TT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia s
t
t t
t
i
ii
i TP Hu
TP Hu TP Hu
TP Hu ﾕ
ﾕﾕ
ﾕ
-
- ĐT: 2207027
ĐT: 2207027 ĐT: 2207027
ĐT: 2207027
0989824932
0989824932 0989824932
0989824932
E mail:
ậ
c nh
ấ
t hai
ẩ
n:
Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng: ax + by = c (1) trong đó a,b và c
là các số đã biết,
(a ≠ 0 hoặc b ≠ 0).
Ví dụ
: Các ph
ươ
ng trình 3x - 2y = 2, x + 5y = 0, 0x + 4y = 3, x + 0y = 10 là nh
ữ
ng
ph
ươ
ng trình b
ậ
c nh
ấ
t hai
ẩ
n.
* Ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
Oxy m
ỗ
i nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
đượ
c bi
ể
u di
ễ
n b
ở
i m
ộ
t
đ
i
ể
m có t
ấ
t hai
ẩ
n: (I)
ax + by = c
a'x + b'y = c'
Ví dụ 1:
2x + y = 3
3x + y = 1
;
2y = 3
2x +4 y = 1
;
2x + y = 0
3x = 1
là các h
t nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
(I).
Ví dụ 2:
2 4
1
x y
x y
+ =
− + =
có m
ộ
t c
ặ
p nghi
ệ
m (1;2);
+) N
ế
u hai ph
ươ
t
i
ii
i TP Hu
TP Hu TP Hu
TP Hu ﾕ
ﾕﾕ
ﾕ
-
- ĐT: 2207027
ĐT: 2207027 ĐT: 2207027
ĐT: 2207027
0989824932
0989824932 0989824932
0989824932
E mail: -
Trang
2
-
hoặc
c by
x
a
y R
−
=
∈
Hệ vô nghiệm khi
' ' '
a b c
a b c
= ≠
Hệ có nghiệm duy nhất khi
' '
a b
a b
≠
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Hãy kiểm tra xem mỗi cặp số sau có phải là một nghiệm của hệ phương trình
− =
− + =
b)
3 5
9 3 10
x y
y x
− + =
− =
c)
5 3 7
2 9
x y
y
− =
=
d)
2 3 5
9 6 15
9310
yx
yx
b) (1 ; 8)
=+
=+
514
925
yx
yx
Bài 2: Cho hệ phương trình:
2 2
4 6
mx y
x y m
− =
+ =
a) Hãy xác định các hệ số a, b, c, a’, b’, c’ của hệ phương trình trên.
b) Với giá trị nào của m hệ đã cho có nghiệm duy nhất? Vô nghiệm?
TT Giáo viên & Gia s
-
Trang
3
-
Tiết 27
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
*) Quy tắc thế:
- Quy tắc: Sgk trang 13
Dạng 1: Hệ phương trình chỉ có một nghiệm.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
(
)
I
(
)
( )
3 2 1
2 5 1 2
x y
x y
− =
− + =
thay thế cho phương trình
(
)
1
, ta được hệ mới:
( )
=++−
+=
15232
23
yy
yx
Giải hệ phương trình
(
)
I(
)
I
⇔
( )
Vậy hệ
(
)
I
có nghiệm duy nhất (x;y) =
(
)
5;13 −−Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
(
)
II
=+
=−
42
32
yx
yx
Giải: Ta có:
(
)
II
32
x
xy
=
=
⇔
1
2
y
x
Vậy hệ
(
)
II
có nghiệm duy nhất (x;y) =
(
)
1;2
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
(III)
3
3 4 2
x y
x y
0989824932
0989824932 0989824932
0989824932
E mail: -
Trang
4
-
( )
( )
3
3 3 10
3 3 4 2
3 9 4 2 7 7
x y
x y x y x
III
y y
y y y y
= +
= + = + =
3 2 11
3( ) 2 11
7
4 4
5 3
5 3 5
4 4
4 4
x y
y y
x
IV
y
x y
x y
− =
+ − =
=
⇔ ⇔ ⇔
=
− =
− =
Bài 2: Tìm a và b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(-5:3), B
3
; 1
2
−
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a)
3 5
5 2 23
x y
x y
− =
+ =
b)
3 5 1
2 8
x y
x y
+ =
− = −
i
ii
i TP Hu
TP Hu TP Hu
TP Hu ﾕ
ﾕﾕ
ﾕ
-
- ĐT: 2207027
ĐT: 2207027 ĐT: 2207027
ĐT: 2207027
0989824932
0989824932 0989824932
0989824932
E mail: -
Trang
5
-
− + = −
= +
⇔ ⇔
=
= +
∈
⇔
= +
Vậy hệ phương trình (I) có vô số nghiệm.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
(
)
II
4 5 20
0,8 4
x y
x y
+ =
= ∈
⇔ ⇔
= − + = − +
Vậy hệ phương trình (II) có vô số nghiệm.
Dạng 3: Hệ phương trình vô nghiệm
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau:
( )
4 2
8 2 1
x y
III
x y
+ =
+ =
Giải: Ta có:
( )
( ) ( )
2 4 2 4
2 4
x y
IV
x y
+ =
+ =
Giải:
Nhận xét : Ta chia cả hai vế của phương trình thứ nhất cho hệ số của x hoặc của y .
( )
( )
4
4
4
4
4
4
5
5
5
4
0 5 *
2 2,5 5
2 2,5( 4) 5
5
y x
y x
x y
TT Giáo viên & Gia s
t
t t
t
i
ii
i TP Hu
TP Hu TP Hu
TP Hu ﾕ
ﾕﾕ
ﾕ
-
- ĐT: 2207027
ĐT: 2207027 ĐT: 2207027
ĐT: 2207027
0989824932
0989824932 0989824932
0989824932
E mail: -
+ =
Bài 2: Tìm giá trị của m để hai đường thẳng (d
1
): 5x -2y = 3, (d
2
): x + y = m cắt
nhau tại một điểm trên trục tung.
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Giải hệ phương trình:
2 3 5
3 2 1
x y
x y
+ =
− =
Bài 2: Giải hệ phương trình
( )
2
3 1
1 6 2
x y
a x y a
+ =
x y
=
+ =
Giải phương trình (1) ta được y = 4. Thay y = 4 vào phương trình
(2) ta được 4x + 7.4 = 16 x = - 3.
Ta trình bày lời giải như sau:
4 7 16
4 3 24
x y
x y
+ =
− = −
10 40 (1)
4 7 16 (2)
y
x y
=
+ =
4 4
i
ii
i TP Hu
TP Hu TP Hu
TP Hu ﾕ
ﾕﾕ
ﾕ
-
- ĐT: 2207027
ĐT: 2207027 ĐT: 2207027
ĐT: 2207027
0989824932
0989824932 0989824932
0989824932
E mail: -
Trang
7
-
(I)
2 5 8 (1)
2 3 0 (2)
x y
x y
+ =
− =
Trừ vế với vế của pt (1) cho pt (2) ta được:
(I)
1
8 8 1
3
2 3 0 2 3.1 0
2
y
y y
x y x
x
=
= =
⇔ ⇔ ⇔
− = − =
10 11 31
x y
x y
− = −
+ =
12 24 2
10 11 31 1
x x
x y y
= =
⇔ ⇔
+ = =
Vậy nghiệm của hệ là (2;1)
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:
a)
2 5 8
2 3 0
x y
x y
+ =
t t
t
i
ii
i TP Hu
TP Hu TP Hu
TP Hu ﾕ
ﾕﾕ
ﾕ
-
- ĐT: 2207027
ĐT: 2207027 ĐT: 2207027
ĐT: 2207027
0989824932
0989824932 0989824932
0989824932
E mail: -
Trang
8
− =
TIẾT 30: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
* Dạng 3: Các hệ số của cùng một ẩn trong hai phương trình không bằng nhau
hoặc không đối nhau nhưng có một hệ số là bội của hệ số kia của cùng một ẩn
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
4 3 6(1)
2 4(2)
x y
x y
+ =
+ =
Nhận xét: Hệ số của ẩn x ở phương trình (1) là bội của hệ số của ẩn x của phương
trình (2). Ta nhân hai vế của PT (2) với 2, ta được 4x + 2y =8
Ta được hệ
4 3 6
4 2 8
x y
x y
+ =
12 8 44 7 35 5
12 15 9 4 5 3 7
x y y y
x y x y x
− = = =
⇔ ⇔ ⇔
− = − = =
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (7; 5)
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng:
a.
2 3 2
3 2 3
x y
x y
+ = −
⇔
− = −
2 3 2 6 9 6 13 0 0
3 2 3 6 4 6 3 2 3 1
x y x y y y
Bài 2: Xác định a và b để đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua 2 điểm A và B. Biết
A(2; -2) và B(-1; 3).
Giải
TT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia s
t
t t
t
i
ii
i TP Hu
TP Hu TP Hu
TP Hu ﾕ
ﾕﾕ
ﾕ
-
- ĐT: 2207027
ĐT: 2207027 ĐT: 2207027
ĐT: 2207027
0989824932
0989824932 0989824932
⇔
− + =
=
Vậy với
5
3
a
−
=
;
4
3
b
=
thi đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(2; -2) và B(-1; 3).
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:
a)
1,3 4,2 12
0,5 2,5 5,5
x y
x y
tính bỏ túi), trước hết ta phải viết hệ đó dưới dạng tổng quát:
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =
+ =
Sau đó ấn MODE 2 để chuẩn bị đưa các hệ số của hệ phương trình vào máy. Khi đó
màn hình xuất hiện chữ SIMUL ở góc dưới bên phải, chữ a
1
và dấu ? ở bên phải.
Các hệ số đưa vào máy cũng phải có dạng chính tắc (tổng quát) đã nêu ở trên;
màn hình sẽ lần lượt xuất hiện chữ ký hiệu hệ số tương ứng.
Nếu hệ phương trình cần giải có nghiệm duy nhất thì sau khi đưa đủ các hệ số
vào máy, màn hình hiện giá trị đúng (hoặc gần đúng) của ẩn x. Sau khi ấn DATA, Màn
hình sẽ xuất hiện ẩn y. Nếu hệ phương trình vô nghiệm hoặc vô định thì màn hình xuất
hiện chữ -E Xóa ký hiệu đó bằng cách ấn AC.
Chuyển sang giải hệ phương trình khác bằng cách ấn SHIFT SAC
Thoát khỏi chương trình giải hệ PT bậc nhất hai ẩn bằng cách ấn MODE O
2. Sử dụng máy tính FX 500MS - FX 570MS
TT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia s
t
t t
Cách sử dụng như với các loại máy tính trên chỉ khác thao tác mở giao diện màn
hình để làm việc, và tắt máy (thoát khỏi chương trình).
* Ấn MODE MODE 1 2 để mở nếu là máy tính FX500MS
* Ấn MODE MODE MODE 1 2 để mở nếu là máy tính FX5700MS
* Tắt máy (thoát khỏi màn hình làm việc với giải hệ phương trình) ấn MODE 2
III. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Giải các hệ phương trình sau:
Bài 1. (bài 38- SBT toán 9 tập II)
3 2 23
3 5 26
x y
x y
+ =
− + =
Ấn MODE 2 3 DATA 2 DATA 23 DATA 3 +/- DATA 5 DATA 26
DATA Kết quả : x = 3
DATA Kết quả : y = 7
Bài 2 (bài 13 a trang15/ SGK toán 9 tập II)
3 2 11
4 5 3
x y
x y
− =
( )
2 2 5 3 5
2 5
x y x y
x y x y x y
II
x y x y x y
x y x y
+ + − =
+ + − = − =
⇔ ⇔
+ + − = − =
+ + − =
Sau đó sử dụng máy tính để tính nghiệm của hệ PT
Ấn MODE 2 5 DATA 1 +/- DATA 4 DATA 3 DATA 1 +/- DATA 5
DATA Kết quả : x = - 0,5
DATA Kết quả : y = - 6,5
Bài 4 (bài 20 SBT toán 9 tập II)
( )
3 4 5
2 3 2 1
- ĐT: 2207027
ĐT: 2207027 ĐT: 2207027
ĐT: 2207027
0989824932
0989824932 0989824932
0989824932
E mail: -
Trang
11
-
( )
3 4 5
2 5
( )
2 3 2 1
2
x y y x
x y
III
x y x y
x y
+ = − +
Ấn MODE 2 2 DATA 5 DATA 2 DATA 2 ab/c 5 DATA 1 DATA 1
DATA Kết quả : -E-
DATA Kết quả : -E-
(Hệ PT trên vô nghiệm )
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số sau đó sử dụng
máy tính CASIO để kiểm tra kết quả
a)
2 5 8
2 3 0
x y
x y
+ =
− =
b)
1,3 4,2 12
0,5 2,5 5,5
x y
x y
+ =
+ =
BÀI TẬP TỔNG HỢP
VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Vận dụng các quy tắc đã học (quy tắc cộng, quy tắc thế) để giải hệ phương trình
bậc nhất hai ẩn.
* Lưu ý: Có sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết quả giải hệ phương trình bậc nhất
hai ẩn
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
TT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia s
t
t t
t
i
ii
i TP Hu
TP Hu TP Hu
TP Hu ﾕ
ﾕﾕ
ﾕ
-
- ĐT: 2207027
− = −
Giải
a. Biểu diễn x theo y từ phương trình thứ nhất, ta có:
( )
x 2y 4
x 2y 4 x 2.1 4 x 2
(I)
2 2y 4 5y 1
9y 9 y 1 y 1
= −
= − = − = −
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
− + =
= = =
Vậy hệ (I) có nghiệm duy nhất (-2; 1)
b. Biểu diễn y theo x từ phương trình thứ hai, ta có:
( )
x 1
b. IV
2x 2y 6
+ = −
− + =
Giải
a. Trừ từng vế hai phương trình trong hệ (III), ta được
10y 20 y 2 y 2 x 3
(III)
2x 7y 8 2x 7.2 8 2x 6 y 2
= = = = −
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
+ = + = = − =
Vậy hệ (III) có nghiệm duy nhất (-3; 2)
b. Trừ từng vế hai phương trình trong hệ (IV), ta được
( )
( )
x 2
5x 10 x 2 x 2
IV
3 2 2y 4
3x 2y 4 2y 2 y 1
= −
− + =
Giải
a. Cộng từng vế hai phương trình trong hệ (V), ta được
( )
x 1
7x 7 x 1 x 1
V
9
2x 11y 7 2.1 11y 7 11y 9
y
11
=
= = =
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
− = − − = − − = −
=
TT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s
Trang
13
-
Vậy hệ (V) có nghiệm duy nhất
9
1;
11
b. Cộng từng vế hai phương trình trong hệ (VI), ta được
( )
10y 40 y 4 y 4 x 3
VI
4x 7y 16 4x 7.4 16 4x 12 y 4
= = = = −
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
+ = + = = − =
Vậy hệ (VI) có nghiệm duy nhất (-3; 4)
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau
( )
(
(2) nên ta nhân cả hai vế của phương trình (2) với 2, ta được
( )
( )
1
y 1
8x 7y 5 19y 19
x
VII
4
4x 6 1 7
8x 12y 14 4x 6y 7
y 1
= −
− = − =
= −
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
+ − = −
+ = − + = −
= −
− =
x y 1
b.
3x 4y 5
− =
+ =
Bài 2:
3x 5y 4
a.
3x 6y 8
+ =
− =
5x 2y 8
b.
2 1
x y 3
3 3
− =
+ =
4x y 5
b.
3x 2y 12
+ = −
− = −
TT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia s
t
t t
t
i
ii
i TP Hu
TP Hu TP Hu
TP Hu ﾕ
1 1
3
1 2
3
x y
x y
+ =
− = −
b)
1 2
1
1 1
3 1
4
1 1
x y
x y
+ =
+ −
3
1 2
3
x y
x y
+ =
− = −
(I) Đặt
1
1
u
x
v
y
=
=
⇔
=
=
Thử lại: Dùng máy tính bỏ túi thử lại nghiệm của hệ PT ( HS thử )
b)
1 2
1
1 1
3 1
4
1 1
x y
x y
+ =
+ −
− = −
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
− = − − = − + = + = =
(4)
Thay (4) vào (3) ta được:
TT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia s
t
t t
t
i
ii
i TP Hu
TP Hu TP Hu
TP Hu ﾕ
ﾕﾕ
ﾕ
-
- ĐT: 2207027
ĐT: 2207027 ĐT: 2207027
ĐT: 2207027
+
⇔ ⇔
= − =
=
−
Thử lại: Dùng máy tính bỏ túi thử lại nghiệm của hệ PT ( HS thử )
c)
2 1
3
1 1
1 3
1
1 1
x y
x y
+ =
+ +
+ = −
+ = + = + = + = =
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
+ = − + = − − = = − = −
(6)
Thay (6) vào (5) ta được:
1
2
1
1
2
1
1
2
1
x
x
y
y
=
−
=
+
⇔
3
2
1 3
6
2
x y
x y
+ =
−
+ = −
−
c)
2
3
1 1
3
1
1 1
x y
x y
x y
x y
x y
− =
+ = −
Câu 2: Tìm hai số a và b sao cho 5a - 4b = -5 và đường thẳng ax + by = -1 đi qua điểm
A(-7 ; 4)
Câu 3 : Tìm giá trị của m để đường thẳng (d): y = (2m-5)x – 5m đi qua giao điểm của
hai đường thẳng (d
1
): 2x + 3y = 7 và (d
2
): 3x + 2y = 13.
ĐỀ SỐ 2:
TT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia s
t
t t
t
i
ii
i TP Hu
TP Hu TP Hu
TP Hu
x y
x y
+ = −
− − =
b)
2 3 10 0
3 2 2 0
x y
x y
+ − =
− − =
Câu 2:
Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a a và b sao cho
đườ
ng th
ẳ
ng ax - by = 4
đ
i qua
i tr
ườ
ng h
ợ
p sau:
a) a=-1 b) a= 0 c) a = 1
TT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia s
t
t t
t
i
ii
i TP Hu
TP Hu TP Hu
TP Hu
Copyright: Tài liệu đại học ©