60
2
a
O
C
B
A
D
S
a
a
A
B
C
S
60
a
a
2
C
B
A
D
S

Bài 1. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60
0
. Tính thể tích
của hình chóp.
Giải:
 Gọi O là tâm của mặt đáy thì

. . . 2 .2 . 6
3 3 3 3
a
V B h AB BC SO a a a
   
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B,

BAC
= 30
0
,SA = AC = a và SA vuông góc
với mặt phẳng (ABC).Tính V
S.ABC
và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

Giải
 Theo giả thiết,
, ,
SA AB BC AB BC SA
  

Suy ra,
( )
BC SAB

và như vậy
BC SB


 Ta có,


2
1 1 7 7
.
2 2 2 2 8
SBC
a a a
S SB BC

    

3
.
.
2
3
1 3 8 21
( ,( )). ( ,( )) 3
3 24 7
7
S ABC
S ABC SBC
SBC
V
a a
V d A SBC S d A SBC
S
a



 Suy ra hình chiếu của SC lên (ABCD) là AC, do đó

0
60
SCA





2 2 0 2 2
tan .tan .tan 60 (2 ) . 3 15
SA
SCA SA AC SCA AB BC a a a
AC
       

2
. .2 2
ABCD
S AB BC a a a
  

1
2a
60
M
O
C
B

0
. Tính thể tích
của hình chóp.
Giải

 Gọi O là tâm của mặt đáy thì
( )
SO ABCD

nên SO là đường cao
của hình chóp.
Gọi M là trung điểm đoạn CD. Theo tính chất của hình chóp đều

0
( )
( ) 60
( ) ( )
CD SM SCD
CD OM ABCD SMO
CD SCD ABCD


 



   





Giải

2 2 2 2
3 6 3 5
SB SA AB
    

2 2 2 2 2 2 2 2
6 3 2 7
SC SA AC SA AB BC
        


2 2
2
2
2
6 4
.
5
(3 5)
SD SA
SA SD SB
SB
SB
    


2 2

V
SA SD SE SD SE
V V
V SA SB SC SB SC
          Bài 6. Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy (ABC), tam giác ABC vuông cân tại B, SA= a,
SB hợp với đáy một góc 30
0
. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

Giải

( )
( )
SA ABC
SA AB
AB ABC




 





và hình chiếu của SB lên (ABC)

0
cot .cot .cot30 3
AB
SBA BC AB SA SBA a a
SA
     

2
1 1 3
. 3. 3
2 2 2
ABC
a
S AB BC a a  
 Vậy, thể tích khối chóp S.ABC là:
2 3
1 1 3
.
3 3 2 2
ABC
a a
V SAS a
     (đvtt)

Bài 7 Cho hình lăng trụ
.
ABC A B C
  
có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc
của


Suy ra góc giữa
( )
ABC
và
( )
ACC A
 
là

o
45
A IH




o
1 3
.tan 45
2 4
a
A H IH IH MB

   
 Vậy, thể tích lăng trụ là:
3
1 1 3 3 3
. . .
2 2 2 2 8






   



 




 Gọi K là trung điểm đoạn AC thì IK ||BC nên
IK AC


Ta còn có,
AC SI

do đó
AC SK


Suy ra, góc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (ABC) là

0
60
SKI

C
B
S
30
60
a
B'
CA
A '
C '
B
60
O
C
B
A
D
S
Bài 9. Cho khối chóp S.ABC có ABC và SBC là các tam giác đều có cạnh bằng 2,
3
SA a

. Tính thể
tích khối chóp S.ABC theo a.

Giải
 Gọi M là trung điểm đoạn BC, O là trung điểm đoạn AM.
 Do ABC và SBC đều có cạnh bằng 2a nên
2 3
2

 Thể tích khối chóp S.ABC
3
1 1 1 1 3. 3 3
3 2
3 3 2 6 2 2
a a
V B h AM BC SO a a
             (đvtt)
Bài 10 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là một tam giác vuông tại A và AC = a,

0
60
C

.
Đường chéo BC' của mặt bên BB'C'C tạo với mặt phẳng (AA'C'C) một góc
0
30
. Tính thể tích của
khối lăng trụ theo a.

Giải:
 Ta có,
( )
AB AC
AB ACC A
AB AA




0
30
BC A



 Trong tam giác vuông ABC,
0
.tan 60 3
AB AC a
 

 Trong tam giác vuông
ABC

,
0
.cot 30 3. 3 3
AC AB a a

  

 Trong tam giác vuông
ACC

,
2 2 2 2
(3 ) 2 2
CC AC AC a a a
 

. Kết hợp,
2
2
a
r OB  ta suy ra:

4

0
0 0
2 6
.tan 60 3
2 2
2
2
cos 60 2 cos60
a a
h SO OB
OB a
l SB a
    
   


 Diện tích xung quanh của mặt nón:
2
2
. . 2
2
xq


 





và hình chiếu của SB lên (ABC)
là AB, do đó

0
30
SBA





0
cot .cot .cot30 3
AB
SBA BC AB SA SBA a a
SA
     

2
1 1 3
. 3. 3
2 2 2
ABC

2
3 3 2
OA AM   
 Trong tam giác vuông IAO, ta có
2 2 2 2 2
3
(2 ) 2 4 4 2 0
2
IA OI OA R R R R
           

 Vậy, diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là
2
2
3
4 4 9
2
S R
  
 



  



 
(đvdt)
Câu 14. Cho hình lăng trụ

A H ABC BM AC

 

Do IH là đường trung bình tam giác ABM nên
||
IH BM IH AC
 

 Ta có,
,
AC IH AC A H AC IA
 
   

Suy ra góc giữa
( )
ABC
và
( )
ACC A
 
là

o
45
A IH




1) Chứng minh rằng (SAB) vuông góc (SBC).
2) Tính thể tích khối chóp MABC

BÀI GIẢI CHI TIẾT.

( )
( )
( )
BC SA SAB
BC SAB
BC AB SAB


 

 


 


(do SA cắt BC)
 Mà
( )
BC SBC

nên
( ) ( )
SBC SAB


          (đvdt)

Câu 16. Cho hình lăng trụ đứng
.
ABC A B C
  
có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = a, mặt
( )
A BC

tạo với đáy một góc
0
30
và tam giác
A BC

có diện tích bằng
2
3
a
. Tính thể tích khối
lăng trụ
.
ABC A B C
  
.
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
 Do
BC AB
BC A B




 
  




 



là góc giữa
( )
ABC
và
( )
A BC


 Ta có,
2
2.
1 2. 3
. 2 3
2
A BC
A BC
S

ABC
a
V B h S AA AB BC AA a a a
 
           (đvtt)

Câu 17. Hình chóp S.ABC có BC = 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại C, SAB là tam giác vuông cân tại S
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi I là trung điểm cạnh AB.
1) Chứng minh rằng, đường thẳng
SI
vuông góc với mặt đáy
( )
ABC
.
2) Biết mặt bên (SAC) hợp với đáy (ABC) một góc 60
0
. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

BÀI GIẢI CHI TIẾT.
 Do SAB vuông cân tại S có SI là trung tuyến nên
SI AB



( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
SAB ABC
AB SAB ABC SI ABC
AB SI SAB

SKI


 Ta có,

0
1
.tan tan 60 3
2
SI IK SKI BC a    
và
2 2
2 2 3 2 2
AB SI a AC AB BC a
     

 Vậy,
3
.
1 1 1 1 2 6
2 2 2 3
3 3 2 6 3
S ABC ABC
a
V S SI AC BC SI a a a
             (đvtt)

Câu 18. Cho khối chóp S.ABC có ABC và SBC là các tam giác đều có cạnh bằng 2,
3
SA a

 Từ (1) và (2) ta suy ra
( )
SO ABC

(do
, ( )
AM BC ABC

)
 Thể tích khối chóp S.ABC
3
1 1 1 1 3. 3 3
3 2
3 3 2 6 2 2
a a
V B h AM BC SO a a
             (đvtt)
Câu 19. Cho một hình trụ có độ dài trục
2 7
OO


. ABCD là hình vuông cạnh bằng 8 có các đỉnh nằm
trên hai đường tròn đáy sao cho tâm của hình vuông là trung điểm của đoạn
OO

. Tính thể tích của hình
trụ đó.

7

IO IH
  
nên
O H


 Theo tính chất của hình trụ ta có ngay OIH và OHA
là các tam giác vuông lần lượt tại O và tại H
 Tam giác vuông OIH có
2 2
3
OH IH OI
  

 Tam giác vuông OHA có
2 2
5
r OA OH HA
   

 Vậy, thể tích hình trụ là:
2 2
. . . .5 .2 7 50 7
V B h r h
  
   
(đvtt)

Câu 20. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là một tam giác vuông tại A và AC = a,


là hình chiếu
vuông góc của
BC

lên
( )
ACC A
 
. Từ đó, góc giữa
BC

và
( )
ACC A
 

là

0
30
BC A



 Trong tam giác vuông ABC,
0
.tan 60 3
AB AC a
 


b) Tính thể tích của khối nón tương ứng.

BÀI GIẢI CHI TIẾT.
 Giả sử SAB là thiết diện qua trục của hình nón (như hình vẽ)
 Tam giác SAB cân tại S và là tam giác cân nên SA = SB = a.
Do đó,
2 2
2
AB SA SB a
  
và
1 2
2 2
a
SO OA AB  
 Vậy, diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón :
xq
2
2 2
2 2 2
a a a
S rl

      ;
tp xq
2
2
2 2
2
2 2


   




 

Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 173 -
Chuyên đề
Bài 1. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

BT 1. Cho ba điểm
, ,
A B C
. Trả lời các câu hỏi sau đối với từng câu
/, /,
a b

•
Chứng tỏ ba điểm
, ,
A B C
tạo thành một tam giác và tìm trọng tâm của tam giác này ?
•
Tìm tọa độ điểm M sao cho:
2 3

)
(
)
(
)
1;2; 3 , 0; 3;7 , 12; 5;0
A B C−

c/
(
)
(
)
(
)
3; 1;2 , 1;2; 1 , 1;1; 3
A B C
− − − −
d/
(
)
(
)
(
)
4;2; 3 , 2;1; 1 , 3;8;7
A B C− −

e/
(

)
(
)
3; 4;7 , 5;3; 2 , 1;2; 3
A B C
− − − −

BT 2.
Cho bốn điểm
, , ,
A B C D
. Trả lời các câu hỏi sau đối với từng câu
/, /,
a b

•
Chứng minh
, , ,
A B C D
là bốn đỉnh của tứ diện đó ? Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện ?
Tính thể tích của tứ diện này ?
•
Tính góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD ?
•
Tính diện tích tam giác BCD ? Từ đó suy ra đường cao tứ diện vẽ từ A ?
•
Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm D trên mp(ABC) ?
•
Tìm điểm M sao cho:
2 2 3 0

(
)
(
)
(
)
(
)
1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1 , 2;1; 1 .
A B C D
− −

d/
(
)
(
)
(
)
(
)
1;1;0 , 0;2;1 , 1;0;2 , 1;1;1 .
A B C D
e/
(
)
(
)
(
)

)
(
)
(
)
(
)
3;2;4 , 2;5; 2 , 1; 2;2 , 4;2;3 .
A B C D− − −
BT 3.
Cho hình hộp
.
ABCD A B C D
′ ′ ′ ′
. Trả lời các câu hỏi sau cho đối với từng câu a/, b/,……
•
Tìm tọa độ các đỉnh còn lại ?
•
Tính thể tích của hình hộp đã cho ?
a/
(
)
(
)
(
)
(
)
0;0;1 , 0;2;1 , 3;0;1 , 0;0;0
A B D A

d/
(
)
(
)
(
)
(
)
1;0;1 , 2;1;2 , 1; 1;1 , 4;5; 5 .
A B D C
′
− −

BT 4.
Cho tứ diện ABCD với
(
)
(
)
(
)
2;1; 1 , 3;0;1 , 2; 1;3
A B C− −
và
D Oy
∈
. Biết thể tích của tứ diện
ABCD bằng
5 (

A Đ
Ộ

TRONG KHÔNG GIAN

9

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 174 -
Bài 2. BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

BT 6.
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB cho trước
Mặt phẳng trung trực
(
)
P
của đoạn AB là mp đi qua và vuông góc tại trung điểm I của AB.
( )
( )
( )
Đ ; ;
2 2 2
: ;
:

(
)
(
)
2;0;1 , 0; 2;3
A B −
b/
(
)
(
)
1;3; 4 , 1;2;2
A B− −
c/
(
)
(
)
2;1;1 , 2; 1; 1
A B
− −

d/
(
)
(
)
2; 5;6 , 1; 3;2
A B− − − e/
(

mp P
VTPT n a
i qua
b


→

 
=

 

  

a/
(
)
(
)
(
)
1; 2; 3 , 2;1;2 , 3;2; 1
M a b
− = = −


b/
(
)



BT 8.
Viết phương trình mặt phẳng
(
)
P
đi qua ba điểm
, ,
A B C
không thẳng hàng
( )
(
)
( )
• Đ

:
• : ,
PP
ABC
mp P
VTP
i qu
T
a A hay B hay
n
C
AB AC



c/
(
)
(
)
(
)
3; 5;2 , 1; 2;0 , 0; 3;7
A B C− − − d/
(
)
(
)
(
)
1;2;3 , 2; 4;3 , 4;5;6
A B C− −
e/
(
)
(
)
(
)
3;0;0 , 0; 5;0 , 0;0; 7
A B C
− −
f/
(

. Tính độ dài đường cao của
ABC
∆
kẻ từ A.
Đáp số.
(
)
: 2 2 6 0
ABC x y z
+ − + =
và
3 5
5
AH =
.
BT 10. (ĐH A – 2011)
Cho mặt cầu
(
)
2 2 2
: 4 4 4 0
S x y z x y z
+ + − − − =
và điểm
(
)
4;4;0
A . Viết phương
trình mặt phẳng
(

)
(
)
(
)
0;1;2 , 2; 2;1 , 2;0;1
A B C− − .
a/ Viết phương trình mặt phẳng qua
, ,
A B C
.
b/ Tìm tọa độ
(
)
: 2 2 3 0
M mp P x y z
∈ + + − =
sao cho
MA MB MC
= =
.
Đáp số.
(
)
: 2 4 6 0
mp ABC x y z
+ − + =
và
(
)

•

: ,
o o o
PP
P Q
M x y z
mp P
VTPT n u
i u
n
q a
∆


→

 
=

 

  

a/
(
)
1;1;1 ,
M
(

x t
y t t
z t
 = −

∆ = − ∈


= −

ℝ

P
A

B

I

a


A

C

B

P


BT 13.
Viết phương trình mp
(
)
P
đi qua
(
)
; ,
o o o
M x y z
và song song với mp
(
)
: 0
Q Ax By Cz D
+ + + =

( )
(
)
( ) ( )
( )
• , ,
:
• : ;
Đ
;

o o o

và
(
)
(
)
Q Oxy
≡
c/
(
)
1; 2;1
M −
và
(
)
: 2 3 0
Q x y
− + =
d/
(
)
1;2;3
M −
và
(
)
: 2 3 2 1 0
Q x y z
− + − =


: 2 2 5 0
P x y z
− − + =
. Tính khoảng cách từ A đến
(
)
mp P
. Viết phương trình mặt phẳng
(
)
Q

đi qua A và song song với
(
)
mp P
?
Đáp số.
( )
( )
2
,
3
d A P
=
và
(
)
: 2 2 3 0
mp Q x y z



  

a/
(
)
(
)
(
)
1;2;3 , 2; 4;3 , 4;5;6
M A B− −
b/
(
)
(
)
(
)
0;0;0 , 2; 1;3 , 4; 2;1
M A B− − −

c/
(
)
(
)
(
)

1; 2;4 , 3;2; 1 , 2;1; 3
M A B
− − − −

BT 16. (THPT – 2010 CB)
Cho ba điểm
(
)
(
)
(
)
1;0;0 , 0; 2;0 , 0;0;3
A B C . Viết phương trình mp
(
)
P
đi
qua A và vuông góc với đường thẳng BC. Tìm tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Đáp số.
(
)
: 2 3 0
P y z
− + =
và
1 3
;1;
2 2
I

.
Đáp số.
(
)
(
)
1
: 2 0; 1;0; 1
P x y z M
− + = −
và
(
)
2
0;2; 2
M
−
.
BT 18. (CĐ A – 2008)
Cho
(
)
1;1;3
A
và đường thẳng
1
:
1 1 2
y
x z

1; 1;3 , ; ;
3 3 3
M M
 
− − −
 
 
.
BT 19.
Viết phương trình mp
(
)
P
đi qua
,
A B
và vuông góc với
(
)
mp Q
:
( )
(
)
( ) ( )
Đ • ,
:
• ,

:

−


− + + =


b/
(
)
(
)
( )
3;1; 1 , 2; 1;4
: 2 3 1 0
A B
Q x y z

− −


− + − =



c/
(
)
(
)
( )

(
)
(
)
( )
2; 1; 3 , 4; 2;1
: 2 3 2 5 0
A B
Q x y z

− − −


+ − + =


f/
(
)
(
)
( )
1;2;0 , 0;2;0
: 1 0
A B
Q x y z



+ + + =


P

Q

(
)
Q
n


www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 176 -
BT 20. (ĐH A,A
1
– 2014)
Trong không gian với hệ trục tọa độ
,
Oxyz
cho
(
)
: 2 2 1 0
mp P x y z
+ − − =

 
−
 
 
và
(
)
: 8 5 13 0
Q x y z
+ + + =
.
BT 21. (CĐ – 2010 – Chương trình nâng cao)
Trong không gian với hệ trục tọa độ
,
Oxyz
cho đường
thẳng
1
:
2 1 1
y
x z
d
−
= =
−
và mặt phẳng
(
)
: 2 2 2 0

(
)
0;1;0
M
.
BT 22.
Viết phương trình của mặt phẳng
(
)
P
đi qua điểm M và chứa đường thẳng
∆
:
PP
→
Trên đường thẳng Δ lấy điểm A và xác định VTCP
u
∆


Khi đó
( )
( )
Đ•
:
• ,

:
P
M

( )
2
1;4; 3 , : 1 2
1 3
x t
M y t
z t
 = −

− ∆ = − +


= −


c/
( )
2
1 5
4; 2;3 , :
3 4 2
y
x z
M
+
− −
− ∆ = =
d/
( )
2

x y z
 + − + =
− ∆

− + − =


BT 23. (TNTHPT – 2010 – Chương trình nâng cao)
Trong không gian với hệ trục tọa độ
,
Oxyz
cho
đường thẳng có phương trình
1
1
:
2 2 1
y
x z
+
−
∆ = =
−
.
a/ Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng
∆
.
b/ Viết phương trình mặt phẳng
(
)

đi qua hai đường thẳng song song
1 2
,
∆ ∆
:
( )
(
)
( )
1 2
1 2
• ,
:
• :
Đ
,

PP
P
M hay M
mp P
V
i
TPT n u u
qua
∆ ∆

∈ ∆ ∈∆

→

3 2 1
y
x z
−
+ +
∆ = =

b/
1
3
1 2
: ,
2 3 4
y
x z
+
− −
∆ = =
2
1
2 4
:
2 3 4
y
x z
−
+ −
∆ = =
c/
1

x z
−
− +
∆ = =

2
5
1 1
:
4 2 6
y
x z
+
+ −
∆ = =

M

Δ

A

u
∆


P

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com

mp P
V
i
TPT n u u
qua
∆ ∆

∈ ∆ ∈ ∆

→

 
=

 

  

a/
( )
1
3
: 1 2 , ,
3
x t
y t t
z t
 =

∆ = − ∈

2 1 0
x y z
x y
 + + + =
∆

− + =


( )
2
1
: 2 ,
3
x t
y t t
z t
 = +

∆ = − + ∈


= −

ℝ

c/
1
2 4 0
: ,


− + − =


2
3 3 0
:
2 1 0
x y z
x y
 + − + =
∆

− + =


BT 26.
Cho 2 đường thẳng chéo nhau
1 2
,
∆ ∆
. Hãy viết phương trình
(
)
P
chứa
1
∆
và song song
2


 

  

a/
( )
1
1 2
: 3 , ,
2 3
x t
y t t
z t
 = −

∆ = + ∈


= − −

ℝ

( )
2
2
: 1 ,
3 2
x t
y t t


( )
2
2
: 5 3 ,
4
x t
y t t
z
′
 =

′ ′
∆ = − ∈


=

ℝ

c/
( )
1
3 2
: 1 4 ,
4 2
x t
y t t
z t
 = −

1
2
: ,
3 2 2
y
x z
+
−
∆ = =
−

2
1
1
:
1 2 4
y
x z
−
+
∆ = =

e/
1
3
7 9
: ,
1 2 1
y
x z

2
1
3 1
:
2 2 1
y
x z
+
− −
∆ = =
−

g/
1
2 2 2 0
: ,
2 2 4 0
x y z
x y z
 − + − =
∆

+ − + =


2
2 2 0
:
2 1 0
x y z

∆ = + ∈


= +

ℝ

BT 27. (ĐH A – 2002)
Trong không gian với hệ trục tọa độ
,
Oxyz
cho hai đường thẳng lần lượt có
phương trình
1
2 4 0
:
2 2 4 0
x y z
x y z
 − + − =
∆

+ − + =

và
2
1
: 2
1 2
x t

có độ dài nhỏ nhất ?
Đáp số.
( ) : 2 0
P x z
− =
và
(2;3;4)
H
.
M

Δ
1

1
u
∆


P

2
u
∆


Δ
2
Trong không gian với hệ trục tọa độ
,
Oxyz
cho điểm
(
)
0;1;2 ,
A hai đường
thẳng có phương trình
1
1
1
:
2 1 1
y
x z
d
−
+
= =
−
và đường thẳng
( )
2
1
: 1 2 ,
2
x t
d y t t
z t

thẳng hàng.
Đáp số.
(
)
: 3 5 13 0
P x y z
+ + − =
và
(
)
(
)
0;1; 1 , 0;1;1
M N− .
BT 29.
Viết phương trình mp
(
)
P
qua M và vuông góc với hai mp
(
)
(
)
,
α β
:
( )
( ) ( ) ( )
• Đ

: 2 5 1 0,
x y z
α + − + =

(
)
: 2 3 4 0
x y z
β − − + =

b/
(
)
2; 1;1 ,
M −
(
)
: 2 1 0,
x z
α − + =

(
)
: 0
y
β =

c/
(
)

: 3 0
x y z
β − − − =

e/
(
)
2; 4;0 ,
M −

(
)
: 2 3 2 5 0,
x y z
α + − + =

(
)
: 3 4 8 5 0
x y z
β + − − =

f/
(
)
5;1;7 ,
M
(
)
: 3 4 3 6 0,

Oxyz
cho đường các
mặt phẳng
(
)
1
: 2 3 4 0
P x y z
+ + + =
và
(
)
2
: 3 2 1 0
P x y z
+ − + =
. Viết phương trình mặt phẳng
(
)
P
đi qua điểm
(
)
1;1;1 ,
A
vuông góc hai mặt phẳng
(
)
1
P

. Viết phương trình mặt phẳng
(
)
R
sao cho
(
)
R
vuông góc với
(
)
P
và
(
)
(
)
, 2
d O R
=
.
Đáp số.
(
)
: 2 2 0
R x z
− ± =
.
BT 32.
Viết phương trình mặt phẳng

∈
. Cụ thể:
Cho:
(
)
( )
( ) ( )
1 1 1 1
2 2 2 2

; ;

o
o
o
A x B y C z D
x
z z A P
y
A x B y C z D

+ = − +
 =

= ⇒ ⇒ ⇒ ∈
 
=
+ = − +





Khi đó
( )
( )
Đ •
:
• ,

:
P
mp P
VTPT n AB
i qua M
AM



 
=

 

  

a/
(
)
2;0;1 ,
M

β − + − =

c/
(
)
2;1; 1 ,
M
−

(
)
: 4 0,
x y z
α − + − =

(
)
: 3 1 0
x y z
β − + − =

d/
(
)
3;4;1 ,
M
(
)
:19 6 4 27 0,
x y z

)
n
α


(
)
n
β


P

M

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 179 -
BT 33.
Viết phương trình mặt phẳng
(
)
P
qua giao tuyến của hai mặt phẳng
(
)

(
)
: 4 2 5 0,
x y z
α − + − =

(
)
: 4 5 0,
y z
β + − =

(
)
: 2 19 0
x y
γ − + =

c/
(
)
: 3 2 0,
x y z
α − + − =

(
)
: 4 5 0,
x y
β + − =

α + − =

(
)
: 2 3 5 0,
y z
β − − =

(
)
: 2 3 2 0
x y z
γ + − − =

b/
(
)
: 2 4 0,
y z
α + − =

(
)
: 3 0,
x y z
β + − + =

(
)
: 2 0

S
cho trước tại điểm
:
H

a/
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 3 1 2 24
S x y z
− + − + + =
tại
(
)
1; 3;0
H −
b/
(
)
2 2 2
: 6 2 4 5 0
S x y z x y z
+ + − − + + =
tại
(
)
4;3;0
H

c/

x z y z M k
 
α − − = β − + = =
 
 
.
Đáp số.
(
)
: 5 1 0
mp P x y z
+ − − =
hoặc
(
)
: 5 17 19 27 0
mp P x y z
− + − =
.
a/
(
)
(
)
(
)
: 2 0, :5 13 2 0, 1;2;3 , 2
x y x y z M k
α − − = β − + = =


− − ± =
.
BT 38.
Viết phương trình mp
(
)
P
song song với
(
)
: 2 3 6 14 0
mp Q x y z
− − − =
và khoảng cách từ gốc
tọa độ đến
(
)
mp P
bằng
5
?
Đáp số.
(
)
: 2 3 6 35 0
mp P x y z
− − ± =
.
BT 39.
Viết phương trình mp

)
P
đi qua
(
)
(
)
1;0;0 , 0; 2;0
A B − và
(
)
mp P
tạo với mp
(
)
: 7 0
Q y z
− + =

một góc
60
o
α = ?
Đáp số.
(
)
(
)
: 2 2 7 2 0
mp P x y z

Đáp số.
( ) : 2 3 6 12 0
mp P x y z
+ + − =
hoặc
( ) : 2 3 6 0
mp P x y z
+ − =
.
BT 42.
Viết phương trình
(
)
mp P
đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng
(
)
(
)
,
α β
có phương trình lần
lượt là
(
)
(
)
: 4 0, :3 1 0
x y z x y z
α − + − = β − + − =

Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 180 -
Bài 3. BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

BT 43.
Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M và có VTCP
d
u

cho trước:
( )
( )
( )
1
2
1 2 3
3
• ; ;
: : :
• : ; ;
o
o o o
PP
o
d
o
x x a t
Qua M x y z

(
)
0; 2; 5 ,
M −

(
)
0;1;4
d
u =


c/
(
)
1;3; 1 ,
M
−

(
)
1; 2; 1
d
u
= −

d/
(
)
3; 1; 3 ,

)
3;0;0
d
u = −


BT 44.
Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua hai điểm A và B:
(
)
•
:
• :
PP
d
Qua A hay B
d
VTCP u AB


→

=


 

a/
(
)

2;1;0 ,
A

(
)
0;1;2
B

e/
(
)
1; 2; 7 ,
A −
(
)
1; 2;4
B f/
(
)
2;1;3 ,
A −
(
)
4;2; 2
B
−

BT 45. (TNTHPT – 2012 – Theo chương trình chuẩn)
Trong không gian với hệ trục tọa độ
,

 = −

= ∈


= +

ℝ
và
(
)
(
)
, 5
d I P R
= = ⇒

(
)
mp P
tiếp xúc mặt cầu
(
)
S
.
BT 46.
Viết phương trình tham số của d đi qua M và song song với đường thẳng
∆
:
•

2; 5;3 , 5; 3;2 , 2;1; 2
M qua A B
− −

c/
( ) ( )
2 3
2; 5;3 , : 3 4 ,
5 2
x t
M y t t
z t
 = −

− ∆ = + ∈


= −

ℝ
d/
( ) ( )
3 4
1; 3; 2 , : 2 2 ,
3 1
x t
M y t t
z t
 = +


− ∆ = =

BT 47.
Viết phương trình tham số của d qua M và vuông góc với
(
)
mp P
:
( )
•
:
• :
PP
d
P
Qua M
VTCP u n


→ ∆

=


 

a/
(
)
(

− − + + =

BT 48. (TNTHPT – 2014)
Trong không gian với hệ trục tọa độ
,
Oxyz
cho điểm
(
)
1; 1;0
A −
và mặt
phẳng
(
)
: 2 2 1 0
P x y z
− + − =
.
a/ Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua A và vuông góc với
(
)
mp P
.
b/ Tìm
(
)
M mp P
∈ sao cho
AM OA

d

M

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 181 -
Đáp số. Đường thẳng
( )
1 2
: 1 2 ,
x t
d y t t
z t
 = +

= − − ∈


=

ℝ
và tọa độ điểm
(
)
1; 1; 3

Q
P A x B y C z D n A B C
Q A x B y C z D n A B C

+ + + = ⇒ =


+ + + = ⇒ =





Lấy A thuộc giao tuyến, bằng cách cho:
(
)
( )
1 1 1 1
2 2 2 2o
o
o
A x B y C z D
x
z z
y
A x B y C z D




 
=

 

  

a/
(
)
( )
: 6 2 2 3 0
: 3 5 2 1 0
P x y z
Q x y z

+ + + =


− − − =


b/
(
)
( )
: 2 3 3 4 0
: 2 3 0

: 1 0
P x y z
Q x y z

+ − + =


+ + − =



e/
(
)
( )
: 1 0
: 2 0
P x z
Q y

+ − =


− =


f/
(
)
( )

x t
d y t t
z t
 = +

= − ∈


= +

ℝ

( )
2
1
: 2 ,
1 3
x t
d y t t
z t
′
 = −

′ ′
= + ∈


′
= −


x t
d y t t
z t
′
 = +

′ ′
= − + ∈


′
= +

ℝ

c/
(
)
1; 2;3 ,
M −

( )
1
1
: 2 2 , ,
3 3
x t
d y t t
z t
 = −

4;1;4 ,
M

( )
1
7 3
: 4 2 , ,
4 3
x t
d y t t
z t
 = − +

= − ∈


= +

ℝ

( )
2
1
: 9 2 ,
12
x t
d y t t
z t
′
 = +


ℝ

( )
2
2
: 3 4 ,
2
x t
d y t t
z t
′
 =

′ ′
= − + ∈


′
= −

ℝ

f/
(
)
3;1; 4 ,
M
−


=

ℝ

BT 51.
Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua
,
M
vuông góc và cắt đường thẳng
∆
:
a/
( ) ( )
1;2; 2 , : 1 ,
2
x t
M y t t
z t
 =

− ∆ = − ∈


=

ℝ
b/
( ) ( )
3 2
4; 2;4 , : 1 ,

− − ∆ = + ∈


= − +

ℝ
d/
( ) ( )
3;1; 4 , : 1 ,
2
x t
M y t t
z t
 =

− ∆ = − ∈


= −

ℝ

e/
( ) ( )
1
1; 2;3 , : 2 2 ,
3 3
x t
M y t t
z t


cho trước:
a/
(
)
1;0;5 ,
M

1
3
1 1
: ,
2 2 1
y
x z
d
−
− −
= =
−

2
2
1 1
:
1 1 3
y
x z
d
−

+
− −
= =
−

c/
(
)
2; 1;1 ,
M −

( )
1
1
: 2 , ,
3
x t
d y t t
z
 = +

= − + ∈


=

ℝ

( )
2

x t
d y t t
z t
 = +

= − + ∈


= − +

ℝ

( )
2
: ,
2
x t
d y t t
z t
′
 = −

′ ′
= ∈


′
=

ℝ

x t
d y t t
z t
′
 = − +

′ ′
= + ∈


′
= − +

ℝ

f/
(
)
3; 2;5 ,
M −

( )
1
3 3
: 1 4 , ,
2 2
x t
d y t t
z t
 = − +

(
)
mp P
và cắt cả 2 đường thẳng
1 2
, :
d d

a/
(
)
: 2 0,
P y z
+ =

1
1
: ,
1 1 4
y
x z
d
−
= =
−

( )
2
2
: 4 2 ,

= − ∈


= +

ℝ

( )
2
1
: 2 ,
1 3
x t
d y t t
z t
′
 = −

′ ′
= + ∈


′
= −

ℝ

c/
(
)

 = +

′ ′
= − + ∈


′
= − −

ℝ

d/
(
)
: 3 3 4 7 0,
P x y z
+ − + =

( )
1
1
: 2 2 , ,
3 3
x t
d y t t
z t
 = −

= − − ∈


d d
với:
a/
1
1
: ,
2 1 2
y
x z
−
−
∆ = =
−

1
1 1
: ,
1 2 1
y
x z
d
+ −
= =
−

2
1
2 3
:
3 2 1

2
7
4
:
5 9 1
y
x z
d
+
+
= =

c/
3
1 2
: ,
3 2 1
y
x z
+
+ −
∆ = =
− −

1
2
2 1
: ,
3 4 1
y


a/
( )
1
3 2
: 1 4 ,
2 4
x t
d y t t
z t
 = −

= + ∈


= − +

ℝ

( )
2
2 3 '
: 4 ' ,
1 2 '
x t
d y t t
z t
 = +

′

− −

c/
1
3
7 9
: ,
1 2 1
y
x z
d
−
− −
= =
−

( )
2
3 7
: 1 2 ,
1 3
x t
d y t t
z t
 = +

= − ∈


= −

 = − +

′ ′
= + ∈


′
= − +

ℝ

e/
( )
1
2 2
: 1 , ,
3
x t
d y t t
z t
 = +

= + ∈


= −

ℝ

( )

= − − ∈


= +

ℝ

( )
2
1 2
: 1 2 ,
2
x t
d y t t
z t
′
 = − +

′ ′
= − ∈


′
= +

ℝ

BT 56.
Viết phương trình đường thẳng d hình chiếu của đường thẳng
∆

1 2 3
: 3 4 2 3 0
y
x z
mp P x y z
 −
− +
∆ = =

−


+ − + =


c/
( )
1
1 3
:
1 2 2
: 2 2 3 0
y
x z
mp P x y z
 −
+ −
∆ = =

−

,
d
với:
a/
(
)
0;1;1 ,
M
1
2
1
: ,
3 1 1
y
x z
d
−
−
= =

( )
2
1
: ,
1
x
d y t t
z t
 = −


x
d y t t
z t
 =

= + ∈


= − −

ℝ

c/
(
)
1; 2; 3 ,
M − −
1
4
1
: ,
6 2 3
y
x z
d
−
+
= =
− −


x z
mp P x y z
 +
− −
∆ = =



+ + + =

b/
( )
2
1
:
1 2 1
: 2 3 5 0
y
x z
mp P x y z
 −
−
∆ = =

− −


− − + =



 − − − =
∆


+ − =



+ − − =
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 184 -
Bài 4. BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

BT 59.
Viết phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A, với:
a/
(
)
(
)
2; 4; 1 , 5; 2;3
I A− b/

(
)
(
)
2;4; 1 , 5;2;3
A B−
b/
(
)
(
)
0;3; 2 , 2;4; 1
A B
− −

c/
(
)
(
)
3; 2;1 , 2;1; 3
A B
− −
d/
(
)
(
)
4; 3; 3 , 2;1;5
A B− −

(
)
(
)
1;1;0 , 0;2;1 , 1;0;2 , 1;1;1
A B C D b/
(
)
(
)
(
)
(
)
2;0;0 , 0;4;0 , 0;0;6 , 2;4;6
A B C D
c/
(
)
(
)
(
)
(
)
2;3;1 , 4;1; 2 , 6; 3;7 , 5; 4;8
A B C D− − −
d/
(
)

BT 62.
Viết phương trình mặt cầu
(
)
S
có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng
(
)
P
cho trước:
a/
(
)
(
)
3; 5; 2 , : 2 3 1 0
I P x y z
− − − − + =
b/
(
)
(
)
1; 4;7 , : 6 6 7 42 0
I P x y z
+ − + =

c/
(
)


BT 63. (TNTHPT – 2013 – Theo chương trình chuẩn)
Trong không gian
,
Oxyz
cho điểm
(
)
1;2;1
M −

và mặt phẳng
(
)
: 2 2 3 0
P x y z
+ + − =
.
a/ Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M và vuông góc với
(
)
mp P
.
b/ Viết phương trình mặt cầu
(
)
S
có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc với
(
)

S
có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng
,
∆
với:
a/
( )
2
1; 2;3 , :
1 2 2
y
x z
I
+
∆ = =
−
b/
( )
1
1 2
2;3; 1 , :
1 1 2
y
x z
I
+
− +
− − ∆ = =
−


1; 2;1 , : 3 2 ,
4 2
x t
I y t t
z t
 = +

− ∆ = − ∈


= −

ℝ
f/
( ) ( )
1
1;2; 1 ; : 2 ,
2
x t
I y t
z t
 = −

− ∆ = ∈


=

ℝ


A − và đường thẳng
2
1 3
:
2 1 1
y
x z
d
−
+ +
= =
−
.
a/ Viết phương trình tổng quát của mp
(
)
P
đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d.
b/ Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d. Viết phương trình mặt cầu tâm
,
A
tiếp
xúc với d.
Đáp số.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 2 3 0; ; 5 2; : 1 2 3 50
P x y z d B d S x y z
+ − + = = − + + + − =
.

: 2 4 0
A B C
P x y z

− −


+ − + =


b/
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
2;0;1 , 1;3;2 , 3;2;0
A B C
P Oxy



≡



c/
(



+ + − =



BT 67.
Viết phương trình mặt cầu
(
)
S
có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu
(
)
T
cho trước, với:
a/
(
)
( )
2 2 2
5;1;1
: 2 4 6 5 0
I
T x y z x y z

−


+ + − + − + =

trước, với:
a/
( )
3
2 1
1; 3;5 , : , 4
1 1 1
y
x z
I AB
−
+ −
− ∆ = = =
− −
b/
( )
1
2
1; 3;5 , : , 12
1 1 1
y
x z
I AB
+
−
∆ = = =
−

c/
( )

cho đường thẳng
1 2
:
1 2 1
y
x z
d
+ −
= =

và điểm
(
)
0;0;3
I
. Viết phương trình mặt cầu
(
)
S
có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm
,
A B
sao cho tam giác IAB vuông tại I.
Đáp số.
( ) ( )
2
2 2
8
: 3
3

12
IAB
S
∆
=
.
Đáp số.
( ) ( ) ( )
2 2
2
: 3 4 25
S x y z− + − + = . Bài 5. BÀI TOÁN TÌM TỌA ĐỘ HÌNH CHIẾU VÀ ĐIỂM ĐỐI XỨNG

BT 71.
Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng d và điểm
M
′
đối xứng với M qua
đường
,
d
với:
a/
( ) ( )
2 2
1;2; 6 , : 1 ,
3

2
2;1; 3 , : 1 ,
1 2
x t
M d y t t
z t
 =

− = − ∈


= − +

ℝ
d/
( ) ( )
2
1;2; 1 , : 1 2 ,
3
x t
M d y t t
z t
 = −

− = + ∈


=

ℝ

2 5 0
x y z
M d
x y z
 − − =
−

+ − − =

h/
( )
4 0
2;1; 3 , :
2 2 0
y z
M d
x y z
 + − =
−

− − + =


BT 72.
Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M trên mp
(
)
P
và điểm
M

(
)
(
)
: 6 2 3 12 0, 3;1; 2
P x y z M
− + + = −
d/
(
)
(
)
: 2 4 4 3 0, 2; 3;4
P x y z M− + + = −
e/
(
)
(
)
: 4 0, 2;1; 1
P x y z M
− + − = −
f/
(
)
(
)
: 3 2 0, 1;2;4
P x y z M
− + − =

.
Đáp số.
(
)
(
)
(
)
(
)
, 3; : 2 2 8 0; 1; 1;1
d A P Q x y z H
= + − − = −
.
BT 74. (CĐ A, A
1
, B, D – 2014)
Trong không gian với hệ trục tọa độ
,
Oxyz
cho các điểm
(
)
(
)
2;1; 1 , 1;2;3
A B− và mặt phẳng
(
)
: 2 2 3 0

BT 75. (ĐH B – 2014)
Trong không gian với hệ trục tọa độ
,
Oxyz
cho điểm
(
)
1;0; 1
A
−
và đường
thẳng
1
1
:
2 2 1
y
x z
d
+
−
= =
−
. Viết phương trình mặt phẳng
(
)
P
qua A và vuông góc với d. Tìm
tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên d.
Đáp số.

vuông góc của A trên mp
(
)
P
. Viết phương trình
(
)
mp Q
đi qua
,
A B
và vuông góc với
(
)
P
.
Đáp số.
2 2 1
; ;
3 3 3
H
 
−
 
 
và
(
)
: 2 1 0
mp Q x y z

2 2 2
: 1 2 3 9
: 6 10 6 21 0
S x y z
T x y z x y z

+ + − + − =


+ + − − − − =



c/
(
)
( )
2 2 2
2 2 2
: 2 4 10 5 0
: 4 6 2 2 0
S x y z x y z
T x y z x y z

+ + − + − + =


+ + − − + − =





+ + − + − − =


f/
(
)
( )
2 2 2
2 2 2
: 4 2 2 3 0
: 6 4 2 2 0
S x y z x y z
T x y z x y z

+ + + − + − =


+ + − + − − =



BT 78.
Biện luận theo m vị trí tương đối của hai mặt cầu:
a/
(
)
( )
2 2 2

c/
(
)
( )
2 2 2
2 2 2 2
:( 2) ( 2) ( 1) 25
:( 1) ( 2) ( 3) ( 1)
S x y z
T x y z m

+ + − + − =


+ + + + + = −


d/
(
)
( )
2 2 2
2 2 2 2
:( 3) ( 2) ( 1) 16
:( 1) ( 2) ( 3) ( 3)
S x y z
T x y z m

+ + + + + =

Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 187 -
a/ Viết phương trình của đường thẳng d đi qua O và A.
b/ Viết phương trình mặt cầu
(
)
S
tâm A và đi qua O. CM:
∆
tiếp xúc với mặt cầu
(
)
S
.
Đáp số.
:
2 1 2
y
x z
d
= =
và
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 2 1 2 9
S x y z
− + − + − =
. Do
(

Q x y z

− + + =


− + − =



c/
(
)
( )
: 5 5 5 1 0
: 3 3 3 7 0
P x y z
Q x y z

+ − − =


+ − + =


d/
(
)
( )
: 6 4 6 5 0
: 12 8 12 5 0

( )
: 3 2 6 23 0
: 3 2 6 33 0
P x y z
Q x y z

− − − =


− − + =



BT 81.
Xác định tham số
,
m n
để các cặp mặt phẳng sau: song song, cắt nhau, trùng nhau:
a/
(
)
( )
: 3 2 7 0
: 7 6 4 0
P x my z
Q nx y z

+ − − =




− − + =


d/
(
)
( )
: 3 9 0
: 2 2 3 0
P x y mz
Q x ny z

− + − =


+ + − =



e/
(
)
( )
: 2 3 5 0
: 6 6 2 0
P x y z
Q mx y z

+ + − =

+ − + =


+ + − =


h/
(
)
( )
: 3 ( 3) 2 5 0
:( 2) 2 10 0
P x m y z
Q m x y mz

− − + − =


+ − + − =



BT 82.
Xác định tham số m để hai mặt phẳng sau đây vuông góc với nhau:
a/
(
)
( ) ( ) ( )
: 2 3 6 0
: 3 2 5 1 10 0

( ) ( )
: 2 1 3 2 3 0
: 1 4 5 0
P m x my z
Q mx m y z

− − + + =


+ − + − =


d/
(
)
( )
: 2 12 0
: 7 0
P mx y mz
Q x my z

+ + − =


+ + + =



e/
(


Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu
BT 83.
Xét vị trí tương đối giữa mặt phẳng
(
)
P
và mặt cầu
(
)
S
:
a/
(
)
( )
2 2 2
: 2 2 1 0
: 6 2 4 5 0
P x y z
S x y z x y z

+ + − =


+ + − − + + =


b/
(


d/
(
)
( )
2 2 2
: 2 2 5 0
: 6 4 8 13 0
P x y z
S x y z x y z

− + + =


+ + − − − + =



e/
(
)
( )
2 2 2
: 2 2 0
: 6 2 2 10 0
P x y z
S x y z x y z

+ + =


S

a/
(
)
: 2 2 4 0,
P x y z
− − − =

(
)
(
)
2 2 2
: 2 1 4 4 8 0
S x y z m x my z m
+ + − − + + + =

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 188 -
b/
(
)
: 4 2 4 5 0,
P x y z

S x y z mx m y z m m
+ + + − + − + + − =

BT 85. (ĐH D – 2014)
Trong không gian với hệ trục tọa độ
,
Oxyz
cho
(
)
: 6 3 2 1 0
mp P x y z
+ − − =
và
mặt cầu
(
)
2 2 2
: 6 4 2 11 0
S x y z x y z
+ + − − − − =
. Chứng minh mặt phẳng
(
)
P
cắt mặt cầu
(
)
S


H
 
 
 
. Bài 7. BÀI TOÁN TỔNG HỢP

BT 86.
Cho tứ diện ABCD có:
A(3; 2; 2), B(3; 2;0), C(0; 2;1), D( 1;1;2)
− − −
. Viết phương trình mặt phẳng
(P) chứa AB và song song với CD. Tìm tọa độ hình chiếu của C trên mặt phẳng (P).
Đáp số:
3 3
( ) : 3 2 7 0, ; ;2 .
2 2
P x y z H
 
− + − =
 
 

BT 87.
Cho đường thẳng
y 5
x 8 z 8
d :

2 2 1
−
− −
= =
−
và
2
y 2
x 1 z 1
d :
1 1 3
−
− −
= =
− −
. Xét
vị tương đối của hai đường thẳng d
1
và d
2
. Gọi M và N lần lượt là giao điểm của d
1
và d
2
với
mặt phẳng Oxy. Tính diện tích tam giác AMN.

Đáp số:
2306
6

, ' ,( ) 25.
d d d d B d= =

BT 90.
Cho điểm
(
)
A 2; 1;1
−
và đường thẳng
y 2
x 1 z 3
d :
3 1 1
+
− −
= =
. Viết phương trình mặt phẳng (P)
chứa A và chứa d. Tìm điểm A' đối xứng với A qua đường thẳng d.
Đáp số:
3 5 11
( ) : 3 7 2 11 0, ; ;
2 2 2
P x y z A
 
′
− + + + = − ⋅
 
 


2x y z 3 0
+ + − =
. Tìm tọa độ giao
điểm A của d và (P). Viết phương trình đường thẳng

∆

là hình chiếu vuông góc của d trên
mặt phẳng (P). Tính góc giữa d và (P).
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 189 -
Đáp số:
( )

(
)
2
1 3 2
1; 3;2 , : , sin ,( )
2 5 1 3
y
x z
A d P
+
− −

1
3 1
:
2 2 1
y
x z
d
−
− −
= = ⋅

BT 94.
Cho mặt cầu (S) có phương trình:
2 2 2
x y z 3x 3y 3z 0,
+ + − − − =
mặt phẳng
(
)
P : x y z 6 0
+ + − =
.
Chứng tỏ mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C). Tìm tâm và bán kính của đường
tròn (C), tính thể tích khối nón có đỉnh là tâm của mặt cầu (S) và đáy là đường tròn (C).
Đáp số:
(
)
2;2;2 , 6, 3 .
H r V
= = π

Trong không gian
Oxyz
cho 2 điểm
(
)
(
)
A 5;3; 4 ,B 1;3;4
−
. Tìm tọa độ điểm
(
)
C Oxy
∈
sao cho
tam giác ABC cân tại đỉnh C và có diện tích
S 8 5
=
.
Đáp số:
(
)
C 3;7;0
hoặc
(
)
C 3; 1;0
−
.
BT 97.

A 1;2;3
và hai đường thẳng
1
y 2
x 2 z 3
d :
2 1 1
+
− −
= =
−
và
2
y 1
x 1 z 1
d :
1 2 1
−
− +
= =
−
. Viết
phương trình đường thẳng
∆
đi qua A, vuông góc với d
1
và cắt d
2
.
Đáp số :

= =
−
. Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P)
bằng 2. Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình của
đường thẳng
∆
đi qua giao điểm A của
(
)
P
và
d
, vuông góc với
d
và nằm trong
(
)
P
.
Đáp số:
( ) ( )
: 1 , 0; 1;4 .
4
x t
y t A
z t
 =

∆ = − ∈ −


: 1 2 .
1
x t
y t t
z t
 = − +

∆ = − ∈


= −

ℝ

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com