BÀI TẬP THEO CHUYÊN ĐỀ HH11
BÀI TẬP THEO CHUYÊN ĐỀ HH11
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
I. Hai đường thẳng vuông góc với nhau
A. Phương pháp chứng minh:
C1 : Dùng các quan hệ vuông góc đã biết trong mặt phẳng.
C2 :
a b
⊥ ⇔
góc
( ; ) 90
o
a b =
.
C3: Dùng hệ quả:

C4: Dùng hệ quả:
C5 : Dùng hệ quả:

C6 : Sử dụng định lí ba đường vuông góc.
C7: Dùng hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì vuông góc với cạnh
còn lại của tam giác
⊥
C8:a
⊥
b khi 2 vtcp của 2 đt đó vuông góc.
Chú ý:Đlí hàm số cosin
ACAB
BCACAB
A
2

b,
∆
SAB=
∆
SAC(cgc)
⇒
SB=SC
⇒
SM
⊥
BC
Bài 3 :Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD
a. CM: AO
⊥
CD
b. Tính góc giữa 2 đt AB và CD
1
b
//
c
,
a b a c⊥ ⇒ ⊥



( )
( )
a P
a b
b P


⇒ ∆ ⊥

∆ ⊥

BÀI TẬP THEO CHUYÊN ĐỀ HH11
BÀI TẬP THEO CHUYÊN ĐỀ HH11
Hướng dẫn tóm tắt: a,
CDAOBCDAO ⊥⇒⊥ )(
b.Gọi M là trđ CD
⇒
AM
⊥
CD ,lại có AO
⊥
CD
⇒
CD
⊥
(AMB)
⇒
CD
⊥
AB
Bài 4 : Cho hình chóp S.ABC có SA =SB=SC=a, tam giác ABC vuông cân và AB= AC =
2a
.
a Tính góc giữa 2 đt SA và BC
b.Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC
Hướng dẫn tóm tắt:

a.AB
⊥
CD
b.Nếu M,N là trung điểm của AB và CD thì MN
⊥
AB, MN
⊥
CD
Hướng dẫn tóm tắt:
a.Từ g thiết
⇒
∆
ABC ,
∆
ABD là đều.Gọi M là tr đ AB
⇒
CM
⊥
AB;DM
⊥
AB
⇒
AB
⊥
CD
b.Theo a *có AB
⊥
MN
*Xét
∆

⇒
BC
⊥
AD
cách 2:
0).(. =+= EDAEBCADBC

⇒
BC
⊥
AD
b. I là trung điểm CD
⇒
BI
⊥
CD;AI
⊥
CD
⇒
CD
⊥
AB
Bài 8 :Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Tính góc giữa AB và CD
Bài 9 : Cho tứ diện ABCD có AB= AC =AD= a, BC= BD= a
2
, CD= 2a
a.Tính góc giữa 2 đt AB và CD
b.Tính góc giữa 2 đt AD và BC
Hướng dẫn tóm tắt:
a.(AB,CD)=

BÀI TẬP THEO CHUYÊN ĐỀ HH11
II. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
A. Phương pháp chứng minh
C1 : Dùng định lý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau
nằm trong mặt phẳng
C2 : Dùng hệ quả: Cho hai đường thẳng // nếu đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng thì đường thẳng
kia cũng vuông góc với mặt phẳng
C3 : Dùng hệ quả: Cho hai mặt phẳng vuông góc theo giao tuyến b, nếu đường thẳng a nằm trong mẵt
phẳng này vuông góc với giao tuyến b thì đường thẳng a cũng vuông góc với mặt phẳng kia
C4 : Dùng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của
hai mặt phẳng này cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó
 Lưu ý các kiến thức thường gặp:
- Tam giác ABC cân ở đỉnh A thì đường trung tuyến kẻ từ A cũng là đường cao
- Tam giác đều thì mọi đường trung tuyến đều là đường cao
- Hình thoi, hình vuông có 2 đường chéo vuông góc với nhau
B.Bài tập ứng dụng
Bài 11 : Cho tứ diện ABCD có 2 mặt ABC và DBC là hai tam giác cân chung đáy BC. Gọi I là trung điểm
BC.
a. chứng minh BC vuông góc AD
b. kẻ AH là đường cao trong tam giác ADI. Chứng minh AH vuông góc với mp(BCD)
Hướng dẫn tóm tắt:
3




b
,
c
cắt nhau ,


β


α

∆
( ) ( )
( )
( ) ( ),( ) ( )
P
P P
α β
α β
∩ = ∆

⇒ ∆ ⊥

⊥ ⊥

BÀI TẬP THEO CHUYÊN ĐỀ HH11
BÀI TẬP THEO CHUYÊN ĐỀ HH11
a.BC
⊥
DI và BC
⊥
AI nên BC
⊥
AD
b.AH

AH
⊥
SC và AK
⊥
SC nên SC
⊥
(AHK)
Bài 13 : Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O với SA = SC, SB = SD. Chứng minh
a.SO vuông góc với (ABCD)
b.AC vuông góc SD, BD
⊥
SA
c.Gọi I, J lần lượt là trung điểm của cạnh BA, BC. cm IJ
⊥
(SBD)
d.Trong tam giác SAD kẻ đường cao SH. cm: AD
⊥
(SOH)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.SO
⊥
AC và SO
⊥
BD nên SO
⊥
(ABCD)
b.AC
⊥
BD và AC
⊥

AH nên AH
⊥
(BCD)
b.BC
⊥
AH và BC
⊥
DH nên BC
⊥
AD.
Bài 15 : Cho hình chóp S.ABCD có SA
⊥
đáy. Đáy ABCD là hình thang vuông tại A.
AD = 2AB = 2BC
a.cm BC
⊥
(SAB) b.cm SC
⊥
CD
Hướng dẫn tóm tắt:
a.BC
⊥
SA và BC
⊥
AB nên BC
⊥
(SAB)
b.MAC cân tại M nên góc MAC =
0
45

⊥
BC nên AH
⊥
(SBC)
Bài 17 : Cho hình chóp S.ABC có SA =
2
6a
và các cạnh còn lại đều bằng a. Gọi I là trung điểm BC.
cm:
a.BC
⊥
SA
b.SI
⊥
(ABC)
4
Hướng dẫn tóm tắt:
a.BC
⊥
AI và BC
⊥
SI nên BC
⊥
SA
b.
222
SASIAI =+
nên SI
⊥
AI tại I. SI

c. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên IJ cm SH
⊥
AC
Hướng dẫn tóm tắt:
a.
2
;
2
3 a
SJ
a
SI ==
.tam giác SIJ vuông tại S
b.IS
⊥
SJ và SI
⊥
CD nên SI
⊥
(SCD)
c.SH
⊥
IJ và SH
⊥
AB nên SH
⊥
(ABCD) suy ra SH
⊥
AC
Bài 20 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O, SA




⊥
a
a
3.
))//()(
)(
)(
)()(
βα
β
α
βα
⇒





⊥
⊥
≠
a
a
4.
ba
b
a

)(
)(
α
α
α
a
a
b
ba

B. Bài tập ứng dụng
Bài 21 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, SA vuông góc (ABCD). Gọi
α
là mặt
phẳng qua A và vuông góc với SC,
α
cắt SC tại I.
a. Xác định giao điểm của SO và (
α
)
b. Cm: BD vuông góc SC. Xét vị trí tương đối của BD và (
α
)
c. Xác định giao tuyến của (SBD) và (
α
)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.J là giao điểm của AI và SO thì J là giao điểm của SO và(
α
)

(ABC)
a. Kẻ đ/cao AH trong tam giác SAB. cm BC
⊥
(SAB) và AH
⊥
(SBC)
b. Kẻ đường cao AK trong tam giác SAC. cm SC
⊥
(AHK)
c. Kẻ đường cao BM trong tam giác SBC. cm BM //(AHK)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.AH
⊥
SB và AH
⊥
BC nên AH
⊥
(SBC)
b.SC
⊥
AK và SC
⊥
AH nên SC
⊥
(AHK)
c.BM
⊥
SC mà (AHK)
⊥
SC nên BM//(AHK)

α β
=
góc
·
( ; ) : 0 90
o
Ox O y xOy
ϕ ϕ
= = ≤ ≤
•

( ) ( ) 90
o
α β ϕ
⊥ ⇔ =
B. Bài tập ứng dụng:
Bài 25 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. Các tam giác SAC và tam giác SBD cân tại S.
Gọi O là tâm hình thoi
a.cm SO
⊥
(ABCD) b. cm (SAC)
⊥
(SBD)
Hướng dẫn tóm tắt:
Bài 26 : Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B. SA
⊥
đáy
a. cm: (SAB)
⊥
(SBC) b.Gọi M là trung điểm AC. cm (SAC)

đoạn SD =
2
6a
vuông góc với (ABC). cm
a.(SBC)
⊥
(SAD) b.(SAB)
⊥
(SAC)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.Trong tam giác (SBC) có BC
⊥
(SAD) suy ra đpcm
b.
∆
SAB=
∆
SAC.Trong
∆
SAC kẻ đg cao CK
⊥
SA,Trong tam giác SAB kẻ đg cao BK
⊥
SA.2 tam giác vuông SDA và IKA đồng dạng
2
a
IK
SA
IA
SD

phẳng vuông góc với đáy, I, K lần lượt là trung điểm của AB, BC
a. cm SI
⊥
(ABCD)
b. cm SAD, SBC là tam giác vuông
c. cm (SAD)
⊥
(SAB) và (SBC)
⊥
(SAB)
d. cm (SDK)
⊥
(SIC)
Hướng dẫn tóm tắt:
β
α

( )
( ) ( )
( )
a
a
β
α β
α
⊂

⇒ ⊥

⊥

⊥
mp(ABCD). SO = a/2. Gọi
I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC
a. cm: (SBD)
⊥
(SAC) b. cm (SIJ)
⊥
(SBC)
Hướng dẫn tóm tắt:
Bài 33 : Cho tứ diện ABCD có SA
⊥
(ABC). Gọi H, K là trực tâm của 2 tam giác ABC và SBC.
cm
a. AH, SK, BC đồng quy b.SC
⊥
(BHK); (SAC)
⊥
(BHK)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.AH
∩
BC=M .SM
⊥
BC do đó SM là đg cao của tam giác SBC
SMK
∈⇒
vậy SK,BC,AH đồng quy tại M
b.SC
⊥
BK và SC

=
•
∆
giao tuyến của
α
và
β
.
• Dựng:
( )OA
OA
α
⊂


⊥ ∆

và
( )OB
OB
β
⊂


⊥ ∆

• Góc
( , )
α β
= Góc

∆
B
O
A
ϕ
a
α

.
Gọi a
’
là hình chiếu
⊥
của a trên (
)
α
Khi đó: Góc
( ;( ))a
α
= Góc(a,a
’
) =
·
A OB
ϕ
=
.
≤
0
0

• .Góc của SC và (ABCD)=góc giữa SC &AC=góc SCA;góc SCA=
0
60
• Góc (SC;(SAD))=góc (SC:SD)=góc CSD=69
0
17’
• Góc SB&(SAC)=góc (SB;SH)=góc HSB=15
0
30
’
(kẻ BH
⊥
AC thì BH
⊥
(SAC) )
• gócAC&(SBC)=góc (AC;CK)=40
0
53
’
vói K là hc của A lên SB
• góc giữa (SBC)&(ABCD) là góc SBA=67
0
47
’
• góc

giữa (SBD)&(ABCD)là góc SOA=73
0
53
’

2
a. CMR (SAC)
⊥
(SBD)
b. Tính góc giữa 2 mp (ABCD) và (SAB)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.Trong (SAC) có AC
⊥
SO và AC
⊥
BD nên AC
⊥
(SBD) suy ra đpcm
b.Gọi M là tr điểm AB.Góc giữa (SAB)&(ABCD)=góc(MO;SM)=
góc SMO.
SOM
a
SO
a
OM
a
SM ∆⇒===
2
6
;
2
;
2
7
vuông tại M;góc SMO=20

⊥
SA do đó BC
⊥
(SAC)
b. (SB;(ABCD))=(SB;AB)=góc SBA=26
0
33
’
Góc giữa SB&(SAC)= (SB;SC)=BSC;tam giác SBC vuông tại C nên góc
BSC=32
0
18
’
c.Trong (SDC) có DC
⊥
DA và DC
⊥
SA nên DC
⊥
(SAC) hay (SCD)
⊥
(SAC)
d.Trong (SBC)có SC
⊥
BC và (SAC) có AC
⊥
BC nên góc của 2 mp này =góc
(SC;AC)=35
0
15

7a
;
6
6
cos =SOA

Bài 41 : Cho hình chóp S.ABCD có (SAB) và (ABCD) nằm trong hai mp vuông góc, ABCD là
hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều. Gọi M,N là trung điểm của AB và DC
a. Chứng minh DC
⊥
(SMN)
b. Tính góc giữa đường thẳng SN với mp(ABCD)
c. Tính góc giữa 2mp(SMC) và (ABCD)
Hướng dẫn tóm tắt:SM
⊥
AB và (SAB)
⊥
(ABCD) nên SM
⊥
(ABCD)
a.DC
⊥
SM và DC
⊥
MN nên DC
⊥
(SMN)
b.góc (SN;(ABCD))=(SN;MN)=góc SNM=40
0
53

’
Bài 43 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA
⊥
(ABCD), SA = a.
Tính góc giữa 2mp
a. (SBC) và (ABCD)
b. (SBC) và (SCD)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.góc (SBC)&(ABCD)=góc SBA=45
0
b.Trong tam giác SDC kẻ DK
⊥
SC; trong tam giác SBC kẻ BK
⊥
SC. Góc (SBC)& (SDC)
= (DK;BK)=góc BKD.có DK=BK.;BD=
2a
;SC
⊥
(BDK) nên SC
⊥
KO do đó tam giác
CKO vuông tại K. KO=
6
6a
và góc DKO =60
0
suy ra góc DKB=120
0
.Vậy góc

α

α

α

α


 !"#
∆
$

⊥

∆
%

∆
%

∆
$

∆
%

&&
∆
$

α

β

∆

α


∆

⊥

α

α


α
&&
β

∆
(")
α



∆
α

α


α


•
457)
α




.


Khoảng cách từ một điểm
đến một đường thẳng
Khoảng cách từ một điểm
đến một mặt phẳng
Khoảng cách giữa hai
đường thẳng song song
Khoảng cách giữa mặt
phẳng và đường thẳng //
song song
Khoảng cách giữa hai
mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai
Đường thẳng chéo nhau
- đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b

*d(C;(SAB))=CB=a
2
;d(B;(SAC))=BO=a với O là t điểm AC.
c.Gọi I là tđ AB
)//(// SBCIOBCIO ⇒⇒
6
6
))(;(
2
1
))(;(
a
SBCAdSBCOd ==⇒
d.tam giác SDA vuông tại A,kẻ AK
⊥
SD thì AK=d(A;SD)=
7
35a

Bài 45 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tam giác đều cạnh a; SA = SB = SD =
2
3a
. Gọi H
là trực tâm tam giác ABC, I là trung điểm cạnh SH.
a. Tính khoảng cách từ S đến (ABC)
b. Tính khoảng cách từ S đến BC
c. Tính khoảng cách từ I đến BC
Hướng dẫn tóm tắt:
Bài 46 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 3, AD = 4, SA
⊥

15
Bài 47 : Cho hình chop S.ABCD có đáy SA
⊥
(ABCD), đáy ABCD là hình thang vuông tại A và
B. AB = BC =
2
AD
= a, SA = a
a. CM các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông
b. Tính k/c từ A đến mp(SBC)
c. Tính khoảng cách từ B đến đt SD
Hướng dẫn tóm tắt:
b.d(A;(SBC))=
2a
c.tam giác SBD cân tại D;I là tđ SB; DI=
223a
;
SBD
S
=
23
2
a
53);( aSDbd =⇒
Bài 48 : Cho tứ diện ABCD có 2 mp(ABC) và (ADC) nằm trong 2 mp vuông góc với nhau. Tam giác
ABC vuông tại A và AB = a, AC =b, tam giác ADC vuông tại D và DC = a.
a. CMR các tam giác BAD và BDC đều vuông
b. Gọi I, J lần lượt là trung điểmcủa AD và BC. CM: ỊJ là đương vuông góc chung của AD
và BC
Hướng dẫn tóm tắt:

c. CMR (SBC)
⊥
(SAB); tính k/c từ A đến (SBC) và từ A đến (SBD)
d. Tính k/c giữa các cặp đường thẳng AD và SC; SA và CD
e. Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung sau:SB & CD; SC & BD; SC & AB
Hướng dẫn tóm tắt:
a.Gọi H là tđ AC ;IH=d(I;(ABCD))=h/2
b.Gọi K là tđ AB ;thì AB
⊥
KH nên AB
⊥
(KHI)
⇒
d(I;AB)=KI=
2
22
ha +
c.)d(A;(SBC))=
22
ha
ah
+
;kẻ AE
⊥
SH thì AE
⊥
(SBD)
22
24
2

,vớiOH
⊥
SJ
c.d(AD;SB)=d(AD;(SBC))=d(I;(SBC))IK=2OH ,với IK
⊥
SJ
e.d(S;CI)=SE =
=
CI
S
SCI
2
;tam giác SCI
Bài 51 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a. SA
⊥
(ABCD) và SA = a.
a.CMR (SAE)
⊥
(SBD) với E là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABD
b.Tính k/c từ A đến (SBD)
c.Tính k/c giữa các đt AD và SB; AB và SC
Hướng dẫn tóm tắt:
b.trong tam giác SAE kẻ AH
⊥
SE .d(A;(SBD))=AH=2a/3
c.trong tam giác SAB kẻ AK
⊥
SB thì AK=d(SB;AD)=
2
2a

trong mp
⊥
(ABCD). Gọi I, J là trung điểm của AD và BC
a.CMR (SIJ)
⊥
(SBC)
b.Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)
c.Tính khoảng cách giữa 2 đt AD và SB; SA và BD
Hướng dẫn tóm tắt:
a.BC
⊥
IJ và BC
⊥
SI nên BC
⊥
(SIJ) ,do đó (SIJ)
⊥
(SBC)
b.d(S;(ABCD))=SI=
23a
c. d(AD;SB)=d(AD;(SBC))=IH =
721a
,với IH
⊥
SJ
d(SA;DB)=
[ ]
[ ]
7
21


∗
Các mặt bên là những tam giác đều

>
Cách vẽ:

∗
Vẽ đáy ABC
∗
Vẽ trung tuyến AI

∗
Dựng trọng tâm H
∗
Vẽ SH
⊥
(ABC)

•
Ta có:

∗
SH là chiều cao của hình chóp

∗
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là:
·
SA H
α

∗
Vẽ SH
⊥
(ABCD)

•
Ta có:

∗
SH là chiều cao của hình chóp∗
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là:
·
SA H
α
=
.

∗
Góc mặt bên và mặt đáy là:
·
SIH
β
=
69/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy
.

β

∗
SA
⊥
(ABC)
∗
Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là:
·
SBA
α
=

∗
Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là:
·
SCA
β
=
* Chú ý:
a/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a
2
,
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a
3
,
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d =
2 2 2
a b c
+ +
,
b/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h =