Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015
MỤC LỤC
1. TÓM TẮT ĐỀTÀI Trang 2
2. GIỚI THIỆU Trang 2
3. PHƯƠNG PHÁP Trang 3
3.1. Khách thể nghiên cứu Trang 3
3.2. Thiết kế nghiên cứu Trang 3
3.3. Quy trình nghiên cứu Trang 3
3.4. Đo lường và thu thập dữ liệu Trang 4
4. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN KẾT QUẢ Trang 4
5. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Trang 6
TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 7
PHỤ LỤC CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN Trang 8
PHỤ LỤC ĐỀ KIỂM TRA TRƯỚC TÁC ĐỘNG Trang 26
PHỤ LỤC ĐỀ KIỂM TRA SAU TÁC ĐỘNG Trang 29
PHỤ LỤC BẢNG ĐIỂM Trang 31
PHIẾU ĐÁNH GIÁ CỦA TỔ CHUYÊN MÔN Trang 34
PHIẾU ĐÁNH GIÁ CẤP TRƯỜNG Trang 37
PHIẾU ĐÁNH GIÁ CẤP TỈNH Trang 40
Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác - 1 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015
1. TÓM TẮT ĐỀ TÀI
Trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông, đại học, cao đẳng, trung
cấp chuyên nghiệp của các năm, bài toán tính tích phân hầu như không thể thiếu
nhưng đối với học sinh phổ thông bài toán tích phân là bài toán khó và đặc biệt
khó hơn là bài toán tích phân hàm lượng giác.
Học sinh cảm thấy khó vì phải nhận dạng tích phân đồng thời phải biết áp
dụng công thức biến đổi lượng giác thích hợp. Các em mất thời gian nếu không
biết áp dụng công thức biến đổi thích hợp, các em thiếu tự tin ngay cả khi mình
giải ra được đáp số.
Trước thực trạng đó, trước khi học chương nguyên hàm tích phân tôi đã yêu

dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết quả. Kiểm tra tập bài tập thường xuyên,
phát hiện và chỉnh sửa kịp thời cho học sinh từ đó hình thành thói quen cho học
sinh giải bài toán.
Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác - 2 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015
Vấn đề nghiên cứu: Giải pháp “Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp
12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác”
Giả thiết nghiên cứu: bằng cách phân dạng sẽ nâng cao kết quả học tập
của HS lớp 12 trường THPT Lộc Hưng phần tích phân hàm số lượng giác.
3. PHƯƠNG PHÁP
3.1. Khách thể nghiên cứu
Tôi lựa chọn hai lớp 12B1 và 12B2 vì có những thuận lợi cho việc áp dụng
giải pháp này.
- Giáo viên: Hai giáo viên dạy lớp có tuổi nghề tương đương, có lòng yêu nghề,
có tinh thần trách nhiệm đối với giảng dạy và giáo dục HS.
1. Nguyễn Thị Phương Toàn – GV dạy lớp 12B1 (lớp thực nghiệm)
2. Huỳnh Thị Hồng Anh – GV dạy lớp 12B2 (lớp đối chứng)
- Học sinh: Hai lớp được chọn tham gia nghiên cứu cũng có nhiều điểm tương
đồng; cụ thể: hầu hết các em này có học lực trung bình khá, ham học hỏi.
3.2. Thiết kế nghiên cứu
- Lựa chọn thiết kế: kiểm tra trước và sau tác động với hai nhóm tương đương.
- Chúng tôi cho học sinh làm bài kiểm tra trước tác động. Kết quả kiểm tra cho
thấy điểm trung bình của hai lớp 12B1 và 12B2 có sự tương đương nhau. Chúng
tôi dùng phép kiểm chứng T-Test độc lập để kiểm chứng sự tương đương điểm số
trung bình của hai lớp trước khi tác động.
 Bảng kiểm chứng để xác định hai lớp tương đương:
Thực nghiệm (Lớp 12B1) Đối chứng (lớp 12B2)
Trung bình cộng 5.7368421 5.7777778
P
1

khoa chỉ dùng công thức định nghĩa tích phân và các công thức đổi biến.
Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác - 3 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015
- Giáo viên dạy Toán lớp 12B1 là lớp thực nghiệm, giúp học sinh nhận dạng
bằng cách phân dạng, sắp xếp bài tập theo dạng từ dễ đến khó, có bài tập
tương tự có đáp án giúp học sinh tự luyện.
 Tiến hành dạy thực nghiệm:
Tuân theo kế hoạch giảng dạy của nhà trường và thời khóa biểu để đảm bảo
tính khách quan:
Với lớp đối chứng dạy chính khoá và tăng tiết bình thường (dùng công thức
giải), còn lớp thực nghiệm ở ví dụ tôi giúp học sinh nhận dạng, nêu rõ lí do vì sao
ta phải làm như vậy sau đó cho bài tập sắp xếp từ dễ đến khó có đáp án để học
sinh tự luyện rồi đến tiết tăng tiết tôi giải thêm ví dụ, ôn lại các dạng bài tập và
sửa bài tập cho các em.
3.4. Đo lường và thu thập dữ liệu:
- Bài kiểm tra trước tác động do giáo viên nhóm Toán lớp 12 của trường THPT
Lộc Hưng thống nhất.
- Bài kiểm tra sau tác động là bài kiểm tra sau khi học xong bài tích phân và
bài tập ôn chương cũng do nhóm giáo viên trên ra đề kiểm tra. Kiểm tra bằng
hình thức tự luận, nội dung gồm 4 bài tập: tính tích phân hàm lượng giác, 1
bài ở mức độ nhận biết, 2 bài thông hiểu, 1 bài vận dụng.
 Tiến hành kiểm tra và chấm bài
- Sau khi thực hiện dạy xong các nội dung đã nêu ở trên, chúng tôi tiến hành
bài kiểm tra 1 tiết (nội dung kiểm tra như đã trình bày ở trên).
- Sau đó 2 giáo viên tiến hành chấm bài theo hướng dẫn đã thiết kế.
4. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN KẾT QUẢ
4.1 PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ KẾT QUẢ
 Bảng so sánh điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động:
Thực nghiệm (Lớp 12B1) Đối chứng (lớp 12B2)
ĐTB 7 5.8611111

điểm số giữa hai nhóm là 1.1388889. Điều đó cho thấy điểm TBC của hai lớp đối
chứng và thực nghiệm đã có sự khác biệt rõ rệt, lớp được tác động có điểm TBC
cao hơn nhiều so với lớp đối chứng.Và chênh lệch giá trị trung bình chuẩn của hai
bài kiểm tra là SMD = 0,8164244. Từ đó cho thấy việc tác động này có ảnh hưởng
rất lớn đến kết quả học tập.
Phép kiểm chứng T – test ĐTB sau tác động của hai lớp là
p = 0,0082686 < 0,05. Kết quả này khẳng định sự chênh lệch ĐTB của hai nhóm
thực nghiệm và đối chứng không phải là do ngẫu nhiên mà là do tác động có ảnh
hưởng rất lớn đến kết quả. Điều này góp phần giúp cho học sinh yêu thích toán
hơn, giúp các em thấy được việc giải toán tích phân cũng như tính tích phân hàm
số lượng giác không có gì đáng sợ.
Hạn chế:
Đề tài “Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc
Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác” là một trong những giải pháp rất hữu
hiệu góp phần nâng cao dần chất lượng bộ môn Toán của trường THPT Lộc Hưng
và một số trường THPT vùng sâu khác nhưng để sử dụng có hiệu quả thì đòi hỏi
người giáo viên cần có lòng yêu nghề, hết lòng với học sinh uốn nắn kịp thời
những sai sót của học sinh.
Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác - 5 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015
5. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
5.1. Kết luận:
Trên đây là bài viết về “Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường
THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác” tiến hành giảng dạy có
hiệu quả đối với học sinh lớp 12B1 của trường. Khi áp dụng giải pháp này học
sinh có thể giải được các bài tập tính tích phân, biết nhận dạng và áp dụng công
thức tính tích phân hàm số lượng giác với độ chính xác cao.
5.2. Khuyến nghị:
- Đối với các cấp lãnh đạo:
+ Về phía Sở Giáo Dục: nên mở rộng các đề tài đã đạt giải để các giáo viên

Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015
PHỤ LỤC
CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN
1. Cơng thức lượng giác thường sử dụng:
a. Hệ thức cơ bản:
sin
2
a + cos
2
a = 1; tana.cota = 1
+ = + =
2 2
2 2
1 1
1 tan ; 1 cot
cos sin
a a
a a
b . Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina.cosa
= − = − = −
2 2 2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sina a a a a

−
= =
−
2
2
2tan cot 1

tan
1 cos2
a
a
a
d.Công thức biến đổi tích thành tổng:
 
= − + +
 
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
a b a b a b
 
= − − +
 
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b
 
= − + +
 
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
2. Cơng thức ngun hàm:
Ngun hàm số sơ cấp Ngun hàm hàm mở rộng
cos sinxdx x C= +

ax b a
= + +
+
∫
2
1
cot
sin
dx x C
x
= − +
∫
( )
( )
2
1 1
cot
sin
dx ax b C
ax b a
= − + +
+
∫
3. Định nghĩa tích phân :
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một ngun hàm
của f(x) trên đoạn [a; b]. Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay
tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), ký hiệu:
( )
b
a

4
1
2
6
1 sin
sin
x
I dx
x
π
π
−
=
∫
Bài giải:
Ta thấy đề bài biểu thức dưới dấu tích phân ở dạng thương nên phải biến
đổi để không còn dạng thương, mặt khác
2
1
sin x
, sinx có công thức nguyên hàm
nên
( )
3
4 4
1
2 2
6 6
4
6

2
0
3cos
1 sin
x
I dx
x
π
=
+
∫
Bài giải:
Ta thấy biểu thức dưới dấu tích phân ở dạng thương nên phải biến đổi để
không còn dạng thương, tử thức là cosx, mẫu là biểu thức theo sinx nên ta biến đổi
tử theo sinx để rút gọn
( )
2
3
2 2
2
0 0
1 sin cos
3cos
3
1 sin 1 sin
x x
x
I dx dx
x x
π π

I =
Ví dụ 3: Tính
3
3
2 2
4
1
sin cos
I dx
x x
π
π
=
∫
Bài giải:
Ta có công thức nguyên hàm
2 2
1 1
,
sin cosx x
nhưng nếu tách
2 2 2 2
1 1 1
.
sin cos sin cosx x x x
=
được biểu thức dưới dấu tích phân là tích hai hàm
nên
Cách 1:
2 2

= + = −
 ÷
 
∫
2 3
3
=
Vậy
3
2 3
3
I =
Cách 2:
3 3
3
2 2 2
4 4
1 1
sin cos (sin cos )
I dx dx
x x x x
π π
π π
= =
∫ ∫
3
3
2
4
4

∫
Bài giải:
Ta không có công thức nguyên hàm của
2
cot x
nên cần phải biến đổi. Có hai
cách.
Cách1:
( )
4 4
2 2
4
6 6
cot cot 1 1I xdx x dx
π π
π π
= = + −
∫ ∫
( )
4
6
cot 1 3 1 3
4 6 12
x x
π
π
π π π
= − − = − − + + = − − +
Cách 2:
2

 ÷
 
∫ ∫
( )
4
6
cot 1 3 1 3
4 6 12
x x
π
π
π π π
= − − = − − + + = − − +
Bài tập tự luyện
Tính a.
2
3
2
4
3 2cot
cos
x
dx
x
π
π
−
∫
b.
3

4
2
0
sin
cos
x
dx
x
π
∫

Đáp án:
11 3
. 5
3
a −
.2b

.1
4
c
π
−
. 1
2
d
π
−
5 3
.

x
J xdx dx x x
π π
π
π
+
 
= = = + =
 ÷
 
∫ ∫
Vậy
1
4
J
π
=
Ví dụ 2 Tính
2
2
2
0
sin cos2J x xdx
π
=
∫
Bài giải:
2 2
2
2

2 2 2 8 4
x x x
π
π
 
= − + − = −
 ÷
 
Vậy
2
4
J
π
= −
Ví dụ 3:
( )
2
4 4
3
0
cos2 sin cosJ x x x dx
π
= +
∫
Bài giải :
( ) ( )
2 2
4 4 2 2
3
0 0

[ ]
2 2
0 0
1 1
3cos2 cos6 cos2
4 8
xdx x x dx
π π
= + +
∫ ∫
2 2 2
0 0 0
3 1 1
sin 2 sin6 sin2 0
8 64 12
x x x
π π π
= + + =
Vậy J
3
= 0
Bài tập tự luyện
Tính các tích phân
a.
3
2 2
0
cos sin
4
x

− −
∫

e.
4
4
0
sin xdx
π
∫
f.
4
4
0
cos xdx
π
∫
Đáp án:
3 1
.
3 8 2
a
π
+ −
1 3
.
16 6 4
b
π
 

+
 ÷
 
Dạng1.3: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng
Ví dụ 1: Tính tích phân:
3
1
6
sin 2 cos6K x xdx
π
π
=
∫
Bài giải: Biểu thức dưới dấu tích phân là tích của hai hàm nên ta dùng công thức
biến đổi tích thành tổng
( )
3 3
1
6 6
1
sin 2 cos6 sin8 sin 4
2
K x xdx x x dx
π π
π π
= = −
∫ ∫
Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác - 13 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015
3

x x x= +
( )
2
1
cos4 cos2 cos 2
2
x x x= +
( )
1
cos6 cos2 1 cos4
4
x x x= + + +
Do đó
( )
2
2
0
1
cos6 cos2 1 cos4
4
K x x x dx
π
= + + +
∫
2
0
1 1 1 1
sin6 sin2 sin 4
24 8 4 16
x x x x

π
−
∫
Đáp án:
1
.
4
a
1
.
6
b −
3 3
.
32
c
π
−
Dạng 2: Đổi biến số - các dạng thường gặp khi đổi biến
a. Chứa biểu thức mang mũ
b. Chứa mẫu
c. Chứa căn
d. Chứa mũ
Dạng 2.1. Kết hợp 1 trong 4 dạng a,b,c,d với d(sinx) = cosx; d(cosx) = -
sinxdx
Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác - 14 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015
Ví dụ 1 : Tính:
( )
2

1 2sin cos 10
2 8
dt t
L x xdx t
π
 
= + = = =
 ÷
 ÷
 
∫ ∫

Ví dụ 2 : Tính L
2
=
2
3
0
cos xdx
π
∫
Bài giải:
Mặc dù chứa biểu thức mang mũ nhưng ta không đặt t = cosx được vì tích
phân mới không chuyển hoàn toàn về theo biến t.
L
2
=
( )
2 2
3 2

 
∫
Rút kinh nghiệm:
- Dạng tổng quát
2 1 2 2
sin sin sin (1 cos ) sin
n n n
xdx x xdx x xdx
+
= = −
∫ ∫ ∫
.
Đặt t = cosx ( chứa sinx mũ lẻ ta đặt t = cosx)
- Dạng tổng quát
2 1 2 2
cos cos cos (1 sin ) cos
n n n
xdx x xdx x xdx
+
= = −
∫ ∫ ∫
.
Đặt t = sinx ( chứa cosx mũ lẻ ta đặt t = sinx).
- Áp dụng được đối với biểu thức dưới dấu tích phân là tích của sinx và cosx
Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác - 15 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015
Ví dụ 3 : Tính L
3
=
2

π
1
2
t⇒ =
; x =
2
π
0t⇒ =
Do đó L
3
=
( ) ( )
1
0
2
2 2 2 4
1
0
2
1 ( )t t dt t t dt− − = −
∫ ∫
1
3 5
2
0
17
3 5 480
t t
 
= − =

Đặt t = cos2x, dt = - 2sin2xdx
1
sin 2
2
xdx dt⇒ = −
Đổi cận: x =
6
π
1
2
t⇒ =
; x = 0
1t⇒ =
Do đó
1
1
3
2
4
1
1
2
2
1 1 1 11 5
(1 )
16 16 3 24 384 384
t
L t dt t
 
= − = − = − =

4
3
3 3
2
2 2
5
(1 ) ( )
4 6 384
t t
L t t dt t t dt
 
= − = − = − =
 ÷
 
∫ ∫
Vậy
4
5
384
L =
Ta có thể tách cos
3
x = (1 – sin
2
x)cosx
Ví dụ 5 : Tính
2
4
5
0

1
0 1
1 2sin 1 1
ln ln 2
1 sin 2 2 2 2
x dt
L dx t
x t
π
−
= = = =
+
∫ ∫
Vậy
5
1
ln2
2
L =
Ví dụ 6 : Tính
( )
0
6
2
2
sin 2
2 sin
x
L dx
x

= −
thì t = 1;
0x =
thì t = 2
Do đó
( )
2
2 2
6
2 2
1
1 1
2 2
2 4 4
2ln 2ln2 2
t
L dt dt t
t t
t t
−
   
= = − = + = −
 ÷ ÷
  
∫ ∫
Vậy L
6
= 2ln2 - 2
Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác - 17 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015

7
=
( )
2 2
0 0
2cos 1 sin
sin 2 sin
1 3cos 1 3cos
x x
x x
dx dx
x x
π π
+
+
=
+ +
∫ ∫
( )
2
2
2 2
3
2
1 1
1
1
2 1
3
2 2 2 2 44 10 34

x
L e xdx
π
=
∫
Bài giải: Đề bài chứa mũ nên
Đặt t = cos2x, dt = -2sin2xdx
1
sin 2
2
xdx dt⇒ = −
Đổi cận: x =
4
π
0t⇒ =
; x = 0
1t⇒ =
Do đó:
1
1
8
0
0
1 1 1 1
2 2 2 2
t t
L e dt e e= = = −
∫
Vậy
8

Đặt t = cosx, dt = -sinxdx
sin xdx dt⇒ = −
Đổi cận: khi x = 0 thì t = 1; khi x =
3
π
thì
1
2
t =
Do đó:
( )
1
1
2
2
2
2
9
1
1
3
1 ln ln2
2 8
dt t
L t t
t
 
= − − = − − = −
 ÷
 ÷

π
π
∫
( )
4
2 2
6
cos
.
1 sin sin
x
c dx
x x
π
π
−
∫
4
0
sin 4
.
3 cos2
x
d dx
x
π
+
∫
4
3

+
+ −
3
.1 3ln
4
d +
1 2
. ln
2 2
f +
.2ln2 1g −
Dạng 2.2. Kết hợp 1 trong 4 dạng a,b,c,d và
( ) ( )
2 2
sin sin 2 ; cos sin 2d x xdx d x xdx
= = −
Ví dụ 1 : Tính
2
2 3
1
0
sin 2 (1 sin )M x x dx
π
= +
∫
Bài giải: Đề bài chứa biểu thức mang mũ và
( )
2
sin sin 2d x xdx=
nên

2
0
sin 4
1 cos
x
M dx
x
π
=
+
∫
Bài giải : Đề bài chứa mẫu và
( )
2
1 cos sin 2d x xdx+ = −
; sin4x = 2 sin2xcos2x.
Nên
Đặt
2
1 cos sin 2t x dt xdx= + ⇒ = −
Đổi cận khi x = 0 thì t = 2; khi x =
4
π
thì t =
3
2
Do đó:
( )
( )
2

Ví dụ 3 :
2
3
2 2
0
sin 2
cos 4sin
x
M dx
x x
π
=
+
∫
Bài giải: Đề bài chứa căn thức nên
Đặt
2 2
cos 4sin 2 3sin 2t x x tdt xdx= + ⇒ =

Đổi cận khi x = 0 thì t = 1; khi x =
2
π
thì t = 2
Do đó
2
2
3
1
1
2

sin cos
.
4 3sin
x x
b dx
x
π
+
∫
Đáp án:
.ln 2a
7 2
.
3
b
−
Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác - 20 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015
Dạng 2.3 Kết hợp 1 trong 4 dạng a,b,c,d và
( )
( )
2
2
1
tan 1 tan
cos
d x dx x dx
x
= = +
;

= + = +
∫ ∫
Đặt t = tanx
( )
2
1 tandt x dx⇒ = +
Đổi cận: Khi x =
4
π
thì t =1; x =
3
π
thì t =
3
Do đó:
3
3
2
1
1
1
1
2
t
N tdt= = =
∫
Vậy
1
1N =
Ví dụ 2 : Tính

x
x x x
π π π
= = =
− −
∫ ∫ ∫
Đặt t = tanx
2
1
cos
dt dx
x
⇒ =
Đổi cận: Khi x = 0 thì t = 0; x =
6
π
thì t =
3
3
Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác - 21 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015
Dođó:
3 3
4 4
3 3
2
2 2
0 0
t t 1 1
1 1

( )
3
3
3
0
1 1 1 10
ln ln 2 3
3 2 1 2
9 3
t t
t
t
 
 
−
= − + − = + −
 
 ÷
 ÷
+
 
 
 
Vậy N
2
=
( )
1 10
ln 2 3
2

x
= ⇒ = ⇒ = −
Đổi cận: Khi x =
6
π
thì t =
4
3
;khi
4
x
π
=
thì t =1
Do đó
4
4
1
1
4
3
3
3
2 2 2 3 2N dt t= − = − = −
∫
Vậy
4
3
2 3 2N = −
Ví dụ 4 : Tính

sin sin
N dx x dx
x x
π π
π π
= = +
∫ ∫
Đặt
2
1
cot
sin
t x dt dx
x
= ⇒ = −
Đổi cận: Khi x =
4
π
thì t = 1;khi
2
x
π
=
thì t = 0
Do đó
( )
1
1
3
2

π
∫
( )
3
3
4
. cot cotb x x dx
π
π
+
∫
Đáp án
4
.2 3
3
a −
1
.
3
b
Dạng 2.4 Kết hợp 1 trong 4 dạng a,b,c,d và
( ) ( )
sin cos cos sind x x x x dx± = m
Ví dụ1: Tính
4
1
0
cos sin
sin cos
x x

ln 2P =
Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác - 23 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015
Ví dụ 2 : Tính
( )
2
2
2
0
cos2
sin cos 3
x
P dx
x x
π
=
− +
∫
Bài giải:
Đặt t = sinx – cosx + 3
( )
cos sindt x x dx⇒ = +
Đổi cận khi x = 0 thì t = 2;
4
2
x t
π
= ⇒ =
Do đó:
( ) ( )

 ÷
 
∫
Vậy P
2
=
3
ln2
4
−
Ví dụ 3 : Tính
3
2
3
0
cos
sin cos
x
P dx
x x
π
=
+
∫
Bài giải : Ta không tính P
3
độc lập được mà phải dựa vào
3
2
3

∫
2
2
0
0
1 1 1
1 sin 2 cos2
2 4 2 2
x dx x x
π
π
π
   
= − = + = −
 ÷  ÷
   
∫
Tính
( ) ( )
3 3
2 2
3 3
0 0
cos sin 1 sin cos
cos sin
sin cos sin cos
x x x x
x x
P Q dx dx
x x x x

 ÷
 ÷
 
− = =
∫
Giải hệ ta được
3
1
4 4
P
π
= −
Vậy
3
1
4 4
P
π
= −
Bài tập tự luyện: Tính các tích phân:

4
0
cos2
.
sin cos 2
x
a dx
x x
π

sin
4
sin 2 2(1 sin cos )
x
dx
x x x
π
π
 
−
 ÷
 
+ + +
∫
( ĐHKB – 2008)
Hướng dẫn giải câu d. đặt t = 1 + sinx + cosx
Đáp án:
2 2
. 2 1 2ln
3
a
+
− −
8
1
. ln 2
2
b
π
+