Nghiêm Đỗ Quyên, Đinh Bích Liên THCS Nguyễn Trờng Tộ - Đống Đa
Phần thứ nhất
Lời nói đầu
I/ Lý do chọn đề tài:
1/ Cơ sở lý luận:
Đi đôi với việc đổi mới chơng trình là đổi mới phơng pháp dạy học. Cốt lõi của
phơng pháp mới là phát huy tính tích cực, chủ động của ngời học. Dạy học phát huy
tính tích cực, chủ động của học sinh là phù hợp tâm lý học sinh bởi tính tích cực, chủ
động sẽ dần tới tự giác, khơi dậy tiềm năng to lớn của học sinh bởi các em đang ở lứa
tuổi a hoạt động, thích khám phá. Dạy học phát huy tính tích cực, chủ động của học
sinh cũng đáp ứng yêu cầu của đất nớc đang bớc vào thời kỳ đổi mới, thời kỳ đòi hỏi
những con ngời lao động phải năng động, tự chủ, giàu tính sáng tạo .
Tuy nhiên phát huy tích cực, chủ động của học sinh nh thế nào, bằng biện pháp
gì, vận dụng trong tiết dạy toán ra sao vẫn luôn là vấn đề làm tôi trăn trở. Qua vài năm
thực hiện theo chơng trình đổi mới của bộ GD - ĐT tôi đã tự rút ra một số kinh
nghiệm cho riêng mình.
Qua thực tế giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi ở lớp 7, tôi thấy bài tập về tỉ lệ
thức rất thờng gặp đối với các em. ứng dụng của dạng toán này rất đa dạng và có tính
sáng tạo.
Trong sách giáo khoa lớp 7, phần kiến thức về tỉ lệ thức đợc trình bày không
nhiều nhng đây lại là một chuyên đề không thể thiếu đợc trong phần bồi dỡng học
sinh giỏi và trong việc giải một số bài tập đại số và hình học.
Bài tập về tỉ lệ thức rất phong phú đòi hỏi học sinh phải có óc phân tích, t duy
lô gíc để thiết lập đợc mối quan hệ giữa các đại lợng để dẫn tới lời giải bài toán do đó
giúp học sinh có t duy sáng tạo trong việc học toán.
Để gây hứng thú, lòng say mê học toán cho học sinh và giúp học sinh dễ dàng
hơn trong việc giải bài tập dạng này, tôi mạnh dạn đi sâu tìm hiểu và nghiên cứu các
bài tập về tỉ lệ thức với mục đích là tài liệu cho bản thân và làm tiền đề cho việc
truyền thụ tri thức đợc tốt hơn.
2/ Cơ sở thực hiện:
Với mong muốn học sinh lớp 7 nắm đợc cách giải chung cho từng loại, biết vận

- Trên cở sở kiến thức cơ bản và bài tập cụ thể, học sinh tự biết khai thác
bài toán.
2/ Yêu cầu về ph ơng pháp giảng dạy:
- Ngời giáo viên nói chung phải sử dụng nhiều phơng pháp và sử dụng
linh hoạt các phơng pháp đó để đảm bảo kiến thức cơ bản và bài tập phải
phù hợp với trình độ học sinh.
- Học sinh phải nắm chắc lý thuyết, dạng bài tập cơ bản chung nhất.
- Học sinh phân tích đợc đề bài để định hớng phân loại bài tập.
- Sử dụng phơng pháp vấn đáp, gợi mở : giáo viên thờng dùng các câu
hỏi tại sao? , nh thế nào?, đề bài yêu cầu gì? , cần vận dụng
kiến thức nào?
- Để phát triển t duy của học sinh cần phải tiếp tục cho học sinh làm bài
tập với các yêu cầu sau:
+ Tự tìm cách giải khác
+ Tự đặt câu hỏi khai thác bài toán
+ Khái quát bài toán tổng quát ( nếu có thể).
3
Nghiêm Đỗ Quyên, Đinh Bích Liên THCS Nguyễn Trờng Tộ - Đống Đa
II/ Lý thuyết cơ bản và một số bài tập ứng dụng:
A/ Lý thuyết:
1/ Tỉ số:
Định nghĩa: Tỉ số của hai số a và b là thơng của hai số a và b (cùng đơn vị đo).
Tổng quát:
k
b
a
ba
==
:
Tính chất:

Định nghĩa:
Tỉ lệ thức là: Một đẳng thức giữa hai tỉ số.
Tổng quát:
d
c
b
a
k
d
c
k
b
a
=







=
=
Tính chất:
+ Từ tỉ lệ thức
.bcad
d
c
b
a

.;;
a
b
b
d
a
c
b
d
d
b
c
a
===
3/ Tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
db
ca
db
ca
d
c
b
a
d
c
b
a


=

+ x, y, z tỉ lệ với a, b, c x : y : z = a : b : c
Hay
c
z
b
y
a
x
==
+ x, y, z tỉ lệ nghịch với m, n, p
pnm
zyx
1
:
1
:
1
:: =
Hay xm = yn = zp.
B/ bài tập :
Dạng 1: bài tập trắc nghiệm
Mục đích: Củng cố lý thuyết và sửa các lỗi sai thờng gặp của học sinh.
Bài 1: Các kết luận sau đúng hay sai:
5
Nghiêm Đỗ Quyên, Đinh Bích Liên THCS Nguyễn Trờng Tộ - Đống Đa
Cho dãy tỉ số:
q
p
d
c

ma
d
c
db
ca
q
p
.
.
=
qb
pc
b
a


=
Bài 2: Cho tỉ lệ thức
q
p
n
m
=
. Trong các tỉ lệ thức sau, tỉ lệ thức nào đúng:
a/
q
n
p
m
=

dc
ba
d
b
c
a
d
c
b
a
+
+
====
bq
ap
db
ca
q
p
d
c
b
a


=
+
+
===
543543

4
điền vào ô trống sao cho tỉ lệ
thức đúng:


=

=


3333
)(
;
aaaa
Với bài tập này, nhiều học sinh sai do không nắm chắc kiến thức về lũy thừa và
kiến thức về tỉ lệ thức.
Giáo viên cần lu ý cho học sinh:
- Lũy thừa bậc chẵn của hai số đối nhau thì bằng nhau
a
2n
= (-a)
2n
(n N).
- Luỹ thừa bậc lẻ của hai số đối nhau thì đối nhau
a
2n+1
= -[(-a)
2n+1
] (n N).
- (-a)

8
24
2
6
;
8
2
24
6
====
Tơng tự với các đẳng thức 6 . 24 = 8 . 18 và 8 . 24 = 6 . 32
Ta có tất cả là 3 . 4 = 12 tỉ lệ thức.
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Lập tất cả các tỉ lệ thức có đợc từ các đẳng thức sau:
a/ 5 . (-14) = (-35). 2
b/ 0,18 . 4,25 = 0,45 . 1,7.
Bài 2: Lập tất cả các tỉ lệ thức có đợc từ các đẳng thức sau:
12 : (- 54) = ( -6,5) : 29,25.
Bài 3: Lập tất cả các tỉ lệ thức có đợc từ các số sau:
a/ 3 ; 6 ; 12 ; 24
b/ 0,4 ; 0,45 ; 3,16 ; 3,555.
Bài 4: Lập tất cả các tỉ lệ thức từ 4 trong 5 số sau:
a/ 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32.
b/ 0,2 ; 0,6 ; 0,18 ; 0,54 ; 0, 162.
c/ 3 ; 9 ; 27 ; 81 ; 243.
Để giải loại bài tập này, học sinh phải vận dụng tính chất thứ 2 và 3 của tỉ lệ thức.
Lu ý học sinh khi lập tỉ lệ thức phải bảo đảm:
+ Các tích chéo bằng nhau hay tích các trung tỉ luôn bằng tích các ngoại tỉ.
+ Lập đợc một tỉ lệ thức đúng, theo tính chất hoán vị ta lập đợc 3 tỉ lệt hứuc
còn lại.

=

+
x
x
( x + 5) . 5 = ( x 3) .7
5x + 25 = 7x 21
25 + 21 = 7x 5x
46 = 2x
x = 23.
Cách 2: áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
2335.4
4
5
3
4
2
8
57
)3()5(
5
3
7
5
5
7
3
5
=+=
=

1
3
8
1
+=

+
x
9
Nghiêm Đỗ Quyên, Đinh Bích Liên THCS Nguyễn Trờng Tộ - Đống Đa
23
203
20
8
5
2
3
8
=
=
==


x
x
x
Ví dụ 2: Tìm x, y biết 3x = 5y và y x = 14
Giải:
Cách 1: áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau


=
=
==
ky
kx
k
yx
3
5
35

Mà y x = 14
3k 5k = 14
-2k = 14
k = -7
Vậy x = 5 . (-7) = -35 và y = 3 . (-7) = -21.
Cách 3: Từ y x = 14 y = 14 + x
3x = 5y
35
yx
=

7
2
14
53
14
3
14
5








==

yy

35)21.(
3
5
==
x
Ví dụ 3: Tìm các số x, y, z biết rằng:
75
;
43
zyyx
==
và 2x + 3y z = 168
Giải:
Trớc tiên ta phải biển đổi để mẫu của hai tỉ số chứa y bằng nhau
282015
282075
201543
zyx
zyzy

186
286030
32
60
3
30
2
282015
z
y
x
zyxyxzyx
Bài tập áp dụng
Bài 1: Tìm x biết:
11
Nghiêm Đỗ Quyên, Đinh Bích Liên THCS Nguyễn Trờng Tộ - Đống Đa
n
xa
m
ax
d
x
x
x
x
c
x
x
b
x

1
1
8
/
Bài 2: Tìm x, y, z biết :
zyxz
yx
y
zx
x
zy
h
zyx
zyxzyx
g
zyx
zyx
e
xyz
zyx
d
xy
yx
c
zyx
z
y
y
x
b

/
585;
375
/
20;
5912
/
90;
52
/
100252;
8
5
;
20
7
/
6243;
934
/
222
Bài 3: Cho
2
3
2
2
1
4
+
=

13
112 zyx
=

=

12
Nghiêm Đỗ Quyên, Đinh Bích Liên THCS Nguyễn Trờng Tộ - Đống Đa
và x 0,9y 0,7z = 7,7.
Dạng 4: Chứng minh tỉ lệ thức
Mục đích: Củng cố, khắc sâu kiến thức tính chất của tỉ lệ thức, tính chất của
dẫy tỉ số bằng nhau.
Rèn kỹ năng biến đổi tỉ lệ thức.
Giúp học sinh phân biệt đợc đâu là giả thiết ( điều đề bài cho), đâu là kết luận
( điều phải chứng minh) để các em trình bày chính xác.
Rèn t duy chứng minh một bài toán bằng nhiều cách
Ví dụ: Cho tỉ lệ thức
d
c
b
a
=
. Chứng minh rằng
dc
c
ba
a

=


.
áp dụng tính chất tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:

dc
c
ba
a
dc
ba
d
b
c
a

=




==
.
Cách 3: Đặt



=
=
==
dkc
bka

kb
bk
bbk
bk
ba
a

=










=

=

=


=

=

=


=


== 11
Bài tập áp dụng:
(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Bài 1: Cho
d
c
b
a
=
. Chứng minh rằng:
qdpb
qcpa
ndmb
ncma
d
dc
ba
dc
ba
c
cd
ab
dc
ba
b
dc


=
+
+
/
;/
/
;
35
35
35
35
/
33
33
3
2
Bài 2: Cho
dc
dc
ba
ba
34
34
34
34

+
=


22
2
811
37
811
37
:
.
6432
dc
cdc
ba
aba
CMR
dcba
Cho

+
=

+
===
Bài 5: Cho a . ( y + z) = b. (z + x) = c . ( x + y) với a, b, c 0
Chứng minh rằng:
)()()( bac
yx
acb
xz
cba
zy

+
++
++
=
333
333
333
333
/
645
645
/
.
Bài 7: Cho
cd
ab
dc
ba
=
+
+
22
22
với a, b, c, d 0.
Chứng minh rằng
d
c
b
a
=

=
++
4422
.
Dạng 5: Toán về chia tỉ lệ
Mục đích: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải
các bài toán thực tế, bài toán đố.
Ví dụ: Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng tham gia trồng cây. Biết rằng một nửa số cây
lớp 7A trồng bằng
3
2
lần số cây của lớp 7B trồng và bằng
4
3
số cây lớp 7C trồng. Số
cây lớp 7B trồng ít hơn tổng số cây hai lớp 7A và 7C là 55 cây. Tính số cây trồng của
mỗi lớp.
15
Nghiêm Đỗ Quyên, Đinh Bích Liên THCS Nguyễn Trờng Tộ - Đống Đa
Giải:
Gọi x, y, z lần lợt là số cây trồng của lớp 7A, 7B, 7C (x, y, z Z
+
)
Ta có
4
3
3
2
2
zyx

==

==
+
+
===
405.8
455.9
605.12
5
11
55
98128912
z
y
x
yzxzyx
(Thỏa mãn điều kiện)
Vậy số cây trồng của lớp 7A, 7B, 7C lần lợt là 60, 45 và 40 cây.
Để giải bài tập này giáo viên cần hớng dẫn học sinh thực hiện theo các bớc sau:
+ Bớc 1: Đặt các đại lợng cần tìm là x, y, z
+ Bớc 2: Dựa vào đầu bài để lập tỉ lệ thức hoặc dẫy tỉ số bằng nhau và có điều
kiện kèm theo.
+ Buớc 3: Dựa vào tính chất dãy tỉ số bằng nhau tìm x, y, z
+ Bớc 4: So sánh với điều kiện và trả lời.
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Hai đoàn tầu xuất phát từ hai thành phố A và B cách nhau 550 km, đi ng-
ợc chiều nhau và gặp nhau tại địa điểm C. Vận tốc của chúng tỉ lệ với 4 và 5, còn thời
gian chạy của chúng tỉ lệ với 5 và 7. Tính khoảng cách từ AC.
Bài 2: Tìm hai phân số tối giản biết tổng của chúng là

Giải :
x, y, z tỉ lệ với 5, 4, 3
345
z
y
x
==
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
3
2
6
4
32
32
6
32
4
32
985
32
985
32
9
3
8
2
345
==
+
+



biết
3
10
=
b
a
.
Bài 2: Cho các số M, N, P tỉ lệ với các số a, b, c. Chứng minh rằng giá trị của
biểu thức
czbyax
PzNyMx
Q
++
++
=
không phụ thộc vào giá trị của x, y, z.
Bài 3: Với a + b + c + d 0, cho
a
d
d
c
c
b
b
a
===
.
Tính giá trị biểu thức:

+
=

=
+
zyx
và 2x
3
1 = 15.
Tính: x + y+z.
Bài 5: Cho dãy tỉ số bằng nhau:
d
dcba
c
dcba
b
dcba
a
dcba 2222
+++
=
+++
=
+++
=
+++
Tính giá trị biểu thức
M =
cb
ad

- Đối với học sinh trung bình yếu, chỉ yêu cầu các bài tập cơ bản trong sách
giáo khoa và những dạng bài tập: trắc nghiệm, lập tỉ lệ thức, tìm x, y, z, toán
đó chỉ những bài toán dễ.
- Giáo viên cần phân loại bài tập cùng với phơng pháp giải từng loại cùng nh
giúp học sinh nhận ra quan hệ giữa các dạng bài tập.
2/ Kết quả
Những biện pháp phát huy tính tích cực của học sinh trong học toán nêu
trên đã đợc tôi áp dụng trong tất cả các tiết dạy toán trong năm học trớc.
Kết quả cho thấy : Bản thân tôi đã biết cách phát huy tính tích cực, chủ
động của học sinh trong học toán, vận dụng thờng xuyên và càng ngày càng hiệu
quả hơn. Về phía học sinh đã thấy thích học toán hơn, không khí học tập của lớp
sôi nổi. Học sinh khao khát tự nguyện tham gia trả lời các câu hỏi của giáo viên,
bổ xung các câu trả lời của bạn, thích đợc phát biểu ý kiến của mình về các vấn đề
đợc nêu ra. Học sinh mạnh dạn nêu các thắc mắc của mình, đòi hỏi giáo viên giải
thích cặn kẽ về các vấn đề giáo viên trình bày cha đủ rõ. Học sinh chủ động vận
dụng linh hoạt những kiến thức kỹ năng đã học để nhận thức các vấn đề mới. Học
sinh chú ý hơn vào các vấn đề đang học, kiên trì làm cho xong các bài tập, không
nản trớc các tình huống khó khăn. Học sinh có khả năng độc lập tự giải quyết các
bài tập nêu ra, tìm tòi những cách khác nhau để tìm cho đợc những lời giải hợp lý
nhất. Một kết quả đáng mừng là các em yêu thích môn toán tăng lên rõ rệt, chất l-
ợng đại trà có nhiều khởi sắc.
Kết quả môn toán năm học tr ớc là :
Giỏi : 41/84 = 48,8% .
Khá :25/84 =29,8 % .
TB :18/84 =21,4% .
Không có yếu kém .
Qua đề tài này giúp bản thân tôi đợc nâng cao hiệu quả dạng dạy và đợc
dùng làm tài liệu giảng dạy và tham khảo.
Giảng dạy chú ý tới cả ba đối tợng sẽ làm cho học sinh đều nắm chắc
kiến thức và có điều kiện ham học toán hơn.

Nghiªm §ç Quyªn, §inh BÝch Liªn –THCS NguyÔn Trêng Té - §èng §a
ý kiÕn cña Héi ®ång khoa häc nhµ trêng
21