Trường THPT Lấp Vò 1 GV : Đào Trọng Hữu
WWW.ToanCapBa.Net
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
Chủ đề 1 : ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Các định nghĩa về VTCP và PVT của đường thẳng:
1. VTCP của đường thẳng :
a
r
là VTCP của đường thẳng (
∆
)
đn
⇔
0
a có giá song song hoặc trùng với ( )
a

≠


∆


r r
r
n
r
là VTPT của đường thẳng (
∆
)

• Nếu đường thẳng (
∆
) có VTPT
( ; )n A B=
r
thì có VTCP là
( ; )a B A= −
r
hoặc
= −
r
( ; )a B A
* Nhận xét :
Đường thẳng
( )∆
đi qua hai điểm A, B thì ta chọn :
( ; )
B A B A
AB x x y y= − −
uuur
làm VTCP của
( )∆
.
Bài tập áp dụng :
1. Cho đường thẳng
( )∆
đi qua hai điểm A(1;-2), B(-1;3). Tìm một VTCP và một VTPT của
( )∆
.
2: Cho tam giác ABC biết


)(∆
Trường THPT Lấp Vò 1 GV : Đào Trọng Hữu
WWW.ToanCapBa.Net

0 0
( ): ( ) ( ) 0A x x B y y∆ − + − =
(*) b. Phương trình tổng quát của đường thẳng :
Định lý :Trong mặt phẳng (Oxy). Phương trình đường thẳng (
∆
) có dạng :

Ax + By + C = 0 với
2 2
0A B+ ≠
Chú ý:
Từ phương trình (
∆
):Ax + By + C = 0 ta luôn suy ra được :
1. VTPT của (
∆
) là
( ; )n A B=
r
2. VTCP của (
∆
) là

a. Định lý : Trong mặt phẳng (Oxy). Đường thẳng (
∆
) qua M
0
(x
0
;y
0
) và nhận
=
r
( ; )u a b
làm
VTCP sẽ có :
+

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng WWW.ToanCapBa.Net Trang 2
);(
000
yxM
);( yxM
x
O
);(
000
yxM
);( BAn =

x
y

( ):
x x y y
a a
− −
∆ =
Điều kiện :
0
0
a
b
≠
≠
Chú ý:


∆ ∈



= +
= +
¡
0
0
( ): ( )t
x x a t
y y b t

∆
=
uur
( ; )n A B
của .
( ) ( )
− + − = 0
o o
A x x B y y
Phương
trình
tham số
Tọa độ của điểm M
( )
;
o o
x y
thuộc .
VTCP
∆
=
uur
( ; )u a b
của .

= +


= +


;y
A
) và B(x
B
;y
B
) :

( ):
A A
B A B A
x x y y
AB
x x y y
− −
=
− −

( ):
A
AB x x=

( ):
A
AB y y=
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng WWW.ToanCapBa.Net Trang 3
C
h
ú




nh lý 1: Phng trỡnh ng thng

qua
0 0 0
( ; )M x y
cú h s gúc k l :0 0
y - y = k(x - x )
(1)

Chỳ ý 1: Phng trỡnh (1) khụng cú cha phng trỡnh ca ng thng i qua M
0
v vuụng gúc
Ox nờn khi s dng ta cn ý xột thờm ng thng i qua M
0
v vuụng gúc Ox l
x = x
0
Chỳ ý 2: Nu ng thng

cú phng trỡnh
y ax b= +
thỡ h s gúc ca ng thng l
k a
=
nh lý 2: Gi k


Chỳ ý:
1 2
;m m
c xỏc nh bi mt im cú ta ó bit nm trờn
1 2
;
Phng phỏp ta trong mt phng WWW.ToanCapBa.Net Trang 4
x
y
O

0:
21
=+ mAyBx
x
y
O
0
x
1
M
0:
1
=++ CByAx
);( yxM
x
y
O
0

( ) : 0ax by c∆ + + =
.Tìm hình chiếu vuông góc của
M lên
( )∆
.
Phương pháp:
 Bước 1:Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (d) đi
qua M và vuông góc
∆
.Khi đó ta có :
( ; ) ( ; )u n a b n b a
d d
= = ⇒ = −
∆
uuur uuur uuur
.
 Bước 2:Gọi H = (d)
∆I
,tọa độ H là nghiệm hệ phương trình:
d


∆

Giải pt tìm tọa độ H
⇒
H là điểm cần tìm.
VD : Cho điểm M(2;-3) và đường thẳng
( ) : 2 1 0x y∆ + − =
.Tìm hình chiếu vuông góc của M lên

2
∆
21
∆∆ caét
1
∆
x
y
O
2
∆
21
∆≡∆
d
∆
H
M
Trường THPT Lấp Vò 1 GV : Đào Trọng Hữu
WWW.ToanCapBa.Net

Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng :
1 1 1 1
2 2 2 2
( ): 0
( ): 0
A x B y C
A x B y C
∆ + + =
∆ + + =
Vị trí tương đối của


1 2
1 2
1 2
. Hệ (1) vô nghiệm ( )//( )
. Hệ (1) có nghiệm duy nhất ( ) cắt ( )
. Hệ (1) có vô số nghiệm ( ) ( )
i
ii
iii
⇔ ∆ ∆
⇔ ∆ ∆
⇔ ∆ ≡ ∆
 Định lý 2: Nếu
2 2 2
; ;A B C
khác 0 thì

∆ ∆ ⇔ ≠
∆ ∆ ⇔ = ≠
∆ ≡ ∆ ⇔ = =
1 1
1 2
2 2
1 1 1
1 2
2 2 2
1 1 1
1 2
2 2 2

Bài 2: Cho tamgiác ABC có đỉnh A(2;2) .Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.Biết rằng
các đường thẳng 9x-3y-4=0 và x+y-2=0 lần lượt là các đường cao của tam giác xuất phát từ
B và C.
Bài 3: Tuỳ theo m, hãy biện luận vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:

1
2
: 1 0
: 2 0
d mx y m
d x my
+ − − =
+ − =
Bài 4: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau,và tìm tọa độ giao điểm (nếu có):

1
2
:3 1 0
: 3 2 0
d x y
d x y
+ − =
+ − =
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Cho hai điểm A(-1;3), B(1;2). Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng qua A, B
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng WWW.ToanCapBa.Net Trang 6
Trường THPT Lấp Vò 1 GV : Đào Trọng Hữu
WWW.ToanCapBa.Net
Bài 2: Các điểm P(2;3); Q(4;-1); R(-3;5) là các trung điểm của các cạnh của một tam giác .Hãy lập
phương trình chính tắc của các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác đó.

ta có :

1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos
.
A A B B
A B A B
ϕ
+
=
+ +
Hệ quả:

1 2 1 2 1 2
( ) ( ) A 0A B B∆ ⊥ ∆ ⇔ + =
II. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :
Định lý 1: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng
( ): 0Ax By C∆ + + =
và điểm
0 0 0
( ; )M x y
Khoảng cách từ M
0
đến đường thẳng
( )∆
được tính bởi công thức:

0 0

1 1 1 1
2 2 2 2
: a x 0
: a x 0
b y c
b y c
∆ + + =
∆ + + =
ta thực hiện các bước sau:
Bước 1:Tìm tọa độ hai vec-tơ chỉ phương của
1 2
;∆ ∆
.
Bước 2:Thay vào công thức :
ϕ
+
=
+ +
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos
.
a a b b
a b a b
.
Bước 3:Sử dụng máy tính suy ra góc
ϕ
Phân biệt góc giữa hai đường thẳng và góc giữa hai vec-tơ chỉ phương của chúng:
Góc giữa hai đường thẳng Góc giữa hai vec-tơ chỉ phương của chúng

≤ ≤
DẠNG :Tính Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Một Đường Thẳng
Phương pháp:
Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng góc giữa hai đường thẳng
: ax 0by c∆ + + =
ta thực hiện
các bước sau:
Bước 1: Xem đường thẳng đã cho ở dạng nào ,chuyển về dạng tổng quát.
Bước 2: Khoảng cách từ M
0
đến đường thẳng
( )∆
được tính bởi công thức:

+ +
∆ =
+
0 0
0
2 2
( ; )
ax by c
d M
a b
DẠNG :Tính Khoảng Cách Giữa Hai Đường Thẳng Song Song ta có thể sử dung công thức:

1 1 1 1
2 2 2 2
: a x 0
: a x 0

.
a a b b
a b a b
β
+
=
+ +
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos
.
a a b b
a b a b
Có dấu GTTĐ Không có dấu GTTĐ
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng WWW.ToanCapBa.Net Trang 8
Trng THPT Lp Vũ 1 GV : o Trng Hu
WWW.ToanCapBa.Net
0 0
0 90


0 0
0 180
Ch 3 :
NG TRềN
I. Phng trỡnh ng trũn:

( ; )IM A B=
uuur
lm vtpt nờn phng trỡnh cú dng:

+ =
0 0
( ) ( ) 0A x x B y y
Dng 2: Tip tuyn song song hoc vuụng gúc vi ng thng d cho
trc :
S dng gt:


1
( ) //(d): Ax+By+C=0 phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng ( )coự daùng: Ax+By+m =0

K: (
1
m C
)


2
( ) (d): Ax+By+C=0 phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng ( )coự daùng: Bx-Ay+m =0
.
S dng iu kin :

tip xỳc ng trũn tõm I (a;b) ,bỏn kớnh R

( )
;d I R =

⇔ + ⇔ + = 0
0 0 0 0 0 0
y - y = k(x - x ) y = kx - kx y kx - y - kx y
Sử dụng điều kiện :
∆
tiếp xúc đường tròn tâm I (a;b) ,bán kính R
⇔
( )
;d I R∆ =
BÀI TẬP ỨNG DỤNG:
Bài 1: Viết phương trình đường tròn đường kính AB biết A(1;3), B(3:-5)
Bài 2: Viết phương trình đường tròn có tâm I(-1;2) và tiếp xúc đường thẳng
( ) :3 4 2 0x y∆ − + =
Bài 3: Xác định tâm và bán kính của đường tròn
2 2
( ) : 2 4 20 0C x y x y+ + − − =
Bài 4: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A(3;3), B(1;1),C(5;1)
Bài 5: Cho phương trình :
2 2
4 2 2 3 0x y mx my m+ + − + + =
(1)
Bài 6: Định m để phương trình (1) là phương trình của đường tròn (C
m
)
Xét đường tròn (C) qua ba điểm A(-1;2), B(2;0), C(-3;1). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại A
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba đỉnh là A(1;1); B(-1;2); C(0;-1).
Bài 2: Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác có ba đỉnh là A(-1;7); B(4;-3); C(-4;1).
Bài 3: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm A(-1;1) và B(1;-3) có tâm nằm trên đường
thẳng (d):2x - y + 1 = 0.

A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5 (TS.K.B2005)
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng WWW.ToanCapBa.Net Trang 10
Trường THPT Lấp Vò 1 GV : Đào Trọng Hữu
WWW.ToanCapBa.Net
Một số bài tập nâng cao

Bài 1:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(10;5), B(3;2), C(6;-5).
a/ Tìm tọa độ điểm D xác định bởi hệ thức :
ACABAD 23 −=
.
b/ Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tìm giao điểm của đường tròn này với
đường thẳng y = 5.
Giải:
a. /
ACABAD 23 −=



−−−−=−
−−−=−
⇔
)55(2)52(35
)106(2)103(310
D
D
y
x




2
610
2
=
+
=
+
=
CA
I
xx
x

0
2
55
2
=
−
=
+
=
CA
I
yy
y

Đường tròn ( C) có tâm I(8;0) và bán kính
295)810(
22

)5;10(
1
M
và
)5;6(
2
M
.
Bài 2:Cho hai điểm A(1;6), B(-3; -4). Hãy tìm điểm M trên đường thẳng d: 2x–y–1= 0 sao cho :
MA + MB bé nhất.
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng WWW.ToanCapBa.Net Trang 11
Trường THPT Lấp Vò 1 GV : Đào Trọng Hữu
WWW.ToanCapBa.Net
Giải:
Ta có A, B ở cùng phía đối với d ( xem hình).
Gọi C là điểm đối xứng của A qua D. Với mọi điểm M
trên d ta có:
MA+MB = MC+MB ≥ BC.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M là giao
điểm của d và BC.
Trước hết ta xét đường thẳng l qua A và vuông góc
với d có phương trình: x + 2y – 13 = 0.
Tọa độ hình chiếu H của A trên d là nghiệm hệ:




=
=
⇔



−=
=
⇔



=−−
=−−
1
0
012
01
y
x
yx
yx

Vậy điểm M(0; -1).
Bài 3:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho hình thoi ABCD có tọa độ các đỉnh A(0;3), B(5;3) .
Tâm I của hình thoi nằm trên đường thẳng (d):
02 =−+ yx
.Xác định tọa độ của các đỉnh C và D ?
Giải :
Gọi tọa độ tâm
)y;I(x
00
,ta có:


0
2
0
2
0
yx
yxyx






=
=
⇔
1
1
0
0
y
x

)1;1( I⇒
Gọi tọa độ điểm
);(
CC
yxC
,
);(

=
⇔
1
2
C
C
y
x






+
=
+
=
2
3
1
2
5
1
D
D
y

01
yx
y
=> G ( 1 ; 1 )
Dựng hình bình hành BGCE
Tính được E( 1 ; - 1 )
Phương trình đường thẳng ( EC ) là
x – 2y – 3 = 0
C là nghiệm của hệ phương trình :



=−−
=−
032
01
yx
y
=> C ( 5; 1 )
Phương trình đường thẳng ( EB ) là : y + 1 = 0
B là nghiệm của hệ phương trình :



=+−
=+
012
01
yx
y

(0 ; a - y
0
),
IC
(c ; -y
0
)
IA = IC <=>
22
ICIA =
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng WWW.ToanCapBa.Net Trang 13
Trường THPT Lấp Vò 1 GV : Đào Trọng Hữu
WWW.ToanCapBa.Net
<=> (a - y
0
)
2
= c
2
+ y
0
2
<=> y
0
=
a
ca
2
22
−

−=
−
−
=

Bài 6:Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 8x + 6y + 21 = 0 và đường thẳng d:
01yx =−+
. Xác định tọa
độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp (C) biết A ∈ d.
Giaûi:
Đường tròn (C) có tâm I(4, –3), bán kính R = 2
Tọa độ của I(4, –3) thỏa phương trình (d): x + y – 1 = 0. Vậy I ∈ d
Vậy AI là một đường chéo của hình vuông ngoại tiếp đường tròn, có bán kính R =
2 , x = 2 và x= 6 là 2 tiếp tuyến của (C ) nên
. Hoặc là A là giao điểm các đường (d) và x = 2 ⇒ A(2, –1)
. Hoặc là A là giao điểm các đường (d) và x = 6 ⇒ A(6, –5)
. Khi A(2, –1) ⇒ B(2, –5); C(6, –5); D(6, –1)
. Khi A(6, –5) ⇒ B(6, –1); C(2, –1); D(2, –5)
Bài 7 :Cho tam giác ABC đều ABC.Gọi D là điểm đối xứng của C qua AB.Vẽ đường tròn tâm D
qua A, B; M là điểm bất kì trên đường tròn đó (
), BMAM ≠≠
. Chứng minh rằng độ dài MA, MB,
MC là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.
Giaûi:
O
M(x0;y 0)

132)3(
222222
−+++−+=+ bbabaMBMA

=
4)3(
222
−+++ baMC

M nằm trên đường tròn (1) nên :
04)3(
22
=−++ ba
222
MCMBMA =+⇒
⇒
MA, MB, MC là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.

Bài 8:Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có diện tích S =
3
2
, A(2; - 3), B(3; -2).
Trọng tâm G của tam giác thuộc đường thẳng 3x – y – 8 = 0 . Xác định toạ độ điểm C.
Giải:
Theo giả thiết S
ABC
=
3
2
⇒ S

5 1
3 8 0
x y
x y
 − − =


− − =


⇒ G(1; - 5) hoặc G(2; -2).
Từ
0GA GB GC+ + =
uuur uuur uuur r
suy ra C(-2; -10) hoặc C(1; -1).
Bài 9 :Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ba điểm A(0;a),B(b;0) ,C (-b; 0) với a>0 ,b >0 .
1/.Viết phương trình đường tròn ( C ) tiếp xúc với đường thẳng AB tại B và tiếp xúc với đường
thẳng AC tại C.
2/. Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường tròn ( C ) và
1 2 3
, ,d d d
là các khoảng cách từ M đến các
đường thẳng AB,AC,BC.Chứng minh rằng
2
1 2 3
d d d=

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng WWW.ToanCapBa.Net Trang 15
Trường THPT Lấp Vò 1 GV : Đào Trọng Hữu
WWW.ToanCapBa.Net

4
22
2
2
)(
a
b
b
a
b
yx +=++
(0,5d)
b/- Đương thẳng AB có pt:
0=−+ abbyax
AC có pt:
0=+− abbyax
BC có pt: y = 0 (0,5d)
Xét điểm
)();(
00
CyxM ∈
Ta có :
03
22
00
2
22
00
1
yd

2
3
2
0
22
2
0
22
0
2
21
2
0
2
0
2222
0
2
2
dy
ba
yayb
dd
yayabbaxa
==
+
−−
=⇒
−=+−⇔
Bài 10:Trong mặt phẳng 0xy cho đường tròn (C): x


Tính được IH= R.cos60
0
=
2
1
IH=
2
1

2
1
5
83
2
1
);( =
+−
↔=∆↔
C
Id
Tìm được:






=++=∆
=++∆

tâm G
1
;1
12
 
 ÷
 
. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Giaûi:
Cho tam giác ABC có A(2;0), C(-2;3) G
1
;1
12
 
 ÷
 

⇒
B
1
;0
4
 
 ÷
 
Phương trình các cạnh AB : 3x + 4y - 6 = 0
AC : 4x + 3y - 1 = 0
BC : y = 0
Phương trình phân giác trong góc A là : x + y -1 = 0
Phương trình phân giác trong góc B là : x + 3y - 2 = 0

2 2 4
x y
− + − =
Bài 11:Trong mặt phẳng (Oxy) cho tam giác ABC với A(2,−1) và phương trình đường phân giác
trong của B và C lần lượt là:
d
1
: x−2y+1=0và d
2
: x+y+3=0
Viết phương trình cạnh BC.
Giaûi:
Gọi A
1
, A
2
là điểm đối xứng của A qua d
1
, d
2
thì A
1
,A
2
nằm trên BC
Vậy pt cạnh BC là pt đường thẳng đi qua A
1
, A
2
Gọi H

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng WWW.ToanCapBa.Net Trang 17
Trường THPT Lấp Vò 1 GV : Đào Trọng Hữu
WWW.ToanCapBa.Net
H
2
là trung điểm của AA
2
⇒ A
2
(−2,−5)
Phương trình cạnh BC là: 4x−y+3=0
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng WWW.ToanCapBa.Net Trang 18