Học thêm toán – 0968 64 65 97 Chuyên đề Mũ & Logarit
GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN HUY
HTTP://THAYTOAN.NET
1

Chun đề 4
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ
LOGARIT
A. Tóm tắt lí thuyết
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ
1. Các định nghĩa:


n
n thừa số
a a.a a



(n Z , n 1, a R)

  

1
a a


a




)

m
n
m
n
m
n
1 1
a
a
a

 

2. Các tính chất :


m n m n
a .a a




m
m n
n
a
a
a



 Tập giá trị :
T R


(
x
a 0 x R
  
)
 Tính đơn điệu:
* a > 1 :
x
y a

đồng biến trên
R

* 0 < a < 1 :
x
y a

nghịch biến trên
R

Học thêm toán – 0968 64 65 97 Chuyên đề Mũ & Logarit



' .ln
x x
a a a




' . '
u u
e e u
 (với u là một hàm số)


' . ln . '
u u
a a a u
 (với u là một hàm
số)

II. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LƠGARÍT

1. Định nghĩa: Với a > 0 , a

1 và N > 0 dn
M




a
log a 1



M
a
log a M



log N
a
a N



a 1 2 a 1 a 2
log (N .N ) log N log N
 

1
a a 1 a 2
2
N
log ( ) log N log N
N

3. Cơng thức đổi cơ số :


a a b
log N log b. log N


a
b
a
log N
log N
log b

* Hệ quả:

a
b
1
log b
log a
 và
k a
a
1
log N log N
k

R

 Đồ thị của hàm số lơgarít:
 Đạo hàm của hàm số lơgarit:

 
1
ln '
x
x

và
 
1
ln '
x
x


ln
a
x
x a
  
'
log '
.ln
a
u
u
u a
 và
 
'
log '
.ln
a
u
u
u a
 (với u là một hàm số) 0<a<1
y=log
a



M = N

2. Định lý 2: Với 0 < a <1 thì : a
M
< a
N


M > N (nghịch biến)

3. Định lý 3: Với a > 1 thì : a
M
< a
N


M < N (đồng biến )

4. Định lý 4: Với 0 < a

1 và M > 0;N > 0 thì : log
a
M = log
a
N

M = N


x
a
a m x log m
  
Dạng cơ bản:
a
log x m



m
 

:
m
a
log x m x a
  

a. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng : a
M
= a
N
;
a a
log M log N

(Phương pháp đưa về cùng cơ số)
Ví dụ 1: Giải phương trình
x

 


 




 5
4 9
2
2 2
x
x
 

5
4 9
2
x x
  
3
9
2
x
 
6

2)
1
4.2
4
x
x

 







 
3)
3
3 .2 576
x x


4)


2
1
3 2
3 3
x




 



  
 
 
 






(*)
♥ Khi đó:






2 2
1 log 1 log 3 2 2
x x
    



Ví dụ 3: Giải phương trình
2 3 6 36
log log log log
x x x x
  
(1)
Bài giải
♥ Điều kiện:
0
x


♥ Áp dụng cơng thức


log log log , 0 , , ; 1; 1
a a b
c b c a b c a b
    
, ta có



1

2 3 2 6 2 36 2
log log 2 log log 2 log log 2 log
x x x x
      

1)


3 3
log log 2 1
x x
  

Học thêm toán – 0968 64 65 97 Chuyên đề Mũ & Logarit
GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN HUY
HTTP://THAYTOAN.NET
6

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
2)




3 3 3
log 1 log 2 log 6
x x
   



   
1
2
2
2 log 2x 2 log 9x 1 1

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
5)
3
1
1
2 1
3
3
1 1
log log (2 3 )
3 3
x
x



x x
x
  

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
7)


4
log 12 .log 2 1
x
x
 

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
9)




4 2
log 3 log 7 2 0
x x
    

Học thêm toán – 0968 64 65 97 Chuyên đề Mũ & Logarit
GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN HUY
HTTP://THAYTOAN.NET
8

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

Ví dụ 4: Giải phương trình:
   
2
3
3
log (x 1) log (2x 1) 2
(1)
Bài giải
♥ Điều kiện:
1
1 0
1
2 1 0
2
x
x
x
x




3 3
log 1 log 2 1 1
x x
    

3
log 1 2 1 1
x x
 
   
 

1 2 1 3
x x
   
(2)
Học thêm toán – 0968 64 65 97 Chuyên đề Mũ & Logarit
GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN HUY
HTTP://THAYTOAN.NET
9 

2 1 2 1 3 2 3 2 0
2
2
x
x x x x
x


 
        




loại
[thỏa
(*)]
♥ Vậy nghiệm của phương trình là
2
x



Tự luyện: Giải các phương trình sau
1)


2
2 2
log 2log 3 4

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
3)




2
3 3
2log 2 log 4 0
x x
   

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
Học thêm toán – 0968 64 65 97 Chuyên đề Mũ & Logarit
GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN HUY

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
5)




2
2 2
log 1 2 2log 3
x x x
   

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
b. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số

Ví dụ 5: Giải phương trình
9 4.3 45 0
x x
  
(1)
Học thêm toán – 0968 64 65 97 Chuyên đề Mũ & Logarit

 





loại
Với
9
t

thì
3 9 2
x
x
  

♥ Vậy nghiệm của phương trình là
2
x


Tự luyện: Giải các phương trình sau
1)
16 17.4 16 0
x x
  

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
Học thêm toán – 0968 64 65 97 Chuyên đề Mũ & Logarit
GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN HUY
HTTP://THAYTOAN.NET
12

4)
2 2
1 2
9 10.3 1 0
x x x x   
  

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

t

, phương trình (1) trở thành
2
3 29 18 0
t t
  
(3)

 
2

3
3
9
t
t









Với

1)
1 3
5 5 26 0
x x
 
  

Học thêm toán – 0968 64 65 97 Chuyên đề Mũ & Logarit
GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN HUY
HTTP://THAYTOAN.NET
13

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
2)
2 2
1 1
10 10 99
x x 
 

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

 
 
 
   
 
 
(2)
♥ Đặt
3
2
x
t
 







 
với
0
t

, phương trình (1) trở thành
2
6 13 6 0
t t
  

thì
3 3
1
2 2
x
x
 


  




 
Với
2
3
t

thì
3 2
1
2 3
x
x
 

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
2)
3.16 2.81 5.36
x x x
 
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
3)
2 4 2 2
3 45.6 9.2 0
x x x 
  

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
5)
27 12 2.8
x x x
 

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
Học thêm toán – 0968 64 65 97 Chuyên đề Mũ & Logarit
GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN HUY
HTTP://THAYTOAN.NET
16

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

Đặt
2
log
t x

, phương trình (1) trở thành
2
3 2 0
t t
  
(3)

 
1
3
2
t
t

 



 

Với
1


Ví dụ 9: Giải phương trình
1 2
1
5 log 1 logx x
 
 
(1)
Bài giải
♥ Điều kiện:
0
log 5
log 1
x
x
x










 




           



Với
2
t

thì
log 2 100
x x
  
[thỏa (*)]


Với
3
t

thì
log 3 1000
x x
  
[thỏa (*)]
♥ Vậy nghiệm của phương trình là
100; 1000
x x

………………………………………………………………………………………………………………………

2)
2
2 2
6 4
3
log 2x log x
 

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
Học thêm toán – 0968 64 65 97 Chuyên đề Mũ & Logarit
GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN HUY
HTTP://THAYTOAN.NET
18

………………………………………………………………………………………………………………………

3 3
log 1 log 2
2 2
x x
x
 
 
(1)
Bài giải
♥ Điều kiện:
0
x


♥ Đặt
3
log 3
t
t x x
  
thì phương trình (1) trở thành

1 9 2 4
2.2 .2 3 .2 3 2
4 4 3 9
t
t t t t t
t
 


x
 



 






 
(1)
Bài giải
♥ Điều kiện
5.2 8 0
x
 
(*)
Học thêm toán – 0968 64 65 97 Chuyên đề Mũ & Logarit
GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN HUY
HTTP://THAYTOAN.NET
19

♥ Ta có:
 
3
5.2 8
1 2

0
t

, phương trình (2) trở thành
2
5 16 16 0
t t
  
(3)

 
4
3
4
5
t
t






 


Với

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
c. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B=0,

Ví dụ 12: Giải phương trình
4.5 25.2 100 10
x x x
  
(1)
Bài giải
♥ Ta có:


1 4.5 2 .5 25.2 100 0
x x x x
    



5 4 2 25 2 4 0



♥ Vậy nghiệm của phương trình là
2
x



Tự luyện: Giải các phương trình sau
1)
3.7 49.3 147 21
x x x
  

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………


3)
2 7 2 7
log 2log 2 log .log
x x x x
  

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

d. Phương pháp 4: Lấy lơgarít hai vế theo cùng một cơ số thích hợp nào đó
(Phương pháp lơgarít hóa)
Ví dụ 13: Giải phương trình
2
3 .2 1
x x



3
1 log 2 0
x x
  

Học thêm toán – 0968 64 65 97 Chuyên đề Mũ & Logarit
GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN HUY
HTTP://THAYTOAN.NET
22 2
3
0
1
log 3
log 2
x
x






   



0
) thì đó là nghiệm duy nhất của
phương
trình f(x) = g(x))

Ví dụ 14: Giải phương trình
3 4 5
x x x
 
(1)
Bài giải
♥ Chia hai vế phương trình (1) cho
5
x


5 0,
x
x
 
, ta có

 
3 4
1 1
5 5
x x
   
 
 


 
3 3 4 4
' ln ln 0,
5 5 5 5
x x
f x x
   
 
 
    
 
 
 
 
   






f x
nghịch biến trên

(*)
♥ Mặt khác


2 1





 
(1) (Dạng




f x g x

)
Học thêm toán – 0968 64 65 97 Chuyên đề Mũ & Logarit
GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN HUY
HTTP://THAYTOAN.NET
23

Bài giải
♥ Xét các hàm số
 
1
3
x
f x
 






0 0
f g



(1) có nghiệm
0
x

(**)
Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình (1) có nghiệm duy nhất
0
x


♥ Vậy nghiệm của phương trình là
0
x



Bài tập:
Giải các phương trình sau
1) 2
x
= 1+
x
2
3

HTTP://THAYTOAN.NET
24

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

3)
3 x 2
2 x 8x 14

   

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………
5)


x 2 x 2
3.25 3x 10 .5 3 x 0
 
    

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
6)


9 12 3 11 0
x x