 !"#$%&'()#$%*

 !"#$%&'()#$%*

 +,-.
 
!"#$%!&$%&'(&')*
+','-.#%.%%%
/012345.#
&".4
α
%6(7(8)*7!'-%.
,97:,,'--;!6<&
,9"#=>%7'?@'A'5.)'@B%';&)C
$&!;1D7.,"'##A,6
C !"'@B';&!;'E'?;;12C"&'+/0
0"1"2-3#4567,!
58379:*F"GHI#7
J%#%*CI!:.%&K##A3
?;)*%&6',6,L;
 !"#$%&'()#$%:*#*
<=(565> 
M1A<'A1
MM1D.)'1
N1O<B6 !'6' C1
P1P#&)Q1
O1P#41
MMM1R6!;&:,1

 !"#$%&'()#$%*
 

 D6
>∆ >
#V=W#3
= $
%
$ $
b b
x x
a a
− − ∆ − + ∆
= =
) 2@BFX7YZ1
 2@BLD6#S
x R
∈
L
( ) ( )
$
( > = >bx c a+ + = ≠


= $
%x x

= $ = $
% 1
b c
S x x P x x
a a
−


1
 V=W[3
>
>
>
P
S
∆ ≥


⇔ >


<

1
 !"!!*+1
#A\###;!6.]!.)*
 !'6#$%&!&$#4^L&
5.#$&".4
α
%\6']'-'&
5#$&">1
%,-./011O#L
( ) ( )
$
( > = >%bx c a x R+ + = ≠ ∈

' ','-#V=WL

t x x t
α α
= − ⇒ = +
%&#V=W'?#L
( ) ( )
$ $
$ > $at a b t a b c
α α α
+ + + + + =
' 2-#V=W
x
α
≥

⇔
#V$W
>t ≥
 V$W
= $
> >t t P≤ ≤ ⇔ ≤
1
  $LV$W
= $
>
> >
>
t t P
S
∆ ≥



≤

) V=W$_
= $
x x
α
< < ⇔
#V$W$
= $
> >t t P< < ⇔ <
1
2 V=W$_
= $
x x
α
< < ⇔
#V$W$
= $
>
> >
>
t t P
S
∆ >


< < ⇔ >



$
= $ = $
$
$ U % 1 %
a b
a b c
a b a a b c P t t S t t
a a
α
α α
α α α
− +
+ +
∆ = + − + + = = = + =
W
56178.LThoạt nhìn thì bài toán này mang đậm dấu ấn dùng kiến thức so sánh nghiệm của
một tam thức bậc 2 với số thực
α
, và bằng cách làm như trên ta đã hướng dẫn học sinh giải
quyết bài toán một cách dễ dàng dựa vào định lý Viet và các ứng dụng, tránh không sử dụng
kiến thức về tam thức bậc 2 đã được giảm tải trong sách giáo kh1#1
%,-./01O#L
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=x a x b x c x d k+ + + + =
&"
a c b d+ = +
1
' ','-#V=W1
( ','-#V=W$#31
) ','-#V=Wa#31

$ $ $
a c
a c a c
t ac bd t ac bd k
 
   
+
+ +
   
+ + − + − − − =
 
   
 ÷  ÷
   
   
 
   
 
' V=W
⇔
#V$W
>t ≥
 LV$W
= $
> >t t P≤ ≤ ⇔ ≤
1
 !"#$%&'()#$%*
 LV$W
= $
>

) V=Wa#3
⇔
#V$W$_L
= $
>
> >
>
t t P
S
∆ >


= < ⇔ =


>

1
2 V=WU#
⇔
#V$W$_L
= $
>
> >
>
t t P
S
∆ >



U a $
( > = >bx cx bx a a+ + + + = ≠
' ','-#V=W)1
( ','-#V=W31
) ','-#V=W1
2 ','-#V=WU#31
-4-
• (c>,5#V=W%;&6#V=W
$
>x ≠
%'?L

( )
$
= =
$ > $a x b x c a
x x
   
+ + + + − =
 ÷  ÷
   
:Thông thường tới đây học sinh sẽ đặt
( )
=
$t x t
x
= + ≥
, khi đó nhận được phương trình
$
$ >at bt c a+ + − =

 LVaW
= $
>
> >
>
t t P
S
∆ ≥


≤ ≤ ⇔ ≥


≥

( F
>x <
%'`
( )
=
$ >t x t
x
= + + ≤

=
$x t
x
+ = +
%&#V$W'?L


%`#
VUW
>t
≤
1V23T,6!;]?#5#A&W1
2 2-#V=WU#3(8b?#d
 LVaW$_L
=
= $ =
=
>
> >
>
t t P
S
∆ >


< < ⇔ >


>


 LVUW$_L
$
= $ $
$
>
> >

$ $
( ( > = >d >bx c bx c a
α β γ α
+ + + + + + = ≠ ≠
' ','-#V=W1#1
( ','-#V=WU#31
) ','-#V=W$#31
-4-1
• f8g>V&"h>%4W
• 
$
$
$
$
U
$ U
b b ac
ax bx c a x
a a
 
−
 
+ + = + −
 
 ÷
 
 
 
 '`
$

$ $
$ >t k t k k
α β α α β γ
+ − + − + =
VaW
' 2-#V=W#VaW
>t ≥

 LV$W
= $
> >t t P≤ ≤ ⇔ ≤
1
 !"#$%&'()#$%*
 LV$W
= $
>
> >
>
t t P
S
∆ ≥


≤ ≤ ⇔ ≥


≥

( 2-#V=WU#3#VaW$_
= $

t t
S
∆ =

< = ⇔

>

V'
∆
C5#VaW%
= $ = $
% 1S t t P t t= + =
W
56178.LKhi gặp dạng toán này các em học sinh thường đặt
$
(t bx c= + +
với điều kiện
( )
$
U
U
b ac
t
a
− −
≥
nếu a > 0,
( )
$

) ','-#V=W)1
-4-1
• 2R
x R∈
1
• 2`
( )
$
>t x t
α α
= + − ≥

( )
$
$
x t
α α
= + −
%&#V=W'?#L

( )
( )
$
$ > $at a b t b c
α α
+ + + + =
' 2-#V=W#V$W
>t
≥
 LV$W


>

) 2-#V=W)(8$b?#L
 LV$W
= $
>
> >
>
t t P
S
∆ >


< = ⇔ =


<

1
 LV$W
= $
>
>
>
t t
S
∆ =

= = ⇔

( =bx c x
α
+ + = −

' ','-#V=W1
( ','-#V=W$#31
) ','-#V=W)1
-4-1
• V=W
( ) ( )
$
$
>
( $
x
bx c x
α
α
− ≥


⇔

+ + = −


• 2`
t x
α
= −

>
a
t t
P
≠

≤ ≤ ⇔

≤

1
 9LVaW
= $
=
>
>
>
>
a
t t
P
S
≠


∆ ≥

≤ ≤ ⇔

≥

=a =
%&#VaW
>
t
&;#
>
>t ≥
 LVaW
= $
=
>
>
a
t t
P
≠

< < ⇔

<

1
 9LVaW
= $
=
>
>
>
>
a


V'
∆
C5#VaW%
= $ = $
% 1S t t P t t= + =
W
 !"#$%&'()#$%*
56178.LDạng toán này hay xuất hiện trong chuyên đề về phương trình chứa căn, và những
bài toán như thế cũng từng xuất hiện trong các đề thi Đại học, Cao đẳng, nhưng tất cả đều
đưa ra phương án là đi so sánh nghiệm của phương trình (2) với số thực
α
. Song với cách giải
như trên thì ta đã đưa bài toán về so sánh nghiệm của phương trình (3) với số 0.
%,-./01>1O#L
( )
( ) ( )
$
  =
a a
x x x b
α β γ
+ + = −
&"
> =a
< ≠
1
' ','-#V=W1
( ','-#V=W$#31
) ','-#V=W)

' 2-#V=W#VaW
>t
>
 Lf8
>
α
=
%&#VaW
>
t
&;#
>
>t >
1
 LVaW
= $
>
>
>
t t
P
α
≠

< < ⇔

<

 9LVaW
= $

S
α
≠


∆ >

= < ⇔

=


>

( 2-#V=W$#3#VaW$
= $
>
>
>
>
>
t t
P
S
α
≠


∆ >


< < ⇔

<

1
 9LVaW
= $
>
>
>
>
>
t t
P
S
α
≠


∆ >

= < ⇔

=


>

 !"#$%&'()#$%*
 ;LVaW

= $
=x x< <
1
2 '-#V=W
= $
=x x< <
1
-4-1
• 2`
= =t x x t= − ⇒ = +
%&#V=W'?#L
( ) ( )
$ $
$ = a $ > $t m t m m+ − + − + =
' 2-#V=W
=x
≥

⇔
#V$W
>t ≥
 LV$W
$
= $
> > a $ > = $t t P m m m≤ ≤ ⇔ ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤
1
 LV$WL
$
= $
= >


≥


  
≥ − ≥
≤




• B.CD61L&"
[
)
=dm∈ +∞
#V=W
=x ≥
1
( 2-#V=W
=x
≤

⇔
#V$W
>t ≤
 LV$W
$
= $
> > a $ > = $t t P m m m≤ ≤ ⇔ ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤
1

= $
=x x< < ⇔
#V$W$L

$
= $
> a $ > = $t t m m m< < ⇔ − + < ⇔ < <
1
• B.CD61L&"
= $m
< <
#V=W
= $
=x x< <
2 V=W$_
= $
=x x< < ⇔
#V$W$L

$
= $
= >
i >
> > a $ >
> = >
m
t t P m m
S m
− >


α
đã được giảm
tải trong sách giáo khoa.
%,-O#L
( ) ( ) ( )
( )
= = $ a $ =x x m x m x m m− + − − − = +
%&"
>m
≥
1
' '-#V=W1
( '-#V=W$#31
) '-#V=Wa#31
2 '-#V=WU#31
-4-1
• 6']#V=W
( ) ( )
( )
$ $
$ $ = a j $x mx x mx m m⇔ − − + − = −

• 2`
( )
$
$ >t x mx m t= − + ≥
%&#V$W'?#L

( ) ( )
$



 
≤ ≤ ⇔ ≥ ⇔ ≤ ⇔ − + ≤ ≤
 
 
≥

> −


• B.CD61LF"
)
l jjdm

∈ − + +∞

#V=W1
( V=W#3(8$b?#L
 LV$W
= $
j
> > j $ >
$
t t P m m< < ⇔ < ⇔ − < ⇔ >
1
 LV$WL

$
= $

+ >



> −

1
• B.CD61LF"
{ }
j
d l jj
$
m
 
∈ +∞ ∪ − +
 ÷
 
#V=W$1
) V=Wa#3
⇔
#V$W$_L
$
= $
> =$ =k >
j
> > j $ >
$
> = >
m m
t t P m m

t t P m m
S m

∆ > + − >



< < ⇔ > ⇔ − > ⇔ − + < <
 
 
> + >


• B.CD61L&"
j
l jjd
$
m
 
∈ − +
 ÷
 
#V=WU#31
%,-91O#L
( )
( )
U a $ $
$ a U $ = > =x mx m m x mx− + − + − + =
' '-#V=W)1
( '-#V=W31

x
+ = +
%&#V$W'?L
( )
$ $
$ $ m l >t m t m m− − + − + =
VaW1
• 2-#V=W(g>#VaW
>t ≥
1f8$b
?#L
 LVaW
$
= $
> m l > = lt t m m m≤ ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤
1
 LVaW
$
= $
a $ >
i >
> > m l > l
> $ >
m
t t P m m m
S m
− ≥

∆ ≥


VUW
• 2-#V=W(g>#VaW
>t ≤
1f8$b
?#L
 LVaW
$
= $
> l >t t m m≤ ≤ ⇔ + + ≤
V&W1
 LVaW
$
= $
a $ >
i >
> > l >
> $ >
m
t t P m m
S m
− ≥

∆ ≥



≤ ≤ ⇔ ≥ ⇔ + + ≥
 
 
≤ + ≤

 
 
− >
>


 LVUW$_L

$
$
= $ $
$
a $ >
>
> > l >
$ >
>
m
t t P m m
m
S
− >

∆ >



< < ⇔ > ⇔ + + >
 
 


V&W
• B.CD61LF"
lm >
#V=WU#31
%,-;LO#
( ) ( )
( )
$
$ $
( $ $ ( $ a > =x m x m− − − + + =
' '-#V=W1
( '-#V=WU#31
) '-#V=W$#31
-4-
• 2`
$
$ =t x x= − +
,'
>t ≥
%
$
$ =x x t− = −
1&#V=W'?
#L
( ) ( )
$
$ = U > $t m t m− + + + =

' 2-#V=W#V$W

1
• B.CD61L&"
(
]
= =a
d U d
$
m
 
− +
∈ −∞ − ∪ +∞
÷

÷
 
#V=W1
( 2-#V=WU#3#VaW$_L

$
= $
> a >
= =a
> > U >
$
> = >
m m
t t P m m
S m

∆ > + − >

1
 LV$W
= $
> > U > Ut t P m m< < ⇔ < ⇔ + < ⇔ < −
1
 LV$W
$
= $
>
a >
= =a
>
>
$
= >
m m
t t m
S
m
∆ =

+ − =

− +
< = ⇔ ⇔ ⇔ =
 
>
+ >



• 2` 
( )
$
= = >t x t= + − ≥
 
( )
$
$
= =x t= + −
%&#V=W'?#
L
( ) ( )
$
$ a $ > $t m t m− − + + =
' 2-#V=W#V$W
>t
≥
 LV$W
= $
$
> > a $ >
a
t t P m m
−
≤ ≤ ⇔ ≤ ⇔ + ≤ ⇔ ≤
1
 LV$W
$
= $
> =l U >

#V=W#3
( 2-#V=WU#3#V$W$_L

$
= $
> =l U >
> > a $ > n ln
> $ >
m m
t t P m m
S m

∆ > − − >



< < ⇔ > ⇔ + > ⇔ > +
 
 
> − >


• B.CD61LF"
( )
n lndm∈ + +∞
#V=W#31
) 2-#V=W)(8$b?#L
 LV$W
$
= $

t t
S
m
∆ =

− − =

= = ⇔ ⇔
 
=
− =


V&W
• B.CD61&"
$
a
m
−
=
#V=W)1
%,-=O#L
( ) ( )
$ $
$( $ = = =m x m m x− + + + = −

' '-#V=W1
( '-#V=W$#31
) '-#V=W)1
-4-

 LVaW
$
= $
> > > > =t t P m m m≤ ≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ≤
1
 !"#$%&'()#$%*
 LVaW
$
= $
= >
i >
> > > =
> = >
m
t t P m m m
S m
− ≥

∆ ≥



≤ ≤ ⇔ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ =
 
 
≥ − ≥


1
• B.CD61LF"

 LVaW
$
= $
> > > > =t t P m m m< < ⇔ < ⇔ − < ⇔ < <
1
 LVaW
$
= $
= >
>
> > > >
> = >
m
t t P m m m
S m
− >

∆ >



< = ⇔ = ⇔ − = ⇔ =
 
 
< − <


1
 9LVaW
= $

( )
( ) ( )
$ $
$ a $ a
 $ a =  = $x mx m m x m
+ +
+ + + − = − +
• V$W
( ) ( )
$ $
= >
$ = U $ > a
x m
x m x m m
− + >


⇔

+ − + + − =


• 2`
= =t x m x t m
= − + ⇒ = + −
%&
= >x m
− + >
 ',
>t

m
S m

− + ≥
∆ ≥



< ≤


< ≤ ⇔ > ⇔ − > ⇔
 

 
<
> − >



1
 9LVaW
$
$
= $
U $> k >
>
>
> > U >
=

m
 
∈ −∞


 
#V=W1
 !"#$%&'()#$%*
( 2-#V=W$#3#VaW$L
$
$
= $
U $> k >
>
= =
> > U >
U $
>
> a U >
m m
m
t t P m m
m
S m

− + >
∆ >




> > U > >
U
t t P m m m< < ⇔ < ⇔ − < ⇔ < <
1
 LVaW
$
$
= $
U $> k >
>
>
> > U >
=
> a U >
U
m m
m
t t P m m
m
S m

− + >
∆ >

=




= < ⇔ = ⇔ − = ⇔

m


=




∆ =

− + =



< = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =
=
  

>
− >





<


• B.CD61F"
= =

= − ≥
%,'
$
=
$ $
x
t
+
= +
%&#V=W'?#L

( ) ( )
$ $
$ $ = == > $t m t m m− − + − =
' 2-#V=W#V$W
>t ≥
1
 LVaW
$
= $
> > == > > ==t t P m m m≤ ≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ≤
1
 LVaW
$
$
= $
a m = >
i >
> > == > ==
> $ = >

= $
>
a m = >
>
>
$ = >
m m
t t
S
m
∆ =

+ + =

< = ⇔ ⇔
 
>
− >


V&W
• B.CD61F"
( )
>d==m∈
#V=W#31
) 2-#V=WU#3#V$W_L
 !"#$%&'()#$%*

$
$

=x
≤ −
1
( '-#V=W_L
= $
= x x− < ≤
1
) '-#V=W_L
= $
=x x< − <
1
2 '-#V=W
( )
=dx∈ − +∞
1
%,-1O#L
( ) ( ) ( )
U a $
$ = a $ $ = = > V=Wx m x m x m x− + + − − + + =
' '-#V=W1
( '-#V=W#31
) '-#V=W)1
2 '-#V=W31
%,-91O#L
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= $ a U $ = =x x x x m− − − − = −
' '-#V=W1
( '-#V=W#31
) '-#V=W#31
2 '-#V=W#31

$ $
j $ j $
 $ a $ a U  $ = > =x m x m m x m
+ −
 
− + + + − + − + =
 
' '-#V=W1
( '-#V=W#31
 !"#$%&'()#$%*
) '-#V=W)1
%,-E1O#L
( ) ( )
$
$
=
= $
$
a $ = a a > =
x
x
m m m
+
+
− + + − =
' '-#V=W1
( '-#V=W#31
) '-#V=W)1
G*
R#)Q '&;)*:.<b%

PP<QPP= = a $ U
PP=QPP> => >= > >
PP>QPPE = k > =
PPEQPPR = j a =
 !"#$%&'()#$%*
PPRQPP = k > >
%?S
2"' "'b(3)4%#-&)Q'E'?2;%D
"!'A%'-)Q5"&']"
###;)*'?P.y)Q.&Q#6A#;4
.!;1{&'bA#;#'4:%4
|H3C%#&Q %o'###
;)*'*!;%*'?4CI&<:JH##A
3?)Q1{.K'-*4-6T4
;)*'& &6 '%,6,#Q&Q&)*
&:1oKC'%r':.'64#Q&Q
;)*'-&6,6,H3r4& %#
#A}['e#%7:KB<#Q&Q&)*&
:'?146!!;)*'*'7:'
*&II,`#C% *'&,"#=>
'E;;#A'@B';&)C$&!;% ,`#)*
 ''E7;II%7:"#=>%
;7:"#=$,'E'?@Q'*9,,r1
o46'HI#7:;CI,:%6&
)Q%,.)*C%!*&!7 &6,6,
L
T1U2H1UVW15CX@-Y3.U-4-KZ.[O2\1U./01]^_5`a1U.bc15(6)QdDe]^(6)f
^4#B5!BA%1
 !"#$%&'()#$%*
?*+