phân biệt trong ñó có một nghiệm
1
x
=

1 0
a b
⇒ + + =

và
1
( 2 ) . (1 ) ( 2 ). . 0
m m m
a b m a a b a a b m a
−
− + + + + = − + ≠
nên VP(6) là một ña thức bậc
1
m
−
.
)
iii
Nếu PT (1) có nghiệm kép
1
x
=


trong ñó
( )
h n
là ña thức cùng bậc với
( )
f n
.


 Nếu (1) có nghiệm kép
1
x
=
thì ta chọn
2
( ) . ( )
g n n h n
=
trong ñó
( )
h n
là ña thức
cùng b
ậc với
( )
f n
.
Dạng 6: ðể tìm CTTQ của dãy
0 1
1 2

( )
g n
là một ña thức bậc
k
:
1 0
( )
k
k
g n a n a k a
= + + +
.

•
Nếu phương trình :
2
0 (1)
x ax b
+ + =
có hai nghiệm phân biệt, ta phân tích
( ) ( ) ( 1) ( 2)
f n g n ag n bg n
= + − + −
rồi ñặt
( )
n n
v u g n
= −
.


v u n g n
= −
. Ví d
ụ 1.13: Xác ñịnh CTTQ của dãy
0 1
1 2
1; 4
( ) :
3 2 2 1 2
n
n n n
u u
u
u u u n n
− −

= =


− + = + ∀ ≥


.
Giải:
Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu - Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 13 -
Vì phương trình

⇔ = − = −

− =


.
ðặt
0 1
( 6) 1; 11
n n
v u n n v v
= + + ⇒ = =
và
1 2
3 2 0
n n n
v v v
− −
− + =

.2 .1
n n
n
v
α β
⇒ = +
với
1
, : 10; 9
2 11

n n n
u u
u
u u u n
− −

= − =


− + = ∀ ≥


.
Giải: Ta phân tích
1 2
2 .2 4 .2 3 .2
n n n n
a a a
− −
= − +
.
Cho
2
n
=
ta có:
4 4 8 3 4
a a a a
= − + ⇔ = −


α β
= +

Với
19
, : 12; 7 12.3 7
3 43
n
n
v
α β
α β α β
α β

+ =

⇔ = = ⇒ = +

+ =


.
Vậy
1 2
4.3 5.2 7 1,2,
n n
n
u n
+ +
= − + ∀ =

1 2
. . . .
n n n n
k a k b k
α α α α
− −
= + +
(7).
Cho
2
n
=
thì (7) trở thành:
2 2
( . )
k a b
α α α
+ + =

Từ ñây, ta tìm ñược
2
2
k
a b
α
α α
=
+ +
khi
α



+ + = ∀ ≥



1 2 1 2
. . ( ,
n n
n
v p x q x x x
⇒ = +
là hai nghiệm của (8)).
1 2
. . .
n n n
n
u p x q x kc
α
⇒ = + +
.
V
ậy nếu
x
α
=
là một nghiệm của (8), tức là:
2
0
a b

(2)
⇒
có nghiệm
k
α
⇔
là nghiệm ñơn của phương trình (8).
Khi
ñó:
1 2
. . .
n n n
n
u p x q x kcn
α
⇒ = + +
.
Cu
ối cùng ta xét trường hợp
2
a
x
α
= = −
là nghiệm kép của (8). Với tư tưởng như trên,
ta s
ẽ phân tích:
2 2 1 2 2
. . ( 1) ( 2)
n n n n

u p x q x cn
α
⇒ = + + .
V
ậy ta có kết quả sau:

Dạng 7: Cho dãy số
( )
n
u
xác ñịnh bởi:
0 1
1 2
;
. . . ; 2
n
n n n
u u
u a u b u c n
α
− −



+ + = ∀ ≥


.
ðể xác ñịnh CTTQ của dãy
( )


•
Nếu phương trình (11) có nghiệm ñơn
x
α
=
thì
1 2
. . .
n n n
n
u p x q x kcn
α
= + +
với
2
k
a
α
α
=
+
.

Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu - Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 15 -

•
Nếu
x


− + = ∀ ≥


.

Gi
ải:
Ph
ương trình
2
5 6 0
x x
− + =
có hai nghiệm
1 2
2; 3
x x
= =
, do ñó
.2 .3 5 .2
n n n
n
u p q kn
= + +
.
V
ới
2
2


1,2,
n
∀ =
.
Ví dụ 1.16: Tìm CTTQ của dãy
− −

= =


− + =


0 1
1 2
1; 3
( ) :
4 4 3.2
n
n
n n n
u u
u
u u u
.
Giải:
Ph
ương trình
2


+ =


.
Vậy
2 1
(3 2 2)2 1,2,
n
n
u n n n
−
= − + ∀ =
.

V
ới cách xây dựng tương tự ta cũng có ñược các kết quả sau:
Dạng 8: Cho dãy
( ):
n
u
0 1 2
1 2 3
, ,
0 3
n n n n
u u u
u au bu cu n
− − −


Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu - Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 16 -

•
Nếu (12) có một nghiệm ñơn, 1 nghiệm kép:
1 2 3 1 3
( ) .
n n
n
x x x u n x x
α β γ
= ≠ ⇒ = + +

Dựa vào
0 1 2
, ,
u u u
ta tìm ñược
, ,
α β γ
.

•
Nếu (12) có nghiệm bội 3
2
1 2 3 1
( )
n
n
x x x u n n x



Giải : Xét phương trình ñặc trưng :
3 2
7 11 5 0
x x x
− + − =

Ph
ương trình có 3 nghiệm thực:
1 2 3
1, 5
x x x
= = =

V
ậy
5
n
n
a n
α β γ
= + +

Cho
1, 2, 3
n n n
= = =
và giải hệ phương trình tạo thành, ta ñược
1 3 1

− −
− −

= = +

∀ ≥

= = +


.
Giải:
Ta có:
1 2 2 1 2 1 2
2 2 2 2( 2 )
n n n n n n n n
u u u v u u u u
− − − − − − −
= + + = + + −

1 2
4 3
n n n
u u u
− −
⇒ = −
và
1
5
u

n n
n n n
x px qy x
x y
y ry sx y
− −
− −

= +


= +


. ðể xác ñịnh CTTQ của hai dãy
( ),( )
n n
x y
ta làm như sau:
Ta biến ñổi ñược:
1 2
( ) ( ) 0
n n n
x p s x ps qr x
− −
− + + − =
từ ñây ta xác ñịnh ñược
n
x
, thay

− −
− −

−
− = − −


−
⇒

+

+ = + +
 +


Ta chọn
λ
,
'
λ
sao cho
1 1
1 1
( )( )
' ' ( ' )( ' )
'
'
n n n n
n n n n



1
1 1
1
1 1
( ) ( )
' ( ' ) ( ' )
n
n n
n
n n
x y p s x y
x y p s x y
λ λ λ
λ λ λ
−
−

− = − −

⇒

+ = + +


giải hệ này ta tìm ñược
(
)
(


.

Giải: Ta có
1
1 1
3 4
1 3 1
2
2 2
n
n n n
u
u u u
−
− −
+
= = +
. ðặt
1
n
n
x
u
=
, ta có:
1
1
1
3

−
.
Ví dụ 1.20: Tìm CTTQ của dãy số
1
1
1
2
( ) : 9 24
2
5 13
n n
n
n
u
u u
u n
u
−
−

=

− −

= ∀ ≥

+

.


1
: 5 22 24 0 2 4
t t t t x
+ + = ⇒ = − ⇒ =

1
1
1
1 1
1 3 1 11.3 10 4
5
5 3 4
11.3 10
n
n
n n
n
n n n n
x
x x
x x x x
−
−
−
− −
−
⇒ = ⇒ = + ⇒ = ⇒ =
+
−


α
−
−
+
= = ∀ ≥
+
. ðể tìm CTTQ của dãy (x
n
)
ta làm như sau:
ðặt
n n
u x t
= +
, thay vào công thức truy hồi của dãy ta có:
2
1 1
1 1
( ) ( )
n n
n
n n
px pt q p rt x rt p s t q
x t
ru rt s rx rt s
− −
− −
+ + − − + − +
= − =
+ + + +

1
n n
u
u v
v

=


=


và
2 2
1 1
1 1
2
2
2
n n n
n n n
u u v
n
v u v
− −
− −

= +

∀ ≥



= +
+ = +
 
⇒
 
=
− = −
 



Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu - Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 19 -
1 1
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 ( 2 ) (2 2)
2 ( 2 ) (2 2)
n n
n n
n n
n n
u v u v
u v u v
− −


 

 
⇒

 

= + − −
 
 


.
Nh
ận xét: Từ
2
1
2 2
2 2
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
2
2
2

 

+
= +

 
⇒ = =

=
 


 
 
 

Do v
ậy nếu ta ñặt
n
n
n
u
x
v
=
ta ñược dãy số
1
2
1
1

2
( ) :
2
2
2
n
n
n
n
x
x
x
x n
x
−
−

=

+

= ∀ ≥


.

Gi
ải:
Xét hai dãy
1

= +

∀ ≥

=


.
Ta chứng minh
n
n
n
u
x
v
=
(14).

•
2
2
2
2 2 2
u
n x n
v
= ⇒ = = ⇒ =
(14) ñúng.

•

(2 2) (2 2)
n n
n n
n
x
− −
− −
+ + −
=
+ − −
.
Dạng 11:

1)
Từ hai ví dụ trên ta có ñược cách tìm CTTQ của hai dãy số
( ),( )
n n
u v
ñược xác ñịnh
bởi:
2 2
1 1 1
1 1 1
. ;
2 ;
n n n
n n n
u u a v u
v v u v
α

u au u au
a v a v u
u au u au
− −
− − −
− −
− − −


= +
+ = +
 
⇒
 
=
− = −
 



1 1
1 1
2 2
2 2
1
( ) ( )
2
1
( ) ( )
2

1
2
1
1
( ) :
2
n
n
n
n
x
x
x a
x
x
α
−
−

=

+

=


.
Xét hai dãy
2 2
1 1 1

n
n
n
u
a a
x a
v
a a
α α
α α
− −
− −
+ + −
= =
+ + −
.

Ví d
ụ 1.23: Cho dãy
1
2
1 1
1
( ) :
5 24 8 2
n
n n n
u
u
u u u n

x y y
 
+ = =
 
⇒ ⇔
 
+ = = −
 
 
. Ta chứng minh:
1 2
10
n n n
u u u
− −
= −

3
n
∀ ≥

T
ừ công thức truy hồi của dãy ta có:
2 2
1 1
( 5 ) 24 8
n n n
u u u
− −
− = −

ừ
2
(15),(16) ,
n n
u u
−
⇒
là hai nghiệm của phương trình :
2 2
1 1
10 8 0
n n
t u t u
− −
− + − =

Áp d
ụng ñịnh lí Viet, ta có:
2 1
10
n n n
u u u
− −
+ =
.
V
ậy
(
)
(



= + − ∀ ≥


là dãy nguyên
24
a
⇔ =
.
Thật vậy:
2
5 8 5
u a t
= + − = +
(
8
t a Z
= − ∈
)
2 2
3
5 ( 8)( 5) 8
u t t
⇒ = + + + −

2 2 2
3
( ) ( 8)( 5) 8 ( )
u Z f t t t m m Z

2
1 1
( ) :
2
n
n n n
u
u
u au bu c n
α
− −

=


= + + ∀ ≥


, với
2
1
a b
− =
ta xác ñịnh
CTTQ như sau:
Từ dãy truy hồi
2 2 2 2
1 1 1 1
( ) 2 0
n n n n n n n

2
1
( ) :
2
n
n
n
n
u
u
u
u n
a cu b
α
−
−

=



= ∀ ≥

+ +


,trong ñó
0; 1
a
α

1 1
n n n
u au bx c
− −
= + +
ñây là dãy mà ta ñã xét ở trên. Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu - Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 22 -
Ví dụ 1.24: Cho dãy
1 2
2
1
2
1
( ) :
2
2
n
n
n
n
u u
u
u
u n
u
−
−

= =

5
41
u
=
ta có hệ phương trình:
1 2
3 4
3 11 1 4
11 3 41 0
n n n
x y z x
x y z y u u u
x y z z
− −
 
+ + = =
 
+ + = ⇔ = − ⇒ = −
 
 
+ + = =
 

Ta chứng minh
1 2
1 2
1
( ) :

− −
= −
. Ta có:
( )
2
2 2 2
1 2
1 1 2 2
1
1 1 1
4 2
2 16 8 2
k k
k k k k k
k
k k k
u u
u u u u u
u
u u u
− −
− − − −
+
− − −
− +
+ − + +
= = =2

)
1 1
3 1 3 1
2 3 2 3
2 3 2 3
n n
n
u
− −
+ −
⇒ = − + +
.
Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu - Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 23 -
II. SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC ðỂ XÁC ðỊNH CTTQ CỦA DÃY SỐ

Nhi
ều dãy số có công thức truy hồi phức tạp trở thành ñơn giản nhờ phép thế lượng giác.

.
Giải:
T
ừ công thức truy hồi của dãy, ta liên tưởng ñến công thức nhân ñôi của hàm số côsin
Ta có:
2
1 2
1 2
cos 2 cos 1 cos
2 3 3 3
u u
π π π
= = ⇒ = − =
2
3 4
2 4 8
2 cos 1 cos cos
3 3 3
u u
π π π
⇒ = − = ⇒ =
Ta ch
ứng minh
1
2
cos
3
n
n
u

− − −
− −
= ⇒ = − = − =

V
ậy
1
2
cos
3
n
n
u
π
−
=

1
n
∀ ≥
.
Dạng 13: ðể xác ñịnh CTTQ của dãy số
1
2
1
( ) :
2 1 2
n
n n
u

−
=
.

•
Nếu
1
| | 1
u
>
ta ñặt
1
1 1
( )
2
u a
a
= +
( trong ñó
0
a
≠
và cùng dấu với
1
u
).
Khi ñó
2 2 4
2 3
2 2 4

u
) của phương trình :
2
1
2 1 0
a u a
− + =
. Vì phương trình này có hai nghiệm có
tích bằng
1
nên ta có thể viết CTTQ của dãy như sau
1 1
2 2
2 2
1 1 1 1
1
1 1
2
n n
n
u u u u u
− −
 
   
 
= − − + + −
   
 
   
 

3 3
cos 4 cos 3 cos cos 3 cos
2 6 6 6 6 6
u u u
π π π π π
= = ⇒ = − = ⇒ =

B
ằng quy nạp ta chứng minh ñược:
1
3
cos
6
n
n
u
π
−
=
.
Dạng 14:
1)
ðể tìm CTTQ của dãy
1
3
1 1
( ) :
4 3 2
n
n n n

=
.

•
Nếu
| | 1
p
>
, ta ñặt
1
1 1
2
u a
a
 
= +
 
 
(
a
cùng dấu với
1
u
)
Bằng quy nạp ta chứng minh ñược
1
1
3
3
1 1

   
 
   
 
.
2)
Từ trường hợp thứ hai của bài toán trên, ta có cách tìm CTTQ của dãy số
Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu - Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 25 -
1
3
1 1
( ) :
4 3 2
n
n n n
u p
u
u u u n
− −

=


= + ∀ ≥


bằng cách ñặt
1
1 1

= − = + + + − +
 
   
 
 
   
 
 
.
Chú ý : Trong một số trường hợp ta xác ñịnh ñược CTTQ của dãy
( )
n
u
cho bởi:
1
3 2
1 1 1
2
n n n n
u
u u au bu c n
− − −



= + + + ∀ ≥


.
Bằng cách ñưa vào dãy phụ ñể chuyển dãy ñã cho về một trong hai dạng ở trên.

− − −
+ = + − + − + +3 2
24 12 6 15 6
y y y
+ − + −
.
Ta chọn
2 2
3 2
6 6 0
1
:
24 12 6 15 6
6
x y x
y y
y y y y

− =

⇔ =

− + − =


.
Khi ñó:

n n
n
v
− −
 
⇒ = + + −
 
 
.
V
ậy
1 1
3 3
1 1
(2 5) (2 5) 1,2,
2 6 6
n n
n
u n
− −
 
= + + − + ∀ =
 
 
.