BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ NÔNG NGHIỆP VÀ PTNT
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THUỶ LỢI

LÊ THỊ HUỆ

NGHIÊN CỨU TÍNH TOÁN TẤM TRÊN NỀN VÀ NỀN
CỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT

Hà Nội, 2010
1
Học viên: Lê Thị Huệ Lớp 15C2
MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

MỞ ĐẦU 4

1. Sự cần thiết của đề tài 4

2. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài 6

2.1. Mục đích 6

2.2. Nhiệm vụ 6

3. Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu 6
CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ KẾT CẤU DẠNG TẤM, NỀN VÀ
CỌC 7

1.1. Phương trình cơ bản tính toán tấm chịu uốn [9] 7

1.2. Các phương pháp giải bài toán tấm 12

1.2.1. Phương pháp giải tích [9] 12


2
Học viên: Lê Thị Huệ Lớp 15C2
2.1.3. Mô hình hỗn hợp 32

2.2. Mô hình nền hai hệ số của Pasternak 35

2.3. Mô hình cọc [6, 12] 36

CHƯƠNG 3: TÍNH TOÁN TẤM, TẤM TRÊN NỀN VÀ NỀN CỌC BẰNG
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 39

3.1. Giải bài toán tấm bằng phương pháp phần tử hữu hạn 39

3.1.1. Trình tự giải bài toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn 39

3.1.2. Tính kết cấu theo mô hình tương thích 41

3.2. Mô hình các loại phần tử và xây dựng các ma trận độ cứng, véc tơ tải phần
tử trong bài toán tính tấm trên nền đàn hồi hai hệ số 46

3.2.1. Mô hình các loại phần tử trong bài toán tính tấm trên nền đàn hồi hai hệ
số……………………………………………………………………………… 46

3.2.2. Ma trận độ cứng của các loại phần tử tấm trên nền và nền ngoài phạm vi
tấm 46

3.3. Mô hình các loại phần tử và xây dựng các ma trận độ cứng, véc tơ tải phần
tử trong bài toán tính tấm làm việc đồng thời với nền và cọc 61

3.3.1. Đường lối chung để thiết lập thuật toán 61

3.4.11. Chức năng di chuyển nút 69

3.4.12. Kết cấu mẫu 69

3.4.13. Định nghĩa đặc trưng hình học và vật liệu của các phần tử 70

3.4.14. Gán các đặc trưng hình học và vật liệu vào các phần tử của kết cấu 70

3.4.15. Gán liên kết 70

3.4.16. Định nghĩa trường hợp tải trọng 70

3.4.17. Gán tải trọng vào kết cấu 71

3.4.18. Tổ hợp tải trọng (Load Combinations) 73

3.4.19. Sắp xếp lại mã nút và mã phần tử (Change Labels) 73

3.4.20. Kiểm tra số liệu nhập vào 74

3.4.21. Phân tích kết cấu đã mô hình hoá 74

3.4.22. Hiển thị hình dạng biến dạng của kết cấu 75

3.4.23. Hiển thị nội lực hoặc ứng suất của các thành phần kết cấu 75

CHƯƠNG 4: ÁP DỤNG CHO CÁC VÍ DỤ BẰNG SỐ 77

4.1. Số liệu đầu vào 77


của công trình và yêu cầu về công nghệ.
Mặt khác độ cứng của công trình trên nền cũng ảnh hưởng rất lớn đến sự phân
bố ứng suất tại mặt tiếp xúc giữa công trình và nền, nó xác định khả năng tự cân đối
độ lún của công trình. Công trình có độ cứng càng lớn càng đảm bảo độ lún được
phân bố đều, ngược lại độ cứng công trình càng nhỏ càng dễ dẫn đến sự lún không
đều và biến dạng của công trình càng tăng lên.
Vì vậy, trong quá trình thiết kế, việc tính đến sự làm việc đồng thời giữa nền
và công trình nằm trên nó là vô cùng cần thiết. Nghiên cứu sự làm việc của tấm nói
chung và tấm có lỗ nói riêng trên nền là một bài toán kết cấu rất hay gặp trong thực
tế. Tấm làm việc trên nền được sử dụng rộng rãi trong các công trình như tấm mặt
đường, đường sân bay, móng bè trong các công trình xây dựng (móng nhà dân
dụng). Trong công trình thủy lợi, kết cấu tấm làm việc trên nền rất được phổ biến
như móng trạm bơm, móng cống … Tính tấm có lỗ trên nền đàn hồi và cọc là một
bài toán tiếp xúc phức tạp nếu xét từ góc độ của lý thuyết đàn hồi. Tuy nhiên, trong
5
Học viên: Lê Thị Huệ Lớp 15C2
thời đại ngày nay, với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin, việc giải các
bài toán kết cấu bằng phương pháp số đã trở nên dễ dàng. Mô hình nền thường được
sử dụng trong tính toán là mô hình có một hoặc hai hệ số nền. Các phần mềm
thương mại tính toán kết cấu của nước ngoài đã giải quyết được bài toán này bằng
phương pháp phần tử hữu hạn, tuy nhiên chúng lại có giá thành khá cao so với khả
năng tài chính của nhiều cơ quan thiết kế trong nước. Ở nước ta, tính toán tấm trên
nền có hai hệ số cũng đã được một số tác giả giải bằng phương pháp sai phân hữu
hạn nhưng kết quả để ứng dụng thực tế còn hạn chế do chúng chưa giải được các
bài toán có điều kiện biên phức tạp. Gần đây đã xuất hiện một số công trình nghiên
cứu giải bài toán này bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Trong khuôn khổ luận
văn này, tác giả đề cập đến việc tính toán tấm chữ nhật đẳng hướng trên nền đàn hồi
và cọc theo mô hình nền hai hệ số bằng phương pháp phần tử hữu hạn và ứng dụng
để tính toán một ví dụ cụ thể.
Trong khuôn khổ của Luận văn, mục tiêu đặt ra được giới hạn cụ thể trong

pháp phần tử hữu hạn kết hợp sử dụng phần mềm cho bài toán đặt ra . 7
Học viên: Lê Thị Huệ Lớp 15C2
CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ KẾT CẤU DẠNG TẤM, NỀN VÀ
CỌC
1.1. Phương trình cơ bản tính toán tấm chịu uốn [9]
Trong khuôn khổ luận văn này chúng ta chỉ xét các tấm chịu uốn chữ nhật
đẳng hướng. Nếu gọi h là chiều dày của tấm, a là kích thước bé của mắt tấm và
W
max
là độ võng lớn nhất của tấm thì theo định nghĩa, tấm được coi là mỏng khi
ax
W
1 1
à
5 5
m
h
v
a h
 
. Trong trường hợp tấm mỏng chịu uốn và chỉ giới hạn xét tấm

x
và Q
y
), mô men uốn (M
x
và M
y
)
và mô men xoắn ( M
xy
và M
yx
) như hình 1.1.
8
Học viên: Lê Thị Huệ Lớp 15C2
z
y

M
x

M
yxP(x, y)
M

  
 

1
( )
y y x
E
  
 
(1.1)

2(1 )
xy
xy xy
G E


 

 
Hoặc:
9
Học viên: Lê Thị Huệ Lớp 15C2

2
2
( )
1
( )
1

x
z
x


 


2
2
w
y
z
y


 
xy


-2z
2
w
x y

 


 
 
= -z
2
x
y
xy



 
 
 
 
 
(1.3)
Trong đó:
x


2
2
w
x


- độ cong của mặt trung bình theo phương của trục x
y



1
x
y
Ez
x y
E
y x
 

 

 
  
  
 
  
  
(1.4)

1
xy
Ez


 

2
w
x y




2
2
2
2
2
w
w
w
2
x
y
x y
 

 

 
 

 
 

 
 

 
 
 

x
y
xy



 
 
 
 
 
(1.5)
Nội lực của tấm trên mặt trung bình được biểu diễn qua các biểu thức sau:
M
x
=
/2
/ 2
h
X
h
zdz



; M
y
=
/ 2
/ 2

dz



; Q
y
=
/2
/ 2
h
yz
h
dz



(1.6)
Nếu thay các biểu thức tính ứng suất (1.4) vào biểu thức tính nội lực ở (1.6)
Và lấy tích phân theo chiều dày h của tấm ta được:
M
x
= - D(
2
2
w
x


+
2

= - D(1 -

)
2
w
x y

 
(1.7)
Q
x
= - D
)(
2
w
x




Q
y
= - D
)(
2
w
y




M
=














2
1
00
01
01
)1(12
2
3




Eh
2

 
= - [D]
2
x
y
xy



 
 
 
 
 
(1.9)
Trong đó [D] - ma trận hằng số đàn hồi trong bài toán ứng suất phẳng
[D] =
















(1.11)
Thế năng của phần tử tấm chịu uốn có dạng:


=
1
2
 
T
v


{

}dV -
( , )wd
p x y



(1.12)
Thay giá trị của {

},{

} từ (1.3) và (1.5) vào (1.12) và lấy tích phân theo chiều
dày tấm, ta có thể biểu diễn thế năng phần tử tấm thông qua độ võng mặt trung bình
như sau:

     
 
 
(1.13)
Có thể biểu diễn véc tơ biến dạng và véc tơ ứng suất của tấm thông qua độ cong và
nội lực của mặt trung bình như sau:
12
Học viên: Lê Thị Huệ Lớp 15C2
{

}=
2
2
2
2
2
w
w
w
2
x
y
x y
 


 

 
 










xy
y
x
M
M
M
=-[D]
2
x
y
xy



 
 
 
 
 
=[D] {


 
=
4
4
w
x


+2
4
2 2
w
x y

 
+
4
4
w
y


=
p
D
(1.15)
Giải phương trình (1.15) ta sẽ nhận được lời giải tổng quát của tấm chịu uốn.
Lời giải này chỉ có thể là lời giải của bài toán cụ thể khi nó thỏa mãn các điều kiện
biên của bài toán.
1.2. Các phương pháp giải bài toán tấm

Navier đề nghị khai triển hàm độ võng w(x, y) và hàm tải trọng q(x, y) thành các
chuỗi lượng giác kép:
W(x,y) =
1 1
m n
 
 

A
mn
sin
m x
a

sin
n y
b

(1.16)
Q(x,y) =
1 1
m n
 
 

B
mn
sin
m x
a

( , )sin sin
a b
m x n y
q x y dxdy
a b
 

(1.18)
B
mn
=
4
ab
0 0
( , )sin sin
a b
m x n y
q x y dxdy
a b
 

(1.19)
Biết được độ võng w, ta có thể tìm được nội lực trong tấm.
b. Lời giải của Levy cho tấm có hai bên tựa song song
Xét tấm chữ nhật có hai biên tựa song song và hai biên tựa còn lại có điều kiện
biên bất kỳ, chịu tải trọng phân bố q(x, y).
Ta có điều kiện biên sau:
Tại y = 0 , y = b w = 0 và
2
2

m x
q x y dx
a





(1.21)
14
Học viên: Lê Thị Huệ Lớp 15C2
Thay (1.20) và (1.21) vào phương trình Sophie Germain-Lagrange ta nhận được
phương trình vi phân.

4
4
m
d Y
dy
-2
2
m
a

 
 
 
2
2
m

m y
a

+B
m
ch
m y
a

+C
m
ysh
m y
a

+D
m
ych
m y
a

+f
m
(y) (1.23)
Trong đó:
A
m,
B
m,
C

w, ta chọn nghiệm dưới dạng:
w(x,y)=
1
( , )
n
i
i
a f x y


(1.24)
với a
i
là các hàm số tạm thời chưa xác định, f(x, y) là các hàm tọa độ tự chọn thỏa
mãn các điều kiện biên của tấm, n là số bậc tự do của tấm. Thay (1.24) vào biểu
thức của phiếm hàm thế năng toàn phần, sau khi tích phân ta nhận được giá trị
phiếm hàm

là một hàm của các trị số a
i
. Điều kiện cực trị của

được biểu diễn
bởi hệ các phương trình đại số

i
a


=0 với i=1,2,3…,n. (1.25)

z
(x,y)]
wdxdy

= 0 (1.26)
Đây là phương trình biến phân của tấm chịu uốn. Từ phương trình này và từ
những điều kiện bắt buộc đối với các hàm f
i
(x, y), ta nhận được hệ phương trình



(D
4

w - p
z
)f
i
(x,y)
dxdy
= 0
…………………… (1.27)
16
Học viên: Lê Thị Huệ Lớp 15C2



(D
4

ta thay thế hệ thực (hệ liên tục) bằng một mô hình vật lý gần đúng (bằng một số hữu
hạn các phần tử) mà lời giải của nó được xác định bằng số hữu hạn số.
a. Phương pháp sai phân hữu hạn
Phương pháp sai phân hữu hạn (PP SPHH) là một phương pháp số, gần đúng
để giải phương trình vi phân.
Khi giải bài toán tấm bằng PP SPHH, ta phủ lên bề mặt trung bình S của tấm
mạng lưới các đường song song với các trục, tạo thành lưới chữ nhật có các cạnh

x
,
y

. Trị số

x
,
y

gọi là bước sai phân.
Phương trình Sophie Germain-Lagrange đối với độ võng w đúng trên toàn bộ
mặt S nên cũng đúng tại các nút lưới, chẳng hạn tại điểm “0”

4

w
0
=
p
D


Viết lại tất cả n nút lưới nằm bên trong tấm những phương trình tương tự, ta
nhận được hệ n phương trình đại số tuyến tính chứa n ẩn số w tại các nút và cả một
số giá trị w tại những nút nằm trên chu vi tấm cũng như những nút nằm ngoài cách
chu vi một bước sai phân. Những trị số trên và ngoài chu vi tấm được xác định theo
các điều kiện biên (có thể làm biên tựa hoặc biên tự do…).
b. Phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH)
Phương pháp phần tử hữu hạn ra đời vào cuối những năm 50 nhưng rất ít được
sử dụng vì công cụ toán còn chưa phát triển. Vào cuối những năm 60 phương pháp
phần tử hữu hạn đặc biệt phát triển nhờ vào sự phát triển nhanh và sử dụng rộng rãi
của máy tính điện tử. Đến nay có thể nói rằng phương pháp PTHH được coi là
phương pháp có hiệu quả nhất để giải các bài toán cơ học vật rắn nói riêng và cơ
học môi trường liên tục nói chung như các bài toán thuỷ khí lực học, bài toán về từ
trường và điện trường.
Phương pháp PTHH ta thay thế môi trường liên tục bằng môi trường gồm một
số hữu hạn các phần tử. Phương pháp này có thể coi là một dạng riêng của phương
pháp biến phân Ritz -Timoshoenko, trong đó các hàm xấp xỉ được chọn trong phạm
vi từng phần tử chứ không phải trong phạm vi toàn kết cấu. Điều này đặc biệt thuận
lợi đối với những bài toán mà miền xác định gồm nhiều miền con có những đặc tính
khác nhau, ví dụ như bài toán phân tích ứng suất trong đập, trong nền không đồng
chất…[1, 2, 3, 8, 9].
Cách phân chia như vậy hoàn toàn mang tính tương đối. Thực chất các
phương pháp này không khác nhau về bản chất mà chỉ khác nhau về cách đi theo
lôgic của con người để đạt đến nghiệm thực. Ví rằng lời giải của mọi mô hình vật lý
đã được chọn thay cho mô hình thực đều có thể xem như là sự vận dụng của một
phương pháp rời rạc toán học nào đó. Ngược lại, sự ứng dụng đơn thuần một
phương pháp rời rạc toán học sẽ dẫn tới nghiệm tương ứng một cách chính xác với
lời giải một mô hình vật lý nhất định.
18
Học viên: Lê Thị Huệ Lớp 15C2
Khi tính bằng phương pháp PTHH, người ta chia kết cấu làm nhiều phần nhỏ,

Với ưu điểm nổi bật là dễ dàng lập chương trình để giải bằng máy tính,
phương pháp PTHH tạo điều kiện thuận lợi cho việc tự động hoá tính toán hàng loạt
kết cấu với những kích thước, hình dạng, mô hình vật liệu và điều kiện biên khác
nhau.
Từ việc đánh giá ưu nhược điểm cho từng phương pháp, tác giả lựa chọn
phương pháp PTHH là phương pháp được sử dụng trong luận văn để tính toán tấm
trên nền và cọc.
1.3. Tổng quan về nền [16, 7]
1.3.1. Đặc điểm của nền đất yếu
Nền đất yếu là một trong những vấn đề mà các công trình xây dựng thường
gặp. Cho đến nay ở nước ta, việc xây dựng công trình trên nền đất yếu vẫn là một
vấn đề tồn tại và là một bài toán khó đối với người xây dựng, đặt ra nhiều vấn đề
phức tạp cần được nghiên cứu xử lý nghiêm túc, đảm bảo sự ổn định và độ lún cho
phép của công trình.
Nền đất yếu là nền đất không đủ sức chịu tải, không đủ độ bền và biến dạng
nhiều, do vậy không thể xây dựng các công trình nếu không có biện pháp xử lý. Đất
yếu là một loại đất không có khả năng chống đỡ kết cấu bên trên, vì thế nó bị lún
tuỳ thuộc vào quy mô tải trọng bên trên.
Khi thi công các công trình xây dựng gặp các loại nền đất yếu, tùy thuộc vào
tính chất của lớp đất yếu, đặc điểm cấu tạo của công trình mà người ta dùng phương
pháp xử lý nền móng cho phù hợp để tăng sức chịu tải của nền đất, giảm độ lún,
đảm bảo điều kiện khai thác bình thường cho công trình.
Trong thực tế xây dựng, có rất nhiều công trình bị lún, sập khi xây dựng trên
nền đất yếu do không có những biện pháp xử lý hiệu quả, không đánh giá chính xác
được các tính chất cơ lý của nền đất để làm cơ sở và đề ra các giải pháp xử lý nền
móng phù hợp. Đây là một vấn đề hết sức khó khăn, đòi hỏi sự kết hợp chặt chẽ
giữa kiến thức khoa học và kinh nghiệm thực tế để giải quyết, giảm được tối đa các
sự cố, hư hỏng của công trình khi xây dựng trên nền đất yếu.
20
Học viên: Lê Thị Huệ Lớp 15C2

Việc xử lý khi xây dựng công trình trên nền đất yếu phụ thuộc vào điều kiện
như: Đặc điểm công trình, đặc điểm của nền đất Với từng điều kiện cụ thể mà
người thiết kế đưa ra các biện pháp xử lý hợp lý. Có nhiều biện pháp xử lý cụ thể
khi gặp nền đất yếu như:
- Các biện pháp xử lý về kết cấu công trình
21
Học viên: Lê Thị Huệ Lớp 15C2
- Các biện pháp xử lý về móng
- Các biện pháp xử lý nền
a. Các biện pháp xử lý về kết cấu công trình
Kết cấu công trình có thể bị phá hỏng cục bộ hoặc hoàn toàn do các điều kiện
biến dạng không thỏa mãn: Lún hoặc lún lệch quá lớn do nền đất yếu, sức chịu tải
bé.
Các biện pháp về kết cấu công trình nhằm giảm áp lực tác dụng lên mặt nền
hoặc làm tăng khả năng chịu lực của kết cấu công trình. Người ta thường dùng các
biện pháp sau:
- Dùng vật liệu nhẹ và kết cấu nhẹ, thanh mảnh, nhưng phải đảm bảo khả năng
chịu lực của công trình nhằm mục đích làm giảm trọng lượng bản thân công trình,
tức là giảm được tĩnh tải tác dụng lên móng.
- Làm tăng sự linh hoạt của kết cấu công trình kể cả móng bằng cách dùng kết
cấu tĩnh định hoặc phân cắt các bộ phận của công trình bằng các khe lún để khử
được ứng suất phụ phát sinh trong kết cấu khi xảy ra lún lệch hoặc lún không đều.
- Làm tăng khả năng chịu lực cho kết cấu công trình để đủ sức chịu các ứng
lực sinh ra do lún lệch và lún không đều bằng các đai bê tông cốt thép để tăng khả
năng chịu ứng suất kéo khi chịu uốn, đồng thời có thể gia cố tại các vị trí dự đoán
xuất hiện ứng suất cục bộ lớn.
b. Các biện pháp xử lý về móng
Khi xây dựng công trình trên nền đất yếu, ta có thể sử dụng một số phương
pháp xử lý về móng thường dùng như:
- Thay đổi chiều sâu chôn móng nhằm giải quyết sự lún và khả năng chịu tải

chặt, tăng trị số modun biến dạng, tăng cường độ chống cắt của đất
Chính vì vậy, việc xử lý nền móng thường chiếm tỷ trọng công việc cũng như
kinh phí khá lớn khi xây dựng công trình. Trong lĩnh vực xây dựng cơ bản thì móng
của hầu hết các công trình đều được đặt trên đất, bản thân đất có nhiều loại khác
nhau, trong đó nền đất yếu không đủ khả năng chịu tải trọng lại chiếm đa số, thế
23
Học viên: Lê Thị Huệ Lớp 15C2
nên cho đến nay các nhà khoa học đã nghiên cứu và đưa ra rất nhiều hình thức xử lý
nền móng, phù hợp với từng loại nền đất và kết cấu công trình.
Đối với công trình thủy lợi, việc xử lý nền đất yếu còn làm giảm tính thấm của
đất, đảm bảo ổn định cho khối đất đắp. Các biện pháp xử lý nền thông thường:
- Các biện pháp cơ học: Bao gồm các phương pháp làm chặt bằng đầm, đầm
chấn động, phương pháp làm chặt bằng giếng cát, các loại cọc (cọc cát, cọc đất, cọc
vôi ), phương pháp thay đất, phương pháp nén trước, phương pháp vải địa kỹ
thuật, phương pháp đệm cát
- Các biện pháp vật lý: Gồm các phương pháp hạ mực nước ngầm, phương
pháp dùng giếng cát, phương pháp bấc thấm, điện thấm
- Các biện pháp hóa học: Gồm các phương pháp keo kết đất bằng xi măng,
vữa xi măng, phương pháp Silicat hóa, phương pháp điện hóa
Kết luận
Nền đất yếu có nhiều tác hại và nguy cơ gây mất an toàn cho các công trình
xây dựng. Khi mà nền thiên nhiên không đủ sức chịu, không đủ độ bền và bị biến
dạng nhiều, thì người ta xử lý nhân tạo.
Việc nghiên cứu nền đất yếu và xác định biện pháp xử lý phù hợp có một ý
nghĩa quan trọng. Trong thực tế, có nhiều phương pháp gia cố nền đất yếu, tùy
thuộc vào tính chất của từng loại công trình, tùy thuộc vào điều kiện kinh tế - kỹ
thuật mà lựa chọn phương pháp thích hợp. Có thể là các biện pháp xử lý về kết cấu
công trình, các biện pháp xử lý về móng hay các biện pháp xử lý nền, hoặc sử dụng
kết hợp tổ hợp nhiều biện pháp, giải pháp phù hợp có liên quan.
Tuy có nhiều phương pháp xử lý nền, song trong khuôn khổ luận văn tác giả