sở Giáo dục Đào tạo
phòng giáo dục
=======o0o=======
Sáng kiến
Rèn kỹ năng cho học sinh qua phân
tích
Tìm cách giải một số bài toán ở tr-
ờng THCS
Ngời viết: .

Tổ: Khoa học - tự nhiên

Phần thứ nhất: đặt vấn đề
1. Lý do chọn đề tài.
Trong xu thế đổi mới phơng pháp dạy học hiện nay mục đích quan
trọng của việc dạy là phải phát huy đợc tính tích cực học tập, khả năng t
duy độc lập và sáng tạo của học sinh. Vì thế việc vận dụng kiến thức ở
sách giáo khoa trong chơng trình cơ bản một cách linh hoạt để giải đợc
các bài toán nâng cao, yêu cầu tổng hợp đợc kiến thức là một việc hết
sức cần thiết. Chính vì thế đổi mới phơng pháp dạy học trong nhà trờng
phổ thông theo tinh thần nghị quyết 9 của đảng đợc chỉ rõ Phơng pháp
giáo dục phổ thông phải phát huy đợc tính tích cực, tự giác, chủ động
sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc điểm của từng lớp học,từng môn
học, bồi dỡng phơng pháp tự học,rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức
vào thực tiễn, tác động đến tình cảm,đem lại niềm vui, hứng thú cho học
sinh. Để đạt đợc những điều đó tôi thấy rằng cùng với sự thay đổi về nội
dung, hình thức tổ chức dạy học thì cần coi trọng việc hình thành cho
học sinh một kỹ năng phân tích, tổng hợp, tạo cho học sinh năng lực tự
học, tự rèn luyện chủ động bồi bổ kiến thức cho mình là việc vô cùng
quan trọng.
Đối với nhà trờng THCS việc tự rèn luyện khả năng phân tích tổng

dạng toán tơng tự nhau và trình bày bài toán một cách hợp lí.
3. Đối tợng nghiên cứu.
Là học sinh lớp 6 và 8
4. Phơng pháp nghiên cứu.
- Phân tích.
- Tổng hợp.
- Thử nghiệm.
- Thực hành qua quá trình học bồi dỡng, ngoại khoá cho học sinh.
- Sử dụng kết quả thu đợc để đánh giá kết quả của học sinh.
- Sử dụng phơng pháp thống kê.
5. Phạm vi nghiên cứu :
Học sinh lớp 6, 7, 8 và lớp 9
Trang: 3
6. Thời gian nghiên cứu:
PHần thứ hai: nội dung
I. Cơ sở khoa học.
1. Cơ sở lý luận.
Mỗi học sinh đang ngồi trong ghế nhà trờng cũng nh khi đã ra tr-
ờng đều phải nắm đợc lợng kiến thức cơ bản ứng với mỗi phần cơ bản
qua kiến thức đã học yêu cầu phải nắm chắc để áp dụng trong tính toán,
chứng minh hay áp dụng trong đời sống thực tế nh hình đồng dạng, hình
bằng nhau, hai đờng thẳng song song, bộ ba số pitago, hằng đẳng thức,
bất đẳng thức
Nếu chỉ nắm kiến thức đó trên cơ sở lý thuyết thì kiến thức đó sẽ
không đợc khắc sâu, dễ quên, do vậy học sinh phải đợc hình thành kỹ
năng phân tích để giải các bài toán, đó là mục tiêu quan trọng trong quá
trình dạy học toán ở trờng THCS. Qua đó tôi nhận thấy việc Rèn luyện
kỹ năng cho học sinh qua phân tích tìm cách giải các bài toán là một
vấn đề quan trọng.
Với những bài toán cụ thể thờng có những cách (định hớng) khác

việc học toán có nhiều khó khăn. Phơng pháp dạy học mới là gợi mở học
sinh chủ động trong tiếp thu, thật sự cha có hiệu quả. Để tiết giảng thu
hút đợc số học sinh này thì việc cải tiến phơng pháp dạy học cho phù hợp
với đối tợng học sinh là rất cần thiết. Có nhiều phơng pháp tiếp cận mang
lại hiệu quả cao, một trong những phơng pháp đó là rèn luyện kỹ năng
cho học sinh phân tích tìm cách giải cho một bài toán, sao cho kết quả
nhanh nhất, là một trong những phơng pháp đợc tôi lựa chọn và áp dụng
có kết quả.
II. Nội dung cụ thể.
Qua thực tế giảng dạy và học tập, qua nghiên cứu các tài liệu tham
khảo, tôi đa ra một số bài toán cơ bản có nhiều cách giải, mục đích khai
thác triệt để kiến thức đã học để phân tích tìm ra phơng hớng giải hay
nhất, ngắn gọn nhất. Gpolia nhà toán học và là nhà s phạm Mỹ đã
khuyên rằng ngay khi lời giải mà tìm đợc là đã tốt rồi, thì tìm đợc một
lời giải khác vẫn ích lợi. Thật là sung sớng khi thấy rằng kết quả tìm đợc
xác nhận nhờ hai lý luận khác nhau, cũng nh chúng ta thích biết một vật
nào đó nhờ 2 giác quan khác nhau. Có đợc một chứng cớ rồi chúng ta
còn muốn tìm thêm một chứng cớ nữa cũng nh chúng ta muốn sờ vào
một vật mà ta đã trông thấy.
Nh vậy việc trang bị vốn kiến thức cho học sinh là rất cần thiết,
giáo viên không phải chỉ giải bài tập cho học sinh mà phải biết cách h-
ớng dẫn cho học sinh cách giải toán, phải tận dụng tối đa hớng đa ra vấn
Trang: 5
đề, nêu tình huống để học sinh tự tìm tòi, tự khai thác, tự xác định phơng
hớng giải qua phân tích, đặc biệt là phải biết khai thác mở rộng vốn kiến
thức đã học cho các vấn đề khác có liên quan.
Để đạt đợc điều đó, tôi đa ra một số phơng pháp sau:
1. Tìm kiếm cái hay, cái mới trong toán học
Bài toán: Chứng minh rằng a
4

(a - b) 0 (a - b) (a
3
- b
3
) 0
(a - b)(a - b)(a
2
+ ab + b
2
) 0 (a - b)
2
[(a
2
+ ab +
2
2
4
3
)
4
b
b
+
] 0
(a - b)
2
[(a +
22
4
3

4
) (a
2
+ b
2
)
2
(1)
Và ( a - b)
2
0 a
2
+ b
2
2ab
(a
2
+ b
2
)
2
2ab (a
2
+ b
2
) (2)
Từ (1) và (2) suy ra 2(a
4
+b
4

0
a
3
(a - b) - b
3
(a - b) 0 (a - b)(a
3
- b
3
) 0 (*)
+) Nếu a b a
3
b
3
; a - b 0
a
3
- b
3
0; a - b 0 (*) đúng
+) Nếu a < b a
3
< b
3
; a - b < 0
a
3
- b
3
< 0; a - b < 0 (*) đúng

k
) 0 kz
+
k lẻ. Từ đó đem đến cho ta bài toán thật hay, bài toán tổng quát sau:
Chứng minh rằng: a
2n
+ b
2n
a
2n - 1
b + ab
2n - 1
nz
+
Bài toán có còn gì nữa không? mong các bạn tiếp tục tìm tòi để tìm
ra các điều mới hơn. Hy vọng đây cũng là một phong cách để học giỏi
toán và góp phần nhỏ vào việc tìm kiếm cái mới trong toán học
2. Thay đổi cách phát biểu bài toán, một thủ thuật tìm kiếm lời giải
Một trong các phơng pháp thờng đợc sử dụng để tìm kiếm lời giải của
một bài toán là thay đổi cách phát biểu bài toán, thay đổi cách biểu thị
các mối liên quan giữa các dữ kiện của bài toán.
Đó cũng là một cách thay thế bài toán đã cho bằng một bài toán tơng
đơng với nó nhng đơn giản hơn hoặc quen thuộc với ta hơn.
Bài toán 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n o phân số
B =
)13)(12(
25
++
+
nn

+
3111
Nếu quy đồng mẫu số hoặc áp dụng bất đẳng thức Côsi ta đều dẫn
tới chỗ bế tắc. Nếu thay đổi cách xem xét bài toán:
bacacbcbaaccbba
++
+
++
+
++
>
+
+
+
+
+
111111
Ta nhận thấy chỉ cần chứng minh.
acbcbcbaba
++
>
+++
>
+
1

1
;
11
;

FAB = CAB = 90
0
Trang: 8
ABE = AFD (g.c.g) AF = AB = AC
Mà AH// FK ( cùng vuông góc với BE)
KH = CH ( đpcm)
Bây giờ ta hãy để ý đến quan hệ của các đoạn thẳng trong bài
toán
AB = AC, AD = AE HC = HK hay
11 ===
HK
HC
AE
AD
AC
AB
Từ đó nảy ra một suy nghĩ:
Nếu
k
AE
AD
AC
AB
==
thì
HK
HC
bằng bao nhiêu?
Hoặc nếu
k

0
)
AFD ABE ( g.g)

k
AE
AD
AB
AF
==

22
. k
AC
AF
HC
HK
hayk
AC
AB
AB
AF
AC
AF
====
* Bài toán 1b: Thay giả thiết bài toán 1a bằng
k
AC
AB
AD

r < | b | ).
Vận dụng công thức này ta có cách giải sau:
Cách 1: Ta thấy 112 : 5 = 22 d 2
Do đó: 112 : 22 = 5 d 2
112 : 21 = 5 d 2 + 5 = 7
112 : 20 = 5 d 7 + 5 = 12
112 : 19 = 5 d 12 + 5 = 17
Cách 2: Gọi số chia là k, số d là r.
Ta có: r = 112 - 5k và 0 r < k.
Do r 0 nên 112 - 5k 0 5k 112
k 112 : 5 = 22 (d 2)
Do r < k nên 112 - 5k < k 112 < 6k
k > 112 : 6 = 18 (d 4)
Vậy 18 < k 22 Ta tìm đợc.
K 19 20 21 22
R 17 12 7 2
Bài toán 2:
Tam giác ABC có góc ABC = 30
0
, góc ACB = 20
0
. Đờng trung
trực của AC cắt BC ở E và cắt tia BA ở F. Chứng minh rằng: AF = EF
và AC = BE
Để giải đợc bài tập này dựa vào kiến thức:
- Tổng 3 góc trong tam giác
Trang: 10
- Tính chất đờng trung trực, tam giác cân
- Tính chất cạnh và góc trong tam giác vuông
Với bài toán yêu cầu chứng minh

2
1
AC AC = BE
Cách 2: Trên tia KE lấy điểm P sao cho PAC đều
Ta có FAP = FAC + CAP = ABC + ACB + CAP
= 50
0
+ 60
0
=110
0
.
FEB = 90
0
+ ECK = 110
0
.
FAP = FEB FAP = FEB (c.g.c)
BE = AP = AC (đpcm)
Những dạng toán này đòi hỏi học sinh chủ yếu là nắm chắc và vận
dụng tốt các kiến thức cơ bản, thực chất là rèn luyện t duy thuật giải .
5. Phân tích tìm nhiều lời giải cho 1 bài toán, biết khai thác bài toán.
Bài toán 1: Cho D là trung điểm của đoạn thẳng AM. Trên cùng
nửa mặt phẳng bờ AM ta vẽ nửa đờng tròn đờng kính AM và nửa đờng
tròn đờng kính AD. Tiếp tuyến tại D của đờng tròn nhỏ cắt nửa đờng
tròn lớn tại C và các tiếp tuyến tại C và A của đờng tròn lớn cắt nhau tại
B. Nối P bất kỳ trên cung nhỏ AC với điểm D cắt nửa đờng tròn nhỏ tại
K. Chứng minh AP là phân giác của góc BAK
Trang: 11
Phân tích tìm cách giải theo sơ đồ mũi tên

NPA = KPA
Trang: 12
vậy Vuông NAP = Vuông PKA
( vì cạnh huyền AP chung, NPA = KPA cmt)
Do đó NAP = KAP
Hay AP là phân giác của BAK
Cách 3:
Ta chứng minh NAP và NAP cùng bằng 2 góc bằng nhau
Nối A với P cắt đờng tròn đờng kính AD tại T.
Nối D với T ta chứng minh đợc TDP = TDA ( ADP là cân)
mà DT AP
Lại có KAP = TDP = TDA
Ta chỉ cần chứng minh TDP = TDA = NAP đpcm.
Chứng minh
Ta có: AD = DP ( bán kính) ADP cân ở D.
Nối A với P cắt đờng tròn đờng kính AD tại T
DT AP (bài toán quỹ tích) TDP = TDA
mà TDP = KAP( cùng chắn cung TK)
TDA = NAP ( 2 góc nhọn có cạnh tơng ứng )
KAP = NAP AP là phân giác của BAK (đpcm)
Sau khi đã giải đợc bài toán trên ta có thể suy ra các bài toán mới t-
ơng tự nh bài toán đã cho, chẳng hạn phát biểu nó dới một dạng khác và
có lời giải gần nh lời giải đã tìm đợc, ta có bài toán tơng tự nh sau:
* Bài toán 1a: Trong hình vuông ABCD vẽ nửa đờng tròn đờng
kính là cạnh AD và vẽ cung AC mà tâm là D. Nối D với điểm P bất kỳ
trên cung AC, DP cắt nửa đờng tròn đờng kính AD ở K. Chứng minh
rằng PK bằng khoảng cách từ P đến cạnh AB .
Việc giải bài toán này hoàn toàn tơng tự nh cách ta đã làm ở trên,
khi đã chứng minh đợc KAP = NAP AP là phân giác của góc
NAK P cách đều 2 cạnh của góc NAK nghĩa là PK bằng khoảng cách

x.y 1
Cách 3:
Có thể viết x + y = 2 thành x 1 = 1 y
do đó ( x - y )
2
= ( x 1 ) ( 1 y ) 0 x x y 1 + y 0
1 x y 0 x y 1
Cách 4:
Ta có ( x + y )
2
= 4
và - ( x y )
2
0
Hay: x
2
+ y
2
+ 2 x y = 4 (1)
- x
2
y
2
+ 2 x y 0 (2)
Cộng từng vế của (1) và (2) ta đợc 4 x y 4 x y 1
Cách 5:
Giả sử x y > 1 Từ giả thiết x + y = 2 và do x
2
+ y
2

viên năng động sáng tạo, luôn trăn trở tìm ra cái mới đáp ứng đợc yêu
cầu dạy học nâng cao tay nghề, là một phơng pháp tự học, tự bồi dỡng có
hiệu quả.
Qua rèn kỹ năng phân tích giải toán cho học sinh tôi thấy chất lợng
đợc nâng lên, cụ thể là:
+/ Khi cha áp dụng:
Lớp số HS
Giỏi Khá TB Yếu
SL % SL % SL % SL %
8 39 2 5,1 11 28,2 15 38,3 11 28,2
6 39 7 17,9 12 30,8 14 35,9 6 15,4
+/ Sau khi áp dụng:
Lớp số HS
Giỏi Khá TB Yếu
SL % SL % SL % SL %
8 39 5 12,8 15 38,5 15 38,5 4 10,2
6 39 10 25,6 16 41,1 11 28,2 2 5,1
Nhìn vào số liệu các lớp 8 và 6 khi cha áp dụng và khi áp dụng ph-
ơng pháp phân tích giải toán ta thấy:
Số học sinh khá giỏi tăng, số học sinh trung bình giảm, đặc biệt số
học sinh yếu đã vơn lên trung bình. Số học sinh yếu chỉ còn ở lớp 8 là
10,2% lớp 6 là 5,1%.
Chứng tỏ phơng pháp rèn luyện kỹ năng phân tích tìm cách giải
cho các bài toán là một phơng pháp dạy học phù hợp với các trờng THCS
hiện nay.
Trang: 15

Phần thứ ba: kết luận chung
Đợc phân công giảng dạy bộ môn toán 6, 8 tôi đã có nhiều cố gắng
trong chuyên môn để áp dụng sáng kiến của mình cho phù hợp với yêu

- Sử dụng kết quả thu đợc để đánh giá kết quả của học sinh.
- Sử dụng phơng pháp thống kê.
Trang: 17