TRNG THPT CCH LINH
Giỏo viờn: Hong Trung Hũa
Chuyên đề:
KHO ST S BIN THIấN V V TH HM S
H v tờn: Hong Trung Hũa
Chc v: Giỏo viờn
n v cụng tỏc: Trng THPT Cỏch Linh
A. M U
I. T VN .
Chng chỡnh mi sỏch giỏo khoa chun lp 12 ó cp n bi toỏn kho sỏt
hm s trong Chng 1. ng dng o hm kho sỏt s bin thiờn v v th hm
s . õy l mt ni dung m cỏc thi tt nghip THPT, i hc, cao ng ó khai thỏc
rt nhiu. S tit m chng trỡnh mi phõn phi cho Chng 1. ng dng o hm
kho sỏt s bin thiờn v v th hm s l 20 tit, tuy nhiờn a s cỏc em hc sinh
vn cũn lỳng tỳng khi gii toỏn. Chính vì vậy tôi đã lựa chọn chuyên đề này để một phần
tháo gỡ khó khăn đó va giỳp hc sinh cú mt s phng phỏp rèn luyện kỹ năng giải
toán cho học sinh.
II. GII QUYT VN .
1. C s:
a. C s lý lun:
Thụng qua cỏc dng bi tp ó c phõn loi cựng vi phng phỏp gii cỏc dng
bi tp ú. Nhiệm vụ của đề tài này chỉ mong rằng sẽ góp phần giúp học sinh hình thành,
củng cố và rèn luyện kỹ năng kho sỏt s bin thiờn v v th hm s. Đó là các kỹ
năng sau:
Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s dng:
+) Hm a thc bc ba: y = ax
3
+bx
2
+ cx +d (a


- Phng phỏp xột tớnh n iu, phng phỏp tỡm cc tr ca hm s.
- Phng phỏp tỡm cỏc ng tim cn ca hm s.
b. c s thc tin.
Tụi l mt giỏo viờn cũn tr cha cú nhiu kinh nghiờm trong ging dy, a s cỏc
em hc sinh cha chỳ tõm lm n vic hc, nhiu em cũn hng cỏc kin thc c, k
nng gii toỏn cũn yu. Thc t qua cỏc k thi tt nghip THPT gn õy t l tt nghip
THPT ca nh trng v mụn toỏn cũn thp. Nờn tụi a ra chuyờn ny nhm nõng
cao nng lc ca mỡnh v giỳp cỏc em hc sinh rốn luyn k nng v cú mt s phng
phỏp gii toỏn kho sỏt s bin thiờn v v th hm s.
2. Mục tiêu cần đạt của chuyên đề
Với nhận định là lý do nêu trên, chuyên đề này sẽ đa ra phơng pháp giải các bài
toán kho sỏt s bin thiờn v v th hm s một cách cụ thể, chi tiết, nhằm mục đích:
- Giúp học sinh phân loại từng dạng bài tập, từ đó áp dụng đúng phơng pháp giải.
- Khắc sâu kiến thức cho học sinh.
- Luyện tập những kỹ năng cơ bản trong việc giải toán.
- Giới thiệu và cùng trao đổi với đồng nghiệp những kinh nghiệm đc rút ra từ
việc dạy(học) vấn đề này.
3. i tng ỏp dng chuyờn
- i vi giỏo viờn ging dy lp 12
- i vi hc sinh lp 12.

Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s
2
TRƯỜNG THPT CÁCH LINH
Giáo viên: Hoàng Trung Hòa
B. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ
KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1. Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm.
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm

−
−
=
→
2. Các quy tắc tính đạo hàm.
2.1. Đạo hàm của các hàm số thường gặp : (u = u(x))
• ( C )
/
= 0 ( C là hằng số )
• ( x )
/
= 1
• (x
n
)
/
= nx
n - 1
với (n
2
≥
;
n∈N)
•
/
2
1 1
x
x
 

 
= −
 ÷
 
với u
≠
0
•
( )
/
/
2
u
u
u
=
=
x2
1

với (x > 0)
2.2. Các qui tắc tính đạo hàm :
•
( )
/
/ /
u v u v± = ±
•
( ) ( )
/ /

0)('
>
xf
với mọi
Kx
∈
thì hàm số
)(xf
đồng biến trên K.
b) Nếu
0)('
<
xf
với mọi
Kx
∈
thì hàm số
)(xf
nghịch biến trên K.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
3
TRƯỜNG THPT CÁCH LINH
Giáo viên: Hoàng Trung Hòa
(Chú ý:
)(' xf
dương trên khoảng nào thì hàm số đồng biến trên khoảng đó;
)(' xf
âm trên khoảng nào thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.)
* Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số:

, với
0
>
h
.
a) Nếu
0)('
>
xf
trên khoảng
);(
00
xhx
−
và
0)('
<
xf
trên khoảng
);(
00
hxx
+

thì
0
x
là một điểm cực đại của hàm số
)(xf
.

là một lân cận của điểm
0
x
thì ta phát biểu
định lý trên bằng lời như sau:
a. Nếu
)(' xf
đổi dấu từ dương sang âm trên lân cận của điểm
0
x
thì
0
x
là một
điểm cực đại của hàm số
)(xf
.
b. Nếu
)(' xf
đổi dấu từ âm sang dương trên lân cận của điểm
0
x
thì
0
x
là một
điểm cực tiểu của hàm số
)(xf
.)
* Bảng biến thiên minh họa định lý

- Sắp xếp các điểm
n
xxx ; ;;
21
theo thứ tự tăng dần, lập bảng biến thiên.
- Áp dụng định lý đưa ra các điểm cực đại, cục tiểu của hàm số.
5. Phương pháp tìm đường tiệm cận.
5.1 Đường tiệm cận ngang.
Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn
( là khoảng dạng:
);(),;(),;(
+∞−∞−∞+∞
ba
)
Đường thẳng:
0
yy
=
được gọi là đường tiệm cận ngang của hàm số y = f(x) nếu
ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
0
)(
lim
yxf
x
=
+∞→
;
0
)(

)(
lim
0
xf
xx

−∞=
−
→
)(
lim
0
xf
xx
;
+∞=
−
→
)(
lim
0
xf
xx
;
6. Dấu của nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai.
6.1 Dấu của nhị thức bậc nhất: f(x) = ax + b (a
≠
0)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

+ Nếu phương trình (*) vô nghiệm
)0(
<∆
thì f(x) luôn cùng dấu a
+ Nếu phương trình (*) có nghiệm kép
)0(
=∆

a
b
xx
2
21
−==
thì f(x) luôn cùng
dấu a và
0)
2
(
=−
a
b
f
.
+ Nếu phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
)0(
>∆
giả sử hai nghiệm đó là
21
; xx

'y
)
- Tính giới hạn ( Tính các giới hạn tại vô cực và tại các điểm không xác định của
hàm số; tìm đường tiệm cận nếu có)
- Lập bảng biến thiên của hàm số.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
x
∞−

a
b
−

∞+
f(x) Trái dấu a 0 Cùng dấu a
6
TRƯỜNG THPT CÁCH LINH
Giáo viên: Hoàng Trung Hòa
* Đồ thị:
- Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố đã xác định vẽ đồ thị hàm số
- Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung
- Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành
- Tính thêm một số điểm đặc biệt
- Chú ý đến tính chẵn, lẻ, tính đối xứng của đồ thị. Tính tuần hoàn của hàm số.
II. KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM PHÂN THỨC.
1. Khảo sát hàm đa thức bậc ba: ( Dạng y = ax
3
+bx
2

lim
và
y
x
+∞→
lim
Chú ý

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
7
TRƯỜNG THPT CÁCH LINH
Giáo viên: Hoàng Trung Hòa
- Lập bảng biến thiên:
* Đồ thị:
- Xác định các yếu tố đã biết trên trục tọa độ Oxy
- Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0 tìm y
- Tìm giao điểm của đồ thị vơi trục hoành: Cho y = 0 Giải phương trình
0
23
=+++
dcxbxax
Tìm x ( Nếu giải phương trình khó quá ta không cần thực
hiện bước này).
- Tìm tâm đối xứng của đồ thị: tính y’’ giải phương trình y’’ = 0 tìm nghiệm
I
x
và
tính
)(
II





−=
=
⇔
2
0
x
x
Dấu của y’
x -
∞
-2 0 +
∞
y’ + 0 - 0 +

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
* Nếu a > 0
⇒
−∞=+++=
−∞→−∞→
)(limlim
23
dcxbxaxy
xx
+∞=+++=
+∞→+∞→
)(limlim

C§
= y(-2) = 0
Hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 0
⇒
y
CT
= y(0) = -4
- Giới hạn:
−∞=−+=
−∞→−∞→
)43(limlim
23
xxy
xx
và
+∞=−+=
+∞→+∞→
)43(limlim
23
xxy
xx
- Bảng biến thiên:
x -
∞
-2 0 +
∞
y’ + 0 - 0 +
y
-
∞

⇒
066
=+
x
x = -1
⇒
y = -2
Bảng giá trị:
x -3 1
y -4 0
y
1
-1
-2
-3
2
O
1
-1
-2
-2
-3
-4
Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x
3
+ 3x
2
+ 3x + 2
* Tập xác định:
RD

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
9
TRƯỜNG THPT CÁCH LINH
Giáo viên: Hoàng Trung Hòa

−∞=+++=
−∞→−∞→
)233(limlim
23
xxxy
xx
và
+∞=+++=
+∞→+∞→
)233(limlim
23
xxxy
xx
- Bảng biến thiên:
x -
∞
-1 +
∞
y’ + 0 +
y
-
∞
1
+
∞

Ví dụ 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = - x
3
+ 3x
2
- 4x +2
* Tập xác định:
RD
=
* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
4 -6x -3x'
2
+=
y
Giải phương trình : y’= 0
⇔
-3x
2
+6x – 4 = 0
⇒
Phương trình vô nghiệm.
⇒
y’< 0
Dx
∈∀

⇒
Hàm số luôn nghịch biến trên D
- Hàm số không có cực trị


∞

* Đồ thị:
- Giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0
⇒
y = 2
- Tâm đối xứng của đồ thị:
66''
+−=
xy
⇒
0''
=
y
⇒
066
=+−
x
x = 1
⇒
y =0
- Bảng giá trị:
x 2
y -2
- Vẽ đồ thị:
-4
-3
-2
-1
1

O
Phương trình
y’ = 0
có nghiệm
kép
x
y
O
x
y
O
Phương trình
y’ = 0
vô nghiệm
x
y
O
x
y
O
2. Khảo sát hàm đa thức bậc bốn trùng phương(dạng: Hµm sè y = ax
4
+bx
2
+ c (a≠0))

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
12
TRƯỜNG THPT CÁCH LINH
Giáo viên: Hoàng Trung Hòa

lim
Chú ý
- Lập bảng biến thiên:
* Đồ thị:
- Xác định các yếu tố đã biết trên trục tọa độ Oxy
- Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0 tìm y
- Tìm giao điểm của đồ thị vơi trục hoành: Cho y = 0 Giải phương trình
0
24
=++
cbxax
Tìm x ( Nếu giải phương trình khó quá ta không cần thực hiện
bước này).
2.2. Chú ý : Khi xét dấu của đạo hàm y’
* Nếu phương trình y’ = 0 có một nghiệm là x
0
ta có bảng xét dấu của y’ như sau:
x -
∞
x
0
+
∞
y’ Trái dấu a 0 Cùng dấu a
*Nếu phương trình y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt là x
1
; x
2
; x
3


−∞=++=
±∞→±∞→
)(limlim
24
cbxaxy
xx
13
TRƯỜNG THPT CÁCH LINH
Giáo viên: Hoàng Trung Hòa
2.3. Các ví dụ:
Ví dụ 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x
4
- 2x
2
+ 2
* Tập xác định:
RD
=
* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
4x 4x'
3
−=
y
giải phương trình:

0'
=
y

+∞∪

và nghịch biến trên khoảng:
)1(0;1)- ;(-
∪∞
- Hàm số đạt cực đại tại: x = 0
⇒

2
=
CĐ
y
- Hàm số đạt cực tiểu tại:
11 =⇒±=
CT
yx
- Giới hạn:
+∞=+−=
−∞→−∞→
)22(limlim
24
xxy
xx
và
+∞=+−=
+∞→+∞→
)22(limlim
24
xxy
xx

0)
Ta có phương trình:
022
2
=+−
tt

⇒
phương
trình vô nghiệm. (không có
giao điểm với trục hoành)
Cho x =
±
2
⇒
y = 10
-2 -1 1 2
-1
1
2
3
4
x
y
Ví dụ 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y= -
2
4
x
-x
2

=⇒
CĐ
y
; hàm số không có cực tiểu
- Giới hạn:
−∞=+−−=
±∞→
±∞→
)
2
3
2
(limlim
2
4
x
x
y
x
x
- Bảng biến thiên:
x
-∞
0
+∞
y’ + 0 -
y
-∞
2
3

=
(t
≥
0)Ta có phương trình:

032
2
=−+
tt
⇔




−=
=
)(3
1
loait
t
⇒
x
11
2
±=⇒=
x
- Bảng giá trị:
x -2 2
y
2

x
y
O

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
16
TRƯỜNG THPT CÁCH LINH
Giáo viên: Hoàng Trung Hòa
Phương trình
y’ = 0
có một
nghiệm
x
y
O
x
y
O
3. Khảo sát hàm phân thức dạng:
dcx
bax
y
+
+
=
( )
0,0
≠−≠
bcadc
3.1. Sơ đồ khảo sát hàm số dạng:

* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
2
)(
'
dcx
E
y
+
=
+) Nếu E > 0
⇒

0'
>
y

Dx
∈∀

⇒
Hàm số luôn đồng biến trên D
+) Nếu E < 0
⇒

0'
<
y

Dx

=
±∞→
limlim

⇒
Tiệm cận ngang:
c
a
y
=
Tính giới hạn
−
−→
c
d
x
ylim
và
+
−→
c
d
x
ylim
( dựa vào bảng biến thiên).
Tiệm cận đứng:
c
d
x
−=

c
d
−
+
∞
y’ - -
y
c
a
-
∞
+
∞
c
a
* Đồ thị:
- Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0 tìm y
- Tìm giao điểm của đồ thị với trục hồnh: cho y =0 Giải phương trình:

0
=
+
+
dcx
bax

a
b
x
−=⇒

x
y
> 0
Dx
∈∀
⇒
Hàm số đông biến trên D
- Cực trò : Không có
- Giới hạn và tiệm cân :
2lim
−=
−∞→
x
y
và
2lim
−=
+∞→x
y
⇒
đường thẳng y = -2 là tiệm cận ngang của đồ thò.
−∞=+∞=
+−
→−→
-1x
limyvà
1
lim
x
y

Cho y = 0 giải phương
trình:
1
42
+
−−
x
x
=0
⇒
x=-2
- bảng giá trị:
x 1 2
y -3 -8/3
Vẽ nhánh bên phải đường
tiệm cận đứng. nhánh còn
lại lấy đối xứng qua tâm
I(-1;-2)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
x
y
.
O

- Giới hạn và tiệm cân :
1lim
−=
−∞→
x
y
và
1lim
−=
+∞→
x
y
⇒
đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thò.
+∞=−∞=
+−
→→ 2x
limyvà
2
lim
x
y
⇒
đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thò
- Bảng biến thiên :
x
-
∞
2
+

−
x
x

⇒
x = 3
- Bảng giá trị:
-2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
2
x=2
y=-1
I
O
1
-3/2
-4/3
3.3. Các dạng của hàm số phân thức dạng:
dcx
bax
y
+

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba
a)
132
23
−+= xxy
b)
533
23
+++= xxxy
c)
863
23
+−−= xxxy
f)
133
23
+++= xxxy
g)
393
23
+−+= xxxy
h)
xxy 3
3
−=

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
20
x -1 1
y -4/3 -2

5
3
2
2
4
+= x
x
y
b)
22
)1()1( += xxy
c)
45
24
+= xxy
d)
32
24
++= xxy
e)
4
xy =
f)
56
24
+= xxy
g)
4
9
2

=
x
x
y
c)
3
2

+
=
x
x
y
d)
2
12
+

=
x
x
y
e)
x
y
1
=
f)
1
12

x
x
y
j)
22
1


=
x
y
C. KT LUN
Nội dung Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s l mt phn quan trng trong
chng trỡnh. Vi thi gian mt tit hc ch gii k c mt bi tp nờn rt khú khc sõu
cho hc sinh cỏc phng phỏp gii. nờn phn chuyờn ny a ra nhm giỳp cỏc em t
mỡnh lm cỏc bi tp, rốn luyn k nng tớnh toỏn, cỏch trỡnh by bi toỏn.
Bằng những bài học rút ra đợc từ thực tế giảng dạy học sinh, đặc biệt là học sinh tr-
ờng THPT, hi vọng rằng phơng pháp giảng dạy đi sâu vào từng chi tiết của các bài toán
nêu ra sẽ giúp học sinh hiểu rõ hơn bài học, từ đó có thể tự mình giải đợc những bài tập từ
đơn giản đến phức tạp, đáp ứng đợc yêu cầu chung của môn học trong chơng trình. Và

Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s
21
TRNG THPT CCH LINH
Giỏo viờn: Hong Trung Hũa
cũng từ đó học sinh có sự say mê học tập, từng bớc nâng cao kiến thức để có thể tiếp cận
đợc với chơng trình thi Đại học, Cao Đẳng và Trung học chuyên nghiệp.
Thông qua quá trình giảng dạy học sinh khối 12 và ôn luyện cho đối tợng học sinh
khá, hc sinh trung bỡnh , tôi đã áp dụng đề tài trên và kết quả cho thấy là :
1/- Học sinh có khả năng nhìn nhận đúng đắn và hiểu rõ bản chất của bài toán trong quá