HÌNH THÀNH NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH
QUA VIỆC PHÁT TRIỂN CÁC BÀI TOÁN
TỪ BÀI TOÁN BAN ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Nâng cao chấc lượng giáo dục trong trường THCS và nhiệm vụ số một và
cũng là mục tiêu phấn đấu của mỗi giáo viên. Ngày nay sự phát triễn của tất cả các
nghành khoa học, các nghành công nghệ then chốt như viễn thông, hàng không…
đều không thể thiếu toán học. hơn nữa việc bùn nổ công nghệ thông tin như hiện
nay thì việc ứng dụng toán học đem lại kết quả to lớn trong mọi lĩnh vực của đời
sống xã hội.
Ngày nay sự phát triển của một đất nước không phụ thuộc nhiều ở tài nguyên
thiên nhiên mà phụ thuộc và trình độ dân trí. Toán học có vị trí đặc biệt trong việc
nâng cao và phát triễn dân trí. Góp phần tạo nên nguồn chất xám, nguồn tài nguyên
quý nhất cuả đất nước. toán học không những cho con người kĩ năng tính tóan cần
thiết, mà còn rèn luyện cho con người một khả năng tư duy logíc…
Đối với học sinh cấp II, toán là môn học khó, trước một khối lượng kiến thức
các em thường có cảm giác “bị gợp”, chỉ có một bộ phận học sinh khá giỏi, những
em có óc tưởng tượng phong phú, tư duy nhạy bén là tỏ ra thích thú khi học toán.
Số học sinh còn lại thường rơi vào tình trạng “né tránh” nếu có thể.
Để có thể phát triển khả năng tư duy và sáng tạo trong việc học toán và giải
toán, thì việc tìm ra kết quả một bài toán chưa thể coi là kết thúc được, mà phải tiến
hành khai thác, “mổ sẽ” và phân tích bài toán.
Trong quá trình dạy học toán nói chung cũng như quá trình dạy học giải toán
nói riêng người thầy cần phải tạo ra cho học sinh một thói quen là: sau khi tìm ra
lời giải của bài toán dù đơn giản hay phức tạp, cần phải tiếp tục suy nghỉ, lật lại vấn
Sáng kiến kinh nghiệm “ Hình thành năng lực giải toán cho học sinh qua việc phát triển các bài toán từ bài toán ban đầu "
Trang 1
đề tìm điểm đặc trưng của từng bài để khai thác bài toán tìm ra bài toán mới dựa
trên cơ sở bài toán đã có.
Hơn nữa hệ thống các câu hỏi bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập tuy đã
được biên soạn rất công phu, phù hợp với trình độ kiến thức và năng lực của học

rất yếu. đặt biệt là quá trình vận dụng các kiến thức đã học vào bài tập, thực tiễn,
vào bài tập mới. Tỉ lệ học sinh yếu kém còn quá cao, đặc biệt là các em đầu cấp.
các em luôn cho ràng học toán khó hơn các môn học khác và chỉ có những bạn khá
giỏi mới học được. tình trạng phổ biến là học sinh làm toán không chiệu nghiên
cứu kĩ bài toán. Không chiệu khai thác huy động kiến thức để làm bài. Chỉ làm
được khi có sự hướng dẫn của giáo viên, nhưng khi đưa ra một bài toán mới mặt dù
chỉ tương tự bài toán ban đầu thì học sinh không thể làm được và cho rằng bài toán
này khó hơn bài trước. mặt dù đó là bài toán đơn giản.
Để thống kê năng lực giải toán của học sinh tôi áp dụng nhiều hình thức trắc
nghiệm rút ra một hiện tương nổi bật. học sinh trả lời mang tính học vẹt chấp hành
đúng nguyên bản, nhưng khi đưa ra bài tập tương tự học sinh lúng túng không làm
được.
Trước thực trạng trên tôi đã điều tra qua nhiều biện pháp kết quả cho thấy.
Lớp Sỉ số
Giỏi Khá Trung bình Yếu - kém
Số
lượng
%
Số
lượng
%
Số
lượng
%
Số
lượng
%
7/1+7/2 60 1 1,7 10 16.7 27 45 22 36.6
Sau khi kiểm tra cho thấy học sinh làm bài hiểu bài và làm bài rất mơ hồ, số
học sinh làm được chỉ nằm trong một số học sinh khá - giỏi. số học sinh còn lại

các em, phó mặt việc giáo dục con em mình cho nhà trường. học sinh thiếu sự đôn
đốc từ gia đình mà thời gian tự học đối với môn toán là rất quan trọng. Khi giáo
viên yêu cầu học bài hay làm bài ở nhà thì bản thân các em lại lười biến không học
hoặc học the lối đối phó, làm bài tập thì sơ sài cẩu thả, ít chiệu đầu tư suy nghĩ tìm
tòi. Mà đây là yếu tố quyết định năng lực giải toán cũng như các bộ môn khác. Dù
Sáng kiến kinh nghiệm “ Hình thành năng lực giải toán cho học sinh qua việc phát triển các bài toán từ bài toán ban đầu "
Trang 4
cho giáo viên có cố gắng tới đâu thì cũng bằng thừa. Ở đây ta thấy rõ yếu tố bản
thân học sinh là qua trọng nhất.
+ Thiếu phương pháp: (Đối với một số học sinh khá giỏi cũng lâm vào tình
trạng này) Học sinh có khả năng tiếp thu bài tốt nhưng vẫn không làm được bài tập
mới hoặc làm không chính xát lời giải không rõ ràng, thiếu thuyết phục. Vì lí do
không có phương pháp phân tích, khái quát hoá không thể so sánh được sự tương
quan giữa bài đã làm và bài tập mới. Không tìm ra được điểm chung và riêng của
mỗi bài. Khi làm bài thì hiểu nhầm giữa các kiến thức hay hiểu một cách mơ hồ.
không biết bắt đầu từ đâu kết quả là gì.
II. GIẢ PHÁP VÀ KẾT QUẢ
1. Các biện pháp thực hiện:
- Về lí thuyết: cần cho học sinh lặp đi lặp lại nhiều lần những nội dung lí
thuyết cần thiết để vận dụng giả một bài tập cơ bản, cũng như lặp đi lặp lại nhiều
lần những bước tiến hành giải toán. Nhằm để hình thành cũng cố kĩ năng, kĩ xảo.
sau đưa ra những phân tích cụ thể các yếu tố để tạo ra bài toán mới cho học sinh
thấy rõ vấn đề. Chỉ ra sự tương quan giữa bài cũ và bài mới. định hướng cách giải
bài mới, đem so sánh các bước thực hiện giữa hai bài.
- Muốn thực hiện được vấn đề đặt ra thì người giáo viên phải có khả năng tự
đặt ra các đề toán mới, biết nội dung kiến thức mới nào cần được bổ sung, kỷ năng
nào cần rèn luyện, bài tập nào khó, bài tập nào dễ, bài tập nào trọng tâm có thể phát
triển trí lực cho từng học sinh của mình. Phải biết kiến thức, kĩ năng cụ thể của học
sinh mình ở mức độ nào. Từ đó biên soạn bài toán mở rộng ra sao cho phù hợp với
mực độ nhận thức đó. Hệ thống câu hỏi và yêu cầu phải hợp lí sao cho cả ba đối

3,27,1 =−x
Bài toán này chúng ta đã có lời giải.
Ta có hai trường hợp:
* x – 1,7 = 2,3 => x = 2,3+ 1,7=4
* x – 1,7 = - 2,3 => x = -2,3 + 1,7 = -0,6
Sáng kiến kinh nghiệm “ Hình thành năng lực giải toán cho học sinh qua việc phát triển các bài toán từ bài toán ban đầu "
Trang 6
Ở bài này đối với học sinh trung bình, yếu không thể làm được. Ta có thể tinh
giản đưa về dạng đơn giản hơn mà ở đó học sinh chỉ cân đọc SGK là làm được bài.
Ta có bài toán mới.
Bài toán 1.1 : tính x, biết rằng:
3,2=x
+Phân tích: ta thấy
3,22,3- và3,23,2 ==
nên khi
3,2=x

thì x = 2,3 hoặc x = -2,3
Từ bài toán 1.1 ta thêm yếu tố (-1,7) vào giá trị tuyêt đối cho học sinh nhìn
thấy sự giống nhau hai bài toán.
3,22,3- và3,23,2 ==
nên khi
3,27,1 =−x
thì …
+Phân tích: Từ bài toán trên ta thấy trong dạng toán này yếu tố quan trọng của
bài toán không phụ thuộc nhiều vào biểu thức trong ngoặc. ta chỉ cần thay vế phải
bằng hai giá trị đối nhau. từ đó cho ta đề suất bài toán tương tự
Bài 1.2: Tìm x, biết rằng:
20002009 =−x
Bài toán này chắc rằng học sinh sẽ giải được dựa vào bài toán 1. ta cũng có thể

1,7x0 1,7 -nêu x 7,1x
* x – 1,7 = 2,3 => x = 2,3+ 1,7=4
* -(x – 1,7) = 2,3 => x-1,7 = -2,3 => x = -2,3 + 1,7 = -0,6
Tới đây ta có thể đề xuất bài toán đặc biệt hơn. Đòi hỏi học sinh phải hiểu rõ nội
dung định nghĩa giá trị tuyệt đối. có phương pháp suy luận tốt. ta có bài toán mở
rộng.
Bài toán 1.4: tìm x, biết:
2
1
=+ xx

Phân tích: trong trường hợp này ta phải xét từng trường hợp dấu của biểu thức
trong dấu giá trị tuyệt đối.
Giải
• Nếu
4
1
2
1
2 0 =⇒==+=+=≥ xxxxxxvàxxthìx
• Nếu
2
1
0 0 ==+−=+−=≤ xxxxxvàxxthìx
không thoả mãn
Vậy
4
1
=x
Lưu ý: dễ thấy x > 0 vì nếu x < 0 thì

2
+x
=
3
2
+x
và
3−x
=
3
−
x
=>
3
3
2
−−+ xx
=
3
2
+x
- ( x – 3) = ( x- x ) + (
3
2
- 3 ) =
3
7−
Khai thác trong bài toán trên ta phải xét dấu trong giá trị tuyệt đối với một giá
trị của x. vậy với những bài có nhiều dấu giá trị tuyệt đối thì ta cũng xét tương tự.
đối với bài toán chưa cho giá trị của x trước ta sẻ xét từng trường hợp một của x. ta

Vì khi x ≥ 0 trong đó còn trường hợp x < 17.
Bài toán được giải như sau:
* Khi x < 0 thì |x| = - x và x – 17 <0 nên |x – 17|= -(x – 17) = -x + 17 suy ra
2.|x – 17| + |x| = 36
2(-x +17) – x = 36
-2x + 34 – x = 36
-3x = 2
x =
3
2
−
* Khi 0 < x < 17 thì |x| = x và x – 17 <0 nên |x – 17|= -(x – 17) = -x + 17 suy ra
2.|x – 17| + |x| = 36
2(-x +17) + x = 36
-2x + 34 + x = 36
-x = 2
x = -2 ( không thoả mãn) {0 < x < 17}
* Khi x ≥ 17 thì |x| = x và |x – 17| = x – 17 suy ra
2.|x – 17| + |x| = 36
2( x – 17) + x = 36
Sáng kiến kinh nghiệm “ Hình thành năng lực giải toán cho học sinh qua việc phát triển các bài toán từ bài toán ban đầu "
Trang 9
2x – 34 + x = 36
3x = 70
x =
3
70
Vậy x =
3
2

)0001(,0
9999
1
=
.
Từ đây cho phép ta lập bài toán tương tự.
Bài toán 2.1 Viết các số sau dưới dạng số thập phân:
9999
4
;
999
3
;
99
2
Tương tự cách giải trên ta có:
)0004(,0
9999
4
);003(,0
999
3
);02(,0
99
2
===
Theo quy tắc trên cho ta bài toán đảo:
Bài toán 2.2: Viết các số sau dưới dạng số thập phân tối giản: 0,(4); 0,(05); 0,(006);
0,(33).
Sáng kiến kinh nghiệm “ Hình thành năng lực giải toán cho học sinh qua việc phát triển các bài toán từ bài toán ban đầu "

3
1
99
33
99
1
.33 ==
* Phân tích: ta thấy chu kỳ của một số bắc đầu ngay dấu phẩy, khi đổi số thập phân
vô hạn tuần hoàn này ra phân số ta được phân số có:
+ tử là chu kỳ
+ mẫu là lột số gồm các chữ số 9. số chữ số 9 bằng số các số có trong chu kỳ.
Khai thác: trong trường hợp số thập phân vô hạn tuần hoàn mà chu kỳ không bắc
đầu ngay dấu phẩy ta làm như thế nào? Ta có ví dụ sau:
Bài toán 2.3: viết phân số 0,1(25) dưới dạng số thập phân tối giản.
Phân tích: ta thấy 0.1(25) = 0,1 + 0,0(25). Số 1 trong số thập phân được gọi là phần
bất thường một số thập phân như vậy gọi là số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp. Dựa
vào đây
Giải
0,1(25) =
990
25
10
1
99
25
.
10
1
10
1

124
.
* Khai thác: Khi đổi số thập phân vôi hạn tuần hoàn tạp sang phân số, ta được một
phân số là:
Sáng kiến kinh nghiệm “ Hình thành năng lực giải toán cho học sinh qua việc phát triển các bài toán từ bài toán ban đầu "
Trang 11
+ Tử là một số gồm phần bất thường kèm theo một chu kì ( ở vd trên là 125)
trừ bớt đi phần bất thường ( 125 – 1).
+ Mẫu là một số gồm các chữ số 9 và chữ số 0. số chữ số 9 bằng số chữ số
trong chu kì, còn số chữ số không bằng số chữ số trong phần bất thường.
Bài toán 2.4: viết số sau dưới dạng phân số tối giản. 0,2(16); 0,63(84)
Giải
0.2(16)=
495
107
990
214
990
2216
==
−
; 0,63(84)=
3300
2107
9900
6321
9900
636384
==
−

90
116
)6(1,0 ===
−
=====
−
=
.
Do đó:
)2(,0.
)6(1,1)3(,0
)3.(0)6(1,0
=
+
+
x
9
2
.
6
7
3
1
3
1
6
1
=
+
+

a(b + 2001) > b>(a + 2001)
=>
2001
2001
b
a
+
+
>
b
a
- Tương tự, nếu a< b thì
2001
2001
b
a
+
+
<
b
a
- Nếu a = b thì rõ ràng
2001
2001
b
a
+
+
=
b

+
+
>
- Tương tự, nếu a < b thì =>
n b
n a

b
a
+
+
<
- Nến a= b, thì rõ ràng
n b
n a

b
a
+
+
=
Từ lời giải này chúng ta lại có bài toán mới
Bài 3.3: Cho a,b ∈ Z, b > 0 và n ∈ N*. chứng minh rằng:
a) Nếu
nb
na
b
a
thì1
b

+
+
>
b) chứng minh tương tự câu a).
Áp dụng điều này cho ta đề xuất tiếp bài toá thực tế.
Bài 3.4: So sánh hai phân số:
a)
1999
2009
1973
1983
và
b)
1009
1000
và
2009
2000
Giải
a) Ta có:
1973
1983
>1 nên theo bài 3.3 a) suy ra
1973
1983
>
1999
2009
261973
261983

2008
+
+
b) a =
12008
12008
2009
2008
+
+
và b=
12008
12008
2008
2007
+
+
…
Sáng kiến kinh nghiệm “ Hình thành năng lực giải toán cho học sinh qua việc phát triển các bài toán từ bài toán ban đầu "
Trang 14
I
C
B
A
E
D
Ở hình học việc lập ra các bài toán mới có phần khó khăn hơn. Tuy nhiên giúp học
sinh đưa ra các bài toán mới cũng rất cần thiết.
Ta có ví dụ sau:
Bài toán 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D thuộc cạnh AC, Điểm E

ˆ
A
=
Chứng Minh
a) Xét ∆ABD và ∆ACE có
AB = AC ( GT)
AD = AE (GT)
A
ˆ
: góc chung
=> ∆ABD = ∆ACE ( C – G – C)
=>
EC
ˆ
A DB
ˆ
A
=
( hai góc tương ứng)
b) Ta có
EC
ˆ
ABC
ˆ
AEC
ˆ
BD;B
ˆ
ACB
ˆ

đó giúp đề xuất bài toán tương tự.
Bài 4.1: Cho tam giác cân ABC có AB = AC. Trên cạnh AB lấy điểm E. Trên
cạnh AC lấy điểm D. sao cho AD = AE. Chứng minh rằng:
a)
CBD BCE
∆=∆
b) IB= IC, ID=IE
GT
∆ABC (AB= AC)
D∈AC, E∈AB, AD = AE
KL
a)
CBD BCE
∆=∆
b) IB= IC, ID=IE
* Phân tích: Tương tự bài trước chứng minh
CBD BCE
∆=∆
theo trường hợp
Cạnh – Góc – Cạnh. Câu b) ∆IBE và ∆ICD đã có EB = DC và
ID
ˆ
C IE
ˆ
B
=
( từ kết
quả câu a) còn thiếu điều kiện
DC
ˆ

b) Ta có:
CB
ˆ
I-CB
ˆ
E IB
ˆ
E
=
;
BC
ˆ
I - BC
ˆ
D IC
ˆ
D
=
mà
BC
ˆ
I CB
ˆ
I B;C
ˆ
D CB
ˆ
E
==
(hai góc tương ứng)

theo trường hợp góc - cạnh
– góc. Trong đó hai góc là do yếu tố tam giác cân. Và hai cạnh bằng nhau BC =
CB.
Dựa vào đó ta phát triển bài toán mới như sau:
Bài 4.2: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên BC lấy hai điểm D và E sao cho BD =
CE. Từ D kẽ DH ⊥ AB (H ∈ AB). Từ E kẽ EK ⊥ AC (K ∈AC). Chứng minh rằng:
a) DH = EK
b) Gọi I là giao điểm của DH và EK . ∆IDE là ta giác gì? Vì sao?
GT
∆ABC (AB = AC)
D,E ∈ BC, BD = CE
DH ⊥ AB. EK ⊥ AC
KL
a) DH = EK
b) ∆IDE là ta giác gì? Vì sao?
* Phân tích: a) ta thấy DH và CK là hai cạnh của hai tam giác BDH và tam giác
CEK. chứng minh dựa vào trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.
b) từ câu a có thể suy ra hai góc IDE bằng góc IED. Dựa vào hai góc đối
đỉnh.
Chứng minh
a) Xét ∆BDH và ∆CEK có
BD = CE ( GT);
0
90 K
ˆ
H
ˆ
==
;
C

=>
22
E
ˆ
D
ˆ
=
=> ∆IDE cân tại I.
* Khai thác: theo tính chất của tam giác cân, và điều kiện BD = CE, ta vẽ thêm
AD và AE để có thêm hai tam giác bàng nhau mới.
Bài toán 4.3: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên BC lấy hai điểm D và E sao cho
BD = CE. Chứng minh rằng:
a) AD = AE
b) Từ D kẽ DH ⊥ AB (H ∈ AB). Từ E kẽ EK ⊥ AC (K ∈AC).Gọi I là giao điểm
của DH và EK . chứng minh ID = IE.
* Phân
tích: a)
thực
hiện
chúng minh tam giác ABD bằng Tam giác ACE theo trường hợp (c – g – c).
b) chứng minh giống như bài 4.2 => ID = IE hai cạnh bên.
Chứng minh
a) Xét ∆ABD và ∆ACE có
AB = AC ( GT)
BD = CE (GT)
Sáng kiến kinh nghiệm “ Hình thành năng lực giải toán cho học sinh qua việc phát triển các bài toán từ bài toán ban đầu "
GT
∆ABC (AB = AC)
D,E ∈ BC, BD = CE
DH ⊥ AB. EK ⊥ AC

minh cho ∆AMD = ∆AME
hai tam giác này có đã có đủ
những yewu61 tố để bằng
nhau.
b) tương tự bài 4.3 ta chứng minh cho gócOBC bằng gócOCB.
Chứng minh
a) Xét ∆AMD và ∆AME có
MD = MB+ BD; ME = MC + CE
Mà MB = CE; MC = BD
=> MD = ME
AM cạnh chung
0
90 EM
ˆ
A DM
ˆ
A
==
=> ∆AMD = ∆AME ( C – G – C)
=> AD = AE (hai cạnh tương ứng)
Sáng kiến kinh nghiệm “ Hình thành năng lực giải toán cho học sinh qua việc phát triển các bài toán từ bài toán ban đầu "
GT
∆ABC
AM ⊥ BC,
BD = MC, CE = MB
BH ⊥ AD(H∈AD), CK ⊥ AE ( K∈ AE)
KL
a) AD = AE
b) Xác định dạng của tam giác OBC
Trang 19

C
ˆ
B
ˆ
=
=>
22
C
ˆ
B
ˆ
=
( đối đỉnh với hai góc bằng nhau)
=> ∆ OBC là tam giác cân.
Bài toán này có thể khai thác nhiều khía cạnh khác
2. Kết quả đạt được:
Qua việc rèn luyện năng lực giải toán bằng cách tại ra bài toán mới thực tế
đã làm cho học sinh say mê học toán hơn. Giờ học thu hút được nhiều học sinh
giải toán hơn, bản thân các em có lòng tin vào khả năng của mình, nhiệt tình
học và chất lượng tiến bộ rõ rệt.
Khi đem so sánh đối chứng với khảo sát ban đầu:
Thời gian
Sỉ
số
Giỏi Khá Trung bình Yếu - kém
Số
lượng
%
Số
lượng

vận động, tính tích cực sáng tạo của học sinh. Nhưng cách tiến hành nhẹ nhàng,
không gò bó, dễ hiểu, không là phức tạp hoá bài giảng. mục đích cuối cùng là
Sáng kiến kinh nghiệm “ Hình thành năng lực giải toán cho học sinh qua việc phát triển các bài toán từ bài toán ban đầu "
Trang 20
thông qua bài giảng, một bài toán ta tìm cách hình thành được và phát huy được
năng lực tư duy sáng tạo của học sinh.
Từ một bài toán ban đầu, qua việc giải toán giáo viên dần gợi mở từng yếu tố
để có thể đi đến bài mới, hướng dẫn học sinh tìm ra sự tương quan giữa hai bài, tìm
cách giải cho bài mới. từ đó cho học sinh tự đặc ra những bài toán tương tự để giải.
từ đó hình thành khả năng tư duy sáng tạo.
2. Kinh nghiệm này có thể áp dụng cho tất cả các khối lớp ở trường trung học
cơ sở trong toàn huyện.
3. Chúng ta là những thầy trực tiếp giảng dạy, là phải tìm ra “phương pháp”
giảng dạy phù hợp với đối tượng học sinh.
Muốn vậy đạt được mục đích trong giảng dạy, bản thaân tôi phải tự học, tự
ngiên cứu để vốn kiến thức của mình ngày càng nhiều và càng có bề dày kinh
nghiệm.
Là người thầy chúng ta phải luôn trau dồi kiến thức, tìm ra phương pháp
giảng dạy, cho phù hợp với các đối tượng học sinh, để thực hiện tốt mục tiêu giáo
dục của Đảng. Cùng với kết quả trên đề tài có ứng dụng thiết thực trong việc vận
dụng đổi mới PPDH trong quá trình dạy học hiện nay. Dạy học theo hướng trên rèn
luyện cho học sinh kỹ năng thực hành giải toán cũng như kỹ năng vận dụng các
kiến thức đã học vào thực tế đời sống. Từ đó các em phát triển được các phẩm chất
trí tuệ cần thiết của người học toán. Đặc biệt là tính tích cực, chủ động, linh hoạt,
sáng tạo. Không những vậy nó còn thể hiện một mục tiêu cũng không kém phần
quan trọng là dạy người thông qua dạy chữ.
Đông Hưng A, ngày tháng năm
Người viết SKKN
…………………………
HỘI ĐỒNG THI ĐUA KHEN THƯỞNG NHÀ TRƯỜNG