UBND HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2012-203
MÔN: TOÁN 9
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1(2,5điểm).
a) Không dùng máy tính, chứng minh
6 4 2 3 2 2+ − −
là một số nguyên.
b) Rút gọn biểu thức:
( ) : ( )
x x y y
xy x y
x y
−
+ +
−
với x
≥
0; y
≥
0; x
≠
y.
c) Giải phương trình:
2 1 4 2 3 2 2 2 2 3 3x x x x+ + − − − − − =
.
Bài 2(3,0 điểm)
Cho ba đường thẳng :
(d

) cắt AC tại E.
a) Tính độ dài TE.
b) Chứng minh TE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’)
c) Tính diện tích tứ giác TENM.
Bài 4 ( 0,5 điểm).
1
Cho tam giác ABC cân tại A, có góc A nhọn. Vẽ
BM AC⊥
. Chứng minh hệ thức:
2
AM AB
2
MC BC
1
 
=
 ÷
 
−
Hết
UBND HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 9
Bài Đáp án Điểm
1
a)
6 4 2 3 2 2+ − −
=
2 2

x y x xy y
xy x y
x y
− + +
+ +
−
=
( ) : ( )x xy y xy x y+ + + +
=
2
( ) :( )x y x y+ +
=
x y+
.
0,25
0,25
0,25
0,25
c) Điều kiện:
3
2
x ≥
.
Ta có:
2 1 4 2 3 2 2 2 2 3 3x x x x+ + − − − − − =
⇔
2 2
( 2 3 2) ( 2 3 1) 3x x− + + − − =
0,125
2

), (d
2
) là nghiệm của hệ phương trình
x 2y 3 x 1
y 2x 1 y 1
+ = =
 
⇔
 
= − =
 
=> Giao điểm của (d
1
), (d
2
) là (1; 1)
(d
1
), (d
2
) và (d
m
) đồng quy khi (d
m
) đi qua điểm (1; 1)
Hay: 2m +1 = m+1  m = 0
0,5
0,25
0,25
b) Xét (dm) 2mx+y= m+1  (2x -1)m + y – 1= 0



=


Vậy (d
m
) luôn đi qua một điểm cố định
1
I ;1
2
 
 ÷
 
khi m thay đổi
0,25
0,25
0,25
0,25
c) Nhận xét (d
1
) không vuông góc, không trùng và không song song với (d
2
),
nên (d
1
), (d
2
), (d
m

1
m
4
=
thì (d
1
), (d
2
), (d
m
) cắt nhau tạo thành một tam giác
vuông
0,25
0,5
3
2
3
4
1
2
1
2
1
9
4
I
T
E
O'
O

Tam giác EIH cân tại I nên
µ
µ
2 2
E H
=
(tính chất tam giác cân) (1)
Tam giác EOH có OE = OH (=R) nên là tam giác cân tại O =>
µ
µ
1 1
E H=
(2)
Mặt khác
µ µ
0
1 2
H H 90+ =
(gt) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra
µ µ
0
1 2
E E 90+ =
. Hay
·
0
OET 90=
Suy ra ET là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E (4)
Chứng minh tương tự ta cũng có ET là tiếp tuyến của đường tròn (O’) tại T

1
CE
2
)
=>
2 2
BC BC
MC
CE 2CA
= =
(Hệ thức lượng trong tam giác
vuông) (1)
Mặt khác: AM = AC – MC = AC -
2
BC
2CA
=
2 2
2AC BC
2CA
−
(2)

Từ (1) và (2) suy ra:
2 2 2
AM 2AC BC BC
:
MC 2CA 2CA
−
   

= cotg45
0
Bài 2: (2đ) Cho biểu thức
( ) ( )
( )
2
4 1 4 1
1
1
1
4 1
x x x x
Q
x
x x
− − + + −
 
= × −
 ÷
−
 
− −
a) Tìm điều kiện của x để Q có nghĩa
b) Rút gọn biểu thức Q
Bài 3: (1,5đ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1 4y x x y
M
xy
− + −
=

<
Bài 6: (2đ) Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O ; R), ta kẻ hai tiếp tuyến AB và AC
với đường tròn (B và C là các tiếp điểm). Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường thẳng
đi qua các trung điểm của AB và AC. Kẻ tiếp tuyến MK của đường tròn (O). Chứng
minh MK = MA
6
UBND HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM HSG
MÔN: Toán 9
Bài
Nội dung – Yêu cầu
Điể
m
1
5 3 29 12 5− − −
( )
2
5 3 2 5 3= − − −

5 6 2 5= − −

( )
2
5 5 1
= − −
= 1
= cotg45
0
0,5đ

− −
( ) ( )
2
1 2 1 1 1 2 1 1
2
1
4 4
x x x x
x
Q
x
x x
− − − + + − + − +
−
= ×
−
− +
( ) ( )
( )
2 2
2
1 1 1 1
2
1
2
x x
x
Q
x
x

x
=
−
* Nếu x > 2 ta có:
1 1 1 1 2
2 1
x x x
Q
x x
− − + − + −
= ×
− −
2
1
Q
x
=
−
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25
3
Với điều kiện
1, 4x y
≥ ≥
ta có:
M =
4
1

y y
+ −
− = − ≤ × =

4
1
4
y
y
−
⇒ ≤
(vì y dương)
0,25đ
0,25đ
0,25đ
8
Suy ra: M =
4
1 1 1 3
2 4 4
y
x
x y
−
−
+ ≤ + =
Vậy giá trị lớn nhất của M là
3
4


2 2 2 2 2
0xy x y xyz x y z x y xyz x y
⇔ − − − + − − − =
( ) ( ) ( )
2
0x y xy xyz x y z x y xyz
 
⇔ − − + + + − =
 
( ) ( )
2
0xy xyz x y z x y xyz⇔ − + + + − =
(vì
0x y x y
≠ ⇒ − ≠
)
( )
2
xy xz yz xyz x y xyz
⇔ + + = + +
( )
2
xyz x y xyz
xy xz yz
xyz xyz
+ +
+ +
⇔ =
(vì
0xyz

Kẻ Ex // AC, Ex cắt MQ tại K và cắt MF tại N
Do
∠
EMF = 45
0
nên tia ME, MF nằm giữa hai tia MP và MQ
1
2
MEN MEK MPEK
S S S
∆ ∆
⇒ < =
và
1
2
FEN QEK QAEK
S S S
∆ ∆
< =
(
FEN QEK
S S
∆ ∆
<
vì có cùng chiều cao nhưng
đáy EN bé hơn đáy EK)
Suy ra:
1 1
2 2
MEN FEN APMQ MEF APMQ

M ABC
S S
∆ ∆
<
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
10
C
K
B
A
P
I
Q
M
0,5đ
0,5đ
0,25đ
6
Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AB,AC. Giao điểm của OA và
PQ là I.
AB và AC là hai tiếp tuyến nên AB = AC và AO là tia phân giác
của
∠
BAC
⇒ ∆

2
= (MI
2
+ OI
2
) – (OP
2
– PB
2
) (
∆
BOP vuông tại B)
MK
2
= (MI
2
+ OI
2
) – [(OI
2
+ PI
2
) – PA
2
] (
∆
IOP vuông tại I và PA
= PB)
MK
2

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
ubnd huyỆn thỦy nguyÊn ĐỀ THI CHỌN hỌc SINH GIỎI
phÒng giÁo dỤc vÀ ĐÀO tẠo

MÔN TOÁN 9
Thời gian : 120’ (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (1,5điểm)
a)Tính giá trị của biểu thức :

2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
sin 12 2sin 22 3sin 32 sin 78 2sin 68 3sin 58
os 15 os 75 os 15 os 75 os 15 os 75
A
c c c c c c
+ + +
= + +
+ + +

b) B =
6 2 2 3 2 12 18 128
+ − + + −
Bài 2 (2điểm) Giải phương trình
a/
2 2x x x x− − − − =
b/
3





+






+






+=
333
1
1.
1
1.
1
1
cba
P
.
b/Cho

Câu Đáp án Điểm
Câu 1
(1,5đ)
a/0,75điểm
2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
sin 12 2sin 22 3sin 32 sin 78 2sin 68 3sin 58
os 15 os 75 os 15 os 75 os 15 os 75
sin 12 2sin 22 3sin 32 sin 78 2sin 68 3sin 58
os 15 sin 15 os 15 sin 15 os 15 sin 15
(s
A
c c c c c c
A
c c c
A
+ + +
= + +
+ + +
+ + +
= + +
+ + +
=
2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
in 12 sin 78 ) 2(sin 22 sin 68 ) 3(sin 32 sin 58 )
(sin 12 os 12 ) 2(sin 22 os 22 ) 3(sin 32 os 32 )
1 2 3

+) Điều kiện
2x
≥
14
Đặt
2 , 0t x x t= − − ≥
Ta có
2 4x x t x x t− − = ⇔ − − =
Và
2
2x x t− − =
Vậy
2
4
2
x x t
x x t

− − =


− − =


+) Trừ vế có
( ) ( )
2 2 2x x t t t− − − = − +
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2t t t x x t⇔ − = − + − + −

(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ pt:
3 2
1
1
a b
a b
+ =


+ =

Giải hệ pt ta được nghiệm :
0 1 2
; ;
1 0 3
a a a
b b b
= = = −
  
  
= = =
  
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :
1 2 3
2; 1; 10x x x= = =
.
0,25điểm
0,25điểm
0,25điểm

Ta có
0 0
0 0 0
0
0
0 0
0
(2 3) 3 2,
(2 3) (3 2) 0,
3
2 3 0
2
3 2 0 13
2
y m x m m
x m x y m
x
x
x y
y
= − + − ∀
⇔ + − + − = ∀
−

=

+ =


⇔ ⇔

abc
cba
3111
333
≥++
;
222333333
3111
cbaaccbba
≥++
Suy ra
3
333222
1
1
133
1






+=+++≥
abc
cbacba
abc
A
Ta có a+b+c=6
8

+≥⇒ A
0,25điểm
0,25điểm
0,25điểm
16
Câu 4
(2điểm)
Giá trị nhỏ nhất của A bằng
512
729
khi
2a b c
= = =
.
b/0,75điểm
Tõ gi¶ thiÕt ®Ò bµi suy ra



=+++
=+++
10248
51
cba
cba
Trõ theo tõng vÕ cña 2 ph¬ng tr×nh cña hÖ .
Ta ®îc 3a+b = -2
P(12)-P(-9) =
[ ]
ba ))9(12())9(12()9(12

0,25điểm
17
Câu 5
(3điểm)
Xét hiệu: DI-DK = m-DK=
(
)
2 2
2 2
2
0
2
m a a m
a a m
− −
>
+ −
vì a;m >0 và
2 2
2a a m
> −
Từ đó suy ra K nằm giữa Dvà I, hay I nằm giữa Kvà C. Do đó góc
AKD > góc AIK mà góc AIK = góc ADK nên góc AKD >góc
ADK. Suy ra ADB > góc AKC
Vậy: góc BAD < góc DAK. Tức là góc BAD <
1
2
góc CAD
2/Gọi I là trung điểm của AH.
Dễ chứng minh AO là đường trung trực của BC

= + −
= + + −
= + + + −
= + + −
= + + −
= + −
=
Vậy: MF = MA
0,25điểm
19
0,25điểm
0,25điểm
0,75điểm
( học sinh làm cách khác cũng cho điểm tối đa)
UBND HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN 9
20
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2,0 điểm)
Cho biểu thức
1 1 2x x 1 2x x x x
A :
1 x
1 x x 1 x x
 
+ − + −
 
= − +

= + + +
có giá trị là một số tự
nhiên.
Bài 3: (1,5 điểm) Giải phương trình
a)
2 2
x 3x 2 x 3 x 2 x 2x 3
− + + + = − + + −

b)
x 3
4x 1 3x 2
5
+
+ − − =
.
Bài 4.(4,0 điểm)
Cho AB là đường kính của đường tròn (O;R). C là một điểm thay đổi trên
đường tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của
AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O;R) tại M, MB cắt CH tại K.
a) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O;R).
21
c) Chứng minh K là trung điểm của CH.
d) Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị
lớn nhất đó theo R.
Bài 5: (0,75 điểm). Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện
x 2y≥
, tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:

 ÷
−
− +
 
 
 

( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
 
+ −
− + + − −
 
= +
 
− − + + − +
 
x 2x x 1
x 1 x 2x 2 x x 1
:
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x

( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
 
+ − + −

( )
( )
( )
( ) ( )
1 x x x 1 x
2 x 1
: 2 x 1 :
x x 1 1 x 1 x x
− + + −
−
= −
− − − +

( ) ( ) ( )
1 1 1 x x
:
x
x x 1 1 x 1 x x
− +
= =
− − − +

0.25
0.25
0.25
0.25
b) Tính giá trị của A khi
x 17 12 2= −
(0,5 điểm).
23

với mọi
1
x 0;x ;x 1
4
> ≠ ≠

( )
1
A x 1 1 A 1 A 1 0 A A 1 0
x
A A 0 A A
⇒ = + − > ⇒ > ⇒ − > ⇒ − >
⇒ − > ⇒ >
0.25
0.25
Bài 2
(1,75 điểm)
Ta có: Đồ thị là đường thẳng cắt hai trục tọa độ khi m – 3
0 3m
≠ ⇔ ≠
S
∆
ABO
=
1 1
1 1
2 3
m
m
m

0.25
b) Biểu thức
2
2
2
2008 2008
B 1 2008
2009 2009
= + + +
có giá trị là một số tự
nhiên
24
Ta có :
( )
2 2
2
2
2 2
2008 2008 2008 2008
B 1 2008 1 2008 2.1.2008
2009 2009 2009 2009
= + + + = + − + +
.
( )
2
2
2
2
2008 2008 2008 2008 2008
2009 2.2009. 2009

x 2 0
x 1 x 3 0

− − ≥

+ ≥

⇔ ≥

− ≥


− + ≥

( )
( ) ( )
1 x 2 x 1 1 x 3 x 1 1 0⇔ − − − − + − − =
( ) ( )

− − =
⇔ − − − − + = ⇔

− − + =



− =
⇔ ⇔ =

− = −