TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
KHOA CÔNG NGHỆ TỰ ĐỘNG
GIÁO TRÌNH
LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
(Lưu hành nội bộ) Biên soạn:

Phạm Thị Hương Sen

Lê Thị Vân Anh
HÀ NỘI - 2011
Các tác giả iii

MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU ii
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG 1
1.1 Giới thiệu 1
1.2 Hệ thống ñiều khiển tự ñộng 2
1.2.1 Khái niệm và ñịnh nghĩa 2
1.2.2 Nguyên tắc ñiều khiển 4
1.2.3 Tín hiệu 6
1.3 Phân loại hệ thống ñiều khiển tự ñộng 7
1.3.1 Phân loại theo mạch phản hồi 7
1.3.2 Phân loại theo ñặc ñiểm mô tả toán học 8
1.3.4 Phân loại mục tiêu ñiều khiển 8
1.3.4 Phân loại theo dạng năng lượng sử dụng 9
1.3.5 Phân loại theo số lượng ñầu vào, ñầu ra 9

3.3.1 Đặc tính thời gian của hệ thống 60
3.3.2 Đặc tính tần số của hệ thống 61
BÀI TẬP CHƯƠNG 3 64

iv

CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ CHẤT LƯỢNG HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN 66
4.1 Khái niệm về tính ổn ñịnh 66
4.2 Các tiêu chuẩn ổn ñịnh ñại số 68
4.2.1 Điều khiển ổn ñịnh cần thiết 68
4.2.2 Tiêu chuẩn ổn ñịnh Hurwitz 69
4.2.3 Tiêu chuẩn ổn ñịnh Routh 71
4.3 Các tiêu chuẩn ổn ñịnh tần số 74
4.3.1 Nguyên lý góc quay 74
4.3.2 Tiêu chuẩn ổn ñịnh tần số Mikhailov 76
4.3.3 Tiêu chuẩn ổn ñịnh tần số Nyquist 77
4.4 Độ dự trữ ổn ñịnh 80
4.5 Phương pháp quỹ ñạo nghiệm số 81
4.5.1 Khái niệm 81
4.5.2 Quy tắc vẽ quỹ ñạo nghiệm số 82
4.6 Khảo sát chất lượng hệ thống ñiều khiển 84
4.6.1 Chỉ tiêu chất lượng ở trạng thái xác lập 84
4.6.2 Chỉ tiêu chất lượng ở trạng thái quá ñộ 86
BÀI TẬP CHƯƠNG 4 87
CHƯƠNG 5: THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN 89
5.1 Mục ñích ñiều khiển 89
5.2 Bài toán tổng hợp hệ thống 91
5.3 Các quy luật ñiều khiển cơ bản 92
5.3.1 Luật ñiều khiển tỉ lệ (luật P) 93
5.3.2 Luật ñiều khiển tích phân (luật I) 94

Lược sử phát triển ñiều khiển tự ñộng
Lịch sử phát triển của ñiều khiển tự ñộng ñược ghi nhận từ trước công nguyên, bắt ñầu từ
ñồng hồ nước có phao ñiều chỉnh Ktesibios ở Hy Lạp. Hệ ñiều chỉnh nhiệt ñộ ñầu tiên do
Cornelis Drebble (1572 - 1633) người Hà Lan sáng chế. Năm 1765, Polzunov chế tạo bộ ñiều
chỉnh mức nước nồi hơi. Năm 1784, James Watt chế tạo bộ ñiều tốc ly tâm ñể ñiều chỉnh máy
hơi nước. Các sáng chế này ñược xem là các cơ cấu tự ñộng xuất hiện ñầu tiên trong công
nghiệp.

Hình 1.1: Hệ điều tốc của James Watt
Nguyên lý hoạt ñộng của hệ ñiều tốc ly tâm (hình 1) là duy trì cho tốc ñộ quay của tuabin
hơi nước giữ ổn ñịnh. Nếu tốc ñộ n tăng lên, thông qua cơ cấu ly tâm, con trượt sẽ kéo lên trên
(kéo cả ñầu A của cánh tay ñòn AB) và ñầu B bị ấn xuống làm cho van ñóng lại, làm giảm
luồng hơi cấp vào tuabin, do ñó tốc ñộ quay của tuabin giảm xuống. Tương tự khi tốc ñộ quay
của tuabin vì một nguyên nhân nào ñó bị giảm xuống thì cánh tay ñòn AB thông qua cơ cấu ly
tâm sẽ hạ ñầu A xuống và nâng ñầu B lên ñể mở cửa van cho luồng hơi vào máy nhiều hơn và
làm tăng tốc ñộ quay của tuabin hơi nước.
Những nghiên cứu ñáng kể trong giai ñoạn ñầu phát triển của lý thuyết ñiều khiển tự ñộng
thuộc về Minorsky, Hazen và Nyquist. Năm 1922, Minorsky là người ñặt nền móng cho lý
thuyết ñiều khiển tàu thủy và chỉ ra cách xác ñịnh tính ổn ñịnh từ phương trình vi phân mô tả
hệ thống. Năm 1917, O.Block sử dụng lý thuyết vectơ và hàm biến phức vào việc nghiên cứu
lý thuyết ñiều khiển tự ñộng. Trên cơ sở ñó, năm 1932 Nyquist ñã ñưa ra phương pháp ñồ thị
ñể xác ñịnh tính ổn ñịnh của hệ thống kín từ ñáp ứng tần số của hệ hở với tín hiệu vào hình sin.
Trong suốt thập niên 1940, phương pháp ñáp ứng tần số, ñặc biệt là phương pháp biểu ñồ
Bode, ñã ñược sử dụng rộng rãi ñể phân tích và thiết kế các hệ thống ñiều khiển vòng kín
tuyến tính. Từ cuối thập niên 1940 ñến ñầu thập niên 1950 Evans phát triển và hoàn chỉnh
phương pháp quỹ ñạo nghiệm. Đây là hai phương pháp cốt lõi của lý thuyết ñiều khiển cổ ñiển,
cho phép thiết kế ñược những hệ thống ñiều khiển ổn ñịnh và ñáp ứng ñược các yêu cầu ñiều
khiển cơ bản. Các bộ ñiều khiển ñược thiết kế chủ yếu là bộ ñiều khiển PID và bộ ñiều khiển

2

thuật có chức năng tương ứng.
1.2 Hệ thống ñiều khiển tự ñộng
1.2.1 Khái niệm và ñịnh nghĩa
Một hệ thống ñiều khiển tự ñộng tổng quát ñược minh hoạ ở hình 1.2.

Hình 1.2: Cấu trúc cơ bản của hệ thống điều khiển
Hệ thống gồm ba thành phần cơ bản là ñối tượng ñiều khiển, thiết bị ño và bộ ñiều khiển.

3

Trong ñó:
r(t): tín hiệu vào, chuẩn tham chiếu (reference input), giá trị ñặt trước.
y(t): tín hiệu ra (output), biến/ñại lượng cần ñiều khiển.
y
ht
(t): tín hiệu hồi tiếp.
e(t): tín hiệu sai lệch. Sai lệch giữa tín hiệu ñặt và tín hiệu ra
u(t): tín hiệu ñiều khiển.
z(t): tín hiệu nhiễu.
Đối tượng ñiều khiển (ĐTĐK): là hệ thống vật lý cần ñiều khiển ñể có ñáp ứng mong
muốn. ĐTĐK bao gồm ña dạng các loại máy, thiết bị kỹ thuật, quá trình công nghệ. ĐTĐK là
máy, thiết bị thường ñược ñặc trưng bằng các cơ cấu chấp hành như ñộng cơ, xi lanh, hệ bàn
trượt với tín hiệu ra là chuyển ñộng vật lý như vận tốc, vị trí, góc quay, gia tốc, lực. Các quá
trình công nghệ thường có tín hiệu ra là nhiệt ñộ, áp suất, lưu lượng, mức.
Đối tượng Tín hiệu vào Tín hiệu ra
Động cơ ñiện Điện áp Vận tốc, góc quay
Van Vị trí nòng van Lưu lượng
Xylanh lực Lưu lượng, áp suất Vận tốc, vị trí, lực
piston
Lò nhiệt Công suất cấp nhiệt Nhiệt ñộ

khiển. Bộ ñiều khiển liên tục có thể thực hiện bằng cơ cấu cơ khí, thiết bị khí nén, mạch ñiện
RLC, mạch khuếch ñại thuật toán. Bộ ñiều khiển số thực chất là các chương trình phần mềm
chạy trên vi xử lý hay máy tính.
Nhiễu: các tác ñộng lên hệ thống gây nên các ảnh hưởng không mong muốn ñược gọi
chung là nhiễu. Nhiễu luôn tồn tại và có thể tác ñộng vào bất cứ phần tử nào trong hệ thống,
nhưng thường ñược quan tâm nhiều nhất là các nhiễu tác ñộng lên ñối tượng ñiều khiển, loại
này gọi là nhiễu ñầu ra hay nhiễu phụ tải.
Trên ñây chúng ta chỉ mới ñề cập ñến các thành phần cơ bản của hệ thống ñiều khiển. Trong
thực tế, cấu trúc hoàn chỉnh của hệ thống ñiều khiển thường ña dạng và phức tạp hơn. Ví dụ,
trong hệ còn có cơ cấu thiết ñặt tín hiệu vào chuẩn, các cơ cấu tác ñộng có vai trò trung gian
giữa bộ ñiều khiển và ñối tượng như van ñiều khiển, bộ khuếch ñại công suất, mạch cách ly,
ñộng cơ, các bộ truyền ñộng. Trong hệ thống ñiều khiển số còn có các bộ chuyển ñổi A/D,
D/A, card giao tiếp,…
1.2.2 Nguyên tắc ñiều khiển
Nguyên tắc ñiều khiển thể hiện ñặc ñiểm lượng thông tin và phương thức hình hành tác
ñộng ñiều khiển trong hệ thống. Các nguyên tắc ñiều khiển có thể xem là kim chỉ nam ñể thiết
kế hệ thống ñiều khiển ñạt chất lượng cao và có hiệu quả kinh tế nhất.
Nguyên tắc 1: Nguyên tắc thông tin phản hồi
Muốn quá trình ñiều khiển ñạt chất lượng cao, trong hệ thống phải tồn tại hai dòng thông
tin: một từ bộ ñiều khiển ñến ñối tượng và một từ ñối tượng ngược về bộ ñiều khiển (dòng
thông tin ngược gọi là hồi tiếp). Điều khiển không hồi tiếp (ñiều khiển vòng hở) không thể ñạt
chất lượng cao nhất là khi có nhiễu. Các sơ ñồ ñiều khiển dựa trên nguyên tắc thông tin phản
hồi là:
Điều khiển bù nhiễu (Hình 1.3): Nguyên tắc này ñược dùng khi các tác ñộng bên ngoài lên
ĐTĐK có thể kiểm tra và ño lường ñược, còn ñặc tính của ĐTĐK ñã ñược xác ñịnh ñầy ñủ. Bộ
ñiều khiển sử dụng giá trị ño ñược của nhiễu ñể tính toán tín hiệu ñiều khiển u(t). Nguyên tắc
ñiều khiển này có ý nghĩa phòng ngừa, ngăn chặn trước. Hệ thống có khả năng bù trừ sai số
trước khi nhiễu thực sự gây ảnh hưởng ñến tín hiệu ra. Tuy nhiên, vì trong thực tế không thể
dự ñoán và kiểm tra hết mọi loại nhiễu nên với các hệ phức tạp thì ñiều khiển bù nhiễu không
thể cho chất lượng cao.

chấp nhận sai số lớn).
- Điều khiển mực nước trong bồn chứa của khách sạn (chỉ cần ñảm bảo luôn có nước
trong bồn) với ñiều khiển mực chất lỏng trong các dây chuyền sản xuất (mực chất lỏng
cần giữ không ñổi).
Nguyên tắc 3: Nguyên tắc bổ sung ngoài
Một hệ thống luôn tồn tại và hoạt ñộng trong môi trường cụ thể và có tác ñộng qua lại chặt
chẽ với môi trường ñó. Nguyên tắc bổ sung ngoài thừa nhận có một ñối tượng chưa biết (hộp
ñen) tác ñộng vào hệ thống và ta phải ñiều khiển cả hệ thống lẫn hộp ñen. Ý nghĩa của nguyên
tắc này là khi thiết kế hệ thống tự ñộng, muốn hệ thống có chất lượng cao thì không thể bỏ qua
nhiễu của môi trường tác ñộng vào hệ thống.

6

Nguyên tắc 4: Nguyên tắc phân cấp (Hình 1.6)
Đối với hệ thống ñiều khiển phức tạp cần xây dựng nhiều lớp ñiều khiển bổ sung cho trung
tâm. Cấu trúc phân cấp thường sử dụng là cấu trúc hình cây, ví dụ như hệ thống ñiều khiển
giao thông ñô thị hiện ñại, hệ thống ñiều khiển dây chuyền sản xuất.

Hình 1.6: Sơ đồ điều khiển phân cấp

1.2.3 Tín hiệu
Tín hiệu
(
)
tx ñược ñịnh nghĩa như là một hàm số phụ thuộc thời gian mang thông tin về
các thông số kỹ thuật ñược quan tâm trong hệ thống và ñược truyền tải bởi những ñại lượng
vật lý, nói cách khác tín hiệu là một hình thức biểu diễn thông tin.
Ví dụ: Để ñiều khiển nhiệt ñộ thì nhiệt ñộ hiện thời là một thông số kỹ thuật của hệ thống
cần ñược quan tâm. Giá trị nhiệt ñộ ño ñược bằng cảm biến tại thời ñiểm t ñược thể hiện dưới
dạng giá trị của hàm số phụ thuộc thời gian







=
tx
tx
tx
n
M
1

Phân loại tín hiệu
Do tín hiệu trong
(
)
tx có mô hình là hàm thời gian như ñã ñịnh nghĩa vừa nêu trên nên phụ
thuộc vào miền xác ñịnh cũng như miền giá trị của hàm số
(
)
tx là liên tục hay rời rạc mà tín
hiệu
(
)
tx có thể phân thành bốn loại sau:
- Tín hiệu liên tục: Nếu
(
)

)
tx là hàm không liên tục theo miền giá trị.

7

Bốn kiểu tín hiệu trên chỉ là sự phân loại cơ bản theo miền xác ñịnh hoặc theo miền giá trị của
(
)
tx . Trên cơ sở bốn kiểu phân loại cơ bản ñó mà một tín hiệu
(
)
tx khi ñược ñể ý chung ñồng
thời tới cả miền xác ñịnh và miền giá trị có thể là:
- Dạng tín hiệu liên tục-tương tự
- Dạng tín hiệu không liên tục-tương tự
- Dạng tín hiệu liên tục-rời rạc
- Dạng tín hiệu không liên tục-rời rạc
Trong ñó dạng tín hiệu không liên tục - rời rạc còn có tên gọi là tín hiệu số. Hình 1.7 minh
họa trực quan cho bốn dạng tín hiệu vừa trình bày.

(
)
tx
(
)
tx
(
)
tx
(

không áp dụng ñược nguyên lý xếp chồng. Hệ tuyến tính chỉ là mô hình lý tưởng. Các hệ
thống ñiều khiển thực tế ñều có tính phi tuyến. Ví dụ trong các bộ khuếch ñại ñiện, ñiện từ,
thủy lực, khí nén luôn có sự bão hòa tín hiệu ra khi có tín hiệu vào ñủ lớn; trong truyền ñộng
cơ khí, thủy lực, khí nén luôn tồn tại các khâu khe hở, vùng không nhạy với tín hiệu vào nhỏ;
các hệ thống ñiều khiển ON/OFF là phi tuyến với mọi giá trị tín hiệu vào. Để ñơn giản hóa quá
trình phân tích và thiết kế, hệ phi tuyến có phạm vi biến thiên của các biến tương ñối nhỏ
thường ñược tuyến tính hóa ñể ñưa gần ñúng về hệ tuyến tính.
1.3.3 Phân loại theo loại tín hiệu trong hệ thống
- Hệ liên tục: Các tín hiệu truyền trong hệ ñều là hàm liên tục theo thời gian. Hệ liên tục
ñược mô tả bằng phương trình vi phân.
- Hệ rời rạc: Tín hiệu ở một hay nhiều ñiểm của hệ là dạng chuỗi xung hay mã số. Hệ rời
rạc ñược mô tả bằng phương trình sai phân.
1.3.4 Phân loại mục tiêu ñiều khiển
- Hệ thống ổn ñịnh hóa: Khi tín hiệu vào r(t) không thay ñổi theo thời gian ta có hệ thống
ổn ñịnh hóa hay hệ thống ñiều chỉnh. Mục tiêu ñiều khiển của hệ này là giữ cho sai số giữa tín
hiệu vào và tín hiệu ra càng nhỏ càng tốt. Hệ thống ñiều khiển ổn ñịnh hóa ñược ứng dụng
rộng rãi trong dân dụng và công nghiệp, ñiển hình là các hệ thống ñiều chỉnh nhiệt ñộ, ñiện áp,
tốc ñộ, áp suất, lưu lượng, mức nước, nồng ñộ, ñộ pH…
- Hệ thống ñiều khiển theo chương trình: Nếu tín hiệu vào r(t) là một hàm ñịnh trước theo
thời gian, yêu cầu ñáp ứng ra của hệ thống sao chép lại các giá trị tín hiệu vào r(t) thì ta có hệ
thống ñiều khiển theo chương trình. Ứng dụng ñiển hình của loại này là các hệ thống ñiều
khiển máy CNC, robot công nghiệp.

Bộ ĐK ĐTĐK
Chỉnh ñịnh
r
v
u
z
y

gian hoạt ñộng của hệ thống. Hệ bất biến ñược mô tả bằng phương trình vi phân/sai phân hệ số
hằng. Đáp ứng của hệ này không phụ thuộc vào thời ñiểm mà tín hiệu vào ñược ñặt vào hệ
thống.
- Hệ biến ñổi theo thời gian (hệ không dừng): Các thông số của hệ là tham số phụ thuộc
vào thời gian, ví dụ hệ thống ñiều khiển tên lửa với khối lượng của tên lửa giảm dần do sự tiêu
thụ nhiên liệu trong quá trình bay. Phương trình mô tả hệ biến ñổi theo thời gian là phương
trình vi phân/sai phân hệ số hàm. Đáp ứng của hệ này phụ thuộc vào thời ñiểm mà tín hiệu vào
ñược ñặt vào hệ thống.
1.4 Ví dụ về hệ thống ñiều khiển
Hệ thống ñiều khiển mức nước

Hình 1.9: Hệ thống điều khiển mức nước đơn giản

10

Trong hệ thống ñiều khiển tự ñộng hình 1.9, ñối tượng ñiều khiển là bồn nước (1). Mục
tiêu ñiều khiển là giữ mức nước trong bồn luôn ổn ñịnh và bằng trị số H
0
ñặt trước cho dù
lượng nước tiêu thụ thay ñổi như thế nào.
Tín hiệu ra y = h: mức nước thực tế.
Tín hiệu vào r = H
0
: mức nước yêu cầu.
Nhiễu z: sự thay ñổi lượng nước tiêu thụ.
Thiết bị ño là phao (2); bộ ñiều khiển là hệ thống ñòn bẩy (3) có chức năng khuếch ñại sai lệch
và ñiều khiển ñóng mở van; cơ cấu tác ñộng là van (4).
Tín hiệu ñiều khiển u: ñộ nâng của van (4).
Tín hiệu sai lệch: e = r – y = H
0

Hình 1.11 giới thiệu một phiên bản ñơn giản của hệ thống ñiều khiển tốc ñộ ñộng cơ DC.
Tốc ñộ yêu cầu ñược ñặt chỉnh bằng chiết áp và có giá trị trong khoảng V100
÷
. Bộ phát tốc
(tachometer) ño số vòng quay của ñộng cơ và chuyển thành tín hiệu ñiện áp V100
÷
. Bộ
khuếch ñại vi sai (1) so sánh giá trị ñặt với tốc ñộ thực tế, sau ñó tín hiệu sai lệch ñược chuyển
ñến bộ khuếch ñại công suất (2) ñể thành tín hiệu ñiều khiển ñộng cơ. Để có sai số xác lập
bằng 0 và cải thiện ñặc tính ñộng học của ñộng cơ tốt hơn, người ta thay bộ khuếch ñại vi sai
bằng bộ ñiều khiển PID và mạch chỉnh lưu ñiện tử.
Trong các ứng dụng ñiều khiển tốc ñộ và ñịnh vị chính xác, hiện nay người ta thường dùng
ñộng cơ servo DC và AC. Động cơ servo có quán tính nhỏ, khả năng gia tốc tốt, làm việc tin
cậy, hầu như không cần bảo dưỡng. Động cơ servo DC công suất nhỏ ñược sử dụng trong các
thiết bị văn phòng như ñộng cơ quay ổ ñĩa máy tính, ñộng cơ quay rulo máy in, … Động cơ

11

servo DC công suất trung bình và lớn ñược sử dụng trong các hệ thống robot, hệ thống ñiều
khiển máy CNC,…

Hình 1.11: Sơ đồ hệ thống điều khiển tốc độ động cơ DC
Hình 1.12 giới thiệu hệ thống ñiều khiển ñộng cơ servo DC dùng bộ ñiều khiển ñiện tử
theo nguyên tắc ñiều biến ñộ rộng xung (PWM). Tín hiệu phản hồi ñược lấy từ bộ phát tốc
hoặc bộ mã hóa góc quay (encoder) lắp ñặt sẵn trên ñộng cơ.

Hình 1.12: Sơ đồ hệ thống điều khiển tốc độ động cơ servo DC
Hệ thống ñiều khiển máy trộn

Hình 1.13: Sơ đồ hệ thống điều khiển máy trộn

vậy, cần có cơ sở chung ñể phân tích, thiết kế các hệ thống ñiều khiển có bản chất vật lý khác
nhau và cơ sở ñó là toán học.
Để mô tả hệ thống tuyến tính liên tục người ta thường sử dụng ba dạng mô hình toán học
cơ bản sau:
- Phương trình vi phân tuyến tính;
- Hàm truyền ñạt;
- Phương trình trạng thái.
Mỗi phương pháp mô tả hệ thống ñều có những ưu ñiểm riêng, trong tài liệu này sẽ xét cả
ba phương pháp mô tả trên.
2.2. Mô tả hệ thống ở miền thời gian
2.2.1 Mô hình phương trình vi phân
Một hệ thống tuyến tính liên tục có tín hiệu vào là r(t) và tín hiệu ra là y(t) có thể ñược mô
tả bằng phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng có dạng tổng quát:
)( )(
1
1
1
101
1
1
10
trb
dt
dr
b
dt
rd
b
dt
rd

, …, a
n
; b
0
, …,b
m
là những hằng số, ñược xác ñịnh từ tham số của các phần tử;
n là bậc của phương trình vi phân, m ≤ n.
Phương trình vi phân mô tả cho một hệ thống bất kỳ ñược xây dựng theo phương pháp giải
tích, tức là dựa trên các ñịnh luật vật lý biểu diễn các quá trình ñộng học của hệ thống ñể thành
lập phương trình vi phân. Cụ thể là:
- Đối với các phần tử ñiện: áp dụng các ñịnh luật Kirchoff dòng ñiện, ñiện áp tìm mối quan
hệ dòng - áp trên ñiện trở, cuộn cảm, tụ ñiện,…
- Đối với các phần tử cơ khí: áp dụng ñịnh luật II Newton tìm quan hệ giữa lực ma sát và
vận tốc, quan hệ giữa lực và ñộ biến dạng của lò xo, …
- Đối với các phần tử nhiệt: thường áp dụng ñịnh luật truyền nhiệt, ñịnh luật bảo toàn năng
lượng, …
Ví dụ 2.1: Cho mạch ñiện RC trên hình 2.1. Biết trước giá trị của ñiện trở R, của tụ ñiện C
trong mạch. Hãy xác ñịnh mô hình mạch ñiện dưới dạng phương trình vi phân mô tả quan hệ
giữa tín hiệu vào là ñiện áp u
i
(t) và tín hiệu ra là ñiện áp u
0
(t) trên tụ ñiện.
Theo ñịnh luật Kirchoff ta có:
u
R
(t) + u
C
(t) = u

C
.)( = (2.5)
u
R
(t) = R.i
R
(t) (2.6)
Thay trở lại phương trình (2.2) ta có ñược mối quan hệ giữa ñiện áp vào và ñiện áp ra của
mạch ñiện:
)()(
0
0
tutu
dt
du
CR
i
=+ (2.7)
Với tín hiệu vào r(t) = u
i
(t); tín hiệu ra y(t) = u
0
(t) ta có phương trình vi phân mô tả cho mạch
ñiện RC chính là phương trình vi phân cấp 1:
)()(. trty
dt
dy
RC =+ (2.8)
Ví dụ 2.2: Xác ñịnh phương trình vi phân mô tả cho ñộng cơ ñiện một chiều kích từ ñộc lập.
Động cơ là phi tuyến nhưng ta xem gần ñúng là phần tử tuyến tính. Sơ ñồ cấu trúc ñược mô tả


(2.9)

kt
U
U
n
C
M

Hình 2.2: Sơ đồ cấu trúc động cơ điện
trong ñó: U
0
- ñiện áp ban ñầu ñặt vào phần ứng của ñộng cơ
I
0
, E: ñiện áp, dòng ñiện, sức ñiện ñộng phần ứng ở trạng thái xác lập và
E = k
ư
Фn
0
= k
1
n
0
(từ thông Ф = const)
M
d0
= M
c

0
+ ∆n. Quá trình ñộng học xảy ra trong ñộng cơ ñược mô tả bằng
phương trình vi phân:
dt
Id
LIIRnnkUU
∆
+∆++∆+=∆+ )()(
0010
(2.10)
dt
nnd
JMIIk
c
)(
)(
0
02
∆
+
+=∆+ (2.11)
với J là mô men quán tính của tất cả các phần quay ñặt lên roto

15

Thay lại và rút gọn ta ñược phương trình vi phân mô tả mối liên hệ giữa tín hiệu ra là sự
thay ñổi tốc ñộ của ñộng cơ và tín hiệu vào là sự thay ñổi ñiện áp ñặt vào phần ứng ñộng cơ
dạng:
2
2

+
∆
.
1
121
2
2
21
(2.13)
Vậy ta có phương trình vi phân mô tả quá trình ñộng học của ñộng cơ ñiện một chiều kích
từ ñộc lập:
UKn
dt
nd
T
dt
nd
TT
dcct
∆=∆+
∆
+
∆

2
2
(2.14)
trong ñó:
2
1

TT
dcct
=++ (2.15)
2.2.2 Mô hình trạng thái
Ở phần trước ta ñã biết, một hệ thống liên tục bất kỳ có thể mô tả quan hệ giữa tín hiệu vào
và tín hiệu ra bằng phương trình vi phân bậc n. Đối với các hệ thống hiện ñại chúng ta thường
cần một hệ phương trình phản ánh không những mối quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra
mà còn cả các mối quan hệ ràng buộc giữa các biến trạng thái bên trong ñối tượng nữa. Chính
vì thế một phương pháp khác cũng thường ñược sử dụng ñể khảo sát hệ thống ñiều khiển tự
ñộng là phương pháp mô tả hệ thống trong không gian trạng thái. Phương pháp biểu diễn trong
không gian trạng thái rất thích hợp cho việc thiết kế trên máy tính nên ñược sử dụng ngày càng
nhiều. Hệ thống mô tả trong không gian trạng thái chính là chuyển phương trình vi phân bậc n
thành n phương trình vi phân bậc một bằng cách ñặt n biến trạng thái.
Trạng thái của một hệ thống là tập hợp nhỏ nhất các biến (gọi là biến trạng thái) mà nếu
biết giá trị của các biến này tại thời ñiểm t
0
và biết tín hiệu vào ở thời ñiểm t ≥ t
0
, ta hoàn toàn
có thể xác ñịnh ñược ñáp ứng của hệ tại mọi thời ñiểm t ≥ t
0
.
Hệ thống bậc n có n biến trạng thái, n biến trạng thái hợp lại thành véctơ cột gọi là véctơ
trạng thái. Ký hiệu:
x = [x
1
x
2
… x
n







=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
KK
MOM
MOM
KK
KK
21
22221
11211
;








x
&

Hình 2.3: Sơ đồ trạng thái của hệ thống
Phương pháp thành lập phương trình trạng thái của hệ thống có thể dựa trên phương trình
vi phân. Tùy theo cách ñặt biến trạng thái mà một hệ thống có thể ñược mô tả bằng nhiều dạng
phương trình trạng thái khác nhau. Ta xét hai trường hợp như sau:
a. Trường hợp vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống không chứa đạo hàm của tín
hiệu vào (m = 0)
Phương trình vi phân mô tả hệ thống có dạng:
)()(
01
1
1
10
trbtya
dt
dy
a
dt
yd
a
dt
yd
a
nn
n
n
n
n


⇒
yx
&
=
223
xx
&
=

⇒
yx
&&
=
3M1−
=
nn
xx
&

⇒

=
+
+
+
+
+
−−
L
&

Kết hợp quan hệ giữa các biến trạng thái với phương trình trên ta có hệ phương trình:














+−−−−−=
=
=
=
−

a
a
tx
a
a
x
xx
xx
xx
nn
n
n
n
nn
L
&
&
M
&
& Viết lại dưới dạng ma trận:
)(
0
0
0
1000
0100
0010










+





















−
−
MM
K
K
MMMM
K
K
&
&
M
&
&
(2.18)

Tín hiệu ñầu ra của hệ thống:

[ ]













&

Trong ñó:

















=
−
n
n
x
x
x
x
x
1

MMMM
K
K
;
















=
00
0
0
0
ab
B M [

r
a
b
x
a
a
x
x
a
a
xx
x
a
a
xx
x
a
a
xx
n
n
n
nn
0
0
1
0
1
0
1

02
01
1
2
1
tr
abx
x
x
x
aa
aa
aa
aa
x
x
x
x
n
n
n
n
n
n




















−
−
−
−
=





















==
−
n
n
x
x
x
x
xty
1
2
1
1
0001)( MK

Hệ phương trình trạng thái của hệ thống vẫn có dạng tổng quát là:




+=
+=

x
x
x
1
2
1
M ;
















−
−
−
−
=
−
000







=
00
0
0
0
ab
B M [
]
0001 K
=
C ; D = 0 19

Sơ ñồ cấu trúc trạng thái tương ứng như hình 2.4.

1
x
&
L

x
−
3
x
2
x
&
2
x
)t(yx
1
=
)t(r
−
−
−
−
∫
∫ ∫
∫
L

Hình 2.4: Sơ đồ cấu trúc trạng thái
2. Trường hợp vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống chứa đạo hàm của tín hiệu
vào (0<m < n)
Phương trình vi phân mô tả hệ thống:

)( )(
1
1

n
n
n
n
++++=++++
−
−
−
−
−
−
(2.20)
Trước hết ta xét trường hợp: m = n-1
Quy tắc ñặt biến trạng thái như sau:
- Biến trạng thái thứ nhất ñặt bằng tín hiệu ñầu ra:
x
1
(t) = y(t)
- Các biến trạng thái thứ i (
ni ,2= ) ñược ñặt theo quy tắc:

)()()(
0
2
1
0
1
1
tr
a



−=+−=
−=−+−=
+−=
+−=
−−
−
1;
21;
0
1
0
.
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
2
32
0
0
1
0

mn
n
mn
nn
&
&
M
&
& Hệ phương trình trạng thái trên hoàn toàn tương ñương với phương trình vi phân 2.20. Ta
viết lại dưới dạng vec tơ như sau:

20

)(
000
100
010
001
0
01
01
00
1
2
1
0
01

















+
























−−−
−
MM
K
K
MMMM
K
K
&
&
M
&
&
(2.21)

[ ]





1
a
b
L
L
0
0
a
b
0
1m
a
b
−
0
m
a
b
0
n
a
a
0
1n
a
a
−
0
2
a

−
−
∫
∫
∫∫
L

Hình 2.5: Sơ đồ cấu trúc trạng thái cho trường hợp m = n-1
Ví dụ 2.3:
Cho hệ thống có phương trình vi phân:
)(1572)(1052
2
2
2
2
3
3
tr
dt
dr
dt
rd
ty
dt
dy
dt
yd
dt
yd
++=+++ (2.22)

(
(2.23)
Hệ phương trình trạng thái là:

r
x
x
x
x
x
x










+









105
015.2
3
2
1
3
2
1
&
&
&21[ ]










=
3
2

∫
∞
−
==
0
)(£[f(t)])( dtetfsF
st
(2.24)
Trong ñó:
£ -ký hiệu phép biến ñổi Laplace;
F(s) -là ảnh Laplace của f(t);
s -số phức, gọi là biến Laplace.
Với mỗi hàm f(t) cho trước chỉ có duy nhất một ánh xạ F(s) và ngược lại. Điều kiện ñể hàm
f(t) có biến ñổi Laplace là tích phân ở công thức (2.24) hội tụ.
Quá trình tìm hàm gốc f(t) từ hàm ảnh F(s) ñược gọi là phép biến ñổi Laplace ngược và ký
hiệu là £
-1
, ñược tính theo công thức sau:
f(t) = £
-1
[F(s)] =
∫
C
ts
dsesF
j
)(
2
1
π

2
(s)
2. Ảnh của ñạo hàm: nếu hàm f(t) có biến ñổi Laplace là £[f(t)])(
=
sF thì:
£
)0()(
)(
+
−=






fssF
dt
tdf

Trong ñó f(0
+
) là ñiều kiện ñầu, nếu ñiều kiện ñầu bằng 0 thì: