TRƯỜNG THCS LÊ Q ĐÔN CĐ.DÃY TRUY HỒI ?. Huỳnh Việt Anh

You can’t run before you can walk
1

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH
CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

Phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số khi biết
công thức truy hồi tuyến tính :
 Dạng 1
.
Tìm số hạng tổng quát của dãy số
(u
n
) :
0)(a2n
1n
au
n
u
0
x
1
u
¹³
-
=
=
ï
ỵ

1
³
"
=
=
-
.
Giải:
Ta thấy dãy (u
n
) là một cấp số nhân có công bội q = 2. Vậy :
1
n
n
3.2u
-
=
F Cách 2
.
Sử dụng Phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất thuần nhất

Dạng : ax
n+1
+ bx
n
= 0 (1) với n = 0; 1; 2; 3 . . .
trong đó a ¹ 0, b ¹ 0 là những số cho trước
Phương trình đặc trưng là : a
λ
+ b = 0 có nghiệm là

n
Û u
n+1
– 2u
n
= 0
Xét phương trình x – 2 = 0 có nghiệm là x = 2
Þ
u
n
= C.2
n
. Vì x
0
= –
3
1
nên : –
3
1
= C(2)
0
Û C = –
3
1

Vậy : u
n
= –
3

=
=
ï
ỵ
ï
í
ì?.Phương pháp
:
Sử dụng cấp số cộng công sai b ta được:
1).b
(n
1
u
n
u
-
=

IVD
:
Xác đònh số hạng tổng quát của dãy số (u
n
) được xác đònh bởi :
2
n
2
u

-
=

 Dạng 3
.

Tìm số hạng tổng quát của dãy số
(u
n
) :
2n
b
1n
au
n
u
0
x
1
u
³
+
-
=
=
ï
ỵ
ï
í
ì

+
-
=Þ
÷
÷
ø
ư
ç
ç
è
ỉ
-
+
-
=
-
+Û
1a
b
1n
ua
1a
b
n
u

Đặt
÷
÷
ø

u
1
v
-
+=
1n
1
1n
1
n
1n
n
.a
1a
b
u.avvavv
-
÷
÷
ø
ư
ç
ç
è
ỉ
-
-
-
+==Û=Þ
(theo cấp số nhân)

1n
1
n
-
-
-
+=
-
÷
÷
ø
ư
ç
ç
è
ỉ

Vậy :
1
a
a
bauu
1
n
1n
1
n
-
×+=
-

ư
ç
è
ỉ
-=-=-

2
1
3
2
3
3
2
1
11 nnn
uuu
Đặt
2
5
2
1
1
-=Þ-= vuv
nn
và
1
3
-
=
nn

5
2
1
+-=+-=+=
nn
nn
vu ,2,1
=
"
n
F Cách 2. Sử dụng phép biến đổi đưa về cấp số nhân
Ta có:
1).b(auabb)a(aubauu
bau
1
2
123
12
u
++=++=+=
+
=

u
4
= au
3
+ b = a[a
2
u

n
= a
n -1
u
1
+ (a
n -2
+ a
n -3
+ . . . . + a
3
+a
2
+ a + 1).b = a
n -1
u
1
+
b
1
a
1a
1n
×
-
-
-

Vậy :
1

– 1 " n ³ 2Giải
:
Ta có : u
1
= 2, u
n
= 3u
n
–
1
– 1
1)(.3.2311)3(3.23.2u
3.2
2
1
3
1
2
u
-+= ==
=
-
-

u
4
= 3.u

u
n
= 3
n -1
.2 + (3
n -2
+ 3
n -3
+ . . . . + 3
3
+ 3
2
+ 3 + 1).(-1) =
= 3
n -1
.2 +
)1(
1
3
13
1n
-
-
-
-
=
2
1n1n
134.3 +-
-

n
x là nghiệm riêng của phương trình
 Nếu d
n
= 0 thì (2) là phương trình sai phân bậc nhất thuần nhất.
 Nếu d
n
= d ( d = const và d ¹ 0) với mọi giá trò n = 0; 1; 2; 3 . . .
thì khi đó nghiệm riêng
*
n
x = C
1
.
Thay vào (2) ta được : a. C
1
+ b. C
1
= d
Þ
C
1
=
b
a
d
+

Þ


n+1
= 3u
n
+ 7 với n = 0; 1; 2; . . .
Tìm số hạng tổng quát.

Giải
:
Ta có : u
n+1
= 3u
n
+ 7 Û u
n+1
– 3u
n
= 7
Ta có phương trình này chính là phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất
không thuần nhất ax
n+1
+ bx
n
= d
n
có d
n
= 7 là hằng số.
Phương trình thuần nhất đặc trưng là :
λ
– 3 = 0 có nghiệm là

=
2
7
-
Þ
x
n
= C.3
n

2
7
- hay u
n
= C.3
n

2
7
-
TRƯỜNG THCS LÊ Q ĐÔN CĐ.DÃY TRUY HỒI ?. Huỳnh Việt Anh

You can’t run before you can walk
5

Vì x
0
= – 1 nên : – 1 = C.3
0


= (u
n
– u
n –1
) + (u
n –1
– u
n –2
) + (u
n –2
– u
n –3
) + . . . + (u
3
– u
2
) + (u
2
– u
1
) + u
1IVD
:
Cho dãy số {u
n
} : u
1

=
u

Þ v
n+1
=
nn
n
n
n
n
n
uu
u
3
2
3
3
63
3
11
1
+=
+
=
++
+
= v
n
+

– v
2
) + (v
2
– v
1
) + v
1

Þ v
n
=
1
3
2
-n
+
2
3
2
-n
+
3
3
2
-n
+ . . . +
2
3
2

2
+1) + v
1
Þ v
n
=
3
2
.
1
3
1
1
3
1
1
-
-
-n
+ v
1
=
3
2
.(
2
3
- ).
1
1

3
13
-
-
-
n
n
+
3
1
) = 3
n
– 3 + 3
n -1

Vậy : u
n
= 3
n
+ 3
n -1
– 3 TRƯỜNG THCS LÊ Q ĐÔN CĐ.DÃY TRUY HỒI ?. Huỳnh Việt Anh

You can’t run before you can walk


1. Phân tích f(n) = g(n) – a.g(n– 1)
· Nếu
1
¹
a
thì g(n) là đa thức bậc k của n
· Nếu
1
=
a
thì g(n) là đa thức bậc k + 1 của n
2. Viết u
n
= u
n
–
1
+ f(n) Û u
n
= au
n
–
1
+ g(n) – a.g(n– 1)
Û u
n
– g(n) = a[u
n
–

p dụng công thức cấp số nhân ta được : v
n
= v
1
.a
n
–
1

Û u
n
–

g(n) = [u
1
– g(1)] .a
n
–
1Vậy : u
n
= [u
1
– g(1)] .a
n
–
1
+ g(n)

í
ì
-=
=
Û
=-
=
-
5b
3a
5b
2ba

5]
1)
3(n
2[
5
3n
2u
n
u
1
n
-
-
-
-
-
-

+
+
=

5
1)
3(n
u
v
1
n
1
n
+
-
+
=
Þ
-
-

10
7
3.1
5
3.1
2
5
3n
u

n
10.2v
-
= Þ
1
n
n
10.253nu
-
=++
Vậy: 53n5.253n10.2u
n
1
n
n
=-+=
-IVD2
:

Cho dãy số (u
n
):
ï
ỵ
ï
í
ì

í
ì
=
=
2b
1a

[
]
1)2(n1)(n2nn12n
2
2
-+ +=+Þ
[
]
1)2(n1)(n2nnuu
2
2
1
n
n
-+ ++=Þ
-

[
]
1)2(n1)(nu2n)(nu
2
1
n

1
n
n
-==Þ-=Þ
-
-
12n)(nu
2
2
n
-=+-Þ
Vậy: 1.2nnu
2
n
-+=

IVD3
:
Cho dãy số (u
n
):
ï
ỵ
ï
í
ì
-
=+=
=
3, 2,n;23uu

-
+
-
=

Nên ta có: 4)(u3 )2.23(u2.2u
1
1
n
1
n
1
n
n
n
+==+=+
-
-
-

Đặt : v
n
= u
n
+ 2.2
n
Þ v
n
–
1

n
= 5.3
n – 1
– 2
n+1

Vậy : u
n
= 5.3
n – 1
– 2
n+1

TRƯỜNG THCS LÊ Q ĐÔN CĐ.DÃY TRUY HỒI ?. Huỳnh Việt Anh

You can’t run before you can walk
8

F Cách 2.
Sử dụng Phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất không thuần nhất

Dạng : ax
n+1
+ bx
n
= d
n

Nghiệm tổng quát là : x
n

n
k– 2
+ . . .

* Nếu a + b = 0 thì
*
n
x = n.(C
1
n
k
+ C
2
n
k– 1
+ C
3
n
k– 2
+ . . . )

IVD1
:
Cho dãy số {U
n
} : u
0
= 1, u
n+1
=

5
3
-
Þ
Nghiệm tổng quát của phương trình là : x
n
= C.(
5
3
- )
n
+ x
*

Vì a + b = 5 + 3 = 8 ¹ 0 và d
n
= 2
n
Nên gnhiệm riêng có dạng : x
*
= C
1
.2
n

Thay vào phương trình ta có : 5C
1
.2
n+1
+ 3C

13
1
.2
n

Þ
x
n
= C.(
5
3
- )
n
+
13
1
2
n
hay u
n
= C.(
5
3
- )
n
+
13
1
2
n

2
n

IVD2
:
Cho dãy số {U
n
} : u
0
= 1, u
n+1
= u
n
+ 2n
2
với n = 0; 1; 2; . . .
Tìm số hạng tổng quát.
Giải :
Ta có : u
n+1
= u
n
+ 2n
2
Û u
n+1
– u
n
= 2n
2

.n
2
+ C
2
.n + C
3
) = C
1
.n
3
+ C
2
.n
2
+ C
3
.n
Thay vào phương trình ta có :
Û [C
1
.(n+1)
3
+ C
2
.(n+1)
2
+ C
3
.(n+1)] – [C
1

2
+ 3n + 1) + C
2
.(2n + 1) + C
3
= 2n
2

Û C
1
3n
2
+ C
1
3n + C
1
+ C
2
2n + C
2
+ C
3
= 2n
2

Û 3C
1
n
2
+ (3C

=
3
2
; C
2
= – 1; C
3
=
3
1

Þ
x
*
=
3
2
.n
3
– 1.n
2
+
3
1
.n
Þ
x
n
= C +
3

2
.n
3
– 1.n
2
+
3
1
.n
F Cách 3.
Sử dụng tính chất của dãy số và tính chất của cấp số nhân
@ Bổ sung kiến thức :
Với mọi dãy số (u
n
) ta luôn có :

u
n
= (u
n
– u
n –1
) + (u
n –1
– u
n –2
) + (u
n –2
– u
n –3

n
+ 2
n
Û u
n+1
– u
n
= 2
n
Þ u
n
– u
n-1
= 2
n-1

Lại có :
u
n
= (u
n
– u
n –1
) + (u
n –1
– u
n –2
) + (u
n –2
– u

+ 2
n – 4
+ . . . + 2 + 1) + u
1

Û

u
n
= 2(2
n -1
– 1) + u
1
= 2
n
– 2 + 3 = 2
n
+ 1
Vậy : u
n
= 2
n
+ 1
TRƯỜNG THCS LÊ Q ĐÔN CĐ.DÃY TRUY HỒI ?. Huỳnh Việt Anh

You can’t run before you can walk
10

 Dạng 5.


= 0
Xét phương trình ax
2
+ bx + c = 0 giả sử có nghiệm là x
1
và x
2
· Nếu
21
xx ¹ thì u
n
= kx
1
n
+ lx
2
n

trong đó k, l là nghiệm của hệ:
ï
ỵ
ï
í
ì
=+
=
+
121
0
uxkx

:
Xác đònh công thức tính số hạng tổng quát của dãy số
2.
6u
5u
u
3,
u
1,
u
:
)
(u
2n1n
n
10
n
³
"
-
=
=
-
=Giải:
Ta có :
2
n

+ l.2
n

Vì u
0
= –1, u
1
= 3 nên :
ï
ỵ
ï
í
ì
ï
ỵ
ï
í
ì
-=
=
Û
=+
-
=
+
6
5k
323k
1k
ll

Hãy xác đònh công thức tính số hạng tổng quát của dãy số trên.
Giải :
Ta có : u
n + 1
= 4u
n
+ u
n
–
1
Û u
n + 1
– 4u
n
– u
n
–
1
= 0
Xét phương trình x
2
– 4x – 1 = 0 có 2 nghiệm là
.52x;52x
2
1
-=+=
TRƯỜNG THCS LÊ Q ĐÔN CĐ.DÃY TRUY HỒI ?. Huỳnh Việt Anh

You can’t run before you can walk
11

2
1
2
1
k
2)5(2)5k(2
1k
l
l
l

Vậy :
[
]
.)5(2)5(2
2
1
u
nn
n
-++=
IVD3
:
Xác đònh công thức tính số hạng tổng quát của dãy
ï
ỵ
ï
í
ì


+=
Vì
3
u
1;
u
10
=
=
nên : .2;1
3
2
==Û
=+
=
ï
ỵ
ï
í
ì
lk
lk
l

Vậy :
1
n
2).2(n
n
u

ta có các trường
hợp sau :

x
1
¹ x
2

x
1
= x
2

a + b + c ¹ 0
c
b
a
lxkxu
nn
n
+
+
++=
d
21

c
b
a
xlknu

2,1
d

a + b + c = 0
và 2a + b = 0
)1(.
2
21
-++= nn
a
lxkxu
nn
n
d

)1(.
2
).(
2,1
-++= nn
a
xlknu
n
n
d

IVD :

Cho dãy số (a
n

You can’t run before you can walk
12

Xét phương trình x
2
– 2x + 1 = 0 có nghiệm kép x = 1
Þ
1
n
n
1).(kna
-
+= l = kn + l
Vì a
1
= 4019, a
2
= 6098 nên :
ï
ỵ
ï
í
ì
ï
ỵ
ï
í
ì
=
=

n – 1
.
B1
. Tính u
0
,u
1
, u
2
, u
3
, u
4
theo công thức truy hồi đã cho
B2
. Đặt u
n+1
= a.u
n
+ b.u
n – 1
+ c
Þ
ï
ỵ
ï
í
ì
++=
++=

1
= 1, u
n
=
2
n
2
1n
u
2u
-
-
+

Tìm dạng tuyến tính của dãy đã cho
Giải :
+ Từ u
0
= u
1
= 1, u
n
=
2
n
2
1n
u
2u
-

Û a= 4, b = –1, c = 0
Vậy : u
n
= 4u
n – 1
– u
n – 2

F Chú ý
:
Có những bài toán ta phải thực hiện theo trình tự sau để giải :
B1
. Tuyến tính hóa dãy phi tuyến tính
B2. Tìm số hạng tổng quát dựa vào công thức truy hồi tuyến tính tìm được ở
bước 2
B3
. Dựa vào số hạng tổng quát để giải tiếp bài toán.