Hệ thống kiến thức Toán 12

Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận 0987.192212 Trang 1

GIẢI TÍCH
I. ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM: (D
erivative
)Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x
0
là :
∆x
)f(x∆x)f(x
lim
∆x
∆y
lim)(xf')(xy'
00
0∆x0∆x
00
−+
===
→→

Đạo hàm bên phải tại x
0
:
x
y

∈.(a ; b)
Hàm số y = f(x) đạo hàm trên đoạn [a ; b] nếu nó có đạo hàm trên khoảng (a ; b) và có
đạo hàm bên phải tại a và bên trái tại b.
Cách tính đạo hàm :
Muốn tính đạo hàm hàm số y = f(x), ta cần thực hiện 3 bước sau :
1) Cho số gia x tại x
0
và tính:
)
f(x
x)
f(x
y
00
−+= ∆∆

2) Lập tỉ số :
x
y
∆
∆

3) Tìm
x
)
f(x
x)
f(x
lim
x

1
(C)'=0 (tgx)'= =1+tg x
cos x
1
(x)'=1 (cotgx)'=- =-(1+cotg x)
sin x
(x )'= x ( R) (e )'=e
1 1
=- (a )'=a .lna
x x
1 1
x = ln x =
x
2 x
1
(sinx)'=cosx log x =
xlna
(cosx)'=-sinx
α α
α α ∈
 






 
w'
v'
u'
w)'
v
(u
−
=






+=
∈
=
+
+
=
−
+Chú ý các giới hạn sau:
( )
1
1
lim*1
)1ln(

x
xx
x
x
x
xxIII. ĐẠO HÀM CẤP CAO – VI PHÂN:
(Diferential)

[f
(n)
(x)]’= f
(n + 1)
(x)
df(x) = f’(x).dx

IV. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM:
1. Sự đồng biến, nghòch biến của hàm số:
 Đònh lý Lagrange: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b], có đạo hàm trong (a; b) thì
tồn tại điểm c ∈ (a; b) sao cho:
a
b
f(a)
f(b)
(c)f'
−
−
=

mà f’(x) đổi dấu từ dương (+) sang âm (–) thì hàm số đạt cực đại tại
x
0
.
b. Nếu khi x đi qua x
0
mà f’(x) đổi dấu từ âm (–) sang dương (+) thì hàm số đạt cực tiểu tại
x
0
.
Lưu ý: Để hàm số đạt cực trò tại x
0
thì f’(x) phải đổi dấu khi đi qua x
0
.
Hệ thống kiến thức Toán 12

Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận


0987.192212 Trang 3

 Đònh lý 2:( Dấu hiệu 2 )
a. Hàm số f(x) đạt cực đại tại x
0
khi



<

f(x) thì Dx
=



=∈∃
≤∈∀

 Số thực m được gọi là giá trò nhỏ nhất của hàm số f(x) trên D nếu:
)(
)
xf
D
00
min m : hiệuKí
mf(x:Dx
mf(x) thì Dx
=



=∈∃
≥∈∀

b- Cách tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
 Trên (a; b):
 Tính y’, lập BBT.
 Nếu trên (a; b), hàm số có duy nhất một cực đại thì đó là max, duy nhất một cực
tiểu thì đó là min; ngoài ra thì không có.
 Trên [a; b]:

+
(c ≠ 0)
ngang cận tiệm là
c
a
y
c
a
ylim
đứng cận tiệm là
c
d
y ylim
=⇒=
−=⇒∞=
∞→
−→
x
c
d
x
Hàm số: y =
e
dx
cbxax
2
+

e
x

6. Các hàm số thường gặp:
A. Hàm bậc ba: y = ax
3
+ bx
2
+ c + d (a ≠ 0)

Tập xác đònh: D = R.

y’ = 3ax
2
+ 2bx + c: Hoặc có hai cực trò (y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt), hoặc
không có cực trò.

Đồ thò luôn có một điểm uốn.

Đồ thò có một tâm đối xứng là điểm uốn.

y = f(x) = (mx + n).f’(x) + p(x) + q. Do đó nếu hàm số có hai cực trò thì đường
thẳng đi qua hai điểm cực trò có phương trình: y = p(x) + q.

Đồ thò hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi y’ = 0 có hai nghiệm phân
biệt và y
CĐ
.y
CT
< 0.

< t
2
và t
2
= 9 t
1
, với t =
x
2
.
C. Hàm hữu tỷ: y =
d
cx
b
ax
+
+
:

Tập xác đònh: D = R\






−
c
d
.

Đồ thò có một tâm đối xứng là giao điểm hai đường tiệm cận.
Hệ thống kiến thức Toán 12

Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận


0987.192212 Trang 5


Đồ thò là một Hyperbol.
D. Hàm hữu tỷ: y =
e
dx
cbxax
2
+
++


Tập xác đònh: D = R\






−
d
e
.

Đồ thò có một tâm đối xứng là giao điểm hai đường tiệm cận.

Đồ thò là một Hyperbol.

Nếu hàm số có hai cực trò thì đường thẳng đi qua hai điểm cực trò có phương trình:
y =
d
b
2ax
+
.
CÁC BƯỚC TIẾN HÀNH KHẢO SÁT HÀM SỐ:

Tìm TXĐ.

Tính y’, tìm các cực trò (Nếu có).

Tìm các tiệm cận (Hàm hữu tỷ) hoặc tính
±∞→x
lim
(Hàm đa thức)

Lập BBT.

Tính y”, lập bảng xét dấu y” (Đối với hàm đa thức).

Cho các điểm đặc biệt (Thường là các điểm nguyên ở hai bên cực trò hoặc điểm
uốn).

Vẽ đồ thò.


Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận


0987.192212 Trang 6

;CF(t)f(t)dt;CF(u)f(u)duthìCF(x)f(x)dxNếu
∫
∫
∫
+=+=+=

3. Bảng các nguyên hàm:a. Các nguyên hàm cơ bản:)10(
ln
*
*cossin*
cot
sin
1
*ln
cos
1
*)1(
1

CxxdxCx
x
x
xx
dx
*
x*
dx*
α
α
α
αb. Các nguyên hàm mở rộng:

)0(ln
)(
11
*
)0,10(
ln
1
*
)0(
1
*
)0()(cot
1
)(sin

++
≠≠<+=
≠+=
≠++−=
+
≠++=
+
≠++=+
≠++−=+
≠++=
+
≠≠+
+
+
=+
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+
+
++
+
aC
xx

nmx
nmx
baxbax
bax
bax
dx
*
b)(ax
dxb)(ax*
α
α
α
α
VI. TÍCH PHÂN:
(Integral)

Với x
1
; x
2
là hai nghiệm của ax
2
+ bx + c = 0

Hệ thống kiến thức Toán 12

Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận

a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
c
c
a
b
a
b
a
b
a
a
b
b
a
a
a
−≤≤−⇒≤≤
≥⇒∈∀≥
≥⇒∈∀≥±=±

α
b
a
∫∫
=
ϕϕ

Chú ý:
Đối với phương pháp này, nếu gặp tích phân có chứa:

A
α
thì đặt t = A.

α
A
thì đặt t =
α
A
.

A
1
thì đặt t = A.










−∈=
+
−+
∫∫∫
2
;
2
tvớia.tgtxđặtthì
xa
dx
hoặc
xa
dx
hoặc
xa
22
2222
ππ
)(
n
dx

2. Phương pháp tích phân từng phần:

Nếu u(x); v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [a; b] thì:
∫∫
−=

b
a
nmx
bax
=














+
+
∫
+
+Gặp:
P(x) dvđặt thì dxP(x).
b
a

*
Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình
phẳng giới hạn giữa x = g(y), y = a, y = b, x = 0

khi khi

quay quanh trục Oy :
dxxV
b
a
2
∫
= π

* Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình
phẳng giới hạn giữa y = f(x), x = a, x = b, y = 0
khi quay quanh trục Ox là:
dxyV
b
a
2
∫
= π

Hệ thống kiến thức Toán 12

Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận
k)!(n
n!
A
k
n
−
=Đặc biệt:

n!PA
n
n
n
==

4. Tổ hợp: (Combination)

Đònh nghóa:
Mỗi tập con gồm k phần tử của tập X gồm n phần tử (0 ≤ k ≤ n) được gọi là
một tổ hợp chập k của n phần tử. k)!(nk!
n!
C
k

1n1-n
n
kknk
n
22n2
n
1n1
n
n0
n
n
∑
=
−−−−−
=+++++++=+

Đặc biệt:
n
n
n1-n
n
1nk
n
k2
n
1
n
0
n
n

n = 1: 1 1

n = 2: 1 2 1

n = 3: 1 3 3 1
n = 4: 1 4 6 4 1
n = 5: 1 5 10 10 5 1
n = 6: 1 6 15 20 15 6 1
n = 7: 1 7 21 35 35 21 7 1
n = 8: 1 8 28 56 70 56 28 8 1
n = 9: 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
HÌNH HỌC

I. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG:
1. Các phép toán về vectơ:

 
 

 

 
 
 
2 2
Cho u = (x; y); v = (x'; y').
u ± v = (x ± x'; y± y')

− −
− −
A B A B
M M
x kx y ky
x = y =
1 k 1 k

* Điểm M(x
M
; y
M
) trung điểm AB

+ +
A B A B
M M
x x y y
x = y =
2 2

2. Đường thẳng:
2.1. Phương trình đường thẳng:

Đường thẳng d qua M(x
0
; y
0
), chỉ phương a = (a
1

0
; y
0
), pháp vectơ n = (A; B) cóPTTQ:
d: A(x – x
0
) + B(y – y
0
) = 0
Chú ý:


Nếu d có n = (A; B) thì a = (B; – A) hoặc a = (– B; A).

d // d’: Ax + By + C = 0 thì d: Ax + By + C’ = 0.

d ⊥ d’: Ax + By + C = 0 thì d: Bx – Ay + C’ = 0.
2.2. Góc, khoảng cách:

Cho điểm M
0
(x
0
; y
0
) và d: Ax + By + C = 0 thì:
0 0
0
2 2
Ax + By + C

C(I; R): (x – a)
2
+ (y – b)
2
= R
2
.
⇔ x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0 (c =
−
2 2 2
a + b R
)
3.2. Phương tích của một điểm đối với một đường tròn:
Cho M
0
((x
0
; y
0
) và đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0.
P
M/(C)

(a; 0)
B
1
(0; – b), A
2
(0; b)

Tiêu điểm: F
1
(– c; 0), F
2
(c; 0).

Tâm sai:
=
c
e
a
; đường chuẩn:
= ±
a
x
e

M
O

F
1
(

0
) là d:
0 0
2 2
x.x y.y
+ =1
a b
.

Đường thẳng d: Ax + By + C = 0 tiếp xúc (E):
2 2
2 2
x y
+ =1
a b
⇔ A
2
.a
2
+ B
2
.b
2
= C
2
(C ≠ 0)
4.2. Hyperbol:
Cho Hyperbol (H):
−
2 2

1
(– c; 0), F
2
(c; 0).

Tâm sai:
=
c
e
a
; đường chuẩn:
= ±
a
x
e


Tiệm cận:
= ±
b
y x
a


Tiếp tuyến với (H):
−
2 2
2 2
x y
=1

2
= C
2
(C ≠ 0).
4.3. Parabol:
Cho parabol (P): y
2
= 2px


Tiêu điểm: F(
p
2
; 0).

Đường chuẩn:
−
p
x =
2


Tiếp tuyến với (P): y
2
= 2px tại M
0
(x
0
; y
0


x

y

O

F(
p
2
; 0)

x

y

Hệ thống kiến thức Toán 12

Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận


0987.192212 Trang 13'
±
+
 
 


– x
A
; y
B
– y
A
; z
B
– z
A
)
* Điểm M(x
M
; y
M
) chia đoạn AB theo tỷ số k (MA = k.MB) thì:
− − −
− − −
A B A B A B
M M M
x kx y ky z kz
x = y = z =
1 k 1 k 1 k

* Điểm M(x
M
; y
M
) trung điểm AB


ABCD
Cho a = (x ;y ;z );b = (x ;y ;z )
y z z x x y
a ,b ; ;
y z z x x y
1
S AB, AC
2
1
V = AB, AC .AD
6

2. Mặt phẳng:
Mặt phẳng α qua M
0
(x
0
; y
0
), pháp vectơ n = (A; B; C) cóPTTQ:
α: A(x – x
0
) + B(y – y
0
) + C(z – z
0
) = 0
Chú ý:



; a
3
) có:
PTTS:





0 1
0 2
0 3
x = x + ta
y = y + ta
z = z + ta
; PTCT:
0 0 0
1 2 2
x x y y z z
= =
a a a
− − −
⇔
0 0
1 2
0 0
2 2
x x y y
=
a a

A' B' C' D'
: α ≡ β.

A B C D
= =
A' B' C' D'
≠
α // β.
4.2. Vò trí tương đối giữa hai đường thẳng:
d
1
qua M
1
(x
1
; y
1
; z
1
), chỉ phương a = (a
1
; a
2
; a
3
)
d
2
qua M
2

: a
2
: a
3
≠ b
1
: b
2
: b
3
: d
1
cắt d
2
.

a
1
: a
2
: a
3
= b
1
: b
2
: b
3
: d
1

: d
1
= (x
2
– x
1
):(y
2
– y
1
):(z
2
– z
1
): d
1
≡ d
2
.

 
≠
 



1 2
a ,b .M M 0
⇔ d
1

Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D ≠ 0: d ⊂ α.

5. Góc:
5.1. Góc giữa hai đường thẳng:
d có chỉ phương a. d’ có chỉ phương a’ thì

.
 
 
a.a'
cos(d, d') =
a a'

5.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
d có chỉ phương a. α có pháp véctơ n thì

.
α
 
 
a.n
sin(d, ) =
a n


0
2 2 2
Ax + By + Cz + D
d(M ,d) =
A + B + C

6.2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Cho điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) và đt d đi qua M
1
, chỉ phương a thì:
0 1
1
M M .u
d(M ,d) =
u
 
 




6.3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

– 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (d =
2 2 2 2
a + b + c R
−
)
3.2. Tương giao của mặt cầu và mặt phẳng:
Cho: S(I; R): (x – a)
2
+ (y – b)
2
+ (z – c)
2
= R
2
.
α: Ax + By + Cz + D = 0
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I(a; b; c) lên α ⇒ IH = d(I, α)

Nếu IH > R: α không cắt (S).

Nếu IH = R: α là mặt tiếp diện của (S) tại H.

Nếu IH < R: α cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn:
C(H,
2
2 2 2 2
Ax + By + Cz + D = 0
IH ) :
(x a) + (y b) + (z c) = R
2