Trung tõm Bi dng Vn húa
H Ni- Amsterdam
Thi th vo lp10 - t1 ngy5/4/2015

THI TH VO LP 10 CHUYấN

Mụn : TON
(Dnh cho hc sinh thi vo Chuyờn Toỏn-Tin)
Thi gian lm bi: 150 phỳt

Cõu I (1,5 im)
n gin biu thc:
1 1 1 1

3 3 3 5 5 3 5 7 7 5 101 103 103 101
A = + + + +
+ + + +
.
Cõu II (2,5 điểm).
1) Cho x, y, z l cỏc s dng thay i v tha món: xyz = 1. Tỡm giỏ tr ln nht
ca biu thc.
P =
1 1 1
y
x z
x xy y yz z zx
+ +
+ + + + + +

2) Gii h phng trỡnh :

= 3x + xy .
Cõu IV (2,5 điểm).
Cho tam giác nhn ABC v AB = AC = a. Dng ng trũn (O, r) tip xỳc vi
ng thng AB ti im B v tip xỳc vi ng thng AC ti im C. Gi M l
im tựy ý trờn cung nh BC ca (O) v M khỏc B, M khỏc C. Gi D, E, F ln lt
l hỡnh chiu vuụng gúc ca M lờn cỏc ng thng AB, AC v BC.
1) Chng minh tam giỏc MDF ng dng vi tam giỏc MFE.
2) Xỏc nh v trớ ca M trờn cung nh BC biu thc
2 2
1 1
MD ME
+ t giỏ tr
nh nht. Tỡm giỏ tr nh nht ú theo a v r.
CõuV (1 điểm).
Cho a thc P(x) = x
2
+ ax + b, trong ú a v b l hai s nguyờn dng cho trc v
tha món a
2
< 4b. Chng minh rng tn ti hai s nguyờn m, n sao cho:
m > 2015, n > 2017 v
( ) (2015)
( ) (2017)
P m P
P n P
= .

Hướng dẫn chấm
CâuI(1,5đ)


x
x xy
=
+ +
å

· Sử dụng
2 2
1
( )
2
AB A B
£ + ta có
1 1 1 1
( . ) ( ) 1
2 2
1 1
x
P M N
x xy x xy
+
= £ + = =
+ + + +
å

· MaxP = 1 khi và chỉ khi x = y = z = 1.
( Học sinh có thể dùng BĐT Bu nhi cốp xiki để đánh giá
. 1
P M N
£ =

= - + vào PT(1) có :
2 2
3 11
( )(( ) ) 0
2 4
y
x y x y
- + + =
.
Suy ra x = y hoặc x = y =0
· Thay y = x vào PT(2) có x = 1, x = -1.
· Nghiệm của hệ
1
x y
= = ±
0,5đ 0,5đ
Cau III:2,5đ 1) Gọi USCLN (a, b) = d. Suy ra a = dx, b = dy . Trong đó
d, x, y là các số nguyên dương, x khac y và (x, y) =1.
0,5đ
0,5đ
· Theo BĐT Cau chy ta có
3
3
3 ( )
d m xy
³ > = 3xy ( do x khác
y). Suy ra
3
3
d ab
> (1). Lại có:
a b d x y d
- = - >
,
Suy ra
3
30,5đ
0,5đ
CauIV:2,5đ
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
1 1 2 2 2 2( )
.
( 2 2 )
a r
MD ME MD ME MF KH
r a r r a r
+
+ ³ = ³ =
+ - +

Dấu bằng xảy ra khi M trùng với K (Điểm chính giữa
cung nhỏ BC).

·
2
2 2
4
( ) ( ) 0,
2 4
a b a
P x x ax b x x


0,5đ 0,5đ