Trường THPT Yên Thế
TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC & CAO ĐẲNG
Ch ương 1: Thể tích khối đa diện
Bài 1 :
Cho hình chóp S.ABC, trong đó SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đáy là
tam giác ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD là
a
, cạnh bên SB tạo với đáy một
góc
α
và tạo với mặt (SAD) góc
β
. Tìm thể tích hình chóp S.ABC
Bài 2 :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với
, 2 ,AB a AD a= =
cạnh SA
vuông góc với đáy, còn cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc
60
o
. Trên cạnh SA lấy
điểm M sao cho
3
3
a
AM =
. Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối
chóp S.BCMN
Bài 3 :
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bằng
a

Bài 6:
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng
a
. Qua trung điểm I của cạnh AB dựng
đường thẳng (d) vuông góc với mp(ABCD). Trên (d) lấy điểm S sao cho:
3
.
2
a
SI =

Tìm khoảng cách từu C đến mp(SAD).
Bài 7 :
Cho hình chóp S.ABC có
3SA a=
và
( )
.SA mp ABC⊥
ABC∆
có
2 ,AB BC a
= =

120 .ABC∠ =
o
Tìm khoảng cách từ A đến mp(SBC).
Bài 8 :
GV: Ngô Ngọc Điển Trang 1
Trường THPT Yên Thế
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng

, cạnh bên SB tạo với đáy một
góc
α
và tạo với mặt (SAD) góc
β
. Tìm thể tích hình chóp S.ABC
HDG : Thể tích hình chóp S.ABC là:
1
. .
3
ABC
V SA S
∆
=
Tam giác ABC cân đỉnh A nên trung tuyến AD cũng là đường cao của tam giác. Theo
giả thiết:
( ) ( )
( )
,SA mp ABC SBA SB mp ABC
α
⊥ ⇒ ∠ = =

( )
BD mp SAD BSD
β
⊥ ⇒ ∠ =
Đặt BD = x suy ra:
2 2 2 2
.tanAB a x SA a x
α

a
V a x a x
c c
α β
α
α β α β
= + =
+ −
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với
, 2 ,AB a AD a= =
cạnh SA
vuông góc với đáy, còn cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc
60
o
. Trên cạnh SA lấy
GV: Ngô Ngọc Điển Trang 2
Trường THPT Yên Thế
điểm M sao cho
3
3
a
AM
=
. Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối
chóp S.BCMN
HDG :
Theo giả thiết :

( ) ( )
( )

V SA
V
SM SN SM
V V V
V SA SD SA
= = ⇒ = =
 
= = = ⇒ = =
 ÷
 
Vậy:
3
. .
5 5 1 10 3
. . .
9 9 3 27
S BCMN SMBC SMNC S ABCD ABCD
V V V V SA S a
= + = = =
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bằng
a
, và SH là đường cao của
hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SDC) bằng
b
. Tìm thể
tích hình chóp S.ABCD
HDG : Từ giả thiết suy ra H là tâm của hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của
CD, và G là trực tâm ∆SCD
(1)HG CD⇒ ⊥
Mà

4
2
3 16
b
a ab
GM b v h
HG HM SH
a
b
a
V
a b
⇒ = − = + ⇒ =
−
⇒ =
−
Bài 4: Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết
, ,AB a AC b AD c
= = =
và các góc
,BAC∠

,CAD DAB∠ ∠
đều bằng
60
o
.
GV: Ngô Ngọc Điển Trang 3
Trường THPT Yên Thế
HDG : Không mất tính tổng quát ta giả sử

ABCD
V
AC AD a
V AC AD bc
= =

1 1
2
2
12
ABCD ABC D
bc abc
V V
a
⇒ = =
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh
,a
60BAD∠ =
o
,
( )
SA mp ABCD⊥

và
SA a=
. Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AC’ và song song với BD
cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B’, D’. Tìm thể tích hình chóp
S.AB’C’D’
HDG: Gọi
, 'O AC BD I AC SO= ∩ = ∩

' ' 2 1 1 1 1
. .
3 2 3 3 6
S AD C
S AD C S ADC S ABCD
S ADC
V
SD SC
V V V
V SD SC
= = = ⇒ = =
Vậy:
3
3
. ' ' ' ' . ' ' ' . ' ' ' .
1 1 3 3
.
3 3 6 18
S A B C D S A B C S A D C S ABCD
a
V V V V a= + = = =
Bài 6: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng
a
. Qua trung điểm I của cạnh AB dựng
đường thẳng (d) vuông góc với mp(ABCD). Trên (d) lấy điểm S sao cho:
3
.
2
a
SI

.SA
2 2
SAD
S AD a
∆
= =
GV: Ngô Ngọc Điển Trang 4
Trường THPT Yên Thế
Vậy khoảng cách cần tìm là:
( )
( )
3 3
3
,
2 2
SACD SABCD
SAD SAD
V V
a
d C SAD
S S
∆ ∆
= = =
Bài7: Cho hình chóp S.ABC có
3SA a
=
và
( )
.SA mp ABC
⊥

⇒ = = =
Áp dụng định lí hàm số cosin trong tam giác ABC có:
2 2 2 2
2 . .cos 12 2 3AC AB CB BA BC B a AC a
= + − = ⇒ =
Áp dụng pitago trong tam giác vuông:
2 2 2 2
2 2 2 2
13 13
21 21
SB SA BA a SB a
SC SA AC a SC a
= + = ⇒ =
= + = ⇒ =
Ta có:
2 2 2
15 4
os sin
2 .
273 91
SB SC BC
c BSC BSC
SB SC
+ −
∠ = = ⇒ ∠ =

2
1
. .sin 2 3
2

( )
' '
, ' , ' , '
3
', '
AHD
AHC D
CK AD CK mp AHD C mp AHD
V
C mp AHD
S
∆
= =
= =
Dễ thấy H là trung điểm của CC’ và tính được
3
' ' ' '
1
. .
3 12
AHC D HC D
a
V AD S
∆
= =
Xét tam giác AHD có:
2 2
5
' ' ; 2
2

AHC D
V
a
CK AD CK mp AHD
S
∆
= = =
Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm của AA’. Chứng minh
rằng thiết diện C’MB chia lăng trụ thành hai phần tương đương.
HDG: Gọi
1
V
là thể tích phần đa diện chưa điểm A, và V là thể tích lăng trụ.
Kí hiệu h là khoảng cách từ B đến mp (ACC’A’), ta có:

( )
1 . ' ' ' ' '
' ' ' '.
1 1
. . .
3 3
1 1 1 3 1
. . .
3 2 2 2 2
B ACC A ACC M ACC AMC
ACC ACC ACC C ABC
V V h S h S S
h S S h S V V
∆ ∆
∆ ∆ ∆

.
Kẻ
( ) ( ) ( )CM SD SD ACM ACM P⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ≡
Vậy (ACM) là thiết diện.
5. Đặt
1 .D ACM
V V
=
Ta có:
.
.
1
2
S ACM
S DAC
V
V SM
V SD
V
′
= =
. Gọi N là trung điểm của CD

0
óc( ) 60HN CD SN CD g SNH⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =
GV: Ngô Ngọc Điển Trang 6
Trường THPT Yên Thế

0
1

nên
( )
SO mp ABCD
⊥
. Mà
AC BD
⊥
vì ABCD là hình thoi, nên
O BD
∈
Có:
( ) ( ) ( ) ( )
,SO SBD SO ABCD SBD ABCD
∈ ⊥ ⇒ ⊥
Bài 2: Tứ diện SABC có
( )
.SA mp ABC
⊥
Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam
giác ABC và SBC.
1. Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và
( ) ( )
SAC BHK
⊥
2. Chứng minh
( )
HK SBC⊥
và
( ) ( )
.SBC BHK⊥

GV: Ngô Ngọc Điển Trang 7
Trường THPT Yên Thế
2. Chứng minh
( )
||BD mp P

HDG:
1. Vì ABCD là hình vuông tâm O nên AC và BD vuông góc với nhau tại O, vì SA
vuông góc với (ABCD) nên
( ) ( ) ( )
SA BD BD SAC SBD SAC⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
2. Từ giả thiết suy ra:
( ) ( )
P SAC⊥
, mà
( ) ( )
||BD SAC BD P⊥ ⇒
Bài 4: Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD. Qua A dựng đường thẳng Ax
vuông góc với (P). lấy S là một điểm tùy ý trên Ax (
S A≠
). Qua A dựng mặt phẳng
(Q) vuông góc với SC. Giả sử (Q) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’.
Chứng minh:
' , 'AB SB AD SD⊥ ⊥
và
. ' . ' . 'SB SB SC SC SD SD
= =
HDG: Từ giả thiết suy ra:
( )
, 'SA BC AB BC BC SAB BC AB⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥
. Tính SA=?
b. Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB,CD lần
lượt tại I,J. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Hãy xác định các
giao điểm K,L của SB,SD với mặt phẳng (HIJ). CMR:
( )AK SBC⊥
;
( )AL SCD⊥
.
c. Tính diện tích tứ giác AKHL=?
Giải:
a) Ta có:
( )
( )
( )
BC BA
BC SAB BC SA
BC BS
SA ABCD
DC DA
DC SAD DC SA
DC DS
⊥ 

⇒ ⊥ ⇒ ⊥


⊥
 
⇒ ⊥

AH
⊥ 

⇒ ⊥ ⇒ ⊥
 
⇒ ⊥ ⇒ ⊥
⊥



⊥

Từ (1) và (2) ta có:
( )AK SBC⊥
. Tương tự cho
( )AL SCD⊥
c) Tứ giác AKHL có:
;AL KH AL LH⊥ ⊥
nên:
1
( . . )
2
AKHL AK KH AL LHS = +
.
Vậy :
2
8
15
a
AKHLS =

( )
BD mp SAC⊥
.
Trong tam giác SAC, kẻ OI vuông góc với SC khi đó BD và OI vuông góc nhau do đó
OI là đường vuông góc chung của SC và BD
Ta có:
( )
2 2
.
2 2
SA SC SAOC ah
SAC OIC OI
OI OC SC
h a
∆ ∆ ⇒ = ⇒ = =
+
:
Bài 2: Cho chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng
3 ,a
cạnh bên bằng
2 .a
Gọi G là
trọng tâm tam giác ABC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.
HDG: Trong tam giác ABC đều, kéo dài AG cắt BC tại M
AG BC⇒ ⊥
Chóp S.ABC đều, mà G là tâm
ABC
∆
ABC nên
( )

Đáy ABC là tam giác vuông tại B với BA=a. Gọi M là trung điểm của AB. Tìm độ dài
đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng SM và BC.
HDG:
Ta có
( )
SA BC
BC SAB
AB BC
⊥

⇒ ⊥

⊥

tại B. Dựng
( )BH SM H SM
⊥ ∈
.
Ta thấy:
BH BC
⊥
. Vậy BH chính là đoạn vuông góc chung của SM và BC.
Ta tính BH như sau:
Vì
1 2
2
3
3 3
2
2

OI là đoạn vuông góc chung của SA và BD.
Ta có:
2 2
6 2 3
3 3
a a
SO OA SA SO OA= = ⇒ = + =

2
. 3
...
3
SOA
S
SO OA a
OI
SA SA
∆
⇒ = = = =
Bài 5: Cho tứ diện ABCD với AB=CD=a, AC=BD=b, BC=AD=c. Gọi I và J lần lượt
là trung điểm của AB và CD. Hãy tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và CD.
HDG:
Ta thấy ngay
ABC ABD
∆ = ∆
nên 2 trung tuyến CI và BD bằng nhau hay
ICD
∆
cân tại I. Nên ta có
IJ CD

2. Chứng minh
tan os
2
c
α
β
=
là điều kiện cần và đủ để
'BM MC⊥
.
HDG: 1. Trong mp(ACC’A’) kéo dài C’M cắt CA tại N, thì A là trung điểm của NC
suy ra:
1
2
BA AC AN BA CN BCN= = ⇒ = ⇒ ∆
vuông tại B nên
BN BC⊥
.
Tương tự ta có
'BN BC⊥
Dễ thấy:
( ) ( )
'BN mp MBC mp ABC= ∩
, từ trên suy ra
( ) ( )
( )
·
' , 'C BC ABC MBC
β
∠ = =

α
HDG: Ta có:
2 2 2 2 2
2 6
A ,
2 2
a a
EF AE F ME MF MC CB BF= + = = = + + =
Gọi
I EF AC MI EF= ∩ ⇒ ⊥
. Mà
( ) ( )
,MI EF AC MEF ABCD EF⊥ ⊥ ∩ =
nên:góc giữa hai
mặt phẳng (ABCD) và (EFM) là
MIC
α
∠ =
Do đó:
2 2
3
3 11
4
os ..
11
IF
AC
IC
c
IM

= − + − = + + − +
Dễ thấy góc giữa hai phẳng (SAM) và (SAN) là góc
MAN
α
∠ =
Do đó:
2 2 2
30 os os30
2 .
AM AN MN
c c
AM AN
α α
+ −
= ⇔ = =
o o

( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
2
2
2 2
2
3
2
.
3

⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ∠ =
Ta có:
2
2
2
os os
OH OH
CH CH
c c
γ γ
⇔= =
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
os
a b b c c a a b
CH OC OH c
a b a b b c c a
γ
+ +
= + = ⇒ =
+ + +
Tương tự và ta tính được:
2 2 2
os os os 1c c c
α β γ
+ + =
b) Áp dụng công thức diện tích hình chiếu ta có:
2 2 2 2
cos

( )S At P
∈ ⊥
. Tìm hệ thức giữa x, y để:
a)
( )
0
( ),( ) 45SAM SAN
∠ =

b)
( ) ( )SAM SMN
⊥
HDG:
GV: Ngô Ngọc Điển Trang 12
Trường THPT Yên Thế
a)
( )
( ),( )SAM SAN MAN
∠ = ∠

Ta có:
2 2 2
2 . cosMN MA NA MA NA MAN
= + − ∠
Ta tính được:
2 2 2
2 2 2 0 2 2 3 4
2 2 2
( ) 45 4 ( ) 4 2 ( )
( )

BD=?
Bài 2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với
mặt phẳng (ABCD) và SA=a. Gọi E là trung diểm của CD. Tính theo a khoảng cách
từ điểm S đến đường thẳng BE=?
Bài 3:
Trong không gian cho tứ diện OABC với
(0;0; 3), ( ;0;0)A a B a
và
(0; 3;0); 0C a a >
. Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng AB và OM=?
Bài 4:
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh bằng a và
đường chéo
GV: Ngô Ngọc Điển Trang 13
Trường THPT Yên Thế
BD=a. Cạnh
6
2
a
SC
=
vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
CMR: Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc với nhau.
Bài 5:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
Tính khoảng cách giữa AB’ và BC’=?
Bài 6: ( Đề thi TSĐH 2003 – Khối A)
Cho hình lập phương

.
SC BD BC
a a
d SC BD SC BD a a a d SC BD
a a a
SC BD
 
 
 
= = ⇒ = =
 
 
+ +
 
uuur uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
Bài 2: Chọn góc tam diện là: (O;OB;OC;OA)

4
4 4
2
2 2
2
2
.
3 5
4
( ) ; . ( ; ; ) ( )
2 5

2 2 2 5
9 3
.
4 2
a
AB OM OA
a a a a
d AB OM AB OM d AB OM
a a
AB OM
 
 
 
= = − ⇒ = =
 
 
 
+
uuur uuuur uuur
uuur uuuur
uuur uuuur
Bài 4: Gọi K là trung điểm của SA. Chọn góc tam diện là: (I;ID;IA;IK)

2 2 2
2 2 2
3 2 6 3
. ( ; ; )
( )
4 4 2
3 2 6 3

uur uur
uur uuur
r
r
r r
Vậy :
( ) ( )SAB SAD
⊥
Bài 5: Chọn góc tam diện (A,AB,AD, AA’)2 2 2
3
4 4 4
'. '
( ', ') ; '. ' ( ; 2 ; )
'. '
6
( ', ')
6
4
AB BC AB
d AB BC AB BC a a a
AB BC
a a
d AB BC
a a a
 
 
 

( ) ( )
; ; ( ),( ) 180 60 120
.
. .
.
A B AC a a
A BC
A D AC a a
A DC
SAB SAD
c
SAB SAD SAB SAD
SAB SAD
B AC D A BC A DC
n
n
n n
n n n n
n n
 
=
 
 
=
 
   
⇒ = ⇒ ∠ =
 ÷  ÷
   
⇒ ∠ = − =

. Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại điểm N. Tìm
thể tích khối chóp S.BCNM=?
Bài 4: ( Đề thi TS CĐSP Tây Ninh-2006)
Cho trong mặt phẳng (P) hình vuông ABCD cạnh a. Qua trung điểm I của cạnh
AB dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên d lấy điểm S sao
cho:
3
2
a
SI
=
.
a) Tính thể tích hình chóp S.ACD=?
b) Tìm khoảng cách từ C đến (SAD)=?
Lời giải:
Bài 1: Gọi O là trung điểm của AD . Chọn hệ trục Oxyz sao cho:
(O, Ox, Oy, Oz) trùng với (O,OD,ON,OS).
Ta có:

3
; ; ), (0; ;0), ( ; ;0)
4 2 4 2 2
3
( ;0;0), ( ; ;0), ( ; ;0), ( ;0;0), (0;0; )
2 2 2 2 2
(
a a a a a
N a P
a a a a
A B a C a D S a

Vậy:
3
3
96
a
CMNPV =
Bài 2: Chọn góc tam diện là (A, AB, AD, AA’) ta có:

( ; ;0); ' ( ; ; ); ' (0; ; )BD a a BD a a h BC a h
= − = − =
uuur uuuur uuuur
GV: Ngô Ngọc Điển Trang 16
Trường THPT Yên Thế
Mà :
1
DD' ' . ' '
6
B C BD BD BC
V
 
=
 
uuur uuuur uuuur
với
. ' ( ; ;0)BD BD ah ah
 
=
 
uuur uuuur
Vậy :

os30 3
.
SB n x
c x a
SB n
x a
= = ⇒ =
+
uuurr
uuur r
Vì:

1 1
. . .
6 6
S BCMN SM SC SB SM SC SNV
   
= +
   
uuur uuur uur uuur uuur uuur
Chọn góc tam diện là (A,AB,AD,AS)
Ta có:
( )
. (1;0; 3) : 3 3 0
( )
BC MN BCM x z a
BCM
n
 
= ⇒ − − =

1 2 3 4 3 10 3
.
6 3 9 27
a a
SM SC
a a a
S BCMN
V
 
 
= −
 ÷
 
 ÷
 
 
⇒ = + =
 
 
uuur uuur
Bài 4:
a) Gọi O là trung điểm của AB; M là trung điểm của CD
Chọn góc tam diện là: (O;OB;OM;OS)
GV: Ngô Ngọc Điển Trang 17
Trường THPT Yên Thế

2
2
3 3
1 3

2
a
d C SAD
⇒ → =
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng trong không
gian
1. Bài toán thiết lập phương trình mặt phẳng
Bài 1: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm G(1;1;1)
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua G và vuông góc với OG
b) Mặt phẳng (P) ở câu (1) cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C.
CMR: ABC là tam giác đều.
Bài 2: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 điểm I( 0;0;1) và K( 3;0;0)
Viết phương trình mặt phẳng qua I, K và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc
bằng
0
30
.
Bài 3: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình:

1 2
2 3 5 0 2 2 3 17 0
( ) : à (d ) :
2 0 2 2 3 0
x y z x y z
d v
x y z x y z
− + − = − − − =
 
 
+ − = − − − =



= −

Viết phương trình mặt phẳng chứa
1 2
( ) à ( )d v d
GV: Ngô Ngọc Điển Trang 18
Trường THPT Yên Thế
Lời giải:
Bài 1: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm G(1;1;1)
c) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua G và vuông góc với OG
d) Mặt phẳng (P) ở câu (1) cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C.
CMR: ABC là tam giác đều.
Giải:

( )
) ( ) ê (1;1;1;)
P
a Do OG P n n n OG
⊥ = =
uuur uuur
( ) :1( 1) 1( 1) 1( 1) 0 ( ) : 3 0P x y z hay P x y z
⇒ − + − + − = + + − =

0
) ì Ox : (3;0;0)
0
y
b V A

( ) ( ; ;1) à (0;0;1) os30
3 2
.
( ) : 1
3 1
3 2
2
xOy
xOy
xOy
x y z
a b c
a b c
x y z
Do I c v do K a
b
n n
n v n c b
b
n n
x y z
α
α
α
α α α
α
α
+ + = ≠
∈ ⇒ = ∈ ⇒ = ⇒ + + =
⇒ = = ⇒ = ⇒ = ±


1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
(1; 1; 1); (1; 2;2) . ( 4; 3; 1)
(4;3;1)
d d Q d d
Q
Do u u n u u
Hay n
 
= − − = − ⇒ = = − − −
 
=
r r r r r
r
Mặt khác:

1 2
(2; 1;0) ; (0; 25;11)
( ) : 4( 2) 3( 1) 0 ( ) : 4 3 5 0
I d J d
Q x y z hay Q x y z
− ∈ − ∈
⇒ − + + + = + + − =
Bài 4: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình:

1 2
5 2
7 0

1 2
( ) ( )
(5;1;5) ; (5;2;0) (0;1; 5)
à . (0;1; 5) ( ) :3( 5) 5( 1) 5 0
( ) : 3 5 25 0
Q d
M d N d MN
v n u MN Q x y z
hay Q x y z
∈ ∈ ⇒ = −
 
= = − ⇒ − + − + − =
 
+ + − =
uuuur
r r uuuur
2) Bài toán thiết lập phương trình đường thẳng
Bài 1:
Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d):

( ) : 7 0P x y z
+ + − =
;
2 5 0
( ) :
2 3 0
x y z
d
x z
+ + + =

.
Bài 3:
Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình

1 2
3 1 0
1
( ) : à ( ) :
2 1 0
1 2 1
x z
x y z
d v d
x y
− + =

+
= =

+ − =

a) CM:
1 2
( ) à ( )d v d
chéo nhau.
b) Viết phương trình đường thẳng d cắt cả
1 2
( ),( )d d
và song song với


b) Viết phương trình đường thẳng
∆
vuông góc với (P), cắt cả
1 2
( ),( )d d
.
GV: Ngô Ngọc Điển Trang 21
Trường THPT Yên Thế
Lời giải:
Bài 1:
Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d):

( ) : 7 0P x y z
+ + − =
;
2 5 0
( ) :
2 3 0
x y z
d
x z
+ + + =


− + =

Giải:
Đường thẳng
( )d
′

r r r r
Bài 2: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng(P) : 4x-3y+11z-26=0
và 2 đường thẳng:

1 2
3 1 4 3
( ) : à ( ) :
1 2 3 1 1 2
x y z x y z
d v d
− + − −
= = = =
−

c) CM:
1 2
( ) à ( )d v d
chéo nhau.
d) Viết phương trình đường thẳng
∆
nằm trong (P) cắt cả
1 2
( ) à ( )d v d
.
Giải:

( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 2

⇒ = =
− −
Bài 3:
Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình

1 2
3 1 0
1
( ) : à ( ) :
2 1 0
1 2 1
x z
x y z
d v d
x y
− + =

+
= =

+ − =

c) CM:
1 2
( ) à ( )d v d
chéo nhau.
d) Viết phương trình đường thẳng d cắt cả
1 2
( ),( )d d
và song song với
( ) ( )
1 1 1 1 2 2 2 2
2 1 1 2 2 1
2 1 1 2 1 2
( )
1 2
) ( ; 1 2 ; ) à ( ;1 2 ;1 3 )
( ;2 2 2 ;1 3 )
1 3 1
1 2 2
2; 1 2;3;2 : 1; 1;4
4 7 3
: ( ) :
1 4 2
b GS d d A A t t t v d d B B t t t
AB t t t t t t
t t t t t t
Do d song song u AB
t t A B
x y z
KQ d
∆
∩ = ⇒ − + ∩ = ⇒ − +
⇒ = − − − + −
− − − − −
∆ ⇒ ↑↑ ⇒ = =
⇒ = = ⇒ −
− − −

∆
vuông góc với (P), cắt cả
1 2
( ),( )d d
.
Giải:
( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 2
( ) ( )
1 1 2 2
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
) ó : (2;3;1) ; (1;5; 2) à ( 1;1;2) ; (2; 2;0)
(3; 3; 2) . . 62 0 à éo
d d
d d
a Ta c u u v M d M d
M M u u M M d v d ch nhau
= = − − ∈ − ∈
 
⇒ = − − ⇒ = − ≠ ⇒
 
r r
uuuuuur r r uuuuuur

1 2
1 2
1 2

t t t t t t
Do P n AB
x y z
KQ
∩ ∆ = ⇒ − + + ∩ ∆ =
⇒ + − − ⇒ = − − − − − − −
− − − − − − −
∆ ⊥ ⇒ − − = ↑↑ ⇒ = =
− −
− − −
⇒ ∆ = =
− −
uuur
r uuur
3) Xác định điểm và các yếu tố khác trong hình học giải
tích không gian
Bài 1:
Cho điểm A( 3;-2;5) và đường thẳng
2 3 0
( ) :
3 2 7 0
x y z
d
x y z
+ − + =


+ + − =

a) Viết phương trình tham số của (d)

A
qua
1
( )d
.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
1 2
( ) à ( )d v d
.
Bài 3:
Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm M( 5;2;-3) và mặt phẳng

( ) : 2 2 1 0P x y z
+ − + =
Xác định hình chiếu của
1
M
của
M
lên (P).
Lời giải:
Bài 1:
Cho điểm A( 3;-2;5) và đường thẳng
2 3 0
( ) :
3 2 7 0
x y z
d
x y z
+ − + =

 
= = − − ∈
 
= − +


⇒ = −


=

′ ′ ′
∈ ⇒ − + − ⇒ = − − −
′ ′ ′
⊥ ⇒ = ⇔ = ⇔ −
r ur uur
uuur
r uuur
Bài 2: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình:

1 2
2 3 5 0 2 2 3 17 0
( ) : à (d ) :
2 0 2 2 3 0
x y z x y z
d v
x y z x y z
− + − = − − − =
 
 