Mục lục
Mục lục 1
Chủ đề 1: Căn thức - Biến đổi căn thức 1
Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa 1
Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức 2
Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức và kỹ năng tính toán 3
Chủ đề 2: Phơng trình bậc hai và định lí Viét 7
Dạng 1: Giải phơng trình bậc hai 7
Dạng 2: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm 7
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm
của phơng trình bậc hai cho trớc 8
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô
nghiệm 9
Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của phơng trình ax2 + bx + c = 0 thoả
mãn điều kiện cho trớc 9
Dạng 6: So sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số 10
Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình bậc hai không phụ
thuộc tham số 10
Dạng 8: Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai phơng trình bậc hai 11
Chủ đề 3: Hệ phơng trình 14
Dạng 1: Giải hệ phơng trình cơ bản và đa đợc về dạng cơ bản 14
Dạng 2: Giải hệ bằng phơng pháp đặt ẩn phụ 14
Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trớc
15
Dạng 1: Hệ đối xứng loại I 15
Dạng 2: Hệ đối xứng loại II 16
Dạng 3: Hệ bậc hai giải bằng phơng pháp thế hoặc cộng đại số 16
Chủ đề 4: Hàm số và đồ thị 17
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số 17
Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng 17
Dạng 3: Vị trí tơng đối giữa đờng thẳng và parabol 17
3x
3x
1
13)
x7
3x
6)
65xx
1
12)
27x
x3
5)
35x2x 11) 12x 4)
73xx 10)
147x
1
3)
2x 9) 2x5 2)
3x 8) 13x 1)
2
2
2
2
2
2
++
+
a)
>
Bài 2: Thực hiện phép tính.
33
3;
3
33
3152631526 h) ;2142021420 g)
725725 f) ;10:)4503200550(15 c)
26112611 e) ;0,4)32)(10238( b)
;526526 d) ;877)714228( a)
+++
++
++
++++
Bài 3: Thực hiện phép tính.
1027
1528625
c)
57
1
:)
31
515
21
714
b)
6
1
625
65
625
c)
113
3
113
3
b)
1247
1
1247
1
a)
+
+
+
+
+
+
+
+++
+
Bài 6: Rút gọn biểu thức:
d)
;
4a
a42a8aa
c)
1.a và 0a với,
1a
aa
1
1a
aa
1 b)
b.a và 0b 0,a với,
ba
1
:
ab
abba
a)
22
22
24
++
+
+
>
a.)y)(1x(1xybiết , x1yy1xE e)
1.x2x9x2x16biết , x2x9x2x16D d)
0;3yy3xxbiết , yxC c)
;1)54(1)54(x với812xxB b)
549
1
y;
25
1
x khi2y,y3xxA a)
2222
2222
22
33
3
2
=++++++=
=+++++=
=+++++=
+=+=
+
=
=+=
Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức và kỹ năng tính toán.
Bài 1: Cho biểu thức
21x
3x
P
2x2
1
2x2
1
C
+
+
=
a) Rút gọn biểu thức C.
b) Tính giá trị của C với
9
4
x =
.
c) Tính giá trị của x để
.
3
1
C =
Bài 4: Cho biểu thức
222222
baa
b
:
ba
a
1
x)(1
1x2x
2x
1x
2x
P
2
++
+
=
a) Rút gọn P.
b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
c) Tìm giá trị lơn nhất của P.
Bài 6: Xét biểu thức
.
x3
1x2
+
=
a) Rút gọn H.
b) Chứng minh H 0.
c) So sánh H với
H
.
Bài 8: Xét biểu thức
.
1aaaa
a2
1a
1
:
1a
a
1A
2x
1x
2xx
39x3x
M
+
+
+
+
+
=
a) Rút gọn M.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tơng ứng của M cũng là số nguyên.
Bài 10: Xét biểu thức
.
3x
3x2
x1
2x3
3x2x
11x15
P
+
+
+
a) Rỳt gn B.
b) Tớnh B khi
4 2 3x
=
c) Tỡm giỏ tr nh nht ca B vi x 0; x 1.
Bi 12:
1.1 Tớnh giỏ tr ca biu thc:
3 3
3 1 1 3 1 1
+ + +
1.2 Cho biu thc:
x x y y
x y
M
x y x y xy
=
+ +
a) Rỳt gn M.
4
C¸c chuyªn ®Ò «n thi vµo 10
b) Với điều kiện nào của x và y thì M = 0.
Bài 13:
1.1 Tính giá trị của biểu thức:
3 5 3 5
3 5 3 5
− − − + −
a) Rút gọn P. b) Tính P khi
53
9 2 7
x =
−
c) Tìm x để P
= 16.
Bài 15:
1.1 Tính giá trị của biểu thức:
2( 2 6)
3 2 3
+
+
1.2 Cho biểu thức:
3 3 1 2
2 2 1
x+ 9x x x
K
x x x x
− + −
= − +
+ − + −
a) Rút gọn K. b) Tính K khi
3 2 2x = +
.
c) Tìm x nguyên dương để K nhận giá trị nguyên.
Bài 16:
1.1 Tính giá trị của biểu thức:
1 1 3 2 4 1
1.1 Cho biểu thức:
2
2
1
1
x x x+ x
B
x x x
+
= + −
− +
a) Rút gọn B. b) Tìm x để B = 2. c) Tìm giá trị nhỏ nhất
của B.
Bài 18:
1.1 Tính giá trị của biểu thức:
1 1
2 3 2 3
+
+ −
1.2 Cho biểu thức:
2 1 2
1
1
1 2 1
x+ x x x x x x x
C
x
x x x
− − + −
x
x x x x
− − + −
= − − +
÷ ÷
−
+ − + −
a) Rút gọn D. b) Với giá trị nào của x thì D < 1.
Bài 20:
1.1 Tính giá trị của biểu thức:
2 7
2 2 3 2
+
− −
1.2 Cho biểu thức:
1 1 1 1 1
1 1
x x x x x x
E x
x x x x x x x
− + + −
= − + − +
÷ ÷
÷
− + − +
. d)
2 2 2 2D = + + + +
b)
1 1 1
1 2 2 3 99 100
B = + + +
+ + +
.
c)
1 1 1
2 1 1 2 3 2 2 3 100 99 99 100
C = + + +
+ + +
.
Bài 23: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
4 1 1
:
4 4
2 2
x x x
A
x x
x x
−
= + +
÷
x y x y
+ − +
= +
+
− +
6
n dấu căn
Các chuyên đề ôn thi vào 10
Bi 24: Cho abc = 1. Tớnh:
1 1 1
1 1 1
S
a ab b bc c ac
= + +
+ + + + + +
.
Chủ đề 2: Phơng trình bậc hai và định lí Viét
Dạng 1: Giải phơng trình bậc hai.
Bài 1: Giải các phơng trình
1) x
2
- 6x + 14 = 0 ; 2) 4x
2
- 8x + 3 = 0 ;
3) 3x
2
+ 5x + 2 = 0 ; 4) -30x
2
+ 30x - 7,5 = 0 ;
5) x
- 17x + 12 = 0 ;
3) x
2
- (1 +
3
)x +
3
= 0 ; 4) (1 -
2
)x
2
- 2(1 +
2
)x + 1 + 3
2
= 0 ;
5) 3x
2
- 19x - 22 = 0 ; 6) 5x
2
+ 24x + 19 = 0 ;
7) (
3
+ 1)x
2
+ 2
3
x +
3
- 1 = 0 ; 8) x
- 2mx - m
2
- 1 = 0 ; 8) (m + 1)x
2
- (2m - 1)x - 3 + m = 0 ;
9) ax
2
+ (ab + 1)x + b = 0.
Bài 2:
Chứng minh rằng với a, b , c là các số thực thì phơng trình sau luôn có nghiệm:
(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0
Chứng minh rằng với ba số thức a, b , c phân biệt thì phơng trình sau có hai nghiệm
phân biết:
x) (ẩn 0
cx
1
bx
1
ax
1
=
+
+
Chứng minh rằng phơng trình: c
2
x
2
2
+ 2cx + a = 0 (2)
cx
2
+ 2ax + b = 0 (3)
Cho bốn phơng trình (ẩn x) sau:
x
2
+ 2ax + 4b
2
= 0 (1)
x
2
- 2bx + 4a
2
= 0 (2)
x
2
- 4ax + b
2
= 0 (3)
x
2
+ 4bx + a
2
= 0 (4)
Chứng minh rằng trong các phơng trình trên có ít nhất 2 phơng trình có nghiệm.
Cho 3 phơng trình (ẩn x sau):
7
Các chuyên đề ôn thi vào 10
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
với a, b, c là các số dơng cho trớc.
Chứng minh rằng trong các phơng trình trên có ít nhất một phơng trình có nghiệm.
Bài 4: Cho phơng trình ax
2
+ bx + c = 0.
Biết a 0 và 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh rằng phơng trình đã cho có hai nghiệm.
b) Chứng minh rằng phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a 0) có hai nghiệm nếu một
trong hai điều kiện sau đợc thoả mãn:
a(a + 2b + 4c) < 0 ;
5a + 3b + 2c = 0.
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm của
phơng trình bậc hai cho trớc.
Bài 1: Gọi x
1
; x
2
+
=
=+=
Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm là
1x
1
và
1x
1
21
.
Bài 2: Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình: 5x
2
- 3x - 1 = 0. Không giải phơng
trình, tính giá trị của các biểu thức sau:
.
x4xx4x
3xx5x3x
C
;
x
1
x
21
3
22
2
1
3
1
+
++
=
+
++
+
+=
+=
Bài 3:
a) Gọi p và q là nghiệm của phơng trình bậc hai: 3x
2
+ 7x + 4 = 0. Không giải phơng
trình hãy thành lập phơng trình bậc hai với hệ số bằng số mà các nghiệm của nó là
1p
x
1
xy +=+=
.
Bài 5: Không giải phơng trình 3x
2
+ 5x - 6 = 0. Hãy tính giá trị các biểu thức sau:
8
Các chuyên đề ôn thi vào 10
( )( )
2
2
1
1
21
1
2
2
1
1221
x
2x
x
2x
D ;xxC
;
1x
x
1x
x
- x
1
Bài 7: Cho phơng trình 2x
2
- 3x - 1 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
. Hãy thiết lập phơng trình
ẩn y có hai nghiệm y
1
; y
2
thoả mãn:
=
=
+=
+=
1
2
=+++
+=+
+=+
+=+
0.5x5xyy
xxyy
b) ;
3x3x
y
y
y
y
x
x
x
x
yy
a)
thoả mãn:
21
2121
21
xx
y
1
y
1
và
x
1
x
1
yy +=++=+
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô
nghiệm.
Bài 1:
a) Cho phơng trình (m - 1)x
2
+ 2(m - 1)x - m = 0 (ẩn x).
Xác định m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này.
b) Cho phơng trình (2m - 1)x
2
- 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0.
Tìm m để phơng trình có nghiệm.
c) Cho phơng trình: (m - 1)x
2
- 2mx + m - 4 = 0.
- Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm.
2
+ 4) + 16x
2
= 0. Xác định
m để phơng trình có ít nhất một nghiệm.
Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 thoả mãn
điều kiện cho trớc.
Bài 1: Cho phơng trình: x
2
- 2(m + 1)x + 4m = 0
1) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
2) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm còn lại.
3) Với điều kiện nào của m thì phơng trình có hai nghiệm cùng dấu (trái dấu)
4) Với điều kiện nào của m thì phơng trình có hai nghiệm cùng dơng (cùng âm).
5) Định m để phơng trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
9
Các chuyên đề ôn thi vào 10
6) Định m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn 2x
1
- x
2
= - 2.
7) Định m để phơng trình có hai nghiệm x
1
) = 5x
1
x
2
c) (m - 1)x
2
- 2mx + m + 1 = 0 ; 4(x
1
2
+ x
2
2
) = 5x
1
2
x
2
2
d) x
2
- (2m + 1)x + m
2
+ 2 = 0 ; 3x
1
x
2
- 5(x
1
+ x
2
= x
2
2
e) x
2
+ (2m - 8)x + 8m
3
= 0 ; x
1
= x
2
2
f) x
2
- 4x + m
2
+ 3m = 0 ; x
1
2
+ x
2
= 6.
Bài 4:
a) Cho phơnmg trình: (m + 2)x
2
- (2m - 1)x - 3 + m = 0. Tìm điều kiện của m để ph-
ơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp
đôi nghiệm kia là 9ac = 2b
2
.
Bài 6: Cho phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (a 0). Chứng minh rằng điều kiện
cần và đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia (k > 0) là :
kb
2
= (k + 1)
2
.ac
Dạng 6: So sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số.
Bài 1:
a) Cho phơng trình x
2
- (2m - 3)x + m
2
- 3m = 0. Xác định m để phơng trình có hai
nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn 1 < x
1
< x
2
< 6.
b) Cho phơng trình 2x
- mx + m = 0 có nghiệm thoả mãn x
1
- 2 x
2
.
Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình bậc hai không phụ
thuộc tham số.
Bài 1:
a) Cho phơng trình: x
2
- mx + 2m - 3 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của
phơng trình không phụ thuộc vào tham số m.
b) Cho phơng trình bậc hai: (m - 2)x
2
- 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0. Khi phơng trình có
nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
10
Các chuyên đề ôn thi vào 10
c) Cho phơng trình: 8x
2
- 4(m - 2)x + m(m - 4) = 0. Định m để phơng trình có hai
nghiệm x
1
; x
2
. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập với m, suy ra vị trí của các
nghiệm đối với hai số - 1 và 1.
Bài 2: Cho phơng trình bậc hai: (m - 1)
2
x
2
2
1
=+
.
Bài 4: Cho phơng trình: (m - 1)x
2
- 2(m + 1)x + m = 0.
a) Giải và biện luận phơng trình theo m.
b) Khi phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
:
- Tìm một hệ thức giữa x
1
; x
2
độc lập với m.
- Tìm m sao cho |x
1
- x
2
| 2.
Bài 5: Cho phơng trình (m - 4)x
2
- 2(m - 2)x + m - 1 = 0. Chứng minh rằng nếu phơng
trình có hai nghiệm x
1
; x
(*)
0c'kxb'xka'
0cbxax
0
2
0
2
0
2
0
=++
=++
Giải hệ phơng trình trên bằng phơng pháp thế hoặc cộng đại số để tìm m.
ii) Thay các giá trị m vừa tìm đợc vào hai phơng trình (1) và (2) để kiểm tra lại.
2/ Định giá trị của tham số m để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với nhau.
Xét hai phơng trình:
ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) (3)
ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) (4)
Hai phơng trình (3) và (4) tơng đơng với nhau khi và chỉ khi hai phơng trình có cùng 1
tập nghiệm (kể cả tập nghiệm là rỗng).
Do đó, muỗn xác định giá trị của tham số để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với nhau
PP
SS
0
0
11
Các chuyên đề ôn thi vào 10
Chú ý: Bằng cách đặt y = x
2
hệ phơng trình (*) có thể đa về hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn
nh sau:
=+
=+
c'ya'xb'
caybx
Để giải quyết tiếp bài toán, ta làm nh sau:
- Tìm điều kiện để hệ có nghiệm rồi tính nghiệm (x ; y) theo m.
- Tìm m thoả mãn y = x
2
.
- Kiểm tra lại kết quả.
Bài 1: Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung:
2x
2
- (3m + 2)x + 12 = 0
4x
2
- (9m - 2)x + 36 = 0
x
2
- mx + 10m = 0 (2)
Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (2) có một nghiệm bằng hai lần một
nghiệm của phơng trình (1).
Bài 5: Cho hai phơng trình:
x
2
+ x + a = 0
x
2
+ ax + 1 = 0
a) Tìm các giá trị của a để cho hai phơng trình trên có ít nhất một nghiệm chung.
b) Với những giá trị nào của a thì hai phơng trình trên tơng đơng.
Bài 6: Cho hai phơng trình:
x
2
+ mx + 2 = 0 (1)
x
2
+ 2x + m = 0 (2)
a) Định m để hai phơng trình có ít nhất một nghiệm chung.
b) Định m để hai phơng trình tơng đơng.
c) Xác định m để phơng trình (x
2
+ mx + 2)(x
2
+ 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt
Bài 7: Cho các phơng trình:
x
a) 3x
2
+ (m + 1)x + 4 = 0 c) 5x
2
+ 2mx - 2m + 15 = 0
b) mx
2
- 2(m - 1)x + 2 = 0 d) mx
2
- 4(m - 1)x - 8 = 0.
Bi 3: Tỡm m cỏc phng trỡnh sau cú nghim :
a) 2x
2
- (4m + 3)x + 2m
2
- 1 = 0
b) mx
2
+ (2m - 1)x + m + 2 = 0
Bi 4: Tỡm m cỏc phng trỡnh sau cú 2 nghim phõn bit:
a) x
2
- 2(m + 3)x + m
2
+ 3 = 0 b) (m + 1)x
2
+ 4mx + 4m - 1 = 0
12
C¸c chuyªn ®Ò «n thi vµo 10
Bài 5: Với giá trị nào của m thì phương trình:
b)
2 2
1 2
1 1
x x
+
c) x
1
3
+ x
2
3
d) x
1
2
- x
2
2
e) (x
1
- x
2
)
2
g)
2 2
1 2
2 2
1 2 1 2
3 3 3x x
5
; c) x
1
. x
2
= 4;
17
2 2
1 2
x + x
=
;
Bài 8: Cho phương trình: x
2
+ px - 5 = 0 có nghiệm là x
1
, x
2
. Hãy lập phương trình có
hai nghiệm là hai số được cho trong các trường hợp sau:
a) - x
1
và - x
2
b)
1
1
x
và
2
2
= 3
a
7
) Phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả (x
1
- x
2
)
2
= 4
b) Viết một hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của phương trình độc lập với tham số
m.
Bài 10: Cho phương trình x
2
+ 2(m - 1)x - 2m + 5 = 0. Định m để :
a) Phương trình có nghiệm.
b) Phương trình có 2 nghiệm x
1
,x
2
thoả :
α
) x
1
+ 2x
b) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.
c) Giải và biện luận phương trình trên.
Bài 12: Cho phương trình: x
2
- mx - 2(m
2
+ 8) = 0. Tìm m để phương trình có hai
nghiệm để:
a)
2 2
1 2
52x x
+ =
b)
2 2
1 2
x x
+
đạt GTNN. Tìm GTNN này.
Bài 13: Cho phương trình: x
2
- mx - 7m + 2 = 0.
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 2. Tìm nghiệm còn lại.
13
Các chuyên đề ôn thi vào 10
b) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim trỏi du.
c)Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim x
1
, x
2
trỡnh cựng du õm hay cựng du dng?
Bi 15: Cho phng trỡnh: x
2
- 2(m + 2)x + 6m + 1 = 0.
a) Gii phng trỡnh vi m = - 1.
b)Chng minh phng trỡnh luụn cú nghim vi mi m.
c) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim cựng dng.
d)Tỡm h thc liờn h gia cỏc nghim x
1
, x
2
ca phng trỡnh khụng ph thuc vo
m.
Bi 16: Gii cỏc phng trỡnh sau:
a)
1 3 0x x
=
b) x
4
- 7x
2
- 144 = 0.
c) 2x
4
- x
3
- 6x
2
- x + 2 = 0 d)
15 3 6x x
( )( )
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
=
+
+
=
+
+
=+
+
+
=+
121x3y33y1x
543y4x42y3-2x
2) ;
4xy5y54x
6xy32y23x
1)
Dạng 2: Giải hệ bằng phơng pháp đặt ẩn phụ
Giải các hệ phơng trình sau
14
Các chuyên đề ôn thi vào 10
( )
( )
=++++
=+
=++
=++
=
+
+
=
+
+
+
13.44yy548x4x2
72y31x5
5) ;
071y22xx3
01y2xx2
4)
;
4
2y
5
1x
2
7
2y
3y
1x
1x
3) ;
=++
=+
32m3nyx2m
nmy1n2mx
Định a và b biết phơng trình: ax
2
- 2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là x = 1 và x = -2.
Bài 2: Định m để 3 đờng thẳng sau đồng quy:
a) 2x - y = m ; x = y = 2m ; mx - (m - 1)y = 2m - 1
b) mx + y = m
2
+ 1 ; (m + 2)x - (3m + 5)y = m - 5 ; (2 - m)x - 2y = - m
2
+ 2m - 2.
Bài 3: Cho hệ phơng trình
số) thamlà (m
4myx
m104ymx
=+
=+
a) Giải hệ phơng trình khi m =
2
.
b) Giải và biện luận hệ theo m.
c) Xác định các giá tri nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho x > 0,
+ 2y = 0. (Hoặc: sao cho M
(x ; y) nằm trên parabol y = - 0,5x
2
).
Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thì điểm D(x ; y) luôn luôn nằm
trên một đờng thẳng cố định khi m nhận các giá trị khác nhau.
Bài 5: Cho hệ phơng trình:
=
=+
12ymx
2myx
Giải hệ phơng trình trên khi m = 2.
Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x > 0 và y < 0.
Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x, y là các số nguyên.
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà S = x - y đạt giá trị lớn nhất.
Một số hệ bậc hai đơn giản:
Dạng 1: Hệ đối xứng loại I
15
Các chuyên đề ôn thi vào 10
Ví dụ: Giải hệ phơng trình
( )
=+++
=++
28yx3yx
=+
=++
=+
+=++
=+
=++
=++++
=++
=+
=+
=+
5)
133yxy3x
1y3xyx
4)
84xyyx
19yxxy
3)
2yxyx
4yxyx
2)
7xyyx
8yxyx
1)
22
2
22
2
22
22
22
22
22
22
22
22
22
Dạng 2: Hệ đối xứng loại II
Ví dụ: Giải hệ phơng trình
+=
+=
=+
=+
=
=
+=
+=
9)
8x3yy
8y3xx
8)
y
3
x
1
2y
x
3
y
1
2x
7)
y
x
43xy
x
y
43yx
6)
x2y2xy
y2x2yx
5)
1yxyx
1yxyx
4)
x2yy
y2xx
2
2
1 0
12
1) 2)
3 0
8
2 4 4 2 2 11 0
3) 4)
4
2 5 4
2
5)
x y
x xy y
x xy
xy x y
xy x x x y xy
xy y x
x xy y x
x
+ =
=
+ + =
+ =
x y
x y
y x x y
x y xy
x y xy y
+ + = + = = + = + =
=
= + =
+ =
+ =
Chủ đề 4: Hàm số và đồ thị
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số
Bài 1: Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y = 2x - 5 ; b) y = - 0,5x + 3
x
2
1
y =
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
b) Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A(- 2; - 2) và tiếp xúc với (P).
Bài 3:
Trong cùng hệ trục vuông góc, cho parabol (P):
2
x
4
1
y =
và đờng thẳng (D): y = mx -
2m - 1.
a) Vẽ độ thị (P).
17
Các chuyên đề ôn thi vào 10
b) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P).
c) Chứng tỏ rằng (D) luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P).
Bài 4: Cho hàm số
2
x
2
1
y =
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
b) Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lợt có hoành độ là - 2; 1. Viết phơng trình đờng
thẳng MN.
c) Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị (D) của nó song song với đờng thẳng
3 2x = +
c) Tính giá trị của x biết
3 2y
= +
Bài 2: Cho hàm số: y = x + 2.
a) Vẽ đồ thị hàm số trên.
b) Các điểm sau có thuộc đồ thị hàm số trên không?
3 7 1 5
( ; ) ( ; )
2 2 2 2
A , B
Bài 3: Cho hàm số: y = (m + 1)x + 5
a) Vẽ đồ thị hàm số trên với m = 1.
b) Tìm m để hàm số đồng biến; nghịch biến.
Bài 4: Cho hàm số: y = (m
2
- 3)x + 2 có đồ thị (d).
a) Tìm m để hàm số đồng biến; nghịch biến?
b) Vẽ (d) với m = 2.
c) Tìm m để (d) đi qua A(1; 2).
d) Tìm m để (d) đi qua B(1; 8).
Bài 5: Cho hàm số: y = (m - 1)x + m + 1 có đồ thị (d).
a) Tìm m để (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. Vẽ (d) với m vừa tìm đợc.
b) Tìm m để (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -3. Vẽ (d) với m vừa tìm
đợc.
c
) Tìm m biết (d) tạo với trục hoành một góc bằng 45
b) Tìm số nguyên m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x; y) mà x > 0; y < 0.
Bài 11: Cho hệ phơng trình:
2 5
3 1
mx y
mx y
+ =
+ =
a) Giải hệ phơng trình với m = 1.
b) Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số m.
Bài 12: Cho 3 đờng thẳng (d
1
): x + y = 1; (d
2
): x - y = 1; (d
3
): (a+1)x + (a - 1)y = a + 1
a) Với giá trị nào của a thì (d
1
) vuông góc với (d
3
).
b) Tìm a để 3 đờng thẳng trên đồng quy.
c) CMR khi a thay đổi, đờng thẳng (d
3
) luôn đi qua 1 điểm cố định.
Bài 13: Trong hệ tọa độ Oxy cho 3 điểm A(2; 5), B(-1; -1) và C(4; 9).
Bài 2: Cho hàm số:
2
3
2
y = f(x) = x
có đồ thị (P) và hàm số:
2
1
y = x
2
có đồ thị (d).
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d).
c) Không tính, hãy so sánh:
c
1
) f(-2) và f(-3) c
2
)
(1 2)f
và
( 3 2)f
Bài 3: Cho hàm số: y = (m
2
- 4)x
y = x
có đồ thị (P).
a) Tìm các điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lợt bằng -1 và 2.
b) Viết phơng trình đờng thẳng AB.
c) Viết phơng trình đờng thẳng song song với AB và tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp
điểm.
19
Các chuyên đề ôn thi vào 10
Bài 6: Cho hàm số: y = (m + 1)x
2
có đồ thị (P).
a) Tìm m để hàm số đồng biến khi x > 0.
b) Với m = - 2. Tìm toạ độ giao điểm của (P) với đờng thẳng (d): y = 2x - 3.
c) Tìm m để (P) tiếp xúc với (d): y = 2x - 3. Tìm tọa độ tiếp điểm.
Bài 7: Chứng tỏ đờng thẳng (d) luôn tiếp xúc với Parabol (P) biết:
a) (d): y = 4x - 4; (P): y = x
2
.
b) (d): y = 2x - 1; (P): y = x
2
.
Bài 8:
8.1) Chứng tỏ rằng đờng thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt:
a) (d): y = 3x - 4; (P): y = x
2
.
b) (d): y = - 4x + 3; (P): y = 4x
2
.
).
Bài 10: Cho Parabol (P):
2
1
2
y x
=
và đờng thẳng (d): y = 2x + m + 1.
a) Tìm m để (d) đi qua điểm A thuộc (P) có hoành độ bằng - 2.
b) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm
c) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ cùng dơng.
d) Tìm m sao cho (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm có hoành độ x
1
x
2
thỏa mãn:
2 2
1 2
1 1 1
2x x
+ =
Bài 11: Cho hàm số: y = ax
2
có đồ thị (P) và hàm số: y = mx + 2m + 1có đồ thị (d).
a) Chứng minh (d) luôn đi qua một điểm M cố định.
b) Tìm a để (P) đi qua điểm cố định đó.
c) Viết phơng trình đờng thẳng qua M và tiếp xúc với Parabol (P).
Bài 12: Cho hàm số:
2
1
b) Viết phơng trình đờng thẳng AB.
c) Viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (P) và vuông góc với AB.
Tìm tọa độ tiếp điểm.
d) Tìm điểm C thuộc cung AB của (P) sao cho tam giác ABC cân tại C.
Bài 15: Cho hàm số:
2
1
4
y x
=
có đồ thị (P) và đờng thẳng (d):
1
3
2
y x=
.
a) Vẽ (d) và (P) trên cùng hệ trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
20
Các chuyên đề ôn thi vào 10
c) Viết phơng trình đờng thẳng qua M và tiếp xúc với (P) trong các trờng hợp sau:
c
1
)
1
( ;1)
2
M
c
2
giữa hai bến A và B. Biết rằng vận tốc dòng nớc là 5 km/h và vận tốc riêng của canô lúc
xuôi và lúc ngợc bằng nhau.
Bài 4:
Một canô xuôi một khúc sông dài 90 km rồi ngợc về 36 km. Biết thời gian xuôi
dòng sông nhiều hơn thời gian ngợc dòng là 2 giờ và vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc
khi ngợc dòng là 6 km/h. Hỏi vận tốc canô lúc xuôi và lúc ngợc dòng.
Dạng 2: Toán làm chung - làn riêng (toán vòi nớc)
Bài 1:
Hai ngời thợ cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong. Nừu ngời thứ
nhất làm trong 5 giờ và ngời thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai ngời chỉ làm đợc ắ công
việc. Hỏi một làm công việc đó trong mấy giờ thì xong?
Bài 2:
Nếu vòi A chảy 2 giờ và vòi B chảy trong 3 giờ thì đợc
5
4
hồ. Nếu vòi A chảy trong 3 giờ
và vòi B chảy trong 1 giờ 30 phút thì đợc
2
1
hồ. Hỏi nếu chảy một mình mỗI vòi chảy
trong bao lâu mới đầy hồ.
Bài 3:
Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu mỗi vòi chảy một
mình cho đầy bể thì vòi II cần nhiều thời gian hơn vòi I là 5 giờ. Tính thời gian mỗi vòi
chảy một mình đầy bể?
Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm.
Bài 1:
Trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy. Trong tháng hai, tổ I vợt
mức 15%, tổ II vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy. Tính xem trong tháng
giêng mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy?.
Bài 1:
Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số hàng
chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị.
Bài 2:
Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị của nó và nếu số
cần tìm chia cho tổng các chữ số của nó thì đợc thơng là 4 và số d là 3.
Bài 3:
Nếu tử số của một phân số đợc tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số
bằng
4
1
. Nếu tử số thêm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng
24
5
. Tìm phân
số đó.
Bài 4:
Nếu thêm 4 vào tử và mẫu của một phân số thì giá trị của phân số giảm 1. Nếu bớt 1 vào
cả tử và mẫu, phân số tăng
2
3
. Tìm phân số đó.
Một số bài làm thêm
Bài 1: Một mô tô đi từ A đến B trong thời gian đã định. Nếu vận tốc xe tăng 3km/h thì
đến B sớm 2h. Nếu vận tốc xe giảm 3km/h thì đến B chậm 3h. Tính quãng đờng AB?.
Bài 2: Có 2 đội công nhân sửa đoạn đờng dài 10km. Nếu làm riêng thì thời gian đội 1
làm nhiều hơn đội 2 là 1ngày. Hỏi trong 1 ngày mỗi đội làm đợc bao nhiêu km đờng?
Biết rằng cả 2 đội làm đợc 4,5km trong 1 ngày.
Bài 3: Lúc 7 giờ có 1 xe đạp đi từ A dến B, 8 giờ 30 phút có một xe mô tô đi từ B đến A.
Một lúc sau họ gặp nhau rồi tiếp tục cuộc hành trình của mình. Nửa giờ sau khi gặp
đó 1 giờ thì đuổi kịp ô tô tải. Tính quãng đờng AB?
Bài 11 : Hai canô cùng khởi hành đi từ hai bến A và B cách nhau 85 km và đi ngợc
chiều nhau. Sau 1h40 phút thì hai canô gặp nhau . tính vận tốc thực của mỗi canô, biết
rằng vận tốc của canô đi xuôi dòng thì lớn hơn vận tốc của canô đi ngợc dòng là 9 km/h
và vận tốc dòng nớc là 3 km/h .
Bài 12: Một hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 1 cm Nếu tăng chiều dài
thêm
1
4
của nó thì diện tích của hình chữ nhật đó tăng lên 3 cm
2
. Tính diện tích hình
chữ nhật lúc đầu?
Bài 13: Trên một đoạn đờng AB, một xe đạp đi từ A cùng một lúc với một Ôtô đi từ B và
đi ngợc chiều nhau . Sau 3 giờ hai xe gặp nhau và tiếp tục đi thì Ôtô đến A sớm hơn xe
đạp đến B là 8 giờ . Hỏi thời gian mỗi xe đi hết quãng đờng AB .
Bài 14: Chia một số có hai chữ số cho tổng hai chữ số của nó đợc thơng là 6 và d là 2 .
Nếu chia số đó cho tích hai chữ số của nó thì đợc thơng là 5 và d là 2. Tìm số đó ?
Bài 15: Hai đội cùng làm việc trong 12 giờ thì xong một công việc . Nếu để riêng đội
thứ nhất làm một nữa công việc rồi nghỉ, đội thứ hai làm tiếp cho đến lúc hoàn thành
công việc thì thời gian tổng cộng là 25 giờ. Hỏi nếu mỗi đội làm riêng thì hoàn thành
công việc trong bao lâu?
Bài 16: Hai địa điểm A,B cách nhau 60 km. Ngời đi xe đạp khởi hành từ A đến B, rồi
quay về A nh vận tốc ban đầu ; nhng sau khi đi từ B đợc 1 giờ thì nghỉ mệt 20 phút rồi đi
tiếp về A với vận tốc tăng thêm 4 km/h. Tính vận tốc ban đầu, biết thời gian đi và về nh
nhau.
Chủ đề 6: Phơng trình quy về phơng trình bậc hai
Dạng 1: Phơng trình có ẩn số ở mẫu.
Giải các phơng trình sau:
1t
Dạng 2: Phơng trình chứa căn thức.
23
Các chuyên đề ôn thi vào 10
=
=
=
=
2
BA
0B
BALoại
BA
0)(hayB 0A
BALoại
Giải các phơng trình sau:
( )
( )( )
( )
3xx1x e)
9x32x1x d) 1x53x2x c)
145x3x2x b) 1x113x2x a)
2
+ 2 = 0 ; d) (2x + 1)
4
- 8(2x + 1)
2
- 9 = 0.
Dạng 5: Phơng trình bậc cao.
Giải các phơng trình sau bằng cách đa về dạng tích hoặc đặt ẩn phụ đa về phơng trình
bậc hai:
Bài 1:
a) 2x
3
- 7x
2
+ 5x = 0 ; b) 2x
3
- x
2
- 6x + 3 = 0 ;
c) x
4
+ x
3
- 2x
2
- x + 1 = 0 ; d) x
4
= (2x
2
- 4x + 1)
48
3
x
h) 02433x2x513x2x3 g)
064xx
104xx
21
f) 04
5xx
3x
x
5xx
e)
023
x
1
x16
x
1
x4 d) 03xx2x xc)
22
22
2
2
2
2
2
2
22
2
+=++
Bài 3:
a) 6x
5
- 29x
4
+ 27x
3
+ 27x
2
- 29x +6 = 0
b) 10x
4
- 77x
3
+ 105x
2
- 77x + 10 = 0
c) (x - 4,5)
4
+ (x - 5,5)
4
= 1
d) (x
2
- x +1)
và AC có tâm là O
1
và O
2
. Một cát tuyến biến đổi đi qua A cắt đờng tròn (O
1
) và (O
2
) lần
lợt tại M và N.
a) Chứng minh tam giác MHN là tam giác vuông.
b) Tứ giác MBCN là hình gì?
c) Gọi F, E, G lần lợt là trung điểm của O
1
O
2
, MN, BC. Chứng minh F cách đều 4 điểm
E, G, A, H.
d) Khi cát tuyến MAN quay xung quanh điểm A thì E vạch một đờng nh thế nào?
Bài 4:
Cho hình vuông ABCD. Lấy B làm tâm, bán kính AB, vẽ 1/4 đờng tròn phía trong hình
vuông.Lấy AB làm đờng kính , vẽ 1/2 đờng tròn phía trong hình vuông. Gọi P là điểm
tuỳ ý trên cung AC ( không trùng với A và C). H và K lần lợt là hình chiếu của P trên AB
và AD, PA và PB cắt nửa đờng tròn lần lợt ở I và M.
a) Chứng minh I là trung điểm của AP.
b) Chứng minh PH, BI, AM đồng qui.
c) Chứng minh PM = PK = AH
d) Chứng minh tứ giác APMH là hình thang cân.
đ) Tìm vị trí điểm P trên cung AC để tam giác APB là đều.
Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đờng
Copyright: Tài liệu đại học ©