Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn

04. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Thầy Đặng Việt Hùng Kiến thức cơ bản:
1) Khoảng cách giữa hai điểm A, B: AB =
B A B A
x x y y
2 2
( ) ( )
− + −

2) Khoảng cách từ điểm
M x y
0 0
( ; )
đến đường thẳng ∆:
ax by c
0
+ + =
:
ax by c
d M d
a b
0 0
2 2
( , )
+ +

AB AC A AB AC AB AC
2
2 2
1 1
. .sin . .
2 2
= −
 

4) Các điểm A, B đối xứng nhau qua điểm I ⇔
IA IB
0
+ =
 
⇔
A B I
A B I
x x x
y y y
2
2

+ =

+ =


5) Các điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng ∆ ⇔
AB
I

6) Khoảng cách giữa đường thẳng ∆ với đường cong (C) bằng khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm M ∈ ∆
và một điểm N ∈ (C).
7) Điểm
M x y
( ; )
được gọi là có toạ độ nguyên nếu
x y
,
đều là số nguyên.

Ví dụ 1: Cho hàm số
y x x
3
3 2
= − + +
(C).
Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua tâm M(–1; 3).
Hướng dẫn giải:
Gọi
(
)
A x y
0 0
;
,
B
là điểm đối xứng với A qua điểm
M
( 1;3)
−

3
3 2
0 0 0 0 0 0
6 3 2 2 3 2 2 6 12 6 0
⇔ = − + + − − − + − − + ⇔ + + =

⇔
x y
0 0
1 0
= −
⇒
=

Vậy 2 điểm cần tìm là:
( 1;0)
−
và
( 1;6)
−

Ví dụ 2: Cho hàm số
x
y x x
3
2
11
3
3 3
= − + + −

3 3
2 3
1 2
1 1 2
0
11 11
3 3
3 3 3 3

= − ≠


− + + − = − + + −



⇔

x
x
1
2
3
3

=


= −


3
3 2
= − + +
(C).
Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d:
x y
2 2 0
− + =
.
Hướng dẫn giải:
Gọi
(
)
(
)
M x y N x y
1 1 2 2
; ; ;
thuộc (C) là hai điểm đối xứng qua đường thẳng d
I là trung điểm của AB nên
x x y y
I
1 2 1 2
;
2 2
 
+ +
 
 
, ta có

1

+ =
⇒ − + + + + + = + ⇒

− + =



Mặt khác:
(
)
(
)
MN d x x y y
2 1 2 1
.1 .2 0
⊥
⇒
− + − =

( ) ( )
(
)
x x x x x x x x x x x x
2 2 2 2
2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2
7
7 2 0
2

1 2
9
1
4
7
5
2
4


+ =
− + =

 
⇔ ⇒
 
+ + =
 
=



vô nghiệm
Vậy 2 điểm cần tìm là:
7 1 7 7 1 7
;2 ; ;2
2 2 2 2 2 2
   
− − +
   


⇒

A B
( 5;0), (1;0)
−
. Gọi
M a a a a C M A B
3 2
1 5
; 3 ( ), ,
3 3
 
+ − + ∈ ≠
 
 

⇒

AM a a a a
3 2
1 5
5; 3
3 3
 
= + + − +
 
 

,

1 ( 1) ( 5) 0
9
+ − + =
⇔

a a a a
4 3 2
2 12 14 4 0 (*)
+ − + + =

Đặt
y a a a a
4 3 2
2 12 14 4 0
= + − + + =
, có tập xác định D = R.
y a a a
3 2
4 6 12 14
′
= + − +
;
y
0
′
=
có 1 nghiệm thực
a y
0 0
7 2043

9
=
. Khi đó hoành độ các điểm P, Q là nghiệm của phương trình:
Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn
x x x
4 2
2 8 0 2
− − = ⇔ = ±
.
Vậy:
P Q
( 2;9), (2;9)
−
hoặc
P Q
(2;9), ( 2;9)
−
.
Ví dụ 6: Cho hàm số
y x mx m
4 2
1
= + − −
(C
m
).
Chứng minh rằng khi m thay đổi thì (C
m
) luôn luôn đi qua hai điểm cố định A, B. Tìm m để các tiếp tuyến

= − = −
.
Ví dụ 7: Cho hàm số
x
y
x
2
2 1
+
=
−
.
Tìm những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(2; 0) và B(0; 2).
Hướng dẫn giải:
PT đường trung trực đọan AB:
y x
=
.
Những điểm thuộc đồ thị cách đều A và B có hoành độ là nghiệm của PT:
x
x
x
2
2 1
+
=
−

⇔


Gọi
M x y
( ; )
∈
(C) và cách đều 2 tiệm cận x = 2 và y = 3.
Ta có:
x x
x y x x
x x
3 4
2 3 2 2 2
2 2
−
− = − ⇔ − = − ⇔ − =
− −
x
x
x
x
x
1
( 2)
4
2

=
⇔ = ± − ⇔

=
−


thì
x
y
x x
0
0
0 0
2 1
1
2
1 1
+
= = −
+ +

Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của M trên TCĐ và TCN thì:
MA x MB y
x
0 0
0
1
1 , 2
1
= + = − =
+

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
MA MB MA MB x
x

.
Vậy ta có hai điểm cần tìm là (0; 1) và (–2; 3).
Ví dụ 10: Cho hàm số
x
y
x
2 1
1
−
=
+
.
Tìm tọa độ điểm M ∈ (C) sao cho khoảng cách từ điểm
I
( 1; 2)
−
tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất.
Hướng dẫn giải:
Giả sử
M x C
x
0
0
3
; 2 ( )
1
 
− ∈
 
 

Khoảng cách từ
I
( 1;2)
−
tới tiếp tuyến
∆
là:
( )
x x x
d
x
x
x
x
0 0 0
4 4
2
0
0
0
2
0
3( 1 ) 3( 1) 6 1
6
9
9 ( 1)
9 1
( 1)
( 1)
− − − + +

2 2
0 0 0
2
0
9
( 1) ( 1) 3 1 3
( 1)
= + ⇔ + = ⇔ = − ±
+
.
Vậy có hai điểm cần tìm là:
(
)
M
1 3;2 3
− + −
hoặc
(
)
M
1 3;2 3
− − +

Ví dụ 11: Cho hàm số
x
y
x
2 4
1
−

−
= +
+

⇔

x mx m x
2
2 4 0 ( 1)
+ + + = ≠ −
(1)
(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B
⇔

m m
2
8 32 0
∆
= − − >
(2)
Khi đó
A x x m B x x m
1 1 2 2
( ;2 ), ( ;2 )
+ +
với
x x
1 2
,
là các nghiệm của (1)

4
= −

Suy ra (1)
⇔

x
x x
x
2
0
2 4 0
2

=
− = ⇔

=


⇒
A(0; –4), B(2; 0).
Ví dụ 12: Cho hàm số
x
y
x
2
1
=
−







AB AC BAC CAK BAH CAK ACK BAH ACK
0 0
; 90 90
+ = + ⇒
= = ⇒ = =

và:


{
AH CK
BHA CKA ABH CAK
HB AK
0
90
∆ ∆
=
= = ⇒ = ⇒
=

Hay:
{
b
b

−

Ví dụ 13: Cho hàm số
x
y
x
3
1
−
=
+
.
Tìm trên hai nhánh của đồ thị (C) hai điểm A và B sao cho AB ngắn nhất.
Hướng dẫn giải:
Tập xác định D =
R {
\ 1}
−
. Tiệm cận đứng
x
1
= −
.
Giả sử
A a B b
a b
4 4
1 ;1 , 1 ;1
   
− − + − + −

⇔

a b
a b
AB a b
ab
a
ab
4
4
4 2 4
16
4
4

=

=

= ⇔ ⇔ ⇔ = =
 
=
=




Khi đó:
(
)

x
x m
x
1
2
− +
= − +
−

⇔

g x x m x m x
2
( ) ( 3) 2 1 0 (1) ( 2)
= − + + + = ≠

Để có 2 điểm A, B thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 2
⇔

g
g
0
(2) 0
∆

>

≠



. Mặt khác
A A B B
y x m y x m
;
= − + = − +

Do đó: AB = 4
⇔

B A B A
x x y y
2 2
( ) ( ) 16
− + − =

⇔

m m
2
2 3 0
− − =

⇔

m
m
1
3

= −

(3 2; 2), (3 2; 2)
− + −

+ Với
m
1
= −
, thay vào (1) ta được:
x y
x x
x y
2
1 2 2 2
2 1 0
1 2 2 2

= +
⇒
= − −
− − = ⇔

= −
⇒
= − +


⇒

A B
(1 2; 2 2); (1 2; 2 2)