Phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa
A - Đặt vấn đề
I/ Cơ sở lí luận:
Cuộc cách mạng khoa học và công nghệ phát triển ngày càng
nhanh, nền kinh tế tri thức có vai trò ngày càng nổi bật trong quá trình
phát triển lực lợng sản xuất. Trong bối cảnh đó, giáo dục đào tạo đã trở
thành nhân tố quyết định đối với sự phát triển kinh tế - xã hội.
Nhận định rõ vấn đề Đảng và nhà nớc ta luôn coi trọng phát triển
giáo dục và đào tạo, đặc biệt trong giai đoạn hiện nay đất nớc đang
trong giai đoạn thực hiện công cuộc đổi mới.
Thực hiện nghị quyết, t tởng chỉ đạo của Đảng. Năm học 2002 -
2003, Bộ giáo dục và đào tạo đã triển khai chơng trình SGK mới vào
giảng dạy đại trà trên toàn quốc đã đem lại hiệu quả đáng phấn khởi.
Sau 4 năm thực hiện thay sách, bên cạnh những thành tựu đã đạt đợc
qua việc triển khai chơng trình SGK mới ở bậc THCS và việc thực hiện
chỉ đạo đổi mới phơng pháp thì vẫn còn những hạn chế cần khắc phục.
Đó là việc đổi mới các phơng pháp dạy học cha thực sự có hiệu quả,
đặc biệt việc dạy cho học sinh phơng pháp học tập, phơng pháp nghiên
cứu và khai thác tài liệu còn hạn chế.
Phát triển các bài toán trong sách giáo khoa là đề tài đợc nhiều
tác giả, các thầy cô giáo nghiên cứu và có hiệu quả thiết thực trong quá
trình dạy học. Tuy nhiên với điều kiện khác nhau, cách hình thành phát
triển các dạng toán khác nhau mà mỗi ngời có cách nhìn nhận và thể
hiện dạng đề tài này một cách khác nhau. Vì vậy mặc dù đã có nhiều
thầy cô giáo, nhiều tác giả đề cập về vấn đề này nhng tôi vẫn mạnh dạn
đa ra đề tài này để cùng bạn bè đồng nghiệp cùng thảo luận.
Nội dung bài viết đợc trình bày trên cơ sở:
Thông qua việc giải các bài tập trong sách giáo khoa hình thành các
bài tập có nội dung phong phú và đa dạng hơn.
Bằng các thao tác t duy: phân tích, so sánh, tơng tự, khái quát hóa,
đặc biệt hóa, trừu tợng hóa hình thành các bài tập có nội dung tơng tự,

trong các giờ luyện tập, ôn tập) cho học sinh làm bài tập củng cố kiến
thức và kĩ năng cơ bản từ đó hớng dẫn tự phát triển bài tập để có các
bài tập khác, hoặc cho các em luyện tập dới hình thức tự ra các đề toán
từ các bài toán đã làm.
3
Phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa
Sau mỗi bài giảng khi hớng dẫn học sinh học ở nhà ngoài việc yêu
cầu học, nghiên cứu bài, làm bài tập thì giáo viên cho học sinh là các
bài tập tơng tự các bài trong SGK hoặc yêu cầu các em phải tự tìm ra
các bài toán lên quan đến các bài toán trong SGK.
Có thể triển khai đề tài dới hình thức chơi trò chơi: Cho các nhóm
ra đề chéo và yêu cầu giải.
Ngoài ra việc triển khai đề tài này càng có hiệu quả trong việc bồi
dỡng học sinh khá giỏi, có thể cho các em tự hệ thống các bài toán dới
dạng các đề tài nhỏ.
Bài viết này đợc trình bày với hình thức chỉ là đa ra các ví dụ để
đồng nghiệp cùng bình luận và tham khảo. Rất mong đợc sự
đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp để đề tài này sẽ có hiệu quả
cao hơn.
III/ Cấu trúc SKKN:
A. Đặt vấn đề:
I. Cơ sở lí luận.
II. Cơ sở thực tiến
III. Cấu trúc SKKN
B. Giải quyết vấn đề
Phần giải quyết vấn đề đợc trình bày trên cơ sở đa ra các ví dụ đại diện
chọn trong SGK từ lớp 6 đến 9, từ đó phân tích phát triển để có chuổi bài
tập liên quan, từ ví dụ ban đầu. Mỗi ví dụ đều đợc đa ra các bài toán phát
triển và bài tập tham khảo.
Nội dung đa ra gồm 4 ví dụ:

Giải: Từ a 19 ; a 5 a BC(19;5) a [19;5] mà
(19;5) = 1 [19;5] = 95 suy ra a 95 a = 95k (k N) .Vì a là số
tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số nên 95k > 100 và k nhỏ nhất k = 2.
Vậy a = 190.
Từ bài toán 1 phát triển nên một chút và đổi cách hỏi chỉ một
chút ta có bài toán thực tế sinh động và đầy thú vị. Ta xét bài toán 2:
Bài toán 1.2:
Học sinh lớp 6C khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 8 đều vừa đủ
hàng. Biết số học sinh lớp đó trong khoảng từ 35 đến 60. Tính số học
sinh của lớp 6C.
(Bài 154 - trang 59 SGK toán 6 tập 1)
6
Phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa
Giải: Giả sử lớp 6C có A học sinh thì A chia hết cho 2; 3; 4; 8
A BC(2; 3 ;4 ;8) A [2 ;3 ;4 ;8] A 24 A = 24k với k N
mà 35 < A < 60 nên 35 < 24k < 60 k = 2 .
Vậy số học sinh của lớp 6C là A = 48 học sinh.
Cũng theo hớng đó ta thay phép chia hết bằng phép chia có d thì
bài toán thực sự không chỉ đơn giản nh ví dụ mà ta đã xét. Bằng
cách đó ta có bài toán 3 thực sự đem lại cảm hứng cho ngời học.
Bài toán 1.3:
Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất biết rằng khi chia nó cho 3 ;4 ;5 đều cho
các số d là 1.
Giải: Vì a chia cho 3; 4; 5 đều cho các số d là 1 nên a 1 chia hết
cho 3; 4; 5 mà a là số nhỏ nhất nên a 1 = [3; 4; 5] a 1 = 60
a = 61. Vậy a = 61 .
Cao hơn chút nữa, thay vì các phép chi có cùng số d ta cho các
phép chia có số d khác nhau thì quả thật bài toán đã yêu cầu học
sinh phải động não. Sự tuyệt vời của bài toán 4 này không chỉ là sự
tuyệt vời của một bài toán mà sự tuyệt vời của nó là nó đợc bắt

khó, nhng với dạng toán đầy tính thực tiễn này thì ta cũng không có
gì ngại. Ta xét bài toán cổ sau:
Bài toán 1.6:
Đố: Bé kia chăn vịt khác thờng
Buộc đi cho đợc chẵn hàng mới thôi
Hàng hai xếp thấy cha vừa
Hàng ba xếp thấy vẫn thừa một con
Hàng bốn xếp cũng cha tròn
Hàng năm xếp thiếu một con mới đầy
Xếp thành hàng bẩy đẹp thay !
Vịt bao nhiêu? Tính đợc ngay mới tài
(Biết số vịt cha đến 200 con)
(Bài 169 trang 64 SGK toán 6 tập 1 )
8
Phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa
Giải: Gọi x là số vịt cần tìm thì x : 2 d 1, x : 3 d 1, x : 5 d 4, x 7
x + 56 chia hết cho cả 3; 5; 7 mà 3; 5 ;7 đôi một nguyên tố cùng
nhau nên x + 56 3.5.7
x + 56 105 x + 56 = 105k (k N) mà x < 200 nên 105k -
56 < 200 k = 1; 2 mà x
M
2 nên k = 1 x = 49.
Vậy số vịt cần tìm là 49 con.
Qua 6 bài toán trên cho ta thấy phát triển một bài toán quả thật
là không khó mà hiệu quả lại quả thật ta không thể tính đợc. Qua
đây chác hẳn bạn làm toán sẽ nghĩ Bài toán này có dạng tổng quát
không? Nếu có thì giải nó nh thế nào? . Câu hỏi này thật thú vị, nh -
ng việc tìm ra bài toán tổng quát quả thật là khó. Đối với ngời học
toán cái khó không phải là bó cái khôn, sự tao bạo trong toán học
lại đem lại sự thành công và những kết quả khiến ta nhiều khi phải

chỉ có những bài tập tơng tự ở mức độ đó, hơn thế đó. Khi quay sang
hớng đi tìm số chia thì bài toán lại mở ra cho ta một hớng mới. Xin
nêu ra bài toán 7 sau:
Bài toán 1.7:
Tìm các số tự nhiên x sao cho: 16 x.
(Bài 113d - trang 44 SGK toán 6 tập 1).
Giải: 16 x x Ư(16) ={1; 2; 4; 8; 16}.
9
Phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa
Vậy x nhận các giá trị 1; 2; 4; 8; 16.
Cũng tơng tự nh khi phát triển ở dạng bài toán tìm số bị chia, ta
thay vì có một số bị chia bằng nhiều số bị chia thì bài toán 8 cũng
không kém phần thú vị và hấp dẫn.
Bài toán 1.8:
Tìm số tự nhiên a lớn nhất , biết rằng 420 a và 700 a.
(Bài 143 - trang 46 SGK toán 6 tập 1).
Giải: a là số lớn nhất thoả mãn 420 a và 700 a
a = ƯCLN(420;700). Mà 420 = 2
2
.3.5.7 và 700 = 2
2
.5
2
.7
a = 2
2
.5.7 = 140. Vậy a = 140.
Cũng bàng cách thay phép chia hết bằng phép chia thì từ bài
toán 8 ta có bài toán 9. Bài toán 9 này nếu khó thì không phải là khó
nhng nó lại đem cho ta những điều thú vị và hấp dẫn không kém

Cách giải: Từ dữ kiện của bài cho ta có : a - r
1
x, b - r
2
x, c - r
3

x, suy ra x ƯC(a - r
1
. b - r
2
, c - r
3
, ) và x > max(r
1
, r
2
, r
3
).Tìm
ƯC(a - r
1
. b - r
2
, c - r
3
, ) (đpcm).
Trớc khi khép lại việc khai thác ví dụ 1, xin đợc nêu ra một số
bài toán tơng tự để các bạn cùng tham khảo.
Bài tập tham khảo:

(Ví dụ 79 - trang 78 sách Nâng cao và phát triển toán 6 tập 1-
NXBGD)
Bài 1.7:
Tìm dạng chung của các số tự nhiên n, sao cho n chia cho 30 thì d 7,
n chia cho 40 thì d 17.
(Bài 373 - trang 89 sách Nâng cao và phát triển toán 6 tập 1-
NXBGD)
Bài 1.8:
Hàn Tín là một tớng giỏi đã giúp Lu Bang lập nên nhà Hán bên
Trung Quốc. Khi điểm binh, muốn biết số quân ông cho xếp hàng 3,
hàng 5, hàng 7, rồi tính số ngời lẻ hàng. Nếu số ngời lẻ hàng thứ tự là
a, b, c thì số quân bằng:
70a + 21b + 15c 105k (k N) .
a)Tính số quân trong khoảng 2200 đến 2400 nếu xếp hàng 3 thì d 1,
nếu xếp hàng 5 thì d 2, xếp hàng 7 thì d 6.
b)Giải thích cách làm trên .
(Ví dụ 376 trang 89 sách Nâng cao và phát triển toán 6 tập 1 -
NXBGD)
Bài 1.9:
Thay dấu * bởi các chữ số thích hợp để có 517** chia hết cho cả ba
số 6, 7, 9.
12

Phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa
(Ví dụ 53 - trang 45 Toán bồi dỡng học sinh lớp 6 - NXB GD).
Bài 1.10:
Một số tự nhiên chia cho 4 d 3, chia cho 17 d 9, chia cho 19 d 13.
Hỏi số đó chia cho 1292 d bao nhiêu?
(Ví dụ 54 - trang 45 Toán bồi dỡng học sinh lớp 6 - NXB GD).
Bài 1.11:

c) (x + 1)(2y - 1) = 12;
(Bài 121 - trang 26 sách Nâng cao và phát triển toán 6 tập 1 -
NXBGD).
Bài 1.17:
Một phép chia số tự nhiên có số bị chia bằng 3193. Tìm số chia và
thơng của phép chia đó ,biết rằng số chia có hai chữ số.
(Bài 122 - trang 26 sách Nâng cao và phát triển toán 6 tập 1 -
NXBGD).
Bài 1.18:
Tìm số tự nhiên n , sao cho:
a)
n + 2 n - 1;
b)
2n + 1 6 - n;
c)
2n + 7 n + 1;
d)
3n 2n + 6;
e)
4n + 3 2n + 6;
f)
n
2
+ 4 n + 2.
Bài 1.19:
Tìm ba số tự nhiên liên tiếp có tích của chúng bằng 2730.
Bài 1.20:
Tìm số tự nhiên gồm toàn chữ số 1 chia hết cho số gồm 100 chữ số 3.
Ví dụ 2
Viết tất cả phân số số bằng

35
;
78
30
;
65
25
;
52
20
;
39
15
;
26
10
Với dữ kiện của bài thì việc tìm ra các phân số thỏa mãn đề bài
không có gì khó khăn và số phân số tìm đợc lại là một tập hợp có
nhiều phần tử. Đáp số của bài quả là cha thật thú vị cho lắm. Bằng
cách thay đổi một yêu cầu của bài toán ta có bài toán 1:
Bài toán 2.1:
Tìm phân số bằng
8
3

và có tổng tử số và mẫu số bằng 85.
(Bài 4.15 - trang 10 Toán cơ bản và nâng cao 6 tập 2 - NXBGD).
Giải: Gọi phân số cần tìm là
b
a

Giải: Giả sử số nguyên cần tìm là a thì ta có
5
3
605
203
=

+
a
a
(với a
605) 5(203 + a) = 3(605 - a) 1015 + 5a = 1815 - 3a 3a +
5a = 1815 - 1015 8a = 800 a = 100. Vậy số cần tìm là 100.
Từ bài toán 2 nếu ta đề cập đến khác đi một chút thì ta có bài
toán 3 sau thực sự bổ ích và sinh động.
Bài toán 2.3:
Tìm phân số tôí giản biết giả trị của nó không thay đổi nếu ta cộng tử
của nó với 16 và cộng mẫu của nó với 36.
Giải: Giả sử phân số cần tìm là
b
a
(a, b Z; b 0. B 36) thì ta có
36
16
+
+
=
b
a
b

và có BCNN(a, b) = 1053.
(Bài 4.12 - trang 10 Toán cơ bản và nâng cao 6 tập 2 - NXBGD)
Giải: a) Theo bài ra ta có
6
5
54
45
==
b
a
6a = 5b và ƯCLN(a, b) = 12
a = 12k , b = 12m với (k, m Z và ƯCLN(k, m) = 1
16

Phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa
6.12k = 5.12m 6k = 5m
6
5
=
m
k

mà
6
5
là phân số tối giản nên và ƯCLN(k, m) = 1 (
m
k
tối giản) từ đó
suy ra k = 5, m = 6 a = 60, b = 72.

+
=
n
n
P
.
Giải: Để phân số đã cho rút gọn đợc thì
54
+
n
và
45
+
n
phải có ƯC
lớn hơn 1 . Gọi d là một ớc chung nguyên tố của
54
+
n
và
45
+
n
thì ta
có 4n + 5 d và 5n +4 d [5(4n + 5) - 4(5n + 4)] = 9 d do d
nguyên tố nên d = 3 5n + 4 3 và 4n + 5 3 [(5n + 4) - (4n +
5)] 3
n - 1 3 n - 1 = 3k với k Z n = 3k +1. Kiểm tra n = 3k + 1 thì
)45(3
)34(3

Q
với n là số nguyên khác 2.
a) Với giá trị nào của n thì Q nhận giá trị nguyên.
b) Với giá trị nào của n thì Q là phân số tối giản.
(Bài 4.29 - trang 15 Toán cơ bản và nâng cao 6 tập 2 - NXBGD).
Giải: a) Ta viết
2
5
1
2
52

+=

+
=
nn
n
Q
từ đó ta có Q là số nguyên khi và
chỉ khi n - 2 Ư(5) n - 2 = 1; 5. Suy ra n = - 3; 1; 3; 7.
b) Trớc hết ta xét các giá trị nguyên của n để Q rút gọn đợc khi đó thì
3
+
n
và
2

n
có ớc lớn hơn 1. Xét d là một ớc chung nguyên tố của

M
.
18

Phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa
Giải: Gọi d = ƯCLN(
112
+
n
;
220
+
n
) thì
112
+
n
d,
220
+
n
d
12n + 1 d và 20n + 2 d [3(20n + 2) - 5(12n + 1)] d 1 d
d = 1 M là phân số tối giản.
Sau những gì đã là đợc từ ví dụ này, tôi cũng có một chút đắn đo
và thực sự trăn trở. Tuy nhiên khi đọc và nghiên cứu một chút thì
mối liên hệ giữa các bài toán cũng thực sự phong phú và đa dạng.
Nếu nhìn các bài toán trên khía cạch khác thì bài toán 8 sau đây
cũng có những mối liên quan mật thiết với những bài toán mà tôi đã
trình bày ở trên. Xin đợc đa ra bài toán sau:

+
+
aa
a
a
a
a
a
suy ra phân
số đã cho đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi phân số
)134(4
3
+a
đạt giá trị
lớn nhất 4(4a + 13) đạt GTNN a đạt GTNN a = 0 vì a N.
Khi đó giá trị của phân số đã cho là
13
17
`
13.4
3
4
5
=+
.
Vậy GTLN của phân số
134
175
+
+

Bài 2.2:
Tìm số nguyên sao cho khi cộng nó vào cả tử số và mẫu số của phân
số
31
13
ta đợc phân số bằng phân số
17
11
.
Bài 2.3:
Cho phân số
2
17

+
=
n
n
A
với n Z.
a) Tìm giá trị của n để A là số nguyên.
b) Tìm giá trị của n để A là phân số thực sự.
c) Tìm giá trị của n để A là phân số tối giản.
d) Tìm giá trị tự nhiên của n để A có GTLN, tìm GTLN đó.
Bài 2.4:
Tìm các phân số mà tử và mẫu là các số tự nhiên có một chữ số , tử
kém mẫu 3 đơn vị, biết rằng:
a) 210 là BC của các mẫu.
b) 210 là BC của các tử.
c) 210 là BC của tử và mẫu số.

b
a
b»ng ph©n sè
75
45
biÕt r»ng:
a) 2a - b = 20.
b) ¦CLN(a, b) = 11.
c) BCNN(a, b) = 1995.
Bµi 2.8:
a) T×m c¸c sè tù nhiªn n ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n sè
56
1110
+
+
n
n
®¹t gi¸ trÞ lín
nhÊt vµ t×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã.
b) T×m c¸c sè tù nhiªn n ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n sè
96
312
+
+
n
n
®¹t gi¸ trÞ nhá
nhÊt vµ t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã.
Bµi 2.9:
T×m c¸c sè nguyªn n ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n sè

(0,125)
4
= [(0,5)
3
]
4
= 0,5
2 . 4
= 0,5
8
.
Việc giải bài toán thì không có gì là khó khăn, tuy nhiên nếu suy
nghĩ bài toán một chút thì bài toán này có nhiều hớng mở. Xét bản
chất của bài toán thì ta có thể phát biểu bài toán nh sau:
Tìm các số tự nhiên n thỏa mãn:
(0,25)
8
= (0,5)
n
(0,125)
4
= (0,5)
n
.
Nhìn nhận bài toán theo hớng này thì ta lại có những có bài toán
sau:
Bài toán 3.1:
Ta thừa nhận tính chất sau dây: Với a 0; a

1, nếu a

343
.
Giải:
a)
32
1
2
1
=






m

5
2
1
2
1






=







5
7
5
7
3
n = 7.
Nếu nhìn bài toán theo hớng bất đẳng thức thì ta lại có đợc bài
toán sau không kém phần thú vị.
Bài toán 3.2:
Tim tất cả các số tự nhiên n sao cho:
32 . 4 < 2
n
< 2 . 256.
(Bài toán 19 - trang 33 Toán phát triển 7 tập 1 - NXBGD)
Giải: 32 . 4 < 2
n
< 2 . 256
2
5
. 2
2
< 2
n
< 2 . 2
8








x
;
d)
16
1
2
1
2
=






+
x
.
(Bài 42 - trang 9 Sách bài tập toán 7 tập 1 - NXBGD).
Giải:
a)
(2x - 1)
3

= 0 x =
2
1
.
d)
16
1
2
1
2
=






+
x

22
4
1
2
1






4
1
-
2
1
x = -
4
1
x = -
4
3
.
Nếu nâng độ phức tạp của bài toán nên một chút thì ta có bài
toán sau:
Bài toán 3.4:
Tìm x R thoả mãn:
a)
8
27
2
1
3
=















x

33
2
3
2
1






=







x
x -

2
1
= 0 thì ta có 0
2
= 0 (thoả mãn).
-
Nếu x -
2
1
0 ta chia cả hai vế của (x -
2
1
)
2
= x -
2
1
cho x -
2
1
0
thì ta đợc x -
2
1
= 1 x = 1 +
2
1
x =
2
3

.
Ví dụ 3 này còn có nhiều hớng phát triển. Với khuôn khổ của
bài viết xin dừng việc khai thác ví dụ này ở đây. Sau đây tôi xin đa
ra một số bài tập tham khảo:
Bài tập tham khảo:
Bài 3.1:
Viết số
81
16
dới dạng một luỹ thừa, ví dụ
81
16
=
2
9
4






. Hãy tìm các
cách viết khác.
(Bài 29 trang 19 - SGK Toán 7 tập 1. NXBGD).
Bài 3.2:
Tìm x Q, biết:
a)
x
4

;
d)
64
125
4
3
2
1
3
=







x
.
Bài 3.3:
Tìm n N thoả mãn:
a)
625
81
5
3
=




11
> 5
x
> 125
7
.
(Bài 19.2 trang 34 - Toán phát triển 7 tập 1. NXBGD).
Bài 3.6:
Tìm x thoả mãn:
a)
xx
=
;
b)
xx
=+
6
.
c)
1111 =+ xx
(Bài 9 trang 60 - Toán phát triển 7 tập 1 - NXBGD).
Bài 3.7:
Hai số 2
2004
và 5
2004
viết dới dạng số thập phân, viết liền nhau thì đ-
ợc số có bao nhiêu chữ số?
(Bài 19.3 trang 34 - Toán phát triển 7 tập 1. NXBGD).
Bài 3.8:

2
+ bx + c =
2
2 2 2
2
2 2
b b b c b b 4ac
a x 2 x a x
2a 4a 4a a 2a 4a

= + + + = +
ữ
ữ
ữ
.
Vì phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 vô nghiệm nên
2
b 4ac 0
= <
, mà theo bài
ra a > 0,
2

2 2
b b b c b b 4ac
a x 2 x a x
2a 4a 4a a 2a 4a

= + + + = +
ữ
ữ
ữ
.
Bài toán 4.1
Chứng minh rằng nếu phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 vô nghiệm thì: ax
2
+ bx
+ c > 0 với mọi x khi a > 0 và ax
2
+ bx + c < 0 với mọi x khi a < 0.

Lời giải của bài toán đợc chứng minh tơng tự ví dụ 1. Nếu lật
lại vấn đề nếu thay vì phơng trình
ax
2


và a > 0.
b. ax
2
+ bx + c < 0 với mọi x thì
2
b 4ac 0

và a < 0
Giải:
Trong cả hai trờng hợp,
Giả sử
2
b 4ac 0
= >
thì phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm phân
biệt x
1
< x
2
. Từ đó suy ra f(x) = ax
2
+ bx + c = a(x - x
1
)(x - x
2
)
(theo bài 19 trang 49 SGK Toán 9 tập 2 - NXBGD).