Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015
Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015
Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang
1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TIỀN GIANG
TRƯỜNG THPT TÂN HIỆP
TÀI LIỆU LUYỆN THI
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2015
Môn thi: Toán
( Tái bản lần 3, có bổ sung)
2
1
0
( 1)
x
x
e
I dx
e()
2 4 4 2 2 2
[ , ] ; ; ( 6; 18;12)
2 1 1 4 4 2
Luyn thi THPT Quc gia nm 2015
Ti liu luyn thi TON 12 THPT QUC GIA 2015
Nm hc 2014-2015 trng THPT Tõn Hip- Tin Giang
3
Lụứi noựi ủau
Ti liu ny tng hp khỏi quỏt bi toỏn liờn quan n cu trỳc thi thpt quc gian mụn
toỏn nm 2015.
Sau õy l cu trỳc thi:
Nh ta ó bit Cu trỳc thi i hc khi A A1 B D 2015 mụn Toỏn ó cú nhng iu
chnh cp nht mi so vi vi nhng nm va qua. Cú nhng cõu bt di bt dch v khung ni dung,
tuy nhiờn vn cú nhng cõu m khung ni dung ó c thay i.
Ni dung c th v cu trỳc thi i hc mụn Toỏn 2015 .
(Dựng cho cỏc bn ụn thi cỏc khi A, A1, B v khi D)
tr trũn xoay; tớnh din tớch mt cu v
th tớch khi cu.
Cõu VII (1,0 im):
Phng phỏp ta trong mt phng:
- Xỏc nh ta ca im, vect.
- ng trũn, elip.
- Vit phng trỡnh ng thng.
- Tớnh gúc; tớnh khong cỏch t im n ng thng.
Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015
Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015
Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang
4
Câu VIII (1,0 điểm):
Phương trình, bất phương trình; hệ phương trình đại số.
Câu IX (1,0 điểm):
- Bất đẳng thức; cực trị của biểu thức đại số.
- Bài toán tổng hợp.
Mong rằng cuốn tài liệu này sẽ giúp các em rèn luyện khả năng giải bài tập tốt
Chúc các bạn có kỳ thi quốc gia thật nhiều bội thu.
Tp. HCM, ngày tháng 03 năm 2015
Tác giả
Phạm Văn Tuấn
Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015
Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015
Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang
5
Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015
Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015
Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang
6 PHẦN 1:
KHẢO SÁT HÀM SỐ
I. KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ BIỆN LUẬN NGHIỆM
* Dạng cơ bản:
Câu 1: Cho hàm số: y
32
6 9 4x x x
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
()C
của hàm số đã cho.
2) Tìm m để phương trình sau đây có 3 nghiệm phân biệt:
32
6 9 4 0x x x m
Câu 2: Cho hàm số:
42
43y x x
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
()C
của hàm số đã cho.
2) Dựa vào
m
x
x*Chú ý: Nhắc lại các dạng đồ thị sau khi khảo sát
* Dạng nâng cao:
Câu 1: Cho hàm số y =2x
3
+ 3(m-1)x
2
+ 6(m-2)x – 1
1) Khảo sát hàm số ứng với m = 2.
2) Định k để phương trình: 2x
3
+ 3x
2
+ k
2013
= 1 có ba nghiệm phân biệt.
Câu 2: Cho hàm số y = x
4
– 2mx
2
+ m (1) có đồ thị (C), m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2. Tìm m để phương trình sau: x
4
– 2x
2
2. Biện luận số nghiệm của phương trình
3x
3
– 9x
2
-3x + 2k + 7 =0
Câu 6: Cho hàm số
3
4
32
3
1
23
mxxxy
, m là tham số
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m=1
Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015
Tài liệu luyện thi TỐN 12 – THPT QUỐC GIA 2015
Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang
7
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
02
3
4
32
3
1
23
mxxx
.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
()C
tại giao
điểm của
()C
với trục hồnh.
Câu 3: hàm số:
3 2 2
2 ( 1) ( 4) 1y x m x m x m
( m = 2). Viết phương trình tiếp tuyến
của
()C
tại giao điểm của
()C
với trục tung
Câu 4: Cho hàm số
1
23
x
x
y
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của
đồ thị (C) với trục tung.
Câu 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
2
1
thoả mãn
đẳng thức
093
0
y
.
Câu 7: Cho hàm số:
32
33y x x x
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
()C
biết tiếp
tuyến song song với đường thẳng có phương trình
3yx
.
Câu 8: Cho hàm số:
21
1
x
y
x
. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
()C
biết tiếp tuyến có hệ
số góc bằng – 4.
Câu 9: Cho hàm số:
22
(4 )y x x
. Tìm toạ độ của điểm A thuộc
M
< 0 và y
M
= 3.
Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015
Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015
Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang
8
Câu 13: Cho hàm số:
42
1 3 5
4 2 4
y x x
. Viết phương trình tiếp tuyến của
()C
tại điểm cực tiểu
của nó.
III. BÀI TOÁN ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN ( SỰ BIẾN THIÊN)
Câu 1: Cho hàm số
y m x mx m x
32
1
( 1) (3 2)
3
(1).
a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên tập xác định của nó
x2
sinx<x , với 0 < x ≤ /2
3/ sinx + tanx > 2x , với 0 < x ≤ /2
4/
xxx 0
2
1
sinsin
3
4
23
IV. BÀI TOÁN CỰC TRỊ
Câu 1: Cho hàm số
mxxmxy 9)1(3
23
, với
m
là tham số thực. Xác định
m
để hàm số
đã cho đạt cực trị tại
21
,xx
sao cho
2
21
xx
và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng d:
yx43
.
Câu 4: Tìm m để hàm số
1)52()1(
3
2
3
xmxm
x
y
có hai cực trị.
Câu 5: Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 3mx + 3m +4.
a/ Định m để hàm số có cực đại tại x = 2
b/ Định m để hàm số có cực trị tị = -1
c/ Định m để hàm số có cực tiểu tại x = 3
Câu 6: Cho hàm số
2
3
2
1
24
mxxy
. Tìm m để hàm số có cực trị:
1) có 1 cực trị
2) có 3 cực trị
y x mx m x
(m là tham số) có đồ thị là (C
m
). Xác định m để
(C
m
) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung.
Câu 10: Cho hàm số
32
32y x x mx
(m là tham số) có đồ thị là (C
m
). Xác định m để (C
m
) có
các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng
yx1
.
Câu 11: Cho hàm số
y x m x m m x
3 2 2
(2 1) ( 3 2) 4
(m là tham số) có đồ thị là (C
m
). Xác
định m để (C
m
) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung
Câu 12: Cho hàm số
y x x mx m
32y x x mx
có đồ thị là (C
m
).Tìm m để (C
m
) có các điểm cực đại, cực
tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng d:
yx43
.
Câu 17: Cho hàm số
y x mx
42
13
22
(1). Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà
không có cực đại.
Câu 18: Cho hàm số
4 2 2
( ) 2( 2) 5 5 y f x x m x m m
m
C()
.Tìm các giá trị của m để đồ
thị
m
C()
của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân.
Câu 19: Cho hàm số
23
tại 2 điểm phân biệt. ( Đs:
0, 1kk
)
Câu 2: Cho hàm số
y x mx m x m
3 2 2 2
3 3( 1) ( 1)
(
m
là tham số) (1).Tìm các giá trị của
m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương.
Câu 3: Cho hàm số
32
12
33
y x mx x m
có đồ thị
m
C()
.Tìm m để
m
C()
cắt trục hoành tại 3
điểm phân biệt có tổng bình phương các hoành độ lớn hơn 15.
Câu 4: Cho hàm số
mxxxy 93
23
, trong đó
m
là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của
2
x
xx
y
trên [ 0; 2]
c) y = x – sin2x trên
;
2
d) y = cos2x + 2sinx – 3 trên
6
5
22
44 xxy
trên đoạn [ 0 ; 2 ].
c.
1
1
2
2
xx
x
y
d.
5)5)(1(15 xxxxy
Câu 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
23
3
xxy
trên đoạn [-3;0].
Câu 7: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
xxxfy ln.)(
trên đoạn
[1 ; e
2
].
Câu 8: Tìm GTNN-GTLN của hàm số sau y = x(lnx-2) trên đoạn
3
].
Câu 13: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
2
( 1)
x
y e x x
trên đoạn [0;2].
Câu 14: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
2
22
1
xx
y
x
trên đoạn
1
2
[ ;2]
Câu 15: Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số
2
+
. ( CĐ 2014)
3.
1
7 2.7 9 0
xx
4.
12
9 3 18 0
xx
5.
2 2 2
2 2 3 0
xx
6. 2
x+4
+ 2
x+2
= 5
x+1
+ 3.5
x
7.
xxxxxx
357523212
222222
13.
04.66.139.6
xxx
(*)
14.
xxx
10.725.124.5
15.
6223223
tantan
xx
16.
055.625
1
xxx
17.
01022
312
xx
18. 5
x
+ 12
2
3
3
2log log (3 ) 14 0xx
5. lnx + ln (x+2)= lnx
2
6.
2 0,5
log ( 3) log ( 1) 3xx
7.
0
3
2
log)]3)(2[(log
44
x
x
xx
8.
08log
4
loglog
2
xx
11.
1)7(log)1(log)1(log
2
1
2
1
2
1
xxx
12.
03log8log
3
2
3
xx
13.
4log9log
8
2
2
xx
14.
96log10log
22
Câu 3: Giải bất phương trình mũ
1.
2
2
2
2
1
9 3.
3
xx
xx
2.
11121112
32
2
xx
3.
x
x
xx
8
2
824
3.
1)4(log
2
5
1
xxLuyện thi THPT Quốc gia năm 2015
Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015
Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang
12
Câu 5: Giải phương trình mũ – logarit sau
1)
2x 2 x 1
2 3.2 2 0
2)
2x 1 x 1
5 5 250
3)
4x 8 2x 5
3 4.3 27 0
3 5 3 5 2
x
10)
x x x
6.25 25.10 25.4 0
11)
x 1 x x 1
9 5.6 4 0
12)
2x 1 x 2x 1
3 2.15 5 0
13)
x x 1 x
25 20.10 3.4 0
14)
x x x
125.3 15 5 125
15)
22
3 9 5
log x 1 log x 1 log 25 0
2)
22
2 2 2
log x 2 log x 10 4log 3
3)
x x 1
24
log 2 1 .log 2 2 1
4)
2
33
2log x 3 5log 9x
5)
42
2
1
log x 3 2log x 1 log 4x
2
6)
4x 9 2x
22
33
log x 2log x 6 0
11)
4 2 2 4
log log x log log x 2
12)
x 3 x 3
22
log 25 7 2 log 5 1
13)
2
14
2
2
1
log x log x 1 1 2log 2x 3
4
14)
1
3
.
Câu 7: Giải bất phương trình :
1)
2
2
2x x
x 2x
1
9 2 3
3
2)
x 1 x 3
x 3 x 1
10 3 10 3
Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015
Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015
Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang
13
33
1
log x 5x 6 log x 2 log x 3
2
6)
xx
2
log 7.10 5.25 2x 1
.
Câu 8: Giải hệ phương trình :
1)
22
22
22
x xy y
log x y 1 log xy
x,y
3 81
4)
22
53
9x 4y 5
log 3x 2y log 3x 2y 1
.
()
()
( ). '( ) ( )
ub
b
a u a
f u x u x dx f t dt
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt
'
( ) ( )t u x dt u x dx
Bước 2: Đổi cận :
()
()
x b t u b
x a t u a
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến
t ta được
()
()
( ). '( ) ( )
ub
b
a u a
I f u x u x dx f t dt
x
thì đặt
1
t
x
.
- Nếu tích phân chứa
cosxdx
thì đặt
sintx
.
- Nếu tích phân chứa
sin xdx
thì đặt
costx
.
- Nếu tích phân chứa
2
cos
dx
x
thì đặt
tantx
.
- Nếu tích phân chứa
2
sin
dx
x
thì đặt
2
23
3
sin
xcos xdx
3.
2
0
sin
13
x
dx
cosx
3.1
4
0
tan
xdx
4.
4
6
32
0
1
x x dx
9.
1
2
3
0
1
x
dx
x
10.
1
32
0
1
x x dx
11.
2
3
1
1
1
dx
2
1
2
0
x
e xdx
16.
2
32
3
sin
xcos xdx
17.
2
sin
4
x
e cosxdx
18.
2
4
x
22.
2ln 1
1
e
x
e
dx
x
23.
2
2
1 ln
ln
e
e
x
dx
xx
24.
2
2
1
(1 ln )
1
1
dx
xx
29.
1
23
0
5
x x dx
30.
2
4
0
sin 1 cos
x xdx
31.
1
0
x
e dx
32.
x
dx
x
36.
4
2
0
1 sin2
cos
x
dx
x
37.
1
0
1
1
x
dx
e
. 38.
4
0
x
41.
0
2
2
22
23
x
dx
xx
42.
2
32
0
cos sin
x xdx
43.
2
5
0
cos
47.
3
1
1
ln 2
e
dx
xx
48.
4
0
1
cos
dx
x
49.
2
1
1 ln
e
x
dx
x
50.
1
4
sin cos
1 sin 2
xx
dx
x
53.
2
sin
0
( cos )cos
x
e x xdx
54.
1
1 3ln ln
e
xx
dx
x
4
1
x
dx
x
59.
6
0
1 4sin .cos
x xdx
60.
ln3
3
ln 2
.1
xx
e e dx
61.
2
5
0
cos
2
4
0
1 2sin
1 sin2
x
dx
x
65.
8
2
3
1
1
dx
xx
66.
7
3
3
2
0
1
dx
x
Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015
Tài liệu luyện thi TOÁN 12 – THPT QUỐC GIA 2015
Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang
16
70.
2
23
0
1
x x dx
71.
23
2
5
4
dx
xx
72.
1
32
0
1
x x dx
0
(1 )
x x dx
77)
6
2
0
cos
6 5sin sin
x
dx
xx
78)
ln5
ln3
23
xx
dx
ee
79)
2
4
e x xdx
82)
1
ln
1 ln
e
ex
dx
xx
83).
1
2
3
0
2
1
x
x
dx 84).
2
1
0
x
xe dx
85).
3
x
x
dx
89).
3
1
6 2ln
e
x
x
dx 90).
3
1
1 ln
e
x
x
dx 91) I =
1
2010
0
(1 )
x x dx
92). I =
2
ln2
1
x
x
e
dx
e
96). I =
ln 2
0
1
x
x
e
dx
e
97) I=
7
3
0
2
1
x
- Dạng chứa
22
ax
: Đặt x = asint, t
;
22
(a>0)
- Dạng chứa
22
1
ax
: Đặt x = atant, t
;
22
(a>0)
* Dạng 2: đổi biến số
VD: 1)
2
x dx
2)
1
2
0
1
1
dx
x
3)
1
2
0
1
4
dx
x
4)
2
2
2
2
0
1
x
dx
x
0
4
x dx
9).
22
0
;0
a
a x dx a
10).
22
0
a
dx
ax
11).
1
2
2
2
1
2
1
b
a
a a a
f x dx udv uv vdu
* Chú ý : - Đặt u theo thứ tự ưu tiên : Logarit(lôcNêpe), đa thức, …
- Sau khi đặt u, toàn bộ phần còn lại là dv ( Ta cần chọn dv sao cho dễ
tính được v)
Đặt
)(
)( hamnguyenlayv
hamdaolaydxdu
dv
u
Ta thường gặp ba loại tích phân như sau:
P x f x dx
P x f x dx u P x
P x e dx
: Trong đó
()
n
Px
là đa thức bậc n.
“ Ta phải tính n lần tích phân từng phần với n là bậc của đa thức ”
*Loại 2:
( ).ln ( ). ln ( )
b
nn
a
P x f x dx u f x
: Tính n lần tích phân từng phần.
* Loại 3:
.sin .
.cos .
.cos .
b
x
a
e x dx
.Ta lại áp dụng TPTP với cách đặt u như trên.
- Từ hai lần TPTP ta có mối quan hệ giữa hai tích phân và dễ dàng tìm được kết
quả.
VD:
1)
2
ln
5
1
x
dx
x
2)
2
cos
0
x xdx
xdx
5)
2
1
ln
e
x xdx
6)
3
2
0
sin
cos
xx
dx
x
7).
2
2
1
ln(1 )
x
dx
11)
1
ln
e
x
dx
x
12)
2
0
(2 7)ln( 1)
x x dx
13)
3
2
2
ln( )
x x dx
14).
2
0
sin x
x dx
15).
x
e c dx
19).
1
0
x
xe dx
20).
1
ln
e
x xdx
21).
2
1
ln
e
x xdx
22).
2
1
ln
e
x
0
( os )sin x
x c x dx
27).
22
0
sin x
x
e dx
28).
2
2
1
ln(1 )
x
dx
x
29).
2
2
0
sin3x
3
0
.sin5
x
e xdx
34).
1
(2 2)ln
e
x xdx
35).
4
0
5 sin2
x
e xdx
36).
4
0
sin
K x xdx
0
cos
x x dx
41).
1
3
0
x
x e dx
42).
2
2
0
sin
x x dx
43).
1
2
0
( 2)
x
x e dx
44).
x xdx
48).
1
0
32
x
x
dx
e
49).
1
0
( 3)2
x
x dx
50).
3
2
1
3 1 ln
x xdx
51).
2
PHƯƠNG PHÁP: f(x) là hàm hữu tỉ:
()
()
()
Px
fx
Qx
– Nếu bậc của P(x)
bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức.
– Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng
của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định).
Chẳng hạn:
1
( )( )
AB
x a x b x a x b
2
22
1
, 4 0
( )( )
A Bx C
vôùi b ac
xm
x m ax bx c ax bx c
I
x
2
2
3
1
1 x
I dx
xx
( đặt ẩn phụ)1.
5
2
3
21
32
x
dx
xx
2.
2
57
32
xx
dx
x
5.
1
2
0
4 11
56
x
dx
xx
6.
1
0
22
3
1
x
dx
0
cos
11 7sin cos
xdx
xx
IV. PHƯƠNG PHÁP 4: TÍCH PHÂN CÓ DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI
DẠNG 1: Giả sử cần tính tích phân
()
b
a
I f x dx
, ta thực hiện các bước sau
Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có
BXD:
x
a
1
x
2
x
b
Tách
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
I f x g x dx f x dx g x dx
rồi sử dụng dạng 1 ở
trên.
Cách 2.
Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).
VD:
2
1
1I x x dx1.
3
2
3
1
x dx
2.
2
2
0
43
+ f(x) =
1
( )( )
R
x a x b
đặt
t x a x b
VD:
2
3 9 1
x
I dx
xx
1
2
0
2
( 1) 1
x dx
I
xx
1.
7
3
0
2
(B_13);
2 2 1
3
I
5.
4
0
41
2 1 2
x
dx
x
(D_11);
34 3
10ln
35
I
6.
23
2
5
4
Câu 1.
3
2
0
sin tanI x xdx
Câu 2.
2
0
sin2 .cos
1 cos
xx
I dx
x
Câu 3.
2
32
0
(cos 1)cos .I x x dxVII. PHƯƠNG PHÁP 7: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG:
Bài toán tính diện tích hình phẳng:
1). Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]. khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b là:
()
+ Cách 2: Phương pháp đại số: (xét dấu f(x) )
Giải phương trình: f(x) = 0 (*)
Giải (*) để tìm nghiệm x trên đoạn
;ab
.
Nếu (*) vô nghiệm trên khoảng (a;b) thì ta xét dấu f(x) trên đoạn
;ab
để bỏ dấu giá trị tuyệt
đối.
Chú ý:
+ Diện tích S luôn là một giá trị dương.
+ Với câu hỏi: “Tính diện tích giới hạn bởi ( C): y=f(x) và trục hoành” thì ta phải tìm thêm 2 đường
x=a, x=b để làm cận tích phân. Đó chính là 2 nghiệm của phương trình f(x) = 0 .
+ Phần lớn dạng toán này ta nên dùng phương pháp đồ thị hiệu quả hơn, một số ít phải dùng phương
pháp đại số như hàm lượng giác vì vẽ đồ thị khó.
2). Dạng 2: Cho hai hàm số y = f
1
(x) và y = f
2
(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó diện tích của hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số f
1
(x), f
2
(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là: 12
2
) nằm trên (C
1
) thì
21
( ) ( )
b
a
S f x f x dx
+ Cách 2: Phương pháp đại số: (xét dấu f(x) )
Giải phương trình: f
1
(x) = f
2
(x) (*)
Giải (*) để tìm nghiệm x trên đoạn
;ab
.
Xét dấu hiệu f
1
(x) - f
2
(x) để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
BÀI TOÁN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY:
Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là:
1
24
1
S x x dx
x
y
)(H
a
b
)(:)(
1
xfyC
)(:)(
2
xgyC
ax
bx
O
a
b
0y
)(:)( xfyC
b
ax
bx
x
y
O
Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015
22
2
2
11
1 2 1
(1 ) (1 )V dx dx
xx
x
2
1
1 1 1 3
2 ln 2 2 ln 2 1 2 ln1 2ln 2
2 1 2
V x x
x
(đvtt)
BÀI TẬP TỔNG HỢP:
Phần 1: Tính diện tích hình phẳng
Loại 1:
1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
xxy
xxy
2) Tính diện tích giới hạn bởi
4,
34
2
xOx
xxy
( ĐS: S =
)
Loại 3:
1) Tính diện tích giới hạn bởi
1
2
2
y
y
y
x
xPhần 2: Tính thể tích hình phẳng
Loại 1:
Luyện thi THPT Quốc gia năm 2015
Tài liệu luyện thi TỐN 12 – THPT QUỐC GIA 2015
Năm học 2014-2015 – trường THPT Tân Hiệp- Tiền Giang
23
1) Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn
x
Ox
xxy
0
24
quay quanh Ox.
Loại 4: Tính thể tích vật thể xoay giới hạn
xy
xy
2
4
quay quanh Ox.
Loại 5: Tính thể tích vật thể xoay giới hạn
Ox
xy
xy
2
quay quanh Ox.
VIII. BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y
2
= 2x +1 và y = x -1
Bài 4: Tính tích phân: I =
2/
0
2
.cos).sin(
dxxxx
(TNTHPT năm 2004 – 2005 )
Bài 5: a. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò các hàm số :
y = e
x
, y = 2 và đường thẳng x = 1.
b. Tính tích phân: I =
2/
0
2
cos4
2sin
dx
x
x
(TNTHPT năm 2005– 2006)
Bài 6: Tính tích phân J =
e
Bài 9: Tính tích phân I
1
22
0
( 1)x x dx
(TNTHPT năm 2009– 2010)
Bài 10: Tính các tích phân sau:
1
45
e
lnx
I dx
x
(TN 2010-2011);
Bài 11: Tính các tích phân sau
ln2
2
0
( 1) ;
xx
I e e dx
(TN 2011-2012);
Bài 12: Tính tích phân sau:
2
0
( 2) .
x
x e dx
(D06);
2
5 3e
4
I
Bài 16:
2
s inx
0
ox osxdxe c c
(D05) Bài 17:
.1 3ln ln
1
e
xx
dx
x
(B04);
116
135
Bài 20:
2
1
ln
(2 ln )
e
x
I dx
xx
(B2010);
13
ln
32
I
Bài 21:
3
1
1
1
x
e
I x xdx
(D2007);
4
51
32
e
I
Bài 24:
ln5
ln3
23
xx
dx
I
ee
(B2006);
3
ln
2
33
I
Bài 27:
2
2
2
1
1
lnxdx
x
I
x
(A_13);
53
ln2
22
I
Bài 28:
1
22
0
2
12
xx
x
Đặt
2
1
ln
2
ux
du dx
x
dv xdx
vx
. Thay vào ngun hàm F(x) ta được:
2
22
( ) 2 ln ln ln
2
x
F x x xdx x x xdx x x C
Do
(1) 1F
nên
2
2
1 1 1 1
1 ln1 1 1 1
2 2 2 2
C C C
Vậy,
Copyright: Tài liệu đại học ©