CHƯƠNG 2
CƠ SỞ LÝ THUYẾT CHUNG VỀ PHÂN TÍCH ĐỘNG HỌC
CỦA VẬT RẮN TRONG KHÔNG GIAN
2.1 Ma trận cosin chỉ hướng
2.1.1 Định nghĩa ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn
Cho vật rắn B và hệ quy chiếu R = {
)0(
3
)0(
2
)0(
1
e,e,e

}. Trong đó
)0(
3
)0(
2
)0(
1
e,e,e

là
ba véc tơ đơn vị trên các trục Ox
0
, Oy
0
, Oz
0 .
Ta gắn chặt vật rắn vào một hệ

3
)0(
22
)0(
21
)0(
2
3
)0(
12
)0(
11
)0(
1
e.ee.ee.e
e.ee.ee.e
e.ee.ee.e



(2.1)
được gọi là ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn B đối với hệ quy chiếu R
0
.
30
A
O
H×nh 2.0
y
0

3
e

x
1
Nếu ta đưa vào ký hiệu
a
ij
=
e

)0(
i
.
j
e

= cos(
e

)0(
i
.
j
e

), với (i,j = 1,2,3) (2.2)
Thì ma trận cosin chỉ hướng (2.1) có dạng
A =


)0(
222
)0(
1122
eaeaeae

++=
(2.4)
)0(
333
)0(
223
)0(
1133
eaeaeae

++=
Nếu ta ký hiệu e
i
là ma trận cột gồm các phần tử của véc tơ
i
e

trong hệ qui
chiếu R
0
.
Ta có:
e
1

32
22
12
a
a
a
, e
3










=
33
23
13
a
a
a
(2.5)
Tìm ma trận cosin chỉ hướng (2.3) có dạng:
A = [e
1,
e


0aaaaaa
323122211211
=++
31
1aaa
2
32
2
22
2
12
=++

0aaaaaa
333123211311
=++

1aaa
2
33
2
23
2
13
=++

0aaaaaa
333223221312
=++

z
0
là hệ qui chiếu cố định, Hệ qui chiếu R
≡
Oxyz gắn liền với vật rắn B.
Lấy điểm P bất kỳ thuộc vật rắn B. Vị trí của điểm P được xát định bởi vectơ
định vị
OP
=
p
r
.(Hình 2.1)

Hình 2.1
Ký hiệu các toạ độ của điểm P trong hệ qui chiếu động Oxyz là x
p
, y
p
, z
p
, các
toạ độ của điểm P toạ độ hệ qui chiếu cố định Ox
0
y
0
z
0
là
0
p

z
x
y
0
y
x
0
z
0
P
B
32
Thế các biểu thức (2.4) vào hệ thức (2.8) ta được:

+++=
)e.ae.ae.a(xr
)0(
331
)0(
221
)0(
111pp

(2.9)

+++
)e.ae.ae.a(y
)0(
332
)0(

)z.ay.ax.a(e
p33p32p31
)0(
3
++

So sánh các biểu thức (2.7), và (2.10) ta suy ra hệ phương trình:
p13p12p11
)0(
p
z.ay.ax.ax
++=

p23p22p21
)0(
p
z.ay.ax.ay
++=
(2.11)

p33p32p31
)0(
p
z.ay.ax.az
++=
Hệ phương trình (2.11) có thể viết lại dưới dạng ma trận như sau;





p
333231
232221
131211
)0(
p
)0(
p
)0(
p
z
y
x
.
aaa
aaa
aaa
z
y
x
(2.12)
Từ hệ phương trình (2.12) ta rót ra kết luận sau:
Ma trận cosin chỉ hướng A biến đổi các toạ độ của điển P bất kỳ thuộc vật
rắn trong hệ quy chiếu động Oxyz sang các toạ độ của điểm P đó trong hệ quy
chiếu cố định Ox
0
y
0
z
0

3
)0(
22
)0(
21
)0(
2
3
)0(
12
)0(
11
)0(
1
e.ee.ee.e
e.ee.ee.e
e.ee.ee.e



(2.13)
A
x0
(ϕ) =








34
ψ
θ
ϕ
Ma trận (2.14) được gọi là ma trận quay của phép quay cơ bản quanh trục x
0
bằng cách tương tự ta xác định được các ma trận quay cơ bản quanh các trục
y
0
và z
0
(Hình 2.4).
A
y0
(ψ) =










ψψ−
ψψ
cos0sin
010

x
y
x
0
y
0
)0(
2
e

`
2
e

θ
`
x
z
x
0
z
0
)0(
3
e

`
3
e


srr

+=
(2.16)
Đạo hàm phương trình (2.16) trong hệ qui chiếu cố định R
0
ta được:
dt
sd
dt
rd
dt
rd
p
R
D
R
p
R
0
0
0



+=
(2.17)

P
S

P
D
Thay vào công thức (2.17):
pDp
sxvv


ω+=
(2.18)
Biểu thức 2.46 dưới dạng ngôn ngữ đại số:
p
R
D
R
p
R
s
~
000
ωvv
+=
(2.19)
Mặt khác ta biểu diễn phương trình (2.16) dưới dạng đại số:
p
R
D
R
p
R
000

R
00
A.svv
+=
(2.23)
Vì A là ma trận cosin chỉ hướng nên là ma trận trực giao. Từ công thức (2.21)
ta suy ra:
p
R
T
p
R
1
p
00
sAsAs
==
−
(2.24)
Thay (2.24) vào (2.23) ta được:
p
R
T
D
R
p
R
000
. sA.Avv
+=