Các chủ đề tự chọn môn Toán 11 nâng cao - 1 -
CHỦ ĐỀ 1 ( 6 Tiết)
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC
A. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. Phương trình sinx = a
• Nếu |a| > 1 : Phương trình vô nghiệm
• Nếu |a| ≤ 1 : Phương trình có nghiệm là x = α + k2π và x = π - α + k2π, k ∈ , với sin α = a.
2. Phương trình cosx = a
• Nếu |a| > 1 : Phương trình vô nghiệm
• Nếu |a| ≤ 1 : Phương trình có nghiệm là x = ± α + k2π, k ∈ , với cosα = a.
3. Phương trình tanx = a
Điều kiện: cosx ≠ 0 hay x ≠
2
π
+kπ, k ∈ .
Nghiệm của phương trình x = α + kπ, k ∈ , với tanα = a
4. Phương trình cotx = a
Điều kiện: sinx ≠ 0 hay x ≠ kπ, k ∈ .
Nghiệm của phương trình là x= α + kπ, k ∈  với cotα = a.
B. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP:
1. Phương trình asinx + bcosx = c
• asinx + bsinx = c ⇔ sin(x + α) =
2 2
c
a b+
trong đó: sinα =
2 2
b
a b+
;

2
+ 2at – (b + 2c) = 0
Trường THPT Ba Tơ Gv: Huỳnh Đoàn Thuần
(Loại do điều kiện)
Các chủ đề tự chọn môn Toán 11 nâng cao - 2 -
II. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN:
1. Phương trình đưa về phương trình tích:
Bài 1: Giải phương trình: 3tan2x.cot3x +
3
(tan2x – 3cot3x) – 3 = 0
Giải
Điều kiện của phương trình là cos2x ≠ 0 và sin3x ≠ 0
Ta biến đổi 3tan2xcot3x +
3
(tan2x – 3cot3x) – 3 = 0
⇒ 3tan2xcot3x +
3
tan2x – 3
3
cot3x – 3 = 0
⇒ tan2x (3cot3x +
3
) -
3
(3cot3x +
3
) = 0
⇒ (3cot3x +
3
) (tan2x -

= +
=



(k ∈ )
⇒
2
9 3
6 2
x k
x k
π π
π π

= +



= +


(k ∈ )
Caá giá trị này thỏa mãn điều kiện của phương trình. Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: x
=
2
9 3
k
π π
+

2 sin
cos
x
x
x
=
⇒ sinx
1
2 0
cos x
 
− =
 ÷
 
⇒
sin 0
2
cos
2
x
x
=



=


⇒ x = ±
2

cos3 cos5 cos4
x x
x x x
− =
⇒
2sin 4 cos4 2sin 4
0
cos3 cos5 cos4
x x x
x x x
− =
⇒ 2sin4x
2
cos 4 cos3 cos5
0
cos3 cos 4 cos5
x x x
x x x
 
−
=
 ÷
 
⇒ 2sin4xsin
2
x = 0 ⇒
sin 4 0
sin 0
x
x


(k ∈ )
Từ giả thiết và điều kiện, nghiệm của phương trình là:
1 2 3 4 5
3 5 7
; ; ; ;
4 4 4 4
x x x x x
π π π π
π
= = = = =
2. Phương trình đưa về phương trình bậc hai của các hàm số lượng giác.
Bài 4: Giải phương trình: 1+sin2x = 2(cos
4
x + sin
4
x)
Giải:
Ta có: 1 + sin2x = 2(cos
4
x + sin
4
x)
= 2[(cos
2
x + sin
2
x)
2
– 2sin

− −
< -1 nên bị loại.
Với t =
1 5
2
− +
ta có phương trình sin2x =
1 5
2
− +
Phương trình này có nghiệm: x=
1 1 5
arcsin
2 2
k
π
 
− +
+
 ÷
 ÷
 
, k ∈ 
Và x =
1 1 5
arcsin
2 2 2
k
π
π

⇒ tan
3
x + tan
2
x – 5tanx + 3 = 0
Đặt t = tanx ta được phương trình.
t
3
+ t
2
– 5t +3 = 0 ⇔ (t – 1)(t
2
+ 2t – 3) = 0 ⇔
1
3
t
t
=


= −

Với t = 1, phương trình tanx = 1 có nghiệm
4
x k
π
π
= +
, k ∈ 
Với t = -3, phương trình tanx = -3 có nghiệm x = arctan(-3) + kπ, k ∈ 

x x x x x x
 
− −
+ − +
 
 
=0
⇔
3 2 2 3 2 2
2 2
sin 3 sin cos sin cos cos sin cos 3 sin cos 0
3 3
x x x x x x x x x x
   
− + + + − =
 ÷  ÷
   
⇔
2 2
2
sin 3 sin cos cos (sin cos ) 0
3
x x x x x x
 
− + + =
 ÷
 
⇔
2 2
sin cos 0 (1)

tan
2
x -
2
3 tan 0
3
x + =
Trường THPT Ba Tơ Gv: Huỳnh Đoàn Thuần
Các chủ đề tự chọn môn Toán 11 nâng cao - 5 -
Giải phương trình, ta được: x =
6
k
π
π
+
và x = arctan
2 3
3
+ kπ, k ∈ 
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm
x =
3
,
4 6
k x k
π π
π π
+ = +
và x = arctan
2 3

cos 1 0
3 sin cos 1 0
x
x x
+ =


+ + =

⇔
(2 1)
2
3
x k
x k
π
π
π
= +



= − +

(k ∈ )
Bài 8: Giải phương trình:
2cos
3
x – sin2x(sinx + cosx) + cos2x(sinx +
2

cos sin 2 0
x x
x x
− − =


+ + =

⇔
2
cos 2
4 2
cos 1
4
x
x
π
π

 
+ =

 ÷
 


 
− = −

 ÷

x k
x k
π
π
π
π
π


=


= − +



= +

(k ∈ )
4. Phương trình a(sinx + cosx) + bsinx. cosx = c
Bài 9: Giải phương trình cos2x + cos
2
x + (5 – 3cosx)(sinx + cosx) – 2 = 0
Giải:
Ta có: cos2x + cos
2
x + (5 – 3cosx)(sinx + cosx) – 2 = 0
⇔ 5(sinx + cosx) – 3cosxsinx = 3
Đặt t = sinx + cosx (-
2

2
arcsin 2
4 6
3 2
arcsin 2
4 6
x k
x k
π
π
π
π

= − + +



= − +


(k ∈ )
Bài 10: Giải phương trình 2sin
3
x + cos2x – 3cosx + 2 =0
Giải:
Biến đổi phương trình đã cho, ta được: 2sin
3
x + cos2x – 3cosx + 2 = 0
⇔ 2sinx (1-cos
2


= −


Trường THPT Ba Tơ Gv: Huỳnh Đoàn Thuần
Các chủ đề tự chọn môn Toán 11 nâng cao - 7 -
Với t = 1 -
3
, giải ra ta được:
2 6
arcsin 2
4 2
5 2 6
arcsin 2
4 2
x k
x k
π
π
π
π

 
−
= + +

 ÷
 ÷

 



 
−

= + +
 ÷
 ÷

 


 
−
= − +

 ÷
 ÷

 

(k ∈ )
III. BÀI TẬP:
Giải các phương trình sau:
1.
3
cot2xtan3x-(cot2x +
3
tan 3x) + 1 =0
2. 4cos

 
− + + − − + − =
 ÷
 
6. cos3x(3tanx + 6 + 2
3
) – 3tanx + (3 - 2
3
) sin2x = 2
3
.
7. sin2x – 2sin
2
x + 3sinx – cosx = 1
8. (
2
- 1)sinx -
2
cosx-cos3x = 0
9. (sinx + cosx)(3cosx + 2) = cos2x + cos
2
x + 3
CHỦ ĐỀ 2: ( 5 Tiết )
Trường THPT Ba Tơ Gv: Huỳnh Đoàn Thuần
Các chủ đề tự chọn môn Toán 11 nâng cao - 8 -
TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
I. TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC
A. QUY TẮC CỘNG VÀ NHÂN, HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP:
1. Quy tắc cộng:
Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động, hành động này có m cách thực

k
n
n
A
n k
=
−

5. Tổ hợp:
• Cho tập A có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của tậm A gọi là một tổ hợp chập
k của n phần tử đã cho.
• Kí hiệu
k
n
C
là số các tổ hợp chập k của n phần tử. Ta có:
!
! !( )!
k
k
n
n
A
n
C
k k n k
= =
−
6. Nhị thức Niu – tơn:
0 1 1

9.Ta nói hai biến cố A và B độc lập nếu sự xảy ra (hay không xảy ra) của A không làm ảnh hưởng
đến xác suất của B.
A và B độc lập khi và chỉ khi P(AB) = P(A).P(B)
A và B độc lập ⇒ A và
B
độc lập.
10. Công thức cộng mở rộng:
Giải sử A và B là hai biến cố tùy ý cùng liên quan đến một phép thử. Lúc đó:
P (A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(AB)
D. BIẾN NGẪU NHIÊN:
11. Biến ngẫu nhiên hay đại lượng ngẫu nhiên là một quy tắc cho ứng mỗi kết quả của phép thử với
một số thực:
Giả sử X là một biến ngẫu nhiên và a là một giá trị của nó. biến cố “X nhận giá trị a” được kí hiệu là
[X = a] hay (X = a)
Giải sử X có tập các giá trị là {x
1
, x
2
,…,x
n
}
Đặt: p
1
= P[X = x
1
], … , p
n
= P[X = x
n
]. Ta có bảng sau đây gọi là bảng phân phối xác suất của biến

V X x p x p x p x p x p= + + + − + +
Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu: σ (X), là một số được cho bởi công thức:
σ (X) =
( )V X
Kì vọng của X là số đặc trưng cho giá trị trung bình của X.
Phương sai là độ lệch chuẩn là số đặc trung cho độ phân tán của X so với kì vọng của X.
II. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN:
Bài 1: Hỏi có bao nhiêu đa thức bậc ba P(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d mà các hệ số a, b, c, d thuộc tập {-
3, -2, 0, 2, 3}. Biết rằng:
Trường THPT Ba Tơ Gv: Huỳnh Đoàn Thuần
Các chủ đề tự chọn môn Toán 11 nâng cao - 10 -
a. Các hệ số tùy ý?
b. Các hệ số đều khác nhau?
Giải:
a. Có 4 cách chọn hệ số a vì a ≠ 0. Có 5 cách chọn hệ số b, 5 cách chọn hệ số c, 5 cách chọn hệ số d.
Vậy có 4 x 5 x 5 x 5 = 500 đa thức.
b. Có 4 cách chọn hệ số a (a≠ 0)
- Khi đã chọn a, có 4 cách chọn b
- Khi đã chọn a và b, có 3 cách chọn c.
- Khi đã chọn a, b và c, có 2 cách chọn d.
Theo quy tắc nhân có: 4 x 4 x 3 x 2 = 96 đa thức.
Bài 2: Để tạo những tín hiệu, người ta dùng 2 lá cờ màu khác nhau cắm thành hàng ngang. Mỗi tín
hiệu được xác định bở số lá cờ và thứ tự sắp xếp. Hỏi có thể tạo ra bao nhiêu tín hiệu nếu:
a. Cả năm lá cờ đều được dùng?
b. Ít nhất một lá cờ được dùng?
Giải:

3
6
C
.
2
5
C
.5!
Vì sự lựa chọn và sự sắp xếp là ngẫu nhiên nên các kết quả đồng khả năng.
Do đó:
3 2
6 5
5
11
. .5!
( ) 0,433
C C
P A
A
= ≈
.
Bài 4: Một tổ chuyên môn gồm 7 thầy và 5 cô giáo, trong đó thấy P và cô Q là vợ chồng. Chọn ngẫu
nhiên 5 người để lập hội đồng chấm thi vấn đáp. Tính xác suất để sao cho hội đồng có 3 thầy, 2 cô và
nhất thiết phải có thầy P hoặc cô Q nhưng không có cả hai.
Giải:
Kết quả của sự lựa chọn là một nhóm 5 người tức là một tổ hợp chập 5 của 12. Vì vậy không gian
mẫu Ω gồm
5
12
792C =

6
C
.
1
4
C
= 80
Vậy n(A) = 80 + 90 = 170 và P(A) =
( ) 170
0,215
( ) 792
n A
n
= ≈
Ω
Bài 5: Sáu bạn, trong đó có bạn H và K, được xếp ngẫu nhiên thành hàng dọc. Tính xác suất sao cho:
a. Hai bạn H và K đứng liền nhau;
b. hai bạn H và K không đứng liền nhau.
Giải:
Không gian mẫu Ω gồm các hoán vị của 6 bạn. Do đó: n(Ω) = 6!. Do việc xếp là ngẫu nhiên Ω gồm
các kết quả đồng khả năng.
a. Kí hiệu: A là biến cố “H và K đứng liền nhau”,
B là biến cố “H đứng ngay trước K”
C là biến cố “K đứng ngay trước H”
Rõ ràng B và C xung khắc và A = B ∪ C.
* Tính n(B):
Xếp H và 4 bạn khác thành hàng, có 5! Cách. Trong mỗi cách xếp như vậy, xếp bạn K ngay sau H,
có 1 cách. Vậy theo quy tắc nhân ta có:
n(B) = 5! x 1 = 5!
* Tương tự: n(C) = 5!

2
13
C
.
2
12
C
= 5148 (phần tử).
n(B) =
2 2
6 8
.C C
= 420
n(C) =
2 2
7 4
.C C
= 126
Trường THPT Ba Tơ Gv: Huỳnh Đoàn Thuần
Các chủ đề tự chọn môn Toán 11 nâng cao - 12 -
Vậy P(A) =
420 126 546
0,106
5148 5148 5148
+ + ≈
Bài 7: Xét phép thử gieo một đồng tiền 3 lần.
a. Xác định không gian mẫu
b. Gọi X là số lần xuất hiện mặt gấp S, hãy liệt kê các giá trị mà X có thể nhận.
c. Tính các xác suất để X nhận các giá trị đó. Lập bảng phân phối xác suất của X.
Giải:

8
Bài 8: Từ một hộp có 3 bi xanh và 6 bi đỏ, chọn ngẫu nhiên 4 bi. Gọi Y là số bi xanh trong 4 bi đã
chọn.
a. Lập bảng phân phối xác suất của Y.
b. Tính xác suất sao cho trong 4 bi đã chọn có ít nhất 1 bi xanh
b. Tính xác suất sao cho trong 4 bi đã chọn có nhiều nhất 2 bi đỏ,
d. Tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của Y.
Giải:
a. Y có tập giá trị là 0, 1, 2, 3
Ta thấy P[Y = 0] =
0 4
3 6
4
9
.
15
126
C C
C
=
Tổng quát ta có: P[Y = k] =
4
3 6
4
9
.
k k
C C
C
−

2
2 2 2 2 2
15 60 45 6 4
E(Y) =0. 1. 2. 3. ;
126 126 126 126 3
15 60 45 6 294 4 5
V(Y) =0 . 1 . 2 . 3 . ( ( )) ;
126 126 126 126 126 3 9
5 5
( ) ( )
9 3
E Y
Y V Y
σ
+ + + =
 
+ + + − = − =
 ÷
 
= = =
III. BÀI TẬP:
1. Phân phối 4 quả cầu khác nhau vào 3 cái hộp khác nhau (có thể có hộp không chứa quả cầu nào
sau khi xếp). Hỏi có bao nhiêu cách phân phối?
2. Để tổ chức một trò chơi giữa hai lớp A và B, mỗi lớp cử 5 bạn tham gia. Người ta đặt hai dãy 5
ghế hai bên một chiếc bàn dài. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi sao cho:
a. Không có hai bạn cùng lớp ngồi đối diện nhau.
b. Không có hai bạn cùng lớp ngồi đối diện nhau hoặc cạnh nhau?
3. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn vào ngồi quanh 2 bàn tròn sao cho bàn thứ nhất có 6
bạn, bàn thứ hai có 4 bạn? Chú ý rằng hai cách xếp n người cụ thể vào ngồi quanh bàn tròn được coi
là như nhau nếu bạn bên trái mỗi người trong cách xếp này cũng chính là bạn trong cách xếp kia.

Các chủ đề tự chọn môn Toán 11 nâng cao - 14 -
b. Có đúng 4 bàn được xếp 1 nam và 1 nữ.
8. Cho một mạng giao thông như hình 2.3 mà các ô
nhỏ đều là các hình vuông bằng nhau. Một du khác
xuất phát từ A muốn đi đến B.
a. Có bao nhiêu cách đi nhanh nhất
(i) Từ A đến B?
(ii) Từ A qua C, đến B?
Dựa vào ý tưởng giải câu a, hãy chứng minh:
m n
m n m n
C C
+ +
=
với m, n ≥ 1 Hình 2.3
b. Giải sử ở tại mỗi đỉnh của hình vuông du khách chọn ngẫu nhiên một trong hai hướng lên
trên và sang phải để đi tiếp. Tính xác suất để du khách xuất phát từ A có thể đến được C.
9. Tìm các số hạng không chứa x trong các khai triển:
a.
6 6
1 1
2
2
x x
x x
   
− +
 ÷  ÷
   
b.

14. Trên mỗi tờ vé số, người ta in 6 ô, mỗi ô chứa một trong các số khác nhau từ 1 tới 49. Khi mở
thưởng người ta rút ngẫu nhiên cùng một lúc 6 quả cầu từ 49 quả cầu được đánh số từ 1 đến 49.
Nếu vé của bạn có k số trúng thì bạn được x
k
đồng. Giả sử bạn mua 1 vé số. Tính số tiền thưởng
trung bình mà bạn nhận được nếu giả thiết
Trường THPT Ba Tơ Gv: Huỳnh Đoàn Thuần
Các chủ đề tự chọn môn Toán 11 nâng cao - 15 -
x
0
= 0, x
1
= 100.000đ, x
2
= 500.000đ; x
3
= 1.000.000đ, x
4
= 5.000.000đ; x
5
=10.000.000đ; x
6
=
100.000.000đ.

Trường THPT Ba Tơ Gv: Huỳnh Đoàn Thuần
Các chủ đề tự chọn môn Toán 11 nâng cao - 16 -
CHỦ ĐỀ 3: (8 Tiết)
GIỚI HẠN VÀ ĐẠO HÀM
I. TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC

n
n
x x
n
n
n n
x x
n
n
n n
x x
n
x x
x x
x x
x K x
f x L f x L
x x
x K x
f x L x x f x L
x x
x K x
f x L x x f x L
x x
f x L
f x L
f x
+
−
+


= ⇔ < ⇒ →

 ÷

 ÷
→

 
=
= ⇔
= L
 


 ÷

 ÷
 ÷


 
2. Giới hạn
±

∞

• Giả sử f(x) xác định trên khoảng K (hoặc K \ {x
0
}), x

lim ( ) ( )
lim ( ) lim ( ( ))
n
n
x
n
x x
x a
f x f x
x
f x f x
→+∞
→+∞ →+∞
 > 

= +∞ ⇔ ⇒ → +∞
 ÷

→ +∞

 
= −∞ ⇔ − = +∞
3. Dạng vô định:
• Khi
0 0
lim ( ) lim ( ) 0
x x x x
u x v x
→ →
= =

∞
• Khi
0 0
lim ( ) 0, lim ( )
x x x x
u x v x
→ →
= = ±∞
thì
0
lim[ ( ). ( )]
x x
u x v x
→
có dạng 0. ∞
• Khi
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
u x v x
→ →
= = +∞
thì
0
lim[ ( ) ( )]
x x
u x v x
→
−
có dạng ∞ - ∞.

→
=





=


5. Định lí:
a. Các hàm số đa thức liên tục trên . Các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định.
b. Nếu f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b) < 0 thì tồn tại điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c)=0 (tứ là phương
trình f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (a; b)) .
C. ĐẠO HÀM
6. Định nghĩa và ý nghĩa:
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x
0
∈ (a; b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu
hạn):
0
0
0
( ) ( )
lim
x x
f x f x
x x
→
−

)(x – x
0
); y
0
= f(x
0
).
• Vi phân của hàm số f(x) tại x (ứng với ∆x) là dy = df(x) = f’(x)dx
• Công thức tính gần đúng: f(x
0
+ ∆x) ≈ f(x
0
) + f’(x
0
) ∆x
• Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mọi x ∈ (a; b) thì hàm số x → f’(x) được gọi là đạo hàm
của f(x) trên (a; b).
• Nếu f’(x) có đạo hàm thì ta gọi đạo hàm của nó là đạo hàm cấp hai của f(x).
Kí hiệu: (f’(x))’ = f’’(x)
Tương tự đối với f’’’(x) , …., f
(n)
(x), …
7. Công thức:
(c)’ = 0 (c là hằng số)
(x
n
)’ = n.x
n – 1
(n ∈ *, x ∈ );
( )