L
ỜI CẢM
ƠN
Khóa lu
ận được hoàn thành tại trường Đại học Hà Tĩnh, dưới sự hướng dẫn
t
ận tình của Th.S. Nguyễn Thị Minh Hưng. Trước hết, tôi xin được bày tỏ lòng cảm
ơn sâu s
ắc tới cô giáo hướng dẫn, người đã định hướng nghiên cứu và tạo điều kiện
thu
ận lợi
cho tôi trong su
ốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận văn.
Đ
ồng thời qua đây tôi cũng xin đ
ư
ợc gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy
giáo, cô giáo trong khoa Sư ph
ạm Tự nhi
ên, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Toán đã
giúp tôi s
ớm hoàn thành
lu
ận văn này.
Mặc dù đã rất cố gắng song khóa luận không thể tránh khỏi những sai sót.
Tôi r
ất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và bạn đọc để
khóa lu
ận được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành c
ảm ơn!

hương pháp xác đ
ịnh công thức
t
ổng quát của dãy số”.
2. M
ục đích nghi
ên c
ứu
Khóa lu
ận thực hiện với mục đích tr
ình bày 3 phương pháp để đi tì
m công
th
ức tổng quát của dãy số: Sử dụng phương trình sai phân, Sử dụng cấp số cộng,
c
ấp số nhân, Sử dụng phép thế lượng giác. Trong mỗi phương pháp đã trình bày
m
ột cách có hệ thống các dạng thường gặp để nhằm giúp bạn đọc có thể tìm thấy
cách gi
ải nhanh
cho bài toán xác đ
ịnh công thức tổng quát của dãy số.
3. Đ
ối tượng nghiên cứu
Tìm hi
ểu cách xác định công thức tổng quát của d
ãy số.
4. Gi
ả thuyết khoa học
Nếu trong quá trình dạy học giáo viên và học sinh có thể phân dạng và có

Chương 2: M
ột số phương pháp xác định công thức tổng
quát c
ủa dãy số.
3
Chương 1. CƠ S
Ở LÍ THUYẾT
1.1. Dãy số
1.1.1. Đ
ịnh nghĩa
Đ
ịnh nghĩa 1
: Dãy s
ố là một hàm số từ
vào m
ột tập hợp số
( )
, , ,
hay
m
ột tập con n
ào đó của các tập hợp trên. Các số hạng của dãy số
thư
ờng đ
ược kí hiệu
là u
n,
v
n
, x

ố {x
n
} đư
ợc gọi l
à b
ị chặn trên nếu tồn tại số thực M sao cho với mọi n
ta có
n
x M≤
.
Dãy s
ố {x
n
} đư
ợc gọi là bị chặn dưới
n
ếu tồn tại số thực m sao cho với mọi n
ta có
n
x m≥
.
M
ột dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới được gọi là dãy bị chặn.
Dãy s
ố x
n
đư
ợc gọi là tuần hoàn với chu kỳ k nếu x
n+k
= x

ta có
n
x a

− <
.
0 0
lim 0, : ,
n n
n
x a N N n N x a
 
→∞
= ⇔ > ∃ ∈ ∀ > − <
.
Ta nói dãy s
ố {x
n
} d
ần đến vô cùng khi n dần đến vô cùng nếu với mọi số thục
dương M l
ớn t
ùy ý, tồn tại số tự nhiên N
0
(ph
ụ thuộc v
ào dãy số x
n
và M) sao cho
v

0 0
0, : , ,
m n
N m n N x x
 
∀ > ∃ ∈ ∀ > − <
Đ
ịnh nghĩa 5
: ( Tiêu chu
ẩn Cauchy).
Dãy s
ố {x
n
} có gi
ới hạn hữu hạn khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy.
1.1.2. Một số tính chất của dãy số
Đ
ịnh lý 1
: ( T
ổng, hiệu, tích thương các dãy hội tụ).
N
ếu {x
n
}, {y
n
}là các dãy h
ội tụ v
à có giới hạn
tương
ứng l

n
} gi
ới hạn hữu hạn 1, nếu
0 0
:N n N∃ ∈ ∀ >
ta có
n
a x b≤ ≤
thì
n
a x b≤ ≤
.
Đ
ịnh lí 3:
(Đ
ịnh lí kẹp). Cho ba d
ãy số {x
n
},{y
n
}{z
n
} trong đó {x
n
} và {x
n
}
cùng có gi
ới hạn là l, và
0 0

n a b a b
+ +
∀ ∈ ⊂
c).
0
n n
b a− 
khi
n → ∞
Khi đó t
ồn tại duy nhất số thực l sao cho :
[ ]
,
n n
a b l∩ =
.
1.2. C
ấp số cộng, cấp số nhân
1.2.1. C
ấp số cộng
1.2.1.1.Đ
ịnh nghĩa :
Dãy s
ố {x
n
} đư
ợc gọi là cấp số cộng khi và chỉ khi tồn tại d sao cho
1
,
n n

nx n n d
n x x
−
−
= +
= + + +
+ −
=
+
=
1.2.2. C
ấp số nhân
1.2.2.1.Đ
ịnh nghĩa:
Dãy s
ố {x
n
} đư
ợc gọi là cấp số nhân khi và
ch
ỉ khi tồn tại q sao cho
1
,
n n
n x qx
+
∀ ∈ =
d đư
ợc gọi l
à công bội của cấp số nhân, x

ếu
1q <
thì {x
n
} đư
ợc gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
T
ổng của cấp số nhân lùi vô hạn được tính theo công thức
( )
0
1
x
S
q
=
−
1.3. Phương tr
ình sai phân
1.3.1. Sai phân
1.3.1.1. Đ
ịnh nghĩa:
Cho hàm s
ố y=f(x) xác định trên
, đ
ặt
( )
*
0k
x x kh k= + ∈
v

ệu số
( )
2 *
1
: ( )
k k k k
y y y y k
+
∆ = ∆ − ∆ = ∆ ∆ ∈
đư
ợc gọ
i là sai phân c
ấp 2 của hàm
s
ố f(x).
T
ổng quát,
( )
1 1 1 *
1
: ( )
i i i i
k k k k
y y y y k
− − −
+
∆ = ∆ − ∆ = ∆ ∆ ∈
đư
ợc gọi là sai phân cấp i
c

ủa đa thức).
Sai phân c
ấp I của một đa thức bậc n:
+) Là m
ột đa thức bậc
n-i khi i<n;
+) Là hằng số khi i=n;
+) B
ằng 0 khi i>n;
M
ệnh đ
ề 4: (Công th
ức sai phân từng phần)
( )
1k k k k k k
f g f g g f
+
∆ = ∆ + ∆
M
ệnh đề
5: (T
ổng các sai phân)
1 1
1
n
k n
k
y y y
+
=

+ + + =
(2)
Trong đó
0 1
; ; ; ; ( )
k
a a a f n
đã biết còn
1
, , ,
n n n k
y y y
+ +
là các giá trị chưa biết.
Phương tr
ình (2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp k.
N
ếu f(n) =0 thì phương trình (2) có dạng
0 1 1
0
n k n k k n
a y a y a y
+ + −
+ + + =
Và đư
ợc gọi là phương trình sai phân tuyến tính thu
ần nhất cấp k.
N
ếu f(n)=0 th
ì (2)được gọi là phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất.

, ( ),
n n
u au bu f n n

+
= + = ∈
(1)
Trong đó

; a=0; b=0 là các h
ằng số và f(n) là biểu thức của n cho trước.
b. Phương pháp gi
ải
- Gi
ải ph
ương trình sai phân thuần nhất tương ứng.
+ Gi
ải phương trình đặc trưng
0a b

+ =
đ
ể tìm

.
+ Tìm nghi
ệm ri
êng c
ủa phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất tương
ứng

1.3.2.4. Phương tr
ình sai phân tuyến tính bậc hai
a. Đ
ịnh nghĩa
Phương tr
ình sai phân tuyến tính bậc hai (cấp hai) là phương trình sai phân dạng:
*
1 2 2 1
, , ( ),
n n n
u u au bu cu f n n
 
+ +
= = + + = ∈
(1)
Trong đó
, , , ,a b c
 
; là các h
ằng số, a=0; b=0 và f(n) là biểu thức của n cho trước.
b. Phương pháp gi
ải
- Gi
ải phương trình sai phân thuần nhất tương ứng.
- Tìm m
ột nghiệm riêng u
n
*
c
ủa phương trình không thuần nhất.

; ;
( )
n n n n
u u u
au bu cu du f n
  
+ + +
= = =


+ + + =

Đư
ợc gọi là phương trình sai phân tuyến tính bậc ba (cấp ba).
b. Phương pháp gi
ải
Phương tr
ình sai phân tuyến tính bậc ba luôn giải được. Nghiệm tổng quát của
nó có d
ạng:
*
n
n n
u u u
∧
= +
Trong đó,
n
u
∧

0
k k
k k
a a a a
  
−
−
+ + + + =
(2)
Để t
ìm k.
- Tìm nghi
ệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng.
+ N
ếu
(2) có k nghi
ệm thực khác nhau là
1 2
, , ,
k
  
thì nghi
ệm tổng quát là
1 1 2 2

n n n
k k
n
y c c c
  

= =
 
= + +
 
 
∑ ∑
+ N
ếu (2) có nghiệm phức đ
ơn
:
( )
os isin
j
r c
  
= +
thì
( )
os isin
j
r c
  
= −
c
ũng l
à nghiệm của (2).
Đ
ặt
1j j
 

r c
    
+ + −
= = = = +
Thì (2) c
ũng có nghiệm phức bội s liên hợp với
j

là
j

mà ta đ
ặt
là
( )
1 2 1
os isin
j s j s j s
r c
    
+ + + + −
= = = = −
Trong trư
ờng hợp này, để thu được công thức nghiệm tổng quát, trong công
th
ức (3) tat hay bộ phận
1 1 2 1 2 1

n n n
j j j j j s j s

T
ỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ
2.1. S
ử dụng phương trình sai phân xác định công thức tổng quát của
dãy s
ố
2.1.1. S
ử dụng p
hương tr
ình sai phân bậc nhất
D
ạng 1:
Cho dãy s
ố
{ }
0
1
ons
:
ax 0
n
n n
x c t
x
bx
+
=


+ =

x x
a
 
= −
 
 
Ví d
ụ
: Cho dãy s
ố
{ }
0
1
5
: ,
x 3 0
n
n n
x
x n
x
+
=

∀ ∈

− =

.
Tìm s

ax
n
n n k
x
x
bx P n
+



+ =


, v
ới
( )
k
P n
là đa th
ức bậc k của n.
Tìm s
ố hạng tổng quát của dãy số.
12
Gi
ải:
Xét phương tr
ình đặc trưng:
0
b
a b

ư sau:
- N
ếu
0a b+ ≠
thì nghi
ệm riêng
( )
*
n k
x Q n=
thay vào phương tr
ình ta được:
( ) ( ) ( )
. 1
k k k
a Q n bQ n P n+ + =
.
Đ
ồng nhất hệ số ta tìm được
( )
k
Q n
.
- N
ếu
0a b+ =
thì nghi
ệm
riêng
( )

x
x n n n
+
=



− = + + ∀ ∈


Tìm s
ố hạng tổng quát của dãy số.
Giải:
Xét phương trình đặc trưng
2 0 2
 
− = ⇔ =
Ta có:
1 2 1 0a b+ = − = − ≠
nên nghi
ệm ri
êng phương tr
ình có dạng
:
* 2
an
n
x bn c= + +
.
Thay

a b c c
− = = −
 
 
− = ⇔ = − ⇒ = − − −
 
 
+ − = = −
 
CTTQ c
ủa số hạng trong dãy:
2
2 3 10 18
n
n
x c n n= − − −
.
T
ừ
0
7 18 7 25x c c= ⇒ − = ⇒ =
.
Suy ra
2
25.2 3 10 18
n
n
x n n= − − −
Ví d
ụ 2:

1 1 0a b+ = − =
nên nghi
ệm ri
êng phương tr
ình có dạng:
( )
* 2
=an
n
x n an b bn= + +
.
Thay
*
n
x
vào phương tr
ình ta
được
:
( ) ( )
2
2
1 1 4 5
2 4 5
a n b n an bn n
an a b n
+ + + − − = +
⇔ + + = +
Đ
ồng nhất hệ số hai vế

x n n= + +
.
D
ạng 3:
Cho dãy s
ố
{ }
( )
0
1
: ,
ax ons
n
n n
x
x n
bx d d c t
+


∀ ∈

+ = =


Khi đó s
ố hạng tổng quát của d
ãy số là:
14
n 0

 
 

 
 

= + + =


Ví d
ụ 1:
Cho dãy s
ố
{ }
0
1
5
: ,
x 6
n
n n
x
x n
x
+
=

∀ ∈

− =

+
=

∀ ∈

− =

.
Tìm s
ố hạng tổng quát của dãy số.
Gi
ải:
T
ừ công thức truy hồi ta có:
2
2 2
1 2 2 2
0
8 1
8 4 8(8 4) 4 8 4(8 1) 8 4
8 1
8 1
8 4
8 1
n n n n n
n
n
x x x x x
x
− − − −


+


∀ ∈

+ =


.
Tìm s
ố hạng tổng quát của dãy số.
Gi
ải:
Xét phương trình đặc trưng:
0
b
a b q
a
 
+ = ⇔ = − =
.
15
- N
ếu
 
≠
thì nghi
ệm riêng của phương trình
*

*
1
. .
n
n n
n n
d
x c q x c q
a q


= + = +
−
T
ừ
( ) ( )
0 1 1 0
d d
x c c x
a q a q
 
= + ⇒ = −
− −
( ) ( )
0 0
. . .
n n n
n n
n
d d d q

1
. 1 . . . . .
1 1
n n n
d d d
a c n bcn d c
a n bn a n aqn aq
  
 
+
+ + = ⇔ = = =
+ + + −
(do
q

=
).
Suy ra
1
*
n n
n
dnq dnq
x
aq a
−
= =
.
S
ố hạng tổng quát của dãy:

1
.
.
n n
n
n
n
d q
a q
x x q
dnq
a


−

−

−

= +




khi
q
q



Tìm s
ố hạng tổng quát
c
ủa dãy số.
16
Gi
ải:
Ta có:
3; 2; 5
b
q d
a
 
−
= = = = =
.
Vì
q

≠
nên ta có s
ố hạng tổng quát của dãy sẽ là :
0
3 5
. . 5.3 2. 4.3 5
3 5
n n n n
n n n n
n
d q

− =


Tìm s
ố hạng tổng quát của d
ãy số.
Gi
ải
:
Ta có:
3; 5; 3
b
q d
a
 
−
= = = = =
.
Vì
q

=
nên ta có s
ố hạng tổng quát của d
ãy sẽ là :
1 1 1
0
. . 2.3 5 .3 (5 6).3
n n n n n
n

Tìm s
ố hạng tổng quát của dãy số.
Gi
ải:
G
ọi
*1
n
x
là nghi
ệm riêng của phương trình
1 1 1
ax
n
n n
bx d

+
+ =
G
ọi
*2
n
x
là nghi
ệm riêng của phương trình
1 2 2
ax
n
n n

s
ẽ
là
* *1 *2 *3 *

k
n n n n n
x x x x x= + + +
Khi đó s
ố hạng tổng quát
*n
n n
b
x c x
a
 
 
= + = −
 
 
17
Ví d
ụ:
Cho dãy s
ố
{ }
( )
0
1
2

Do
1
 
=
nên nghiệm riêng
*1
1
.2
n
n
x d n=
thay vào phương trình, ta được:
( )
1 *1 1
1 1 1
3
1 .2 2 .2 3.2 3 .2
2
n n n n
n
d n d n d x n
+ −
+ − = ⇔ = ⇒ =
Do
2
 
≠
nên nghi
ệm riêng
*2

Suy ra
1
2 3 .2 7
n n n
n
x n
−
= + +
D
ạng 6:
Cho dãy s
ố
{ }
( )
0
1
: ,
ax .
n
n
n n k
x
x n
bx P n d

+


∀ ∈


1
ax
n
n n
bx d

+
+ =
Công th
ức tổng quát của d
ãy s
ố được xác định là
*1 *2
.
n
n n n
x c x x

= + +
Từ giá trị của x
0
ta tìm được giá trị c.
Ví d
ụ:
Cho dãy s
ố
{ }
0
1
3

n
x
là nghi
ệm riêng của phương
trình
*1
1
3 11
x 5 3 2
4 16
n n n
x n x n
+
− = + ⇒ = − −
G
ọi
*2
n
x
là nghi
ệm riêng của phương trình
*2
1
x 5 2.3 3
n n
n n n
x x
+
− = ⇒ = −
Công thức tổng quát của dãy số được xác định là :

D
ạng thuần nhất và có phương trình đặc trưng bậc hai tồn tại nghiệm thực.
Cho dãy số
{ }
0 1
2 1
;
x :
0,
n
n
n n
x x
ax bx cx n
+ +





+ + = ∀ ∈
.
Tìm CTTQ c
ủa
x
n
.
Gi
ải:
Xét phương tr

c
và
2
c
Phương tr
ình (1) có nghiệm
1 2
  
= =
thì s
ố hạng tổng quát có dạng :
( )
0 1 2
n
x c nc

= +
.
T
ừ
0 1
x ;x
ta tìm
được
1
c
và
2
c
19

n
.
Gi
ải
:
Xét phương tr
ình đặc trưng
1 2
2
5 6 0 2 3
   
− + = ⇔ = ∨ =
S
ố hạng tổng quát của dãy có dạng
1 2
.2 .3
n n
n
x c c= +
T
ừ
0
1 2 1
1 2 2
1
2
2 1
2 3 5 1
5
x

x :
4
n n
n
n
x n
x x
x x
+
+
= =


− ∀ ∈

=
.
Tìm CTTQ c
ủa
x
n
.
Gi
ải:
Xét phương tr
ình đặc trưng
1,2
2
4 4 0 2
  

 

Suy ra
(2 3).2
n
n
x n= +
D
ạng 2:
D
ạng thuần nhất v
à phương tr
ình đặc trưng vô nghiệm thực.
Cho dãy s
ố
{ }
0 1
2 1
;
x :
0,
n
n
n n
x x
ax bx cx n
+ +




= +
Trong đó r =
2 2
B
A + B ; arctan
A

=
v
ới
A ;B =
2 2
b
a a
∆
= −
T
ừ hai giá trị
0
x
và
1
x
ta tìm
được
1
c
và
2
c

Tìm CTTQ c
ủa
x
n
.
Gi
ải:
Xét phương tr
ình dặc trưng
2
2 4 0
 
− + =
có
2
2 16 12 0∆ = − = − <
Suy ra phương tr
ình sai phân không có nghi
ệm thực
Đ
ặt
A = - 1;B = 3
2 2
b
a a
∆
= =
và
2 2
B

1 2
2
1
1
1
1
3
2 3 3 1
3
3 3 1
2 2
c
x
c
c c
c
x
=

=

=



 
⇒ ⇔
  
+ = +
=

;
x :
,
n
n
n n
x x
ax bx cx d n
+ +



+ + = ∀ ∈
.
Tìm CTTQ c
ủa
x
n
.
Gi
ải:
G
ọi
*
n
x
là nghi
ệm riêng của phương trình
. Khi đó nghi
ệm riêng

+ +


= + + = + ≠

+


= − + + = + =


Xét phương tr
ình đặc trưng
, xét nghi
ệm của phương trình đặc trưng như các
trư
ờng hợp tr
ên . Kết hợp với nghiệm riêng ta có công thức của
x
n
.
Ví d
ụ 1:
Cho dãy số
{ }
0 1
2 1
4 1
5 2 3
;

2
   
− + = ⇔ = ∨ =
Do a+b+c
≠
0 nên nghi
ệm của phương trình
*
3
3
2 5 2
n
d
x
a b c
= = = −
+ + − +
S
ố hạng tổng quát của dãy số :
1 2
1
.2 . 3
2
x
n
n
n
c c= + −
T
ừ

= −
=
+ − =




.
Suy ra
2
1
3.2 3
2
n
n
n
x
−
= − −
Ví d
ụ 2:
Cho dãy s
ố
{ }
0 1
2 1
89
5
5
7 6 11

1 2
7 6 0 1 6
   
− + = ⇔ = ∨ =
22
Do a+b+c=0 và 2a+b
≠
0 nên nghi
ệm ri
êng
*
11 11
2 2 7 5
n
dn n n
x
a b
= = = −
+ −
S
ố hạng tổng quát của dãy là:
1 2
11
.6 ,
5
n
n
x c c n n= + − ∀ ∈
T
ừ

=
+ − =
=

 


.
Suy ra
11
2 3.6
5
n
n
x n= + −
Ví dụ 3: Cho dãy s
ố
{ }
0 1
2 1
3 2
2 6
;
x :
,
n
n
n n
x x
x x x n

d
x n n n n
a
= − = −
S
ố hạn
g t
ổng quát của dãy là:
1 2
3 ( 1) ,
n
x c nc n n n= + + − ∀ ∈
T
ừ
0
1 1
1 2 2
1
3
3 1
2 3
2
x
c c
c c c
x
=
= = −

 





+ + = ∀ ∈
.
Xác đ
ịnh CTTQ của
x
n
.
G
ọi
*
n
x
là nghi
ệm riêng
c
ủa phương trình sai phân trên
. Khi đó nghi
ệm riêng
này đư
ợc xác định nh
ư sau:
23
*
1 2
2
1

= ≠ ∧ ≠

+ +


= = ∨ =

+


= − =



Xét phương tr
ình đặc trưng,
l
ập công thức nghiệm và ta có được công thức
n
x
.
Ví d
ụ 1:
Cho dãy s
ố
{ }
0 1
2 1
2 5
8 15 3.4

   
− + = ⇔ = ∨ =
Ta có
1 2
q q
 
≠ ∧ ≠
nên nghi
ệm của phươngtrình
*
2
3.4
3.4
16 32 15
n n
n
n
dq
x
aq bq c
= = = −
+ + − +
S
ố hạng tổng quát của
dãy là:
1 2
.3 .5 3.4 ,
n n n
n
x c c n= + − ∀ ∈

.
Ví d
ụ 2:
Cho dãy s
ố
{ }
0 1
2 1
8 5
11 28 6.7
;
x :
,
n
n
n
n n
x x
x x x n
+ +
= =



− + =


∀ ∈
.
Tìm CTTQ c

x n
aq b
− −
−
= = =
+ −
24
S
ố hạng tổng quát của d
ãy có dạng:
1
1 2
.4 .7 2 .7 ,
n n n
n
x c c n n
−
= + − ∀ ∈
T
ừ
0 1 2
1
2
1 1 2
8
10
2
4 7 2 28
x c c
c

n
n
n
n n
x x
x x x n
+ +
= = −



− + = −


∀ ∈
.
Tìm CTTQ c
ủa
x
n
.
Gi
ải:
Xét phương tr
ình
đăc trưng
2
1 2
10 25 0 5
   

1
2
1 1 2
4
3
4
5( ) 5
x c
c
c
x c c
= =
= −


⇒
 
=
= − + = −


Suy ra
2
( 3 4).( 5) +n(n -1).(-5) = (n -76n +100).(-5) ,
n n n
n
x n n= − + − ∀ ∈
.
D
ạng 5:

ịnh số hạng t
ổng quát của d
ãy số .
Giải:
Nghi
ệm riêng
*
n
x
c
ủa phương trình được xác định như sau: