Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 Gv. Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu
THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến:
“PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TOÁN HỌC
TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP VÀ KĨ THUẬT ĐIỂN HÌNH
TÌM NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN”
2. Lĩnh vực áp dụng:
Sáng kiến được áp dụng trong giảng dạy nội dung “Nguyên hàm, tích phân và
ứng dụng” (chương III – Giải tích 12) cho hai đối tượng: Một là học sinh lớp 12
(trong giảng dạy đại trà, ôn thi Đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi Toán); Hai là sử
dụng cho giáo viên vừa làm tư liệu, vừa định hướng sáng tạo khi dạy học nội dung
nguyên hàm – tích phân.
3. Thời gian áp dụng:
Từ năm học 2008-2009.
4. Tác giả:
Họ và tên: PHẠM BẮC PHÚ
Năm sinh: 1984.
Nơi thường trú: Đội 10-xã Hải Thanh-huyện Hải Hậu-tỉnh Nam Định.
Trình độ chuyên môn: Cử nhân khoa học-chuyên ngành sư phạm Toán.
Chức vụ công tác: Giáo viên.
Nơi làm việc: Trường THPT A Hải Hậu.
Địa chỉ liên hệ: Phạm Bắc Phú-Giáo viên THPT A Hải Hậu.
Mail:
5. Đơn vị áp dụng sáng kiến:
Tên đơn vị: Trường THPT A Hải Hậu.
Địa chỉ: Khu 6-Thị trấn Yên Định-Hải Hậu-Nam Định.
Điện thoại: 03503877089.
Trang 1
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 Gv. Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu
CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT
Kí hiệu tắt Giải thích

f x dx
∫
và
các tích phân có dạng
( )
b
a
f x dx
∫
.
“Tìm nguyên hàm – tích phân …”
Chỉ việc: Tìm họ các nguyên hàm …
Tính tích phân …
“Hàm số dưới dấu tích phân”
Chỉ hàm
( )
f x
xuất hiện trong các kí hiệu
nguyên hàm hay tích phân đang xét tới:
( )
f x dx
∫
,
( )
b
a
f x dx
∫
“Biểu thức dưới dấu tích phân” Chỉ
( )

* Hình thành và rèn luyện năng lực học tập bộ môn là một yêu cầu tất yếu của
mỗi môn học ở cấp học phổ thông. Trong quá trình giảng dạy cho nhiều đối tượng học
sinh các năm học từ 2008 đến nay, chúng tôi thấy cần thiết phải phát triển cho học
sinh năng lực Toán học để giúp học sinh nắm bắt và làm chủ được các phương pháp
và kĩ thuật giải toán đa dạng. Điều này giúp học sinh tích cực hơn trong việc học của
mình, gợi động cơ yêu thích môn học và đáp ứng được các mức độ yêu cầu khác nhau
của các kì thi.
* Bài tập tìm nguyên hàm – tích phân là nội dung xuất hiện trong các đề thi
giữa học kỳ II, thi cuối năm, thi Tốt nghiệp THPT, đặc biệt nó luôn xuất hiện trong đề
thi Tuyển sinh ĐH, CĐ và thi HSG Toán 12 hàng năm kể từ năm học 2008-2009 tới
nay. Loại bài tập này phong phú về phương pháp và kĩ thuật, thể hiện mối liên hệ mật
thiết giữa nhiều mảng kiến thức Toán (đại số, lượng giác, giải tích, phương pháp tính),
do đó nó là một trong những nội dung giúp rèn luyện và phát triển một số năng lực
Toán học cho người dạy và người học:
- Năng lực tư duy logic, sử dụng ngôn ngữ và kí hiệu chính xác.
- Năng lực suy đoán và tưởng tượng, liên hệ.
- Năng lực làm việc theo quy trình.
- Những hoạt động trí tuệ cơ bản: Phân tích, tổng hợp, khái quát hóa…
- Hình thành những phẩm chất trí tuệ có ích trong học tập, trong công tác và
cuộc sống: Tính linh hoạt, khả năng lật ngược vấn đề, tự phản biện, tính độc lập, tính
sáng tạo.
Trang 3
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 Gv. Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu
II. Thực trạng (trước khi tạo ra sáng kiến):
* Nhiều học sinh ít hứng thú với môn Toán. Sở dĩ học sinh chưa tìm thấy niềm
vui, sự yêu thích trong hoạt động giải toán là do chưa được rèn luyện những năng lực
Toán học cần thiết đáp ứng yêu cầu của môn học.
* Nội dung “Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng” được trình bày trong hai bộ
sách giáo khoa [1] (Nâng cao) và [3] (Cơ bản) theo phân phối như sau:
Trong Sách giáo khoa Nâng cao

iii) Một số dạng tích phân đặc biệt.
Trang 4
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 Gv. Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu
Ở một khía cạnh khác, các tài liệu tham khảo đóng vai trò là một kênh quan
trọng giúp học sinh tự học, tuy nhiên hầu hết các tài liệu tham khảo hiện nay (xem [7],
[8], [9], [10], [15], [16], …) về phương pháp tìm nguyên hàm – tích phân đều phân
chia dạng, loại bài tập theo hệ thống trên.
Thực tiễn khách quan cho thấy phân phối thời lượng còn quá ít so với một khối
lượng lớn các dạng loại, chưa kể tới trong mỗi sự phân chia theo dạng hàm ở trên còn
nhiều những dạng bài nhỏ đặc trưng của loại hàm đó.
* Những khó khăn nảy sinh khi học tập môn Toán nói chung và giải các bài
toán nguyên hàm – tích phân nói riêng là: Học sinh phải nắm bắt và ghi nhớ khá nhiều
kiểu bài và cách làm, thời gian luyện tập lại ít, dẫn đến lối học tập thụ động, gặp nhiều
khó khăn trước bài tập mới hoặc lạ. Để góp phần giải quyết những khó khăn trên, dựa
trên thực tiễn đã giảng dạy, trong báo cáo này tác giả trình bày một số kinh nghiệm
phát triển năng lực Toán học qua dạy học phương pháp và kĩ thuật điển hình tìm
nguyên hàm – tích phân, chứa đựng trong đó một số kĩ thuật dạy học và kĩ thuật sáng
tạo dành cho giáo viên.
III. Giải pháp:
III.1- TÓM TẮT NỘI DUNG GIẢI PHÁP:
Các nội dung cơ bản được đưa ra là:
• Nghiên cứu lí luận chung về năng lực Toán học và khả năng phát triển năng
lực Toán học qua dạy học nội dung phương pháp và kĩ thuật điển hình tìm
nguyên hàm – tích phân.
• Ba phương pháp tìm nguyên hàm – tích phân.
• Một số kĩ thuật điển hình tìm nguyên hàm – tích phân.
• Kinh nghiệm tiếp cận bài toán, kinh nghiệm sáng tạo trong từng phương pháp
và kĩ thuật, qua đó phát triển năng lực Toán học cho học sinh và giáo viên.
• Giới thiệu một số kĩ thuật mới tìm nguyên hàm – tích phân.
• Thực nghiệm sư phạm.

Hai là: Năng lực của con người có nguồn gốc xã hội – lịch sử. Không có môi
trường xã hội thì năng lực không thể phát triển. Thế hệ trước xây dựng và cải
tạo để lại dấu ấn cho thế hệ sau kế thừa.
Ba là: Năng lực có nguồn gốc từ hoạt động và là sản phẩm của hoạt động.
Trang 6
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 Gv. Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu
B. Năng lực Toán học
B1 – Khái niệm: Năng lực Toán học là đặc điểm tâm lí cá nhân, trước hết là đặc
điểm hoạt động trí tuệ đáp ứng các yêu cầu của hoạt động học Toán, tạo điều kiện
lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực Toán học tương đối nhanh chóng
và sâu sắc trong những điều kiện như nhau.
Năng lực Toán học được xét theo hai góc độ:
Một là: Năng lực nghiên cứu, sáng tạo cái mới.
Hai là: Năng lực học tập Toán học.
B2 – Các thành phần của năng lực Toán học:
* Theo Kônmôgôrốp, các thành phần của năng lực Toán học bao gồm:
- Năng lực biến đổi khéo léo các biểu thức chữ phức tạp; năng lực tìm được các
con đường giải các bài toán, nhất là các bài toán không có quy tắc chuẩn;
năng lực tính toán.
- Trí tưởng tượng hình học.
- Suy luận logic theo các bước đã được phân chia một cách đúng đắn kế tiếp
nhau; có kĩ năng quy nạp, khái quát vấn đề.
* Theo A.V.Cruchetxki ([20]), cấu trúc của năng lực Toán học bao gồm:
a) Thu nhận thông tin: Tri giác hóa tài liệu Toán; nắm bắt cấu trúc của bài toán.
b) Chế biến thông tin:
- Năng lực tư duy logic trong phạm vi quan hệ số lượng, quan hệ không gian, tư
duy với các kí hiệu Toán học.
- Năng lực khái quát hóa các đối tượng – các quan hệ - các cấu trúc; năng lực
rút ngắn quá trình suy luận và tính toán.
- Tính mềm dẻo của quá trình tư duy trong hoạt động Toán.

mình phát triển, bồi dưỡng các nhóm năng lực Toán học ở trên như đối với
người học sinh.
• Hơn thế, người giáo viên cần có năng lực nghiên cứu sáng tạo cái mới (phương
pháp mới, kiến thức mới, bài toán mới) để nâng cao trình độ nghiệp vụ của
mình, giữ đúng vai trò là hình mẫu, là người điều khiển (nhưng không là chủ
thể) của quá trình dạy học.
Tóm lại: Phát triển năng lực Toán học trong quá trình dạy học bộ môn Toán là tìm
cách nâng cao ba yếu tố sau: Tri thức chuyên môn Toán, kĩ năng làm Toán, thái độ
tình cảm đối với bộ môn Toán.
D. Phát triển năng lực Toán học trong dạy học phương pháp và kĩ thuật điển
hình tìm nguyên hàm – tích phân
D1 – Nội dung “Nguyên hàm – Tích phân” trong môn Toán ở trường THPT.
* Nguyên hàm, tích phân được đề cập tới trong chương trình Giải tích 12 ở chương
III-“Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng” (theo [1], [3]), bao gồm những vấn đề:
i) Nguyên hàm.
ii) Một số phương pháp tìm nguyên hàm.
iii) Tích phân.
Trang 8
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 Gv. Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu
iv) Một số phương pháp tính tích phân.
v) Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.
vi) Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể.
Những yêu cầu đối với việc dạy học nội dung này là:
i) Hình thành được khái niệm nguyên hàm.
ii) Dạy học tìm nguyên hàm.
iii) Hình thành khái niệm tích phân.
iv) Dạy học tính tích phân.
v) Dạy học ứng dụng của tích phân trong hình học: Giải quyết bài toán diện
tích hình phẳng và thể tích vật thể. (Theo [19] – Tr.164-170)
Như vậy có ba yêu cầu chính: Dạy khái niệm, dạy phương pháp và kĩ thuật tìm

toán, phát hiện các yếu tố cơ bản và các yếu tố đặc biệt trong bài toán, biết phán
đoán cách thức giải bài và tự phản biện cách làm.
4) Phát triển năng lực hoạt động trí tuệ chung: Khái quát dạng bài tập, khái quát kĩ
thuật tìm nguyên hàm – tích phân, liên hệ giữa các thao tác và dấu hiệu trong
dạng Toán về nguyên hàm – tích phân với nội dung Toán học khác (phương
trình, đạo hàm…), đặc biệt hóa các dạng nguyên hàm – tích phân tổng quát cho
những bài cụ thể.
5) Phát triển tư duy thuật giải: Tìm lời giải và trình bày các bài toán đổi biến hay
nguyên hàm - tích phân từng phần theo các bước chung.
6) Phát triển năng lực trình bày lời giải, năng lực sử dụng ngôn ngữ và kí hiệu.
7) Phát triển năng lực sáng tạo bài toán nguyên hàm – tích phân mới.
D3 – Một số kinh nghiệm đã thực hiện nhằm phát triển năng lực Toán học trong
dạy học phương pháp và kĩ thuật điển hình tìm nguyên hàm – tích phân.
Quá trình dạy học phương pháp và kĩ thuật tìm nguyên hàm – tích phân gắn liền
với việc dạy giải bài tập toán cụ thể. Đây là quá trình lâu dài, nó không thể diễn ra
trong chỉ một hay một vài tiết học. Để phát triển năng lực Toán học trong quá trình
này, kinh nghiệm được rút ra là giáo viên và học sinh cần:
1. Hệ thống hóa kiến thức cơ bản nhất (Đối với học sinh không đòi hỏi lí thuyết quá
chuyên sâu vì nguyên hàm – tích phân là một nội dung phức tạp của Toán sơ cấp và
cao cấp; ở phạm vi THPT chỉ dừng lại ở mức độ: nguyên hàm xem như là phép toán
ngược của đạo hàm và tích phân được tính qua công thức Newton-Leibniz).
2. Hệ thống các biến đổi chung cho từng phương pháp.
3. Đối với mỗi bài toán cụ thể cần tuân thủ bốn bước giải Toán nói chung. Đây là
điểm đặc biệt quan trọng quyết định sự hình thành và phát triển các năng lực Toán học
ở người làm Toán. Thực hiện các biện pháp vấn đáp, đàm thoại, tự vấn đáp; qua
hoạt động ngôn ngữ này sẽ kích thích tư duy hướng đích của người làm toán. Tác giả
chú trọng những khâu sau đây:
(i) Tiếp cận và phân tích bài toán nguyên hàm – tích phân:
Trang 10
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 Gv. Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu

- Quy trình tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
- Các tiêu chí chọn
u
và
dv
, "khẩu quyết" thường dùng.
- Cách thức phát hiện ra biến mới để biến đổi biến hay biến đổi vi phân.
5. Hệ thống hóa bài tập theo phương pháp, theo kĩ thuật, theo dạng hàm. Đối với
giáo viên, đây là phần tư liệu chuyên môn hữu ích cho quá trình dạy học phân hóa.
6. Tìm hiểu nguyên lí tạo ra bài tập, nguyên lí tạo ra tình huống mong muốn trong
bài tập, sáng tạo những bài toán mới.
Giả thuyết khoa học được đặt ra là:
Nếu chú ý rèn luyện và phát triển năng lực Toán học trong dạy học phương pháp
và kĩ thuật điển hình tìm nguyên hàm – tích phân sẽ giúp học sinh làm chủ được các
phương pháp và kĩ thuật tìm nguyên hàm - tích phân, giúp giáo viên nâng cao trình
độ chuyên môn và có được những sáng tạo mới.
Trang 11
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 Gv. Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu
CHƯƠNG II – PHƯƠNG PHÁP VÀ KĨ THUẬT ĐIỂN HÌNH
TÌM NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
Tóm tắt nội dung của chương: Chương II trình bày ba phần, bao gồm:
Phần thứ nhất - Ba phương pháp cơ bản tìm nguyên hàm – tích phân.
A. Phương pháp sử dụng định nghĩa và tính chất …
B. Phương pháp đổi biến số.
C. Phương pháp nguyên hàm – tích phân từng phần.
Phần thứ hai - Một số kĩ thuật điển hình tìm nguyên hàm – tích phân.
A. Sử dụng phép biến đổi vi phân.
B. Nhân, chia với đại lượng thích hợp để biến đổi vi phân hay đổi biến.
C. Phân tích biểu thức trên tử theo mẫu và đạo hàm của nhân tử dưới mẫu.
D. Sử dụng tích phân từng phần cho tích phân dạng

A. Phương pháp sử dụng định nghĩa, tính chất của nguyên hàm và tích phân, sử
dụng các nguyên hàm cơ bản
A1 – Tóm tắt lí thuyết:
Trong [1] – Tr.136-140, [3] – Tr.93-97 đã trình bày các vấn đề lí thuyết căn bản
về nguyên hàm – tính phân ở phạm vi THPT, những nội dung chính có thể tóm tắt như
sau:
1) Khái niệm nguyên hàm, tích phân:
Khái niệm nguyên hàm Khái niệm tích phân
• Cho hàm số
f
xác định trên K. Hàm
số
F
là một nguyên hàm của
f
trên
K nếu
( ) ( )
= ∀ ∈
/
, KF x f x x
.
• Kí hiệu họ tất cả các nguyên hàm của
f
trên K là
( )
∫
f x dx
:
( ) ( )

a
b
f x dx F x F b F a
a
.
2) Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:
(gọi tắt là bảng nguyên hàm cơ bản)
1.
=
∫
0dx c
,
1dx dx x c= = +
∫ ∫
, 2.
α+
α
= + α ≠ −
α +
∫
1
, ( 1)
1
x
x dx c
,
3.
= +
∫
ln

2
tan ,
cos
dx
x c
x
8.
= − +
∫
2
cot ,
sin
dx
x c
x
9.
= + ≠
∫
, ( 0)
kx
kx
e
e dx c k
k
10.
= + < ≠
∫
, (0 1)
ln
x

=
∫
0
a
a
f x dx
.
2.
( ) ( )
= −
∫ ∫
b a
a b
f x dx f x dx
.
3.
( ) ( ) ( )
+ =
∫ ∫ ∫
b c c
a b a
f x dx f x dx f x dx
.
4.
( ) ( ) ( ) ( )
 
+ = +
 
∫ ∫ ∫
b b b

∫ ∫ ∫ ∫
1 1 1 1
k k k k
n n n n
f x dx f x f x dx f x dx f x dx
(
∈¡
*
k
i
).
Để triển khai được phương pháp này cần nắm vững một số biến đổi căn bản,
chẳng hạn những biến đổi sau đây rất hay sử dụng trong bài tập:
1. Khai triển tích của hai biểu thức bằng luật phân phối.
2. Chia hai đa thức (biểu thức) đưa phân thức về những hạng tử đơn giản hơn.
3. Các hằng đẳng thức cơ bản.
4. Thêm, bớt, nhân, chia hạng tử mới:
( ) ( )
, ( 0)
XA
X X A A X B B X A
A
= + − = − + = ≠
…
5. Sử dụng các đại lượng liên hợp:
+A B
và
−A B
,
±

= +
∫
f x dx F x c
thì
Trang 14
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 Gv. Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu
( )
= +
∫
[ ( )] ( ) [ ( )]f u x d u x F u x c
. Đây là điều đặc biệt quan trọng vì trong đa số bài
tập, các hàm dưới dấu tích phân thường phức tạp hơn rất nhiều so với những
hàm đã nêu trong bảng nguyên hàm cơ bản. Về điểm này báo cáo sẽ trình bày
hệ thống hơn thành mục riêng trong Phần thứ hai – mục A.
A3 – Thí dụ minh họa:
 Thí dụ 1. Tìm các nguyên hàm, tích phân sau:
a)
( )
= −
∫
1
2
2
0
1I x x dx
(Trích Đề thi Tốt nghiệp THPT môn Toán, năm 2010).
b)
( )
= −
∫

∫ ∫
3
2 3 2 9 6 3
2 1 8 12 6 1J x x dx x x x x dx
( )
= − + − = − + − + = − + − + ∈
∫
¡
12 9 6 3 12 9 3
11 8 5 2 6
8 12 6 2 4
8 12 6 ,
12 9 6 3 3 3 3
x x x x x x x
x x x x dx c x c c
.
Cách 2: Sử dụng biến đổi vi phân:
( ) ( ) ( )
( )
−
= − = − − = + ∈
∫ ∫
¡
4
3
3 3
2 3 3 3
2 1
1
2 1 2 1 2 1 ,

0
3 2
dx
J
x x
.
c)
( )
=
+
∫
2
2
1
2
dx
K
x x
.
Lời giải:
a)
( )
+
 
+ + +
= = = + + + = + + − + ∈
 ÷
 
∫ ∫ ∫
¡

2
0 0 0 0 0
( 1) ( 2)
3 2 1 2 1 2
1 1
3 4
ln 1 ln 2 ln2 ln ln .
2 3
0 0
dx dx dx d x d x
J
x x x x x x
x x
c) Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
+ − + −
= = − = − = − +
+
+ + + +
2 2 2
2 2
1 1 ( 2) 1 1 1 1 ( 2) 1 1 1
. .
2 2 2 4 2 4 4( 2)
2 2 2 2 2
x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
nên
( )

i) Nếu bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu thì chia tử cho mẫu đưa về
dạng có bậc của tử nhỏ hơn, khi đó có thể thực hiện thao tác “tách mẫu”
hoặc đổi biến.
ii) Mở rộng của
= +
∫
ln
dx
x c
x
là
= + +
+
∫
1
ln
dx
ax b c
ax b a
(với
∈¡,a b
và a khác
0) thường xuyên được sử dụng đối với dạng phân thức.
 Thí dụ 3. Tìm các nguyên hàm, tích phân sau:
a)
1
2
x x
I e dx
+

2 2
2 2 2 2. ,
2 ln2
ln 2
x
x x
x
x x
e
e
I e dx e dx c c c
e
.
Trang 16
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 Gv. Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu
b) Với
 
∈
 
1;4x
có
 
= = =
 ÷
 
1
9 1
1 3
3
.

đổi
=
∫ ∫
1
4 4
3
3
1 1
xdx x dx
nhưng không biến đổi
− −
=
∫ ∫
1
4 4
3
3
8 8
xdx x dx
vì hàm số
=
1
3
y x
chỉ xác
định trên
( )
+∞0;
, với tích phân
−

 
− ≥ ∀ ∈
 
2
0, 1;2x x x
, do đó:
( ) ( )
= − = − + − = − − + −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2 1 2 1 2
2 2 2 2 2
0 0 1 0 1
I x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx
   
= − − + − =
 ÷  ÷
   
3 2 3 2
1 2
1
3 2 3 2
0 1
x x x x
.
b) Ta thấy
+ =1 cos2 2 cosx x
và
 
π
≥ ∀ ∈

0
2
x x
.
Khái quát: Để tính
( )
∫
b
a
f x dx
với
( )
f x
là hàm chứa một hay nhiều biểu thức
( )
i
u x
và a, b là các số thực cho trước,
<a b
, ta vận dụng tính chất “tách cận” của tích phân,
thực hiện theo quy trình như sau:
Trang 17
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 Gv. Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu
Bước 1: Tìm nghiệm của tất cả các biểu thức
( )
i
u x
trong dấu giá trị tuyệt đối
trên khoảng (a; b). Giải sử tất cả các nghiệm đó là
1

u x
trên ngay
 
 
;a b
.
Bước 3: Dùng tính chất của tích phân và dấu đã xét ở Bước 2 để bỏ được dấu
giá trị tuyệt đối trong các tích phân thành phần của tổng:
( ) ( ) ( ) ( )
= + + +
∫ ∫ ∫ ∫
1 2
1

n
x x
b b
a a x x
f x dx f x dx f x dx f x dx
.
Lưu ý: Quy trình trên đây cũng được ứng dụng vào giải bài toán tính diện tích hình
phẳng bằng tích phân.
 Thí dụ 5. Tìm các nguyên hàm và tích phân sau:
a)
( )
π
= − −
∫
2 2
0

2 2
sin2 1 cos2 1 3cos2 sin2
2sin sin cos cos (1 cos2 )
2 2 2
x x x x
x x x x x
, do
đó
( )
π
π
 
π
= − − = − + =
 ÷
 
∫
0
1 1 3 1
1 3cos2 sin2 sin2 cos2
2 2 2 2 2
0
I x x dx x x x
.
b) Ta có
( )
= − = −
1 1 1
sin .sin2 .cos5 cos cos3 cos5 cos5 .cos cos5 .cos3
2 2 2

cos2 2 cos2 2
d x
x
K xdx dx x c c
x x
.
Trang 18
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 Gv. Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu
d)
π π
π
   
π π π
= + = − = − + − = −
 ÷
 
π
   
+
∫ ∫
6 6
2
0 0 2
1 2
cot [ 1] cot( )
6
6 6 6
3
sin ( )
0

π π
= + −
 ÷  ÷
   
∫
tan .tan .tan
3 3
I x x x dx
.
b)
π
π
−
−
=
+
∫
8
8
cos5 cos4
1 2cos3
x x
J dx
x
(Trích Đề thi HSG Toán 12 Nam Định, năm 2007-2008).
Câu a: Phân tích: Với biểu thức
   
π π
+ −
 ÷  ÷

tan 3tan
1 3tan
x x
x
, chính là
−tan3x
, đây là công thức
nhân ba đối với hàm tang, tuy nhiên trong chương trình hiện nay công thức này đã bị
lược bỏ nên đa số học sinh không biết, hoặc biết và dùng thì phải chứng minh lại.
Trang 19
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 Gv. Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu
Hướng 2: Thấy các cung
π π
+ −, ,
3 3
x x x
đôi một hơn kém nhau một đại lượng
hằng, do đó có thể dùng công thức
( )
−
− =
+
tan tan
tan
1 tan .tan
a b
a b
a b
nhiều lần để quy
nguyên hàm cần tìm về tổng của các nguyên hàm quen thuộc dạng

+ − = − = − −
 ÷  ÷  ÷
     
1 2 1 1
sin .sin .sin sin . cos cos2 sin cos2 .sin
3 3 2 3 4 2
x x x x x x x x
( )
= − − − = −
1 1 1
sin sin3 sin sin3
4 4 4
x x x x
.
•
     
π π π
+ − = + = −
 ÷  ÷  ÷
     
1 2 1 1
cos .cos .cos cos . cos2 cos cos2 .cos cos
3 3 2 3 2 4
x x x x x x x x
( )
= + − =
1 1 1
cos3 cos cos cos3
4 4 4
x x x x

+ Quan sát biểu thức
−
+
cos5 cos4
1 2cos3
x x
x
trước tiên có thể nghĩ tới việc biến đổi tử
về dạng tích theo công thức quen thuộc:
− = −
9
cos5 cos4 2sin .sin
2 2
x x
x x
, tuy nhiên tới
đây không thấy được ngay mối liên hệ (để rút gọn, để đổi biến) giữa tử và mẫu.
+ Ta nhớ lại một nguyên tắc hay dùng khi “bậc” của tử lớn hơn “bậc” của mẫu
là tìm cách chia tử cho mẫu. Ở đây không thể đặt phép chia như đa thức, mà phải tìm
cách phân tích tử, cụ thể là từng lượng
cos5 , cos4x x
thành
2cos3x
.
Trang 20
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 Gv. Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu
Sơ đồ sau đây định hướng biến đổi góc từ công thức biến đổi tổng thành tích,
đó là:
+
¬

2
x
x
. Tới đây ta
lựa chọn được cách ghép (và thêm bớt):
+cos5 cosx x
,
+cos4 cos2x x
.
Lời giải:
• Ta có:
− = + − + + −cos5 cos4 (cos5 cos ) (cos4 cos2 ) (cos2 cos )x x x x x x x x
= − + − = − +
2cos3 .cos2 2cos3 .cos (cos2 cos ) (cos2 cos )(1 2cos3 )x x x x x x x x x
.
• Do đó
−
= −
+
cos5 cos4
cos2 cos
1 2cos3
x x
x x
x
.
• Vậy
( )
π
π

lượng giác, số mũ cho học sinh nhằm khắc sâu kiến thức đã học trước
đó. Đối với học sinh giỏi nhằm rèn luyện tính mềm dẻo – linh hoạt trong
tư duy Toán, tránh việc làm phức tạp hóa bài toán theo những phương
pháp khác.
- Những trở ngại trong một số bài toán theo hướng biến đổi sẽ gây hứng
thú cho học sinh thúc đẩy năng lực tự tìm hiểu các phương pháp khác
mạnh hơn.
* Giáo viên cần đa dạng hóa hình thức câu hỏi trong bài tập: Ngoài bài toán
trực tiếp là tìm nguyên hàm – tích phân có thể sử dụng các kiểu hỏi khác: Chứng minh
đẳng thức; Tìm điều kiện (cân bằng hệ số) để đẳng thức xảy ra; Giải phương trình, bất
phương trình tích phân; Tính đạo hàm của hàm tích phân Do khuôn khổ có hạn, báo
cáo chỉ thể hiện nội dung này trong phần bài tập vận dụng dưới đây.
A5 – Bài tập vận dụng:
Bài 1. Sử dụng định nghĩa nguyên hàm, hãy chứng minh các công thức sau:
i)
= + + + ∈
+
∫
¡
2
2
ln , .
dx
x x a c c
x a

Trang 21
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 Gv. Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu
ii)
+

.
Bài 3. Tìm nguyên hàm
( )
F x
của
( )
= + +
4 4
tan 4cot 4f x x x
biết rằng
 
π
= −π
 ÷
 
3
F
.
Đáp số:
( )
= − − −
1
tan 2cot 3
3
F x x x x
.
Bài 4. a) Tìm tham số a sao cho
( )
+ − + =
∫

3I x dx
x
Đáp số:
−
= − +
10
5
9 4
12ln
5
x
I x c
x
.
a.2.
= + +
∫
( 1)( 2014)I x x x dx
Đáp số:
= + + +
4 3
2
2015
1007
4 3
x x
I x c
.
a.3.
 

3 logI e
.
a.5.
( )
+
=
∫
2
1
0
1
x
x
e
I dx
e
Đáp số:
= + −
1
2I e
e
.
a.6.
( )
= −
∫
ln2
2
0
1

a.8.
−
+ −
=
∫
2 2
2
2
1
2
2x x
I dx
x
Đáp số:
=
9
8
I
.
a.9.
+ −
=
+
∫
3
2
1
2 1x x
I dx
x x

x
I dx
x

Đáp số:
−
= + + +
+
3
1 1
ln
3 2 1
x x
I x c
x
.
a.12.
( )
+ +
=
+
∫
2
1
0
ln 2 1
1
x x
I dx
x

3
16
I J
.
a.15.
=
+
∫
sin3 .sin4
tan cot2
x x
I dx
x x
(ĐH Ngoại thương Hà Nội – A1997)
Đáp số:
cos9 cos5 cos3 cos
36 20 12 4
x x x x
I c
= − − − +
.
a.16.
( ) ( )
= + +
∫
4 4 6 6
sin cos sin cosI x x x x dx
(Học viện Quan hệ quốc tế – 1997)
Đáp số:
= + + +

8
8
cos cos8 cos7
1 2cos5
x x x x
I dx
x
(Dự bị HSG Toán 12, Nam Định-2007)
Đáp số:
+
= −
2 2 2
3 2
I
.
a.19.
+
=
+
∫
cos4 sin2
cos3 sin3
x x
I dx
x x
Đáp số:
= + +sin cosI x x c
.
a.20.
π

 
y f u
liên tục sao cho hàm hợp
( )
 
 
f u x
xác định trên K. Khi đó, nếu
F
là một
nguyên hàm của
f
(tức là
( ) ( )
= +
∫
f u du F u c
) thì
( ) ( ) ( )
   
= +
   
∫
/
.f u x u x dx F u x c
.
Định lí 2. Cho hàm số
( )
=
u u x

Các công thức nêu trong hai định lí trên được gọi là công thức đổi biến số.
B2 – Nội dung phương pháp:
1. Phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm – tích phân: Là phương pháp biến đổi
vận dụng hai công thức đổi biến số ở trên. Có hai kiểu vận dụng, đó là:
* Kiểu 1:
+ Nội dung: Để tính
( )
∫
g x dx
, ta biến đổi
( ) ( ) ( )
 
=
 
∫ ∫
/
.g x dx f u x u x dx
và thực
hiện việc đổi biến
( )
=
t u x
. Bài toán mới là
( )
∫
f t dt
có hình thức quen thuộc
hơn và có cách biến đổi dễ hơn so với hình thức cũ.
+ Dấu hiệu: Để tìm biến mới
( )

( ) ( ) ( ) ( )
 
= =
 
∫ ∫ ∫
/
.g x dx g v t v t dt f t dt
. Hình thức mới của bài toán cần phải quen
thuộc hơn và có cách biến đổi dễ hơn so với hình thức cũ.
Trang 24
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 Gv. Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu
+ Dấu hiệu: Bên cạnh những bài toán có cách lựa chọn theo hình thức 1 có thể
chuyển sang hình thức 2 (khi mà
( ) ( )
= ⇔ =t u x x v t
), trong phạm vi chương
trình Toán THPT hiện nay ta sử dụng hình thức hai dưới góc độ “lượng giác
hóa” được trình bày trong mục B3 ngay dưới đây.
2. Các bước tìm nguyên hàm
( )
∫
g x dx
bằng phương pháp đổi biến số:
(i) Biến đổi nguyên hàm về hình thức thuận lợi, chọn biến mới theo t, nêu điều
kiện cần thiết của t.
(ii) Đổi vi phân
dx
theo
dt
.

thì
= βt
.
(iii) Đổi vi phân
dx
theo
dt
.
Đổi biểu thức
( )
g x dx
thành
( )
f t dt
.
(iv) Tính tích phân mới
( )
β
α
∫
f t dt
.
(v) Kết luận giá trị của tích phân đã cho.
B3 – Hệ thống một số dạng đổi biến thường gặp:
* Đổi biến số theo kiểu 1: Dựa trên hai cơ sở: Một là tạo ra dấu hiệu mong muốn sự
có mặt của bộ phận
( )
/
u x dx
trong bài, ta cho

= +t ax b
=
1
dx dt
a

2
( )
+
∫
;
i
n
f x ax b dx

= +
k
t ax b
với k là bội chung
nhỏ nhất của n
1
, n
2
, …
−
=
1k
k
dx t dt
a