A.Phần mở đầu
I.Lí do chọn đề tài:
1.Cơ sở khoa học:
Toán học có vai trò và vị trí đặc biệt quan trọng trong khoa học kĩ thuật và đời
sống, giúp con ngời tiếp thu một cách dễ dàng các môn khoa học khác có hiệu
quả. Thông qua việc học toán, học sinh có thể nắm vững đợc nội dung toán
học và phơng pháp giải toán, từ đó vận dụng vào các môn học khác nhất là các
môn khoa học tự nhiên. Hơn nữa Toán học còn là cơ sở của mọi ngành khoa
học khác, chính vì thế toán học có vai trò quan trọng trong trờng phổ thông,
nó đòi hỏi ngời thầy giáo mọi sự lao động nghệ thuật sáng tạo để có đợc
những phơng pháp dạy học giúp học sinh học và giải quyết bài toán.
Bất đẳng thức là một nội dung quan trọng trong chơng trình toán học từ Tiểu
học đến Trung học. Việc nắm vững các phơng pháp giải Bất đẳng thức không
những giúp học sinh học tốt bộ môn Toán mà còn có tác dụng hỗ trợ cho nhiều
môn học khác nh Hoá học, Vật lí, Tin họcvv,đặc biệt nó giúp cho học sinh
phát triển t duy sáng tạo một cách tốt nhất.
Trong quá trình dạy toán ở THCS, qua kinh nghiệm dạy bồi dỡng học sinh
giỏi và qua quá trình tìm tòi bản thân tôi đã hệ thống đợc một số phơng pháp
giải Bất đẳng thức mà thiết nghĩ mỗi giáo viên toán cần trang bị cho học sinh
để giúp các em giải tốt các bài toán về bất đẳng thức góp phần nâng cao t duy
toán học, tạo diều kiện cho việc học toán nói riêng và trong quá trình học tập
nói chung.
2. Cơ sở thực tiễn
Bất đẳng thức là loại toán mà học sinh THCS vẫn coi là loại toán khó. Nhiều
học sinh không biết giải Bất đẳng thức thì phải bắt đầu từ đâu và phơng pháp
giải loại toán này nh thế nào.
Thực tế cho thấy toán Bất đẳng thức có nhiều trong chơng trình THCS, nhng
không đợc hệ thống thành những phơng pháp nhất định gây cho học sinh
nhiều khó khăn khi gặp và giải quyết loại toán này.
Các bài toán có liên quan tới Bất đẳng thức hầu nh có mặt ở mọi đề thi kể cả
các đề thi tốt nghiệp cho đến đề thi học sinh giỏi các cấp và thi vào lớp 10


a < c ( tính chất bắc cầu)
3. a < b

a + c < b + c ( tính chất đơn điệu)
4. a < b, c < d

a + c < b + d ( cộng hai vế của một bất đẳng thức
cùng chiều ta đợc một bất đẳng thức cùng chiều với chúng)
5. a < b, c > d

a c > b d ( trừ hai bất đẳng thức ngợc chiều ta
đợc một bất đẳng thức có chiều là chiều của bất đẳng thức bị trừ)
6. Nhân hai vế của bất đẳng thức a < b với cùng một số m thì
A < b
. . , 0
. . , 0
a m b m m
a m b m m
< >



> <

7. Nhân hai vế của hai bất đẳng thức không âm cùng chiều ta đợc một
bất đẳng thức cùng chiều : 0 < a < b, 0 < c < d

a.c < b.d
8. a > b > 0

a b
a b

Các tính chất trên có thể chứng minh nhờ điịnh nghĩa và các tính chất
trớc đó.
III. Một số Bất đẳng thức cần nhớ:
1. a
2k


0 với mọi a ( k nguyên dơng). Dấu = xảy ra khi a = 0.
2.
0,a a
. Dấu = xảy ra khi a = 0.
3.
a b a b+ +
. Dấu = xảy ra khi ab

0.
4. -
a a a
. Dấu = xảy ra khi a = 0.
5.
a b a b
. Dấu = xảy ra khi
0ab
và
a b
.
6. a

2ab.
Dấu = xảy ra khi a = b.
+) Đối với mọi a
i


0; I = 1,,n. Ta có :
1 2
1 2n
n
n
a a a
a a a
n
+ + +

Dấu = xảy ra khi a
i
= 0.
9. Bất đẳng thức Bunhia-Côpxki:
Nếu (a
1
, a
2
, , a
n
) và ( b

+ a
2
b
2
+ + a
n
b
n
)
2
Dấu = xảy ra khi
j
i
i j
a
a
b b
=
10.Bất đẳng thức Trêbsep :
+) Nếu
1 2
1 2n
n
a a a
b b b



+ + b
n
).
Dấu = xảy ra khi a
i
= a
j
hoặc b
i
= b
j
.
Nếu
1 2
1 2n
n
a a a
b b b





Thì : n.(a
1
b
1

i
= b
j
.
Chú ý: - Ngoài các Bất đẳng thức trên còn một số các bất đẳng thức đúng
khác mang tính tổng quát hơn nên khi giải bài tập cần chú ý.
- Khi chứng minh xong bất đẳng thức a

b ta phải xét trờng hợp dấu =
xảy ra khi nào.
C. các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
I- Ph ơng pháp 1: Phơng pháp dùng định nghĩa:
a. Nội dung phơng pháp:
Để chứng minh bất đẳng thức A > B ta chứng minh bất đẳng thức A B > 0
b. Kiến thức cần vận dụng:
- Các hằng đẳng thức đáng nhớ, đặc biệt là: (A + B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2
.
- Tổng quát:
2
1 1 1
( ) 2
n n n
i i i j
i i i
A A A A

3
4
b
2
= ( a -
1
2
b)
2
+
3
4
b
2

0
đúng với mọi a,b vì ( a -
1
2
b)
2


0;
3
4
b
2

0 .


c. Chứng minh rằng:

a b c b a c
b c a a c b
+ + + +
Giải:
Xét hiệu:
1a b c b a c
b c a a c b abc
+ + =
(a
2
c + ab
2
+ bc
2
b
2
c ba
2
ac
2
)
=
2 2 2 2 2 2
1
( ) ( ) ( )a c b c b a a b c b ac
abc



Giải: Xét hiệu :
. . 1
. ( . . . . 2 . 2 . )
2 2 2 4
a b x y a x b y
a x a y b y b x a x b y
+ + +
= + + +
=
[ ]
1 1
( . . ) ( . . ) ( )( )
4 4
a y a x b x b y x y b a + =
( do x

y và a

b ).
Dấu = xảy ra khi x = y hoặc a = b.
Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh.
Chứng minh tơng tự ta đợc bất đẳng thức :
. . .
.
3 2 3
a b c x y z a x b y c z+ + + + + +

và ta có thể chứng minh tơng tự cho bài toán
tổng quát.

2
+ d
2
+ e
2
ab ac ad ae
=
1
4
( 4a
2
+ 4b
2
+ 4c
2
+ 4d
2
+ 4e
2
- 4ab 4 ac 4ad 4ae)
=
1
4
[(a
2
+ 4b
2
+ 4ab) + ( a
2
+ c



0 ; (a + 2d)
2


0 ; (a + 2e)
2


0.
Dấu = xảy ra khi b = c = d = e =
2
a
.
Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh.
Bài 5: ( Tổng quát của bài 4)
Cho a
i
(i = 1,2,,n) là các số thực, chứng minh rằng :
2
1
1 1
2
1
n n
i i
i i
a a a
n


4( x
11
+ y
11
)
4. (x
1996
+ y
1996
+ x
1996
) : ( x
1995
+ y
1995
+ z
1995
)

( x + y + z ) : 3
5. ( a
3
+ b
3
+ c
3
)

( a + b + c).(a

- Các tính chất của bất đẳng thức.
- Các bất đẳng thức thờng dùng.
- Kỹ năng biến đổi tơng đơng một bất đẳng thức.
- Các hằng đẳng thức đáng nhớ.
3. Bài tập mẫu.
Bài 1: Chứng minh rằng: x
2
+ 2y
2
+ 2z
2


2xy + 2yz + 2z 1 (*).
Giải: Ta có : x
2
+ 2y
2
+ 2z
2


2xy + 2yz + 2z 1

x
2
+ 2y
2
+ 2z
2

10
+ b
10
).(a
2
+ b
2
)

( a
8
+ b
8
).(a
4
+ b
4
).
Giải: Ta có : (a
10
+ b
10
).(a
2
+ b
2
)

( a
8

+ a
10
b
2
+ a
2
b
10
+ b
12
a
12
a
8
b
4
a
4
b
8
b
12


0

( a
10
b
2

b
2
)

0

a
2
b
2
(a
2
b
2
)(a
2
b
2
)(a
4
+ a
2
b
2
+ b
4
)

0


Cho 0

a

b. Chứng minh bất đẳng thức :
(a
5
+ b
5
)(a + b)

(a
2
+b
2
)(a
4
+ b
4
)
Bài 3: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a. (x 1)(x 3)(x 4)(x 6)

-9
b. Cho a

c

0 và b


2
7x +6)
2
+ 6( x
2
7x +6) + 9

0

( x
2
7x +9)
2


0.
Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi giá trị của x.
Suy ra : (x 1)(x 3)(x 4)(x 6)

-9.
Dấu = xảy ra khi x
2
7x +9 = 0

x =
7 13
2

b.
2 2

2
+ y
2
+ z
2


1 + x
2
y + y
2
z + z
2
x.
c.
2
. 1 . 1 . 1
x y z
y z x z z y
+ +
+ + +
2. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2. Chứng
minh rằng: a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2abc < 2.
3. Chứng minh rằng với mọi x, y >

2
c + c
2
a.
b. 2(a
3
+ b
3
+ c
3
) ( a
2
b + b
2
c

+ c
2
a)

3
c.
2
1 1 1
a b c
bc ac ba
+ +
+ + +
III. Ph ơng pháp 3: Dùng tính chất của tỉ số
1. Nội dung phơng pháp:

b d b b c d
+

+
Dấu = xảy ra khi ad = bc.
3. Bài tập mẫu:
Bài 1: Cho a, b, c là số đo ba cạnh của tam giác:
Chứng minh rằng :
Giải: Do a, b, c là ba cạnh của tam giác nên ta có:
a, b, c > 0 và a + b > c; b + c > a; c + a > b.
Từ a + b > c
2 2c c c c c c
a b a b c a b c a b a b c
+
< = <
+ + + + + + + +
Chứng minh tơng tự ta có:
2 2
;
b b a a
a c a b c c b b c a
< <
+ + + + + +
Cộng từng vế của ba bất đẳng thức cuối cùng ta đợc:

2
a b c a b c
b c a c a b a b c a b c a b c
+ + < + + =
+ + + + + + + + +

2 1 1 1 1 1
a b a b a b
a b a b a b
+
+ < < +
+ + + + + +
Giải:
Ta chứng minh:
1
( )
2 1 1 1
a b a b
a b a b
+
+ <
+ + + +
Do a > 0 ta có
1
1 1 1
a a a b
a a a b
+
< <
+ + + +
Tơng tự ta có
1 1
b a b
b a b
+
<

> >
+ + + + + +
Cộng vế với vế của hai
bất đẳng thức này ta đợc:
1 1 1
a b a b
a b a b
+
< +
+ + + +
(2).
Từ (1) và (2) suy ra :
1
( )
2 1 1 1 1 1
a b a b a b
a b a b a b
+
+ < < +
+ + + + + +
4. Bài tập đề nghị.
1.Chứng minh rằng :
2 2 4 6 2004 2004
3 3 5 7 2005 2005
+ + + +
< <
+ + + +
2. Cho a, b là các số dơng thoả mãn a.b = 1. Chứng minh rằng:
1 1 1 1
2 2 2 2 1 1 1

3. Bài tập mẫu
Bài 1: Cho 0 < a, b, c < 1. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng
thức sau sai: a(1 b) > 0,25 ; b( 1 c) > 0,25 ; c(1 a) > 0,25.
Giải: Giả sử cả ba bất đẳng thức:
a(1 b) > 0,25 ; b( 1 c) > 0,25 ; c(1 a) > 0,25. đều đúng, khi đó:
a(1 b)b( 1 c)c(1 a) > 0,25
3
. (1)
Mặt khác ta có: a(1 a) = a a
2
= 0,25 ( a
2
2.a.0,5 + 0,25)
= 0,25 ( a 0,5)
2

0,25. Suy ra : a(1 a)


0,25.
Tơng tự ta có : b(1 b)

0,25 ; c( 1 c)

0,25.
Nhân vế với vế của ba bất đẳng thức cuối cùng ta đợc:
A(1 b)b(1 c)c(1 a) < 0,25
3
(2).
Ta nhận thấy (1) mâu thuẫn với (2). Vậy điều giả sử là sai, suy ra trong các bất

Bài 3: Cho các số thực a, b, c thoả mãn điều kiện
0
0
0
a b c
ab bc ca
abc
+ + >


+ + >


>

Hãy chứng minh rằng: a, b, c > 0 (*).
Giải: Giả sử (*) không đúng. Nh vậy có ít nhất một trong ba số a, b, c phải

0.
Không mất tính tổng quát giả sử a

0. Do abc > 0 nên suy ra: bc < 0.
Xét trờng hợp a

0, b > 0, c < 0. Suy ra : a + c > 0.
Từ giả thiết ta có: b > - a c

b(a + c) < - (a + c)
2


>
ta có:
2 2 2
2 ( )
2 2 0 0 0
a b a b a b ab a b
b a b a ba ab
+ +
+ < + < < <
( vô lý).
Suy ra điều phải chứng minh.
4. Bài tập đề nghị
1. Cho ba số dơng a, b, c nhỏ hơn 2. Chứng minh rằng ít nhất một trong
các bất đẳng thức sau là sai : a(2 b) > 1 ; b(2 c) > 1 ; c(2 a) >
1.
2. Cho a, b, c là ba số dơng thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
S = (a 1 + b
-1
)(b 1 + c
-1
)(c 1 + a
-1
)

1.
3. Cho a, b, c, x, y, z là các số thực thoả mãn:
2
0
( 1) 4 0
a

n
0
nào đó ( thông thờng ta
chọn n
0
= 0 hoặc 1).
Bớc 2: Giả sử bất đẳng thức đúng với n

k.
Bớc 3: Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n

k +1.
Bớc 4: Kết luận bất đẳng thức đúng với mọi n.
2.Kiến thức cần vận dụng:
-Các tính chất của bất đẳng thức.
Kỹ năng biến đổi đẳng thức và bất đẳng thức.
3. Bài tập mẫu:
Bài 1:Chứng minh rằng: [( a + b) : 2]
n


( a
n
+ b
n
) : 2 với a + b

0 và n là số
tự nhiên.
Giải:


[(a
k
+ b
k
) : 2].[(a + b) : 2].
Ta chứng minh:
(a
k
+ b
k
).(a + b)

2(a
k+1
+ b
k+1
)

a
k+1
+ b
k+1
+ a
k
b + ab
k


2( a

0

b a b

0. Mà a + b

0 (gt) a

- b => a

b
a
k


b
k
=>a
k
b
k


0 => (*) đúng.
Chứng minh tơng tự cho trờng hợp a

0

b ta đợc (*) đúng
Do a+ b

+ a
2
= c
2
. Bất đẳng thức đúng.
+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n

k tức là b
2k
+ a
2k


c
2k
+ Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n= k+ 1 hay b
2k+1
+ a
2k+1


c
2k+1
Thật vây: ta có c
2(k+1)
= c
2k+2
= c
2k
. c

=> b
2(k+1)
+ a
2(k+1)


c
2(k+1)
(đpcm)
4. Bài tập đề nghị:
Bài 1: a. Chứng minh rằng với n

3 ta có 2
n
> 2n + 1
b. Chứng minh 1.2.3.n < 2
-n
(n+1) .n
c.

n

1, chứng minh
1 1 1
1 2 1 2
2 3
n
n
+ + + + +
Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

.
VI. Ph ơng pháp 6: Dùng bất đẳng thức trong tam giác
1. Nội dung phơng pháp
Nhiều bất đẳng thức mà các yếu tố có liên quan tới cả số và cả hình nên khi
giảI bất đẳng thức đó ngoài việc vận dụng các tính chất của bất đẳng thức ta
phảI sử dụng cả các tính chất khác đặc biệt là bất đẳng thức trong tam giác.
2. Kiến thức cần vận dụng
- Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì ta có a, b, c > 0
-
; ; .a c b a c b c a b c b a c b a < < + < < + < < +
- Một số quan hệ khác trong tam giác.
3. bài tập mẫu
Bài 1: Cho a, b, c là đọ dài ba cạnh trong một tam giác. Chứng minh rằng:
(a + b + c)
2


9bc. Biết a

b

c.
Giải: Ta có a + b + c

2b + c do a

b. Ta chứng minh ( 2b + c)
2




( b c)( 4b c)

0 (2).
Ta thấy b

c suy ra b c

0 và 4b c

a + b c + 2b

0. Vậy (2)
đúng.
Do đó bất đẳng thức ban đầu đợc chứng minh.
Bài 2: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác, hãy chứng minh:
a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca).
Giải: Do a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên ta có :
0 < a < b + c

a
2
< ab + ac. Tơng tự ta có : b
2

a a na
+ + + <
Trong đó
1 1 1
*
2 3
k
na N
k
= + + +
Bài 4: Chứng minh với mọi số tự nhiên n>1 ta có:
1 1 1 1 3

2 1 2 4n n n n
< + + + <
+ + +
VII- Ph ơng pháp 7: Phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy.
1. Kiến thức cơ bản
Các kỹ năng biến đổi BBất đẳng thức: Bất đẳng thức Cauchy cho hai số a,b

0
2
a b+
ab
Dấu = xảy ra khi a=b
Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm a
1
, a
2
, , a

.a
n
=1
Chứng minh rằng : ( 1 + a
1
). ( 1+ a
2
) ( 1 + a
n
)

2
n
Giải: áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai số 1 và a
i
, i = 1,2,3,.,n ta đợc:
( 1 + a
1
)
1
2 a
, ( 1 + a
2
)
2
2 a
,. , ( 1+ a
n
)
2

, ., 1= a
n

1 2
1
n
a a a = = = =
Bài 2: Cho a,b

0 chứng minh rằng 3a
3
+ 72 b
3


18ab
2
Giải: Do a, b

0 => 3a
3
, 9b
3
, 8b
3

0
áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số 3a
3
,

3
( )
a
b a b
+

Giải: Ta thấy a=b+ ( a- b) do a > b => a b > 0
áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm b, a b,
1
( )b a b
ta đợc:
3
1 1 1
( ) 3 ( ) 3
( ) ( ) ( )
a b a b b a b
b a b b a b b a b
+ = + + =

Với a>b>0 ta có
1
3
( )
a
b a b
+

Dấu = xảy ra khi b=a-b=
1
( )b a b

1 2
1 1 1 ( )
)
2
n
n a b
a a a ab
+
+ + +
Giải: Theo giả thiết ta có : 0 <a

a
i
< b =>
2
( ) 0
i i
a a b a ab + +
với i = 1,2,
,n
2
( )
i i i
i
ab
a ab a b a a
a
+ + +
a+ b do a
i

1
2
1 2
1 2 )
2 ( )( ( )
n
n
ab ab ab
a a a n a b
a a a

+ + + + + + +
2 2 2
1 2
1 2
4 ( )( ) ( )
n
n
ab ab ab
a a a n a b
a a a

+ + + + + + +2 2 2 2 2 2
1 2

)(1+c
-1
)

64
Bài 2: Cho a, b, c, d, e > 0 và a=b+c+d+e =1.
Chứng minh rằng (-1+a
-1
)(-1+b
-1
)(-1+c
-1
)(-1+d
-1
)(-1+e
-1
)

1024
Bài 3: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
1
8
a b b c c a
a b b c c a

+ +
+ + +
Bài 4: Cho hình thang ABCD có AB//CD có diện tích là S. Gọi E là giao điểm
của hai đờng chéo. Chứng minh rằng S
ABE

= = =
2. Bài tập mẫu:
Bài 1: Cho ba số x, y, z thỏa mãn: x(x-1)+y(y-1) + z(z-1)
3
4

Chứng minh rằng: x+y+z

4
Giải: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky cho 6 số 1,1,1,x,y,z ta đợc:
2 2 2 2 2 2 2
( ) (1 1 1)( ) 3( )x y z x y z x y z+ + + + + + = + +
(1)
Ta có x(x-1) +y(y-1) +z(z-1)
3
4

.
2 2 2
3
( ) ( )
4
x y z x y z + + + +
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
2
1 3
( ) ( )
3 4
x y z x y z+ + + +

3
+ bt
2
+ at + 1 = 0
2
2
1 1
( ) 0t a t b
t t
+ + + + =
(1)
Đặt T= ( t +
2 2
2
1 1
) 2 4T t
t t
= + +
do
2
2
1
2t
t
+
Khi đó (1) trở thành T
2
+aT + b -2 = 0

T

1
, a
2
, ., a
n
. Chứng minh rằng:
( a
1
+ a
2
++a
n
)
2


n(
2 2 2
1 2
)
n
a a a+ + +
Bài 3: Cho a, b, c khác 0 . Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c a b c a
+ + + +
Bài 4: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh trong một tam giác hãy chứng minh
rằng:

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c ( a khác 0)
A, Nếu

= b
2
4ac < 0 thì a.f(x) > 0
x R
B, Nếu

= 0 thì a. f(x) > 0
x R
. Dấu = xảy ra khi x=-b:2a.
C, Nếu



0 thì f(x) có hai nghiệm x
1
, x
2
ta có :
x x
1
x
2
af(x) - 0 + 0 -
- Nếu tam thức bậc hai f(x) = ax
2


0
b, a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2


a( b+c+d+e)
Giải : a, Ta có x
2
y
4
+ 2(x
2
+2)y
2
+ 4xy + x
2
- 4xy
3

0
Biến đổi tơng đơng ta đợc:

+ 1)
2
. x
2
+ 4y( 1-y
2
). x + 4y
2
là tam thức bậc hai đối với biến x
vì hệ số a = ( y
2
+ 1)
2
> 0.
Xét
2
2 2 2 2 2
' 2(1 ) ( 1) .4 16. 0y y y y y = + =
2 4 2 2 2 3
2( 2) 4 4 0x y x y xy x xy + + + +
đúng
y
=>
2 4 2 2 2 3
2( 2) 4 4 0x y x y xy x xy+ + + +
Vậy x
2
y
4
+ 2(x

2
+ e
2
- a( b+c+d+e)

0
Ta coi a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2
- a( b+c+d+e) là tam thức bậc hai đối với biến
a
Ta có hệ số a = 1> 0. Xét

= ( b+c+d+e)
2
4( b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2

Bài 2: Cho -1=x

0,5 và
5 2
6 3
y

< <
. Chứng minh rằng x
2
+ 3xy + 1 > 0
Giải: Đặt f(x) = x
2
+ 3xy + 1 ta có:

= 9y
2
-4 = (3y-2)(3y+2)
=>

<0
2 2
3 3
y

< <
Theo bài ra ta có :
2
5 2
0 3 1 0

=( x-x
3
)
2
-4x
2
= x
2
[ ( x
2
1)
2
4 ]

0 do (1) có nghiệm => (x
2
-1)
2

- 4

0
(x
2
+1)(x
2
-3)

0 do ( x
2

: x
1
)
3
<
52
Bài 3: Giả sử x
1
, x
2
là nghiệm của phơng trình : x
2
+ 2k.x + 4 = 0 ( a khác
0). Tìm tất cả các giá trị của k để có bất đẳng thức sau: ( x
1
: x
2
)
2
+ ( x
2
:
x
1
)
2
>3
X- Phơng pháp 10: Phơng pháp hình học:
1. Kiến thức cần vận dụng:
- Bất đẳng thức trong tam giác.

i
i= 1,2,,n-1 liên tiếp nằm giữa A
1
, A
n
2. Bài tập mẫu
Bài 1: Chứng minh rằng

a,b ta có
2
4a + +
2 2
( ) 1 ( 3) 1 5a b b + + +
Giải: Trên mặt phẳng tọa độ lấy các điểm: A(0;-1); B(a;1); C(b;2); D(3;3)
Khi đó ta có AB=
2
4a +
, BC=
2
( ) 1a b +
, CD=
2
( 3) 1b +
AD=
2 2
(3 0) (3 1) 5 + + =
mà ta luôn có AB+BC+CD >AD
Vậy
2 2 2
4 ( ) 1 ( 3) 1 5a a b b+ + + + +

c b
Mặt khác ta có S
AMN
+ S
BMP
+ S
CNP


S = 0,5 . AB. AC. Sin 60
0
=
3
4
3 3 3 3
(1 ) (1 ) (1 )
4 4 4 4
(1 ) (1 ) (1 ) 1
a c b a c b
a c b a c b
+ +
+ +

a+b+c

1+ab+bc+ca
3.Bài tập áp dụng:
Bài 1: Chứng minh rằng:
2 2
6 34 6 10 4x x x x + +

2 2 2 2
( )a c b c a b c+ + + +
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của
2 2
1 1x x x x+ + + +
Tiểu kết: Trên đây là một số phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức mặc dù
cha đợc đầy đủ. Nhng chúng ta đã biết trong chơng trình toán cấp II học
sinh cha đợc học cụ thể và bài bản , mà chủ yếu Bất đẳng thức đợc tập
trung ở các lớp luyện thi học sinh giỏi, các kỳ thi vào cấp III và thi vào đại
học.
Do vậy ngời giáo viên phải thấy rằng bất đẳng thức đợc sử dụng rộng nên
giáo viên hớng dẫn cho học sinh tổ chức các buổi học ngoại khóa và tự học
ở nhà. Tùy từng đối tợng mà giáo viên đa ra những phơng pháp, những bài
toán phù hợp với trình độ học sinh dễ cảm nhận, tiếp thu làm cho học sinh
không cảm thấy gò bó khi học Bất đẳng thức.
Cần tạo cho học sinh tính linh hoạt không máy móc sử dụng một phơng
pháp có lời giải nhanh nhất. Mọi điều mà chúng ta thấy rằng khi chứng
minh Bất đẳng thức thì cần vận dụng linh hoạt, kết hợp các phơng pháp.
D. Một số ứng dụng của bất đẳng thức.
1. Giải phơng trình
1- Phơng pháp giải: Để giải phơng trình: A(x) = B(x)
Cách 1: Ta biến đổi phơng trình về dạng g(x) = h(x) mà g(x)

a; h(x)

a
( a là hằng số ) . Nghiệm của phơng trình là các giá trị thỏa mãn đồng thời :
g(x) =a; h(x) = a
Cách 2: Ta biến đổi phơng trình về dạng h(x) =m ( m là hằng số). Mà h(x)


2


5 . Vì - ( x+ 1)
2


0
Dấu = xảy ra khi x=-1.
Từ đó nghĩ đến việc đánh giá vế trái:
Ta có :
2 2
3 6 7 3( 1) 4 2.x x x+ + = + +
Dấu = xảy ra khi x =-1.
2 2
5 10 14 5( 1) 9 3x x x+ + = + +
Dấu = xảy ra khi x =-1.
Suy ra VT

5. Dấu = xảy ra khi x = -1. VT = 5

VP
Dấu = xảy ra khi x=-1.
Vậy nghiệm của phơng trình là x = -1.
Bài 2: Giải phơng trình :
2
2 4 6 11x x x x + = +
Giải:
TXĐ:
2 0 2

1
x x
a
x
+ +
=
+
Giải: Biểu thức nhận giá trị phơng trình
2
2
2 4 5
1
x x
a
x
+ +
=
+
(*) có nghiệm.
Do x
2
+ 1 >0 nên (*) x
2
( a- 2) 4x + a- 5 = 0.
+ Nếu a= 2 thì phơng trình có nghiệm x = -3; 4
+ Nếu a khác 2 (*) có nghiệm

= 4- ( a-2)(a-5)

0 a

2
+ y
2
) (*)
Nếu y = 0 thì b : a = 2

x
Nếu y khác 0 đặt x: y khi đó (*) trở thành b:a =
2
2
2 4 5
1
t t
t
+ +
+
Theo bài 1 ta có :
1 6 1 : 6 6t b a a b a
Vậy GTNN của BT đã co là a khi x:y = -0,5 x=-2y thay vào (1) ta đợc:
5 5 5 5
; 2 ; ; 2
5 5 5 5
a a a a
x y x y= = = =
III. Bài tập áp dụng:
Bài 1: Chứng minh rằng:
2
3 4 1 5x x+
Bài 2: Tìm GTNN và GTLN của bt
1 2 2 3

trình bầy lời giải một bài toán.
Để hình thành và phát triển trí tuệ cho học sinh, chúng ta đã tiến hành
nhiều biện pháp đổi mới nhằm nâng cao chất lợng giáo dục toàn diện cho học
sinh, tôi thấy cần đa các bài tập trắc nghiệm khách quan vào các giờ ôn tập
thay cho phần ôn tập lý thuyết trớc đây, về một phơng pháp trình bày khác với
cách trình bày truyền thống trớc đây ở chỗ giáo viên ôn tập khắc sâu phần lý
thuyết qua hệ thống bài tập và cũng thông qua các hoạt động học sinh nhớ lại,
xây dựng và củng cố các kiến thức đã có, phát hiện các kiến thức liên quan,
vận dụng kiến thức vào các tình huống khác nhau, chính điều này phù hợp với
quy trình học tập của học sinh góp phần vào việc đổi mới phơng pháp dạy học,
đặc biệt khi áp dụng cách này tôi thấy trong lớp với đối tợng học sinh còn
chậm so với lớp rất nhiệt tình tham gia, điều quan trọng nó giúp cho giáo viên
trên lớp tốn ít thời gian mà vẫn ôn tập đợc nhiều đạt hiệu quả cao vừa nhanh
chóng phát hiện đợc kịp thời những sai sót của học sinh mắc phải, qua đó giúp
các em nhìn thấy cái sai của bạn để tránh, vừa để nhớ, dễ thuộc khắc sâu đợc
kiến thức cho học sinh và giải quyết các bài tập một cách thuận lợi, dễ dàng.
Mặt khác thông qua các giờ ôn tập này, còn có tác dụng giáo dục học sinh tính
cẩn thận, khả năng quan sát, có tinh thần thái độ học tập đúng đắn tạo cho các
em sự đoàn kết gắn bó, yêu thích bộ môn, cao hơn nữa là góp phần phát triển
khả năng t duy lôgíc trong việc học toán.
Là giáo viên trực tiếp giảng dạy khối 9 khi áp dụng các ôn tập trên thì
tôi thấy hiệu quả học tập của học sinh tăng lên rõ rệt, tôi mạnh dạn đa vấn đề
này, các bài tập tôi đa ra có thể cha khai thác hết triệt để các tình huống nhng
nó là việc làm hữu ích cho cả cô giáo và học sinh.
Rất mong sự góp ý của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để tiết dạy
của tôi đạt hiệu quả cao hơn và thu hút đợc niềm say mê yêu thích môn Toán
của các em học sinh.
Tôi xin chân thành cảm ơn !