A. MỞ ĐẦU
I. Đặt vấn đề.
1. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.
Hiện nay việc đổi mới phương pháp dạy học là một trong những nhiệm vụ
bức thiết để chấn hưng nền giáo dục nước nhà. Đổi mới phương pháp dạy học ở
đây phải được hiểu là: "Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục và đào tạo,
khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của
người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại
vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu của
học sinh bồi dưỡng cho học sinh tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề".
Trong những năm qua ngành Giáo dục và Đào tạo đã thực hiện đổi mới
phương pháp dạy học đó là: "Phương pháp tích cực lấy học sinh làm trung tâm,
đảm bảo không chỉ truyền thụ kiến thức mà phải giáo dục tính năng động sáng
tạo và hướng dẫn cho học sinh năng lực cũng như phương pháp tự học".
Để giúp học sinh hoà nhập được cuộc sống sôi động công nghiệp hoá -
hiện đại hoá đất nước, mọi người tự học, tự đào tạo thì ngay trên ghế nhà trường
học sinh phải được dạy theo phương pháp tự học, tự sáng tạo, năng lực tự giải
quyết vấn đề.
Việc thay SGK đã nhằm khắc phục những hạn chế trên của việc đổi mới
phương pháp dạy học. Tuy nhiên người giáo viên khi giảng dạy tuỳ đối tượng
học sinh mà khai thác những kiến thức cơ bản của sách giáo khoa một cách hiệu
quả, giúp học sinh vận dụng những điều đã được học để giải quyết những vấn đề
thực tế (đơn giản) phù hợp với năng lực của mình. Như đo đạc, tính toán, vẽ
hình, mô phỏng….
Người dạy cần phải tránh việc truyền thụ kiến thức một chiều (đây là một
thực trạng tồn tại rất nhiều năm của giáo dục), bởi vậy sẽ làm cho học sinh thụ
động, kém linh hoạt, khó nảy sinh được năng lực tự học, tự giải quyết vấn đề.
Trong thời đại bùng nổ thông tin người dạy cần phải tích cực hoá hoạt động dạy
2
học của mình bằng việc sử dụng, ứng dụng công nghệ thông tin vào giảng dạy
một cách khéo léo, không lạm dụng công nghệ thông tin.

kiến thức cơ bản đó phải tìm ra cách dạy như thế nào để phát huy tư duy sáng
tạo khả năng tự giải quyết vấn đề để học sinh cảm thấy nhẹ nhàng khi tiếp thu
kiến thức.
Sau đây tôi xin minh hoạ một số vấn đề cụ thể:
Ở chương trình lớp 8 học sinh đều được học các hằng đẳng thức sau:
(a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2

(a - b)
2
= a
2
- 2ab + b
2

a
2
- b
2
= (a-b)(a+b)
(a+b)
3
= a
3
+ 3a
2

+ ab + b
2
)
(a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2(ab + bc + ca)
(a - b - c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
- 2(ab - bc + ca)
(a - b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
- 2(ab + bc - ca)

nghiệp ĐHSP được 4 năm cho nên khả năng nắm vững bản chất của vấn đề là
tương đối vững, cùng với sự trau dồi chuyên môn nghiệp vụ với các đồng
nghiệp thì phương pháp giảng dạy của tôi cũng đã được các cấp ghi nhận. Với
tinh thần yêu nghề, tôi sẽ ra sức phấn đấu học tập và cống hiến cho sự nghiệp
trồng người của mình.
Trong giảng dạy Toán ở trường THCS, SGK thường chỉ nêu ra những
kiến thức cơ bản tối thiểu cần truyền thụ cho học sinh, nếu giáo viên chỉ truyền
thụ một chiều thì học sinh sẽ hình thành thói quen hời hợt trong nhận thức, trong
vận dụng, các em sẽ không cảm thấy hứng thú môn học, sau này các em sẽ
không tự tin để tự nghiên cứu, tự sáng tạo trong học tập cũng như trong thực tế
đời sống sản xuất và xử lý những vấn đề phức tạp trong xã hội. Nên nhiệm vụ
của giáo viên là kích thích tính sáng tạo, từ đó học sinh nhìn thấy bản chất của
bài toán gắn với thực tế hơn.
Việc dạy các hằng đẳng thức trên không khó lắm, ở đây tôi muốn đề cập
đến vấn đề phát huy tư duy sáng tạo và tự học, tự tìm ra kiến thức cho học sinh
như thế nào. Đó là một yêu cầu rất lớn đối với mỗi người giáo viên.
Trong bài giảng, tôi hình thành một hệ thống câu hỏi, đặt vấn đề để thông
qua việc trả lời các câu hỏi học sinh giải quyết được vấn đề, các kiến thức có thể
đưa ra trong giờ học (Theo cách bồi dưỡng cập nhật hoặc trong buổi bồi dưỡng
theo chuyên đề).
4. Thời gian tạo ra giải pháp
5
Để thực hiện được sáng kiến kinh nghiệm của mình tôi đã thực hiện kể từ
đầu năm học 2010 - 2011 đến năm học 2012-2013 đối với các em học sinh lớp 8
của nhà trường.
B - NỘI DUNG
I- Mục tiêu
Từ những vấn đề đã nêu ở trên và với nhiệm vụ là một giáo viên giảng
dạy môn toán ở trường phổ thông thì việc giảng dạy trước hêt phải đảm bảo
đúng và đủ nội dung chương trình SGK do Bộ GD-ĐT quy định còn phải bồi

với 2ab
6
(a - b)
2
≥ 0 ⇔ a
2
- 2ab + b
2
≥ 0
⇔ a
2
+ b
2
≥ 2ab (1)
- So sánh (a + b)
2
với 4ab
Cộng vào cả hai vế của bất đẳng thức (1) với 2ab ta có (a + b)
2
≥ 4ab (2)
- Biến đổi bất đẳng thức (1) theo một hướng khác:
Cộng vào 2 vế của bất đẳng thức đó với: a
2
+ b
2
ta lại có bất đẳng thức:
2(a
2
+ b
2

b) (a
2
+
≥ 2ab (*)
Ý nghĩa của (*) là nêu lên mối quan hệ giữa tổng hai số với tích của
chúng hoặc với tổng các bình phương của 2 số đó.
Áp dụng các bất đẳng thức này ta có thể giải được nhiều bài tập về chứng
minh bất đẳng thức.
Ví dụ 1: Cho a + b = 1
Chứng minh rằng a
2
+ b
2
≥
2
1
; a
4
+ b
4
≥
8
1
; a
8
+ b
8
≥
128
1

1
2
)(
=
8
1
a
8
+ b
8
≥
2
)
4
b
4
(a
2
+
=
2
8
1
2
)(
=
128
1
Các bất đẳng thức trở thành đẳng thức khi a = b =
2

+

c
4
+ d
4
≥ 4abcd
Giải: áp dụng bất đẳng thức (1) ta có:
a
4
+ b
4
= (a
2
)
2
+ (b
2
)
2
≥ 2a
2
b
2
c
4
+ d
4
= (c
2

b
2
+ c
2
d
2
)
Lại áp dụng bất đẳng thức (1) một lần nữa ta có:
a
2
b
2
+ c
2
d
2
= (ab)
2
+ (cd)
2
≥ 2abcd
Suy ra: a
4
+ b
4
+

c
4
+ d

≥ 2cd
a
2
+ c
2
≥ 2ac
a
2
+ d
2
≥ 2ad
b
2
+ d
2
≥ 2bd
Suy ra 3(a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
) ≥ 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd)
⇒ 4(a
2
+ b
2
+ c

2
+ d
2
≥ 1
Sau đó áp dụng bất đẳng thức (1), (2), (3) vào giải những bài tập phức tạp
hơn.
Ví dụ 5: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1
Chứng minh rằng: b + c > 16abc
Giải: Từ giả thiết ta có:
1 = [a + (b + c)]
2
≥ 4a(b + c) (áp dụng bất đẳng thức (2))
⇒ b + c ≥ 4a(b + c)
2
(do b + c > 0)
Áp dụng bất đẳng thức (2) ta có: (b + c)
2
≥ 4bc
Từ các bất đẳng thức trên suy ra: b + c ≥ 4a. 4bc = 16abc (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi: a = b + c ⇔ a =
2
1
b = c b = c =
4
1
9
Ví dụ 6: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta có:
(a + b)
2
(b + c)

+ b
2
+ c
2
(Có học sinh trả lời ngay a
2
+ b
2
+ c
2
≥ abc sai)
- Thử xét với a
2
+ b
2
? (a
2
+ b
2
≥ 2ab)
b
2
+ c
2
? (b
2
+ c
2
≥ 2bc)
a

2
b
2
+ b
2
c
2
+ a
2
c
2
)
Lại áp dụng bất đẳng thức (4) một lần nữa ta có:
a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ a
2
c
2
≥ ab
2
c + bc
2
a + ba

thức mới có nhiều ứng dụng trong giải toán:
- Nếu a, b dương hãy chứng minh bất đẳng thức:
b
a
+
a
b
≥ 2
(Chỉ việc chia 2 vế bất đẳng thức (1) cho ab > 0 ta được bất đẳng thức
b
a
+
a
b
≥ 2 (5))
- Hãy phát biểu bất đẳng thức (5) thành lời? nếu b = 1 thì ta có kết quả
như thế nào? (Tổng của một số dương với số nghịch đảo của nó thì không bé
hơn 2, nếu b=1 thì a +
a
1
≥ 2).
Trên đây mới chỉ là những ví dụ về ứng dụng của 3 bất đẳng thức được
khai thác từ bất đẳng thức đơn giản: (a - b)
2
≥ 0 trong một dạng toán chứng minh
bất đẳng thức, thực ra các bất đẳng thức này còn áp dụng để giải một số dạng
toán khác nữa. Chẳng hạn dạng toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một
biểu thức, nhưng vì mục đích của sáng kiến này nên tôi không trình bày kỹ vấn
đề đó.
Nếu khai thác bất đẳng thức (a + b)

≥ 4p suy ra (a + b) nhỏ nhất ⇔ (a + b)
2
nhỏ nhất
Do đó min (a + b)
2
= 4p khi và chỉ khi a = b
- Từ kết quả vừa chứng minh, em có nhận xét gì về diện tích của các hình
chữ nhật có cùng chu vi (Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông
là hình chữ nhật có diện tích lớn nhất - đây là cách phát biểu của mệnh đề trên
với điều kiện x, y > 0)
- Có nhận xét gì về chu vi của các hình chữ nhật có cùng diện tích (Trong
các hình chữ nhật có cùng diện tích hình vuông có chu vi nhỏ nhất)
Từ định lý vừa chứng minh ta có thêm một công cụ để giải toán chí ít là
tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất và giải phương trình.
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của P = x(8 - x).
(Hướng dẫn: Nhận xét gì về tổng của x và 8 - x ?; P
max
= 16 ⇔ x = 4).
2- Từ hằng đẳng thức :
(a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2(ab + bc + ca)
Với học sinh THCS việc tìm ra các bất đẳng thức từ đẳng thức là cách làm
quen thuộc và hiệu quả.

2
+ c
2
)
Từ các kết quả trên suy ra:
(a + b + c)
2
≤ 3(a
2
+ b
2
+ c
2
) (5)
- Hãy phát biểu bất đẳng thức (5) thành lời: Bình phương của tổng 3 số
không lớn hơn ba lần tổng các bình phương của chúng.
12
- Nếu a + b + c = 1 thì có bất đẳng thức nào? (a
2
+ b
2
+ c
2
≥
3
1
) (6')
3- Từ hằng đẳng thức: a
3
+ b

≥ 0
⇔ (
2
b a +
)[a
2
- ab + b
2
- (
2
b a +
)
2
] ≥ 0
⇔ (
2
b a +
)(3a
2
+ 3b
2
- 6ab) ≥ 0
⇔ 3(
2
b a +
)(a - b)
2
≥ 0
Với a>0; b>0 bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng, ta có đpcm
4- Từ hằng đẳng thức (a

) ≥ (ac + bd)
2
dấu "=" xảy ra ⇔
b
a
=
d
c
)
(Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki với 4 số)
- Em thử viết bất đẳng thức với 6 số, 8 số xem sao?
Với 6 số: a, b, c, và m, n, t khác 0 ta có:
(a
2
+ b
2
+ c
2
)( m
2
+ n
2
+ t
2
) ≥ (am + bn + ct)
2
13
dấu "=" xảy ra ⇔
m
a

+ + a
2
n
)( b
2
1
+ b
2
2
+ + b
2
n
) ≥ (a
1
b
1
+ a
2
b
2
+
.
+ a
n
b
n
)
2
dấu "=" xảy ra ⇔
1

- Trong giờ học GV phải :
+ Tạo được sự thi đua giữa cá nhân với cá nhân trong học tập, luôn
hướng HS tới những kiến thức tìm hiểu kế tiếp
+ Giúp HS tích cực quan sát, suy luận, tìm tòi, trao đổi ý kiến trong
nhóm, làm bài tập vận dụng sau mỗi phần
- Những yêu cầu đó đòi hỏi GV phải có thời gian, kinh phí, tâm huyết,
yêu nghề, yêu trẻ, có lòng say mê tìm tòi sáng tạo. GV cũng cần rèn cho HS ý
thức, thói quen học tập nghiêm túc, rèn kĩ năng quan sát, làm việc theo sự hướng
dẫn của GV. Đối với HS cần phải có tinh thần học tập bộ môn những bạn học
14
khá giỏi giúp đỡ những bạn học yếu hơn mình có như vậy giờ học mới đảm bảo
đúng tiến độ của giờ lên lớp.
* Đối tượng
Nhóm phương pháp dạy học: Phương pháp nêu và giải quyết vấn đề phối
kết hợp với phương pháp hoạt động nhóm, phương pháp sử dụng bản đồ tư duy,
phương pháp vấn đáp, phương pháp đàm thoại
* Phạm vi
Tất cả các giáo viên giảng dạy bộ môn toán đều có thể áp dụng vào giảng
dạy cho học sinh lớp 8 và lớp 9
3. Hiệu quả.
Trong những năm qua theo sự chỉ đạo của ngành giáo dục và đào tạo: Đổi
mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục "Phương pháp tích cực lấy học sinh làm
trung tâm" và "Bồi dưỡng cho học sinh tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn
đề" tôi đã nắm bắt chủ trương đó và vận dụng vào thực tế giảng dạy vừa đảm
bảo mặt bằng kiến thức vững chắc, vừa đi sâu đào tạo mũi nhọn trong quỹ thời
gian có hạn phải chuyển tải đến học sinh một lượng kiến thức vừa chắc, vừa sâu,
học sinh nắm được kiến thức một cách nhẹ nhàng, hiểu bài càng thấy say mê
học tập.
Tôi có làm một bài tập khảo sát với hai nhóm học sinh của hai lớp: Lớp
thực nghiệm 8A (lớp được giảng dạy theo sáng kiến) và lớp đối chứng 8B (lớp

(3)
Câu 3: Cho a
2
+ b
2

≤
2 . Chứng minh : a + b
≤
2 (5)
Đáp án và biểu điểm:
Câu 1: 3điểm
15
Ta có (1)
⇔
a
2
+2ab +b
2
- 2a
2
- 2b
2

≤
0

⇔
-(a
2


⇔
(a + b) (a
2
- ab + b
2
) +ab -
2
1

≥
0 0,5 điểm

⇔
a
2
- ab + b
2
+ ab -
2
1
≥
0 (vì a + b = 1) 0,5 điểm

⇔
a
2
+ b
2
-

≥
(4) 0,5 điểm
Bất đẳng thức (4) luôn đúng mà các phép biến đổi trên là tương đương nên
ta có (3) đúng (đpcm.
Dấu “=” xảy ra
⇔
a =
2
1
= b 0,5 điểm
Câu 3: 3 điểm
Giả sử: a + b > 2 0,5 điểm
⇔
a
2
+ 2ab + b
2
> 4 (5) 0,5 điểm
Ta có: (a - b)
2

≥
0
⇔
a
2
- 2ab + b
2

≥

+ b
2
)
≤
4 0,5 điểm
Suy ra: a
2
+ b
2
+ 2ab
≤
4 (6) mâu thuẫn với (5). vậy phải có a + b
≤
2.
16
Dấu “=” xảy ra
⇔
a = b = 1 0,5 điểm
Khi làm bài thì thấy học sinh lớp thực nghiệm 8A làm bài rất nhanh và rất
hiệu quả, các em cũng cảm thấy rất hứng thú với cách học vừa qua và từ đó thấy
yêu thích môn học hơn. Còn đối với các em lớp đối chứng 8B thì làm bài có
phần chậm hơn và khó khăc trong việc vận dụng các hằng đẳng thức vào chứng
minh bài toán.
4. Kết quả thực hiện
+ Kết quả kiểm tra:
Lớp Số bài kiểm tra
Số bài đạt điểm Trung bình trở lên
0 ,1 ,2 3 ,4 5 ,6 7 ,8 9 ,10 Số lượng %
8B 35 2 8 14 9 2 25 71,4%
8A 35 0 5 12 12 6 30 85,7%

cực hoá hoạt động nhận thức của HS bằng cách phối hợp các phương pháp gỉảng
dạy linh hoạt đã xác định hướng nghiên cúu của tôi là có hiệu quả.
* Những kinh nghiệm rút ra từ đề tài:
Qua việc giảng dạy tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh bằng
cách khai thác các hằng đẳng thức đáng nhớ, vận dụng vào chứng minh đẳng
thức, hằng đằng thức đã giúp học sinh nâng nao năng lực nhận thức, năng lực
vận dụng, từ đó bồi dưỡng cho các em tư duy sáng tạo, tư duy giải quyết vấn đề
một cách rất hiệu quả. Qua đây tôi nhận thấy để học sinh ham mê môn học và
học sinh phát huy được trí sáng tạo, năng lực nhận thức, tư duy sâu thì ta cần có
một vài kinh nghiệm sau:
1- Giáo viên phải nghiên cứu kĩ bài giảng. Phải chuẩn bị chu đáo đồ dùng
cho từng tiết dạy, phải có tâm huyết với nghề nghiệp.
2- Phải hiểu và sử dụng thành thạo các thiết bị đồ dùng dạy học đặc biệt là
công nghệ thông tin (máy chiếu) cũng như xây dựng kiến thức trên bản đồ tư
duy một cách chọn lọc nhất.
3- Phải truyền thụ đầy đủ và chính xác nội dung kiến thức cơ bản, cho học
sinh được làm thành thạo các bài tập cơ bản.
4- Phải đọc nhiều sách nâng cao và phải chắt lọc kiến thức.
18
5- Dạy học sinh các bài tập mở rộng phải theo tính logic để học sinh có thể
chủ động sáng tạo.
6- Khai thác bài toán theo nhiều hướng giải khác nhau và phát triển bài
toán lên mức độ khó hơn.
7- Cho học sinh được trao đổi thảo luận để xây dựng mối quan hệ đoàn kết
trong nhóm, lớp giúp đỡ nhau cùng tiến bộ
8- Giáo viên phải tích cực học hỏi đồng nghiệp, trau dồi kiến thức, cập
nhận các phương pháp dạy học mới thường xuyên.
C. KẾT LUẬN
1. Nhận định chung
Việc dạy học theo phương pháp phát huy tính năng động sáng tạo của học

bị cho mình cách giải toán và đặc biệt có thể vận dụng vào giải một số bài tập
hình học khó.
3. Hướng tiếp tục nghiên cứu
Để khắc phục những vấn đề còn hạn chế trên tôi muốn nghiên cứu các
lượng kiến thức khác theo các chuyên đề, tôi sẽ mở rộng hơn về các lượng kiến
thức nhằm áp dụng được rộng rãi hơn cho các đối tượng học sinh. Như: Vận
dụng hằng đẳng thức, bất đẳng thức vào giải bài toán hình học; một số phương
pháp chứng minh bất đẳng thức; xét dấu tam thức bậc hai; kỹ năng giải phương
trình chứa dấu giá trị tuyệt đối; Các kỹ năng chứng minh tam giác đồng dạng;
các dạng toán về diện tích tứ giác….
4. Những đề xuất, kiến nghị.
1-Đối với giáo viên:
Để hệ thống được dạng bài tập và đưa ra phương pháp giải cho mỗi dạng
thì đòi hỏi mỗi giáo viên phải đầu tư thời gian cho nghiên cứu bài dạy, tham
khảo thêm nhiều tài liệu đặc biệt là tài liệu nâng cao, tài liệu phát triển, tài liệu
bồi dưỡng. Cần tham khảo, học hỏi đồng nghiệp để rút ra kinh nghiệm cho bản
thân.
2-Đối với học sinh:
20
Cần phải coi trọng môn học, nắm vững lí thuyết và các kiến thức cơ bản,
làm tốt các bài tập cơ bản, đọc tham khảo các tài liệu tìm ra các bài tập áp dụng
rồi cùng giải.
Học hỏi bạn bè, điều chưa hiểu mạnh dạn hỏi giáo viên.
Một số tài liệu tham khảo ngoài sách giáo khoa và sách bài tập như là:
Sách toán cơ bản và nâng cao NXB GD
Sách bồi dưỡng toán NXBGD
Sách phát triển toán NXBGD
Sách nâng cao và các chuyên đề NXBGD
3-Đối với nhà trường và phòng giáo dục
Cần phải bổ xung thêm các tài liệu theo các chuyên đề để học sinh và giáo

II Nội dung chính của sáng kiến 3
III. Kết quả 11
IV. Hạn chế 11
V. Hướng tiếp tục nghiên cứu 12
VI Điều kiện áp dụng sáng kiến
12
VII. Đề xuất 12
C. Kết luận 14
Tư liệu tham khảo
15
23