Convert by TVDT
1

Chuyờn :Phng trỡnh v bt phng trỡnh i s

Một số dạng hệ ph-ơng trình th-ờng gặp
1) Hệ ph-ơng trình bậc nhất: Cách tính định thức
2) Hệ ph-ơng trình đối xứng loại 1: Hệ không thay đổi khi ta thay x bởi y và ng-ợc lại
3) Hệ ph-ơng trình đối xứng loại 2: Nếu đổi vai trò của x và y thì ph-ơng trình này trở thành ph-ơng trình kia và
ng-ợc lại
4) Hệ ph-ơng trình đẳng cấp bậc 2: Xét 2 tr-ờng hợp, sau đó đặt x = ty
5) Một số hệ ph-ơng trình khác
Các ví dụ
Ví dụ 1. Một số hệ dạng cơ bản
1) Cho hệ ph-ơng trình
8
)1)(1(
22
yxyx
myxxy

a) Giải hệ khi m = 12
b) Tìm m để hệ có nghiệm
2) Cho hệ ph-ơng trình
2 2 2
11
2
a

xy
yx

7) Giải hệ ph-ơng trình:
myxxyyx
yx
1111
311

a) Giải hệ khi m = 6
b) Tìm m để hệ có nghiệm
Ví dụ 2. Giải hệ ph-ơng trình:
2
2
2
2
2
3
2
3
y
x
x
x
y
y
(KB 2003)

HD: TH1 x = y suy ra x = y = 1
TH2 chú : x>0, y> 0 suy ra vô nghiệm

y
a
yx
2
2
2
2
2
2

HD:
223
2 axx
yx
; xét
23
2)( xxxf
, lập BBT suy ra KQ
Ví dụ 6. Giải hệ ph-ơng trình:
22
22
xy
yx

HD Bình ph-ơng 2 vế, đói xứng loại 2
Ví dụ 7.
)1(
)1(
2
2

20
2
x
suy ra x, y
Ví dụ 9.
2
)1(
3
yxyx
yxyx
(KB 2002)
HD: từ (1) đặt căn nhỏ làm nhân tử chung (1;1) (3/2;1/2)
Ví dụ 10.
ayx
ayx
3
21
Tìm a để hệ có nghiệm

HD: Từ (1) đặt
2,1 yvxu
đ-ợc hệ dối xứng với u, -v
Chỉ ra hệ có nghiệm thì ph-ơng trình bậc hai t-ơng ứng có 2 nghiệm trái dấu
Bài tập áp dụng
1)
495
5626
22
22
yxyx

Convert by TVDT
3
5)
mxyx
yxy
26
12
2
2
Tìm m để hệ có nghiệm
6)
19
2.)(
33
2
yx
yyx
Đặt t = x/y Hệ pt có 2 nghiệm
7)
64
9)2)(2(
2
yxx
yxxx
Đặt X = x(x + 2) và Y = 2x + y
8)

2 2 2 2
2 (1)
4

vô nghiệm bằng cách tách hàm số kq: 3 nghiệm
11)

axy
ayx
2
2
)1(
)1(
xác định a để hệ có nghiệm duy nhất
HD sử dụng ĐK cần và đủ
12)
3
3
22
xyyx
x
y
y
x

HD bình ph-ơng 2 vế

13)

78
1
7
xyyxyx
xy

mxxxx )64)(3)(1(
2
nghiệm đúng với mọi x
Convert by TVDT
4
HD: sử dụng hàm số hoặc tam thức: m - 2
Ví dụ 2. Tìm a để hệ sau có nghiệm
2)1(2
2
ayxxy
yxHD:
22
2 (1)
( 1) ( 2) 1 (2)
xy
x y a

TH1:
a + 1 0
Hệ vô nghiệm
TH2: a + 1>0. Vẽ đồ thị (2) là đ-ờng

tròn còn (1) là miền gạch chéo:
a - 1/2

mxx
xx
ĐS: m4
Ví dụ 5. Giải bất ph-ơng trình
2212 xxx

HD + /
Nhân 2 vế với biểu thức liên hợp của VT
+ / Biến đổi về BPT tích chú ý ĐK

Ví dụ 6. Giải bất ph-ơng trình:
7
2
1
2
2
3
3
x
x
x
x

HD
Đặt
2,
2
1
t
x

3
3
)16(2
2
x
x
x
x
x

Bài tập áp dụng
1)
0
12
22
ayx
xyx
Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó.
ĐS a = - 1 và a = 3
2) Tìm m để bất ph-ơng trình sau có nghiệm:
mxx 41624

3)
16212244
2
xxxx

4)
12312 xxx


a) Giải ph-ơng trình khi m = 6
b) Tìm m để ph-ơng trình có nghiệm
9)
1
1
251
2
x
xx

10)
023243
2
xxx

11) Tìm a để với mọi x:
32)2()(
2
axxxf
ĐS a 4 ; a 0
Chuyên đề 3: L-ợng giác
Đ1. Ph-ơng trình và hệ ph-ơng trình l-ợng giác
Một số kiến thức cần nhớ
Các công thức biến đổi l-ợng giác
Một số dạng ph-ơng trình cơ bản
Ph-ơng trình bậc 2, bậc 3 theo một hàm số l-ợng giác
Ph-ơng trình đẳng cấp bậc nhất với sinx, cosx: asinx + bcosx = c
Ph-ơng trình đẳng cấp bậc 2 với sinx, cosx: a. sin
2
x + b. sinx. cosx + c. cos

Các ví dụ
Ví dụ 1.
2.cos4
cot tan
sin2
x
xx
x

HD: đặt ĐK x =

/3 + k.
Ví dụ 2.
)1(sin
2
1
3
2
cos
3
cos
22
xxxHD: Sử dụng công thức hạ bậc
xx sin
3
cos).2cos(.21
ĐS 3 họ nghiệm


HD: Biến đổi theo sin và cos đ-ợc
0)cos21(sin)cos21(cos.3
22
xxxx
ĐS x =

/3 + k
Convert by TVDT
6
Ví dụ 6.
3.tan 6sin 2sin( )
2
tan 2sin 6sin( )
2
y
x y x
y
x y x

HD: nhân (1) với (2) rút gọn
22
tan 4sin
2
y
y
đặt

22
tan .sin 2.sin 3(cos2 sin .cos )x x x x x x

HD: BĐ sau đó đặt t = tg(x/2)
Ví dụ 10.
2
9
sin
cos
2
log 4.log. 2 4
x
x

HD:
4
)(sinlog
2log
.2.log2
2
sin
sin
sin
x
x
x
x

Đ2. Giá trị lớn nhất nhỏ nhất, ph-ơng trình có tham số
Một số kiến thức cần nhớ


HD: t = cos2x,
- 1t1
tìm Max, Min trên 1 đoạn
33,
)1(80 tttf
ĐS:M = 3, m = 1/
27
Ví dụ 4. Tìm GTLN, GTNN:
1cos.sinsincos
44
xxxxy

Ví dụ 5. Cho ph-ơng trình:
02sin24cos)cos.(sin2
44
mxxxx

Tìm m để ph-ơng trình có ít nhất một nghiện thuộc đoạn [0; /2]
ĐS: [ -10/3; -2]
Ví dụ 6. Cho ph-ơng trình
3cos2sin
1cossin2
xx
xx
a

1) Giải ph-ơng trình khi a = 1/3
2) Tìm a để ph-ơng trình có nghiệm


3sin (3 ) 2sin .cos 5sin 0
2 2 2
x x x x

4)
x
x
x
x
cos
1
3cos.2
sin
1
3sin.2

5)

2
1 cos2
1 cot 2
sin 2
x
x
x
HD:
Chú ý ĐK ĐS: x = - /4 + k /2
6)
2
cos2 cos (2.tan 1) 2x x x

xx
x
KA 2002
2) Giải ph-ơng trình
2
4
4
(2 sin 2 )sin3
1 tan
cos
xx
x
x
(DB 2002)
3) Tìm nghiệm thuộc khoảng
0;2
của ph-ơng trình
2
cot 2 tan 4sin2
sin2
x x x
x
KB 2003
4) Tìm x nghiệm đúng thuộc khoảng
0;14
của ph-ơng trình
cos3 4cos2 3cos 4 0x x x
KB 2003
5) Xác định m để ph-ơng trình
44

1
3
a

b) Tìm a để ph-ơng trình có nghiệm
9) Giải ph-ơng trình
2
1
sin
8cos
x
x
(DB 2002)
10) Giải ph-ơng trình
2
cos2 1
cot 1 sin sin2
1 tan 2
x
x x x
x
(KA 2003)
11) Giải ph-ơng trình
3 tan tan 2sin 6cos 0x x x x
(DBKA 2003)
12) Giải ph-ơng trình
2
cos2 cos 2tan 1 2x x x
(DBKA 2003)


xx
x
xx
(DBKD 2003)
17) Giải ph-ơng trình
2sin4
cot tan
sin2
x
xx
x
(DBKD 2003)
18) Giải ph-ơng trình
2
5sin 2 3 1 sin tanx x x
(KB 2004)
19) Giải ph-ơng trình
2cos 1 2sin cos sin2 sinx x x x x
(KB 2004)
Chuyên đề 4: Mũ & Lôgarit
Đ1. Ph-ơng trình và hệ ph-ơng trình Mũ lôgarit

Một số kiến thức cần nhớ
Các công thức về mũ và lôgarit.
Giới thiệu một số ph-ơng trình cơ bản.
Khi giải ph-ơng trình về logarit chú ĐK.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho ph-ơng trình:
0121loglog
2

xxx

HD: ĐK
x>0
Và
x1
; ĐS x = 2,
332x

Ví dụ 4.
xxxx
3535
log.loglog.log
HD: Đổi cơ số ĐS: x = 1 và x = 15
Ví dụ 5.
633
)(39
22
3log)(log
22
xyyx
xy
xy

Ví dụ 6.
x
x )1(log
3
2


yy
x
xx
x
22
24
452
1
23
ĐS (0, 1) (2, 4)
Convert by TVDT
9
Ví dụ 9. Tìm m để ph-ơng trình sau có nghiệm thuộc [32, + ) :
3log3loglog
2
4
2
2
1
2
2
xmxx

HD: t > = 5;
31
1
31

Chú y ĐK
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm k để hệ ph-ơng trình sau có nghiệm:
1)1(log
3
1
log
2
1
031
3
2
2
2
3
xx
kxx

HD: ĐK x>1; Giải (2) 1<x 2; BBT
33
1
x
f x x
ĐS: k > - 5
Ví dụ 2.
06log)1(log2log
2
4
1
2

1
2
2
1
xxxx

HD:
Đặt t = log x , coi BPT đã cho là Bpt bậc 2 ẩn t; Chú ý so sánh 2 tr-ờng hợp t
1
,

t
2ĐS (0;2] v (x

4)
Ví dụ 7. Giải bất ph-ơng trình
xx
x
22
log
2
3
log
2
1
22


1
3
loglog.
3
log