Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC
1. Giá trị lƣợng giác của góc (cung) lƣợng giác
a. Định nghĩa
y t

c’ K T U c

 A
x’ O H x
y’ t’

sin
cos
OK
OH





tan (2 1) ,
2
cot ( , )
AT k k
BU k k

   
   

c. Các hệ thức cơ bản
22
22
22
sin
sin cos 1, tan , (2 1) ,
cos 2
cos
cot , , tan .cot 1, ,
sin 2
11
1 tan , (2 1) , 1 cot , ,
cos 2 sin
kk
k k k k
k k k k

    


     


    

         
         

360
o
0
6


4


3


2


2
3


3
4


2
6




3

1

0
cos


1
3
2

2
2

1
2

0
1
2


2
2


3
2


1


1
3
3

0
3
3


1

3

||
0
||
2

2. Giỏ tr lng giỏc mt s gúc (cung) cú liờn quan c bit

Hai goực ủoỏi nhau
sin( ) sin
cos( ) cos



b. Cụng thc nhõn ụi

2 2 2 2
sin2a 2sinacosa
cos2a cos a sin a 2cos a 1 1 2sin a



2
2tana
tan2a ,tana 1
1 tan a



c. Cụng thc nhõn ba

3
sin3a 3sina 4sin a

3
cos3a 4cos a 3cosa

3
2
3tana tan a
tan3a
1 3tan a

4



2
1 cos2a
tan a
1 cos2a




3
3sina sin3a
tan a
3cosa cos3a



Hai goực buứ nhau
sin( ) sin
cos( ) cos


















tan cot
2
cot tan
2













Hai goực phuù nhau



sin(a b) sinacosb sinbcosa
sin(a b) sinacosb sinbcosa
cos(a b) cosacosb sinasinb
cos(a b) cosacosb sinasinb



tana tanb
tan(a b)
1 tanatanb
tana tanb
tan(a b)
1 tanatanb







     


    


    


f. Công thức biến đổi tổng thành tích

a b a b
sina sinb 2sin cos
22
a b a b
sina sinb 2cos sin
22
a b a b
cosa cosb 2cos cos
22
a b a b
cosa cosb 2sin sin
22

  

  

  

Bài tập cung và góc lượng giác
Phần 1: Biến đổi lượng giác
Bài 1: CM các đẳng thức sau:
a, sin
4
x + cos
4
x = 1- 2sin
2
xcos
2
x = 1 – ½ sin
2
2x b, sin
6
x + cos
6
x = 1-3sin
2
xcos
2
x = 1- ¾ sin

tana
1t



sina cosa 2.sin a
4
sina cosa 2.sin a
4
cosa sina 2.cos a
4
cosa sina 2.cos a
4





   



   



   




       
       
8 8 2 2 4 4
cos4a
8
sin a cos a 1 4sin acos a 2sin acos a     4

2 2 2 4 4
2 2 2 6 6
3 3 4 2 4 2
os os cot sin os 1
sin sin tan sin os 1
(1 cotx)sin (1 tanx)cos sinxcosx D= sin 4 os os 4sin
c x c x x x c x
AB
x x x x c x
C x x x c x c x x
  

  
       

Bài 3: Tính giá trị các biểu thức sau:
a, Cho sinx + cosx = 5/4. Tính A = sinxcosx B = sinx – cosx C= sin
3
x – cos
3

sin( ) sin( )
tan( ) tan tan tan( ) tan tan
os(a+b)-cos(a-b)
sin 2 4sin os .sin sin osa sin4 os2a
sin 2 (4sin 4) sin 2 os2a (1 os4a)(1 os2a)
sina+sin3a+sin5a+sin7a
H=
osa+cos3
a b a b
A B a b a b a b a b
c
a a c a a ac ac
D E F
a a ac c c
c
  
      

  
   
tan3 tan5
a+cos5a+cos7a cot3 cot5
aa
L
aa




Bài 6: Tính giá trị các biểu thức:

B C C A A B
os os os os os os
2 2 2 2 2 2
A B C
c c c c c c
  

Bài 2: CMR điều kiện cần và đủ để tam gáic ABC vuông là:
a, cos2A + cos2B + cos2C = -1 b, sinA + sinB + sinC + 1 = cosA + cosB + cosC
c, sinB + sinC = cosB + cosC d, sin2B + sin2C = 4 sinBsinC
e,
sin osB
tan , tan
sin osC 2
C c c b C B
Cf
B c c b
  



Bài 3: CMR tam giác ABC cân nếu: a, c = 2a.cosB b, tanA + 2tanB = tanA.tan
2
B c, sinC = 2sinAsinB.tan(C/2)
d, asin(B-C) + bsin(C-A) = 0 e, tanA + tanB = 2cot(C/2)
Bài 4: CMR : Nếu 0≤x,y ≤  thì
sinx+siny
sin
22
xy

   
; a/ Chứng minh rằng:
cos ,BR

  
.
Câu 4: (1 điểm) Chứng minh rằng tam giác MNP cân tại N nếu:
sin
2cos
sin
N
M
P

.

5 III. CÁC HỆ THỨC LƢƠNG TRONG TAM GIAC VÀ GIẢI TAM GIÁC.
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b, đường cao AH = h
a
và các đường trung tuyến AM = m
a
, BN =
m
b
, CP = m
c

b c a a c b
AB
bc ac
a b c
C
ab
   




2. Định lí sin.

RR
C
c
B
b
A
a
(2
sinsinsin

: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
3. Độ dài đƣờng trung tuyến của tam giác.
2 2 2 2 2 2 2 2 2
222
; ;
2 4 2 4 2 4
a b c


( R : bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
*
prS 
với
)(
2
1
cbap 
và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
*
))()(( cpbpappS 
với
)(
2
1
cbap 
(công thức Hê- rông)

Chƣơng III. PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
I. PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Phƣơng trình tham số.
* Phương trình tham số của đường thẳng

đi qua điểm M
0
(x
0
; y

; y
0
) và có hệ số góc k là: y – y
0
= k(x – x
0
).
* Nếu

có VTCP
);(
21
uuu 

với
0
1
u
thì hệ số góc của
1
2
u
u
klà 
.
* Nếu

có hệ số góc là k thì nó có một VTCP là
);1( ku 


0
là PTTQ của đường thẳng nhận
);( ban 

làm VTPT.
* Đường thẳng

cắt Ox và Oy lần lượt tại A(a ; 0) và B(0 ; b) có PT theo đoạn chắn là :
1.( , 0)
xy
ab
ab
  

*Nếu
( ; )x a b
và
nx
thì
n
=(b; - a)

6

3. Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng. Cho hai đường thẳng
0:
0:
2222
1111


* Hệ (I) có vô số nghiệm:
21


 Chú ý: *Nếu a
2
b
2
c
2

0
thì :
1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2 2 2
; / / ;
a b a b c a b c
a b a b c a b c
               

*Cho
:0d ax by c  

.
//d
thì PT

có dạng : ax + by+m=0 (m khác c)
.

bbaa
bbaa
nn
nn
nn







5. Khoảnh cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng.
Khoảng cách từ một điểm M
0
(x
0
; y
0
) đến đường thẳng

: ax + by + c = 0 cho bởi công thức:
d(M
0
,

) =
22
00
||


và cách điểm A(0 ; 1) một khoảng bằng 5.
b) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng

với đường thẳng x + y + 1 = 0.
c) Tìm điểm M trên

sao cho AM ngắn nhất.
3/ Cho điểm M(1 ; 2). Hãy lập phương trình của đường thẳng qua M và chắn trên hai trục tọa độ hai đoạn có độ dài bằng
nhau.
4/ Cho hai đường thẳng (d
1
): x + 2y + 4 = 0, (d
2
): 2x – y + 6 = 0.
a) Tính góc giữa hai đường thẳng.
b) Lập phương trình các đường phân giác của các góc giữa hai đường thẳng .
5/ Lập phương trình ba đường trung trực của tam giác có trung điểm các cạnh lần lượt là M(-1 ; 0), N(4 ; 1), P(2 ; 4).
6/ Cho tam giác ABC, biết phương trình đường thẳng AB: x – 3y + 11 = 0, đường cao
AH: 3x + 7y – 15 = 0, đường cao BH: 3x – 5y + 13 = 0. Tìm phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh còn lại của tam
giác.
7/ Cho tam giác ABC có A(-2 ; 3) và hai đường trung tuyến : 2x – y + 1 = 0 và x + y – 4 = 0. Hãy viết phương trình ba
đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác.
8/ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2 ; 5) và cách đều hai điểm A(-1 ; 2) và B(5 ; 4).
9/ Hai cạnh của hình bình hành có phương trình x – 3y = 0 và 2x + 5y + 6 = 0. Một đỉnh của hình bình hành là A(4 ; -1).
Viết phương trình hai cạnh còn lại của hình bình hành đó.
10/ Cho đường thẳng

: x – y + 2 = 0 và hai điểm O(0 ; 0), A(2 ; 0)
a) Chứng tỏ rằng hai điểm O và A nằm cùng một phía đối với đường thẳng

22

* Nếu a
2
+ b
2
– c = 0 thì chỉ có một điểm I(a ; b) thỏa mãn phương trình: x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0
* Nếu a
2
+ b
2
– c < 0 thì không có điểm M(x ; y) nào thỏa mãn phương trình: x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0
B. BÀI TẬP.
1/ Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn? Tìm tâm và bán kính nếu có.

2 2 2 2 2 2
) 6 8 100 0; ) 4 6 12 0; )2 2 4 8 2 0a x y x y b x y x y c x y x y              

2/ Trong mặt phẳng Oxy,lập phương trinh của đường tròn (C) có tâm I(2 ; 3) và thỏa mãn điều kiện sau :
a) (C) có bán kính là 5 b) (C) đi qua gốc tọa độ
c) (C) tiếp xúc với trục Ox. d) (C) tiếp xúc với đường thẳng


b) Vuông góc với đường thẳng (d’) : 3x – y + 4 = 0
10/ Cho đường tròn (C) : (x + 1)
2
+ (y – 2 )
2
= 9 và điểm M(2 ; -1).
a) Chứng tỏ rằng qua M ta vẽ được hai tiếp tuyến (d
1
) và (d
2
) với (C).Hãy viết phương trình của (d
1
) và (d
2
).
b) Gọi M
1
và M
2
lần lượt là hai tiếp điểm của (d
1
) và (d
2
) với (C), hãy viết ptrình của đường thẳng (d) đi qua M
1
và M
2
.
III. ELIP
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.


3) Hình dạng và các yếu tố:
Cho elip (E):
2
2
2
2
b
y
a
x

= 1
a) Hình dạng:
b) Các yếu tố:
 A
1
A
2
= 2a: trục lớn
 B
1
B
2
= 2b : trục nhỏ

 Các tiêu điểm: F
1
(-C;0), F
2

       
1 0 2 1 2
;0 , ;0 , 0; , 0;A a A a B b B b

 Tâm sai: e =
1
a
c

 Phương trình đường chuẩn:
(
1
): x = -
c
a
e
a
2

; (
2
): x =
c
a
e
a
2


B. BÀI TÂP

e)(E) đi qua hai điểm M(4 ;
3
), N(
)3;22 
.
3/ Tìm những điểm trên elip (E) :
1
9
2
2
 y
x
thỏa mãn :
a) Có bán kính qua tiêu điểm bên trái bằng hai lần bán kính qua tiêu điểm bên phải.
b) Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông. c)Nhìn hai tiêu điểm dưới góc 60
0
.
4/ Cho elip (E) :
1
49
22

yx
.
a) Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh ; tính tâm sai và vẽ (E).
b) Xác định m để đường thẳng d : y = x + m và (E) có điểm chung.
c) Viết phương trình đường thẳng

đi qua M(1 ; 1) và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB.
5/ Xác định độ dài trục thực, trục ảo ; tiêu cự ; tâm sai ; tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh và phương trình các đường tiệm cận

– y
2
– 4 = 0 thỏa mãn : a)Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông.
b)Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 120
0
. c) Có tọa độ nguyên.
8/ Xác định tham số tiêu, tọa độ đỉnh, tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của các parabol (P) sau :
a) y
2
= 4x b) 2y
2
– x = 0 c) 5y
2
= 12x ( Vẽ (P) có phương trình ở câu a))
9/ Lập phương trình chính tắc của parabol (P) biết :
a) (P) có tiêu điểm F(1 ; 0); b) (P) có tham số tiêu p = 5; c) (P) nhận đường thẳng d : x = -2 là đường chuẩn.
d) Một dây cung của (P) vuông góc với trục Ox có độ dài bằng 8 khoảng cách từ đỉnh O đến dây cung này bằng 1.
10/ : Cho parabol (P): y
2
= 8x; a) Tìm tọa độ tiêu điểm và viết phương trình đường chuẩn của (P). Giả sử đường thẳng (d) đi
qua tiêu điểm của (P) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ tương ứng là x
1
, x
2
Chứng minh: AB = x
1
+ x
2
+ 4
Đế tham khảo