Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 1
1.
1.1.
1. Dãy tuyến tính với hệ số hằng số.
Dãy tuyến tính với hệ số hằng số.Dãy tuyến tính với hệ số hằng số.
Dãy tuyến tính với hệ số hằng số.
1.1 Bài tập cụ thể.
[ ]
( )
( ) ( ) ( )
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1;
2, 1.
3
2;
2 , 1
2




=



=

=



=

=

= +

=

=

= + + +


= +

= = +
=

n n n
n
n n
n n n
n n n n n
u n n
n g n g n g n an bn
u
u u n
a a
u
u u n
n n






+ = + +
= + +

+ = = +
=

8;
5 6 0, 2
1; 3
9;
4 4 0, 2
1; 3
10; 2 2 1 5 1 6 2 ,
5 6 2 2 1, 2
1; 4
11;
3 2 2 1, 2
1
12;
n n n
n n n
n
n n n
n n n
u u
u u u n
u u
u u u n
u u
n n g n g n g n g n an b c
u u u n n n
u u
u u u n n
u
1 2
0 1
1 2
0 1
1 2
; 4
2 2 1, 2
1; 3
13;
5 6 2.5 , 2
1; 3
14;
5 6 2.3 , 2
1; 4
15;
4 4 2 , 2
n n n
n
n n n
n
n n n
n
n n n
u
u u u n n
u u
u u u n
u u
u u u n
u u


Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 2
1.2 Xác lập phơng pháp (Phơng pháp sai phân).
1.2.1 Loại thuần nhất:
1 2
0 1 1
, , ,
0, 1
k
n k n k k n
x x x
a x a x a x n
+ +





+ + + =


(1)
Đầu tiên giải phơng trình đặc trng:
(
)

1 2
, , ,
k
c c c
là các hằng số ).
(ii) Nếu
(
)
*
đợc viết lại nh sau
(
)
(
)
(
)
(
)
1
0 1 0 1 2 3
0
s h
k k
k q
a a a a

+ + + = =
,
với các
1 2 3



= + + + + + + +

(
)
1
21 22 2 2
, 1,2,
h n
h
c c n c n n


+ + + + =

( với
11 12 1 21 22 2 3
, , , , , , , , , ,
s h q
c c c c c c c c
là hằng số)
(iii) Nếu
(
)
*
có k-2 nghiệm phân biệt
1 2 2
, , ,
k

nghiệm là
(
)
1 1 2 2 2 2
cos sin , 1,2,
n n n n
n k k
x c c c r A n B n n


= + + + + =

( với
1 2 2
, , , , ,
k
c c c A B

là các hằng số ).
(4i) Nếu
(
)
*
có s nghiệm thực phân biệt

1 2
, , ,
s
và
(


n n n
n s s
x c c c
(
)
(
)
+ + + + + + + + =1 1
1 2 1 2
cos sin , 1,2,
n h h
h h
r A A n A n n B B n B n n n
( với

1 2 1 1 2 1 2
, , , , , , , , , , ,
k h h
c c c A A A B B B
là các hằng số ).
Tức là cần phải biết cách ghi nghiệm đơn thực, nghiệm bội thực, nghiệm đơn phức, nghiệm bội phức trong
công thức nghiệm của (1).
VD: Giải lại các bài tập trong phần trớc.

(
)
(
)
(
)
*
1 1 2 2
, 1,2,
n n n
n k k
x c n c n c n n

= + + =
vào (2) để xđ các hàm
(
)
i
c n
.
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 3
B3: Nghiệm của (2) là:
*
n n n
x x x

=
tìm đợc
1

=
.
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho có dạng
*
n n n
x x x
= +
. Trong đó
, 1,2,
n
n
x c c n

= = = ( c là hằng số
sẽ tìm sau), và
*
n
x
đợc tìm nh sau:
Ta xem c là một hàm theo n và tìm
*
n n
x c
=
. Thay
*

= ,1
sin( 1)
n n
c c n x

=
Cộng lại ta đợc
1
sin sin 2 sin( 1)
n
c c x x n x
= + + +
Vậy
[
]
*
1
sin sin 2 sin( 1) , 1,2,
n n
x c c x x n x n= = + + + + =
Vì
*
n n
x c
=
thõa
1

thì với mọi
1,2,
n
=
, ta có
*
1
sin sin sin sin 2 sin sin( 1)
2 2 2
sin
2
n
x x x
x x x n x
x

= + + + =3 3 5 ( 2) ( 1)
cos cos cos cos cos cos
2 2 2 2 2 2
2sin
2
x x x x n x n x
x


+ +


x

= + =
Vì
1
0
x
=
nên
sin sin sin
1
4 4 4
0 tan
2 4
sin 2cos
2 4
x x x
x
c c c
x x

= + = = . Bởi vậy
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 4
( 2)
sin sin

x

= + (1)
bằng phơng pháp quy nạp.
Theo giả thiết ta có
1
sin sin sin sin
1 1
4 4 4 4
0 tan tan
2 4 2 4
2sin cos sin
4 4 2
x x x x
x x
x
x x x
= = =
vậy (1) đúng khi n=1.
Giả sử (1) đúng khi n=k, tức là
( 2)
sin sin
1
4 4
tan
2 4
sin
2
k
kx k x

2
kx k x x
kx
x
x

+
= + =
( 1) ( 1)
sin sin
1
4 4
tan
2 4
sin
2
k x k x
x
x
+
= +
Bài toán đợc giải xong.
Giải lại các bài phần trớc.
1.3 Ta sẽ giải một số dãy đặc biệt gọi là dãy số tuần hoàn.
Định nghĩa. Dãy số
{ }
1
n
n
x

=
biết
1 2
2
,
, 1,2,
n n
x x
x x n

+

= =


= =


Lời giải
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 5
Phơng trình đặc trng của dãy số đã cho là
{
}
2
1 1,1

+ =


=


.
Do đó

+
= + =
( 1) , 1,2,
2 2
n
n
x n
Bài toán 2. (dãy số tuần hoàn chu kỳ 3)
Tìm dãy số
{
}
1
n
n
x
+
=
biết
3
, 1,2,
n n

cos sin , 1,2,
3 3
n
n n
x A B C n ,
trong đó các hằng số A, B, C sẽ đợc xác định khi biết
1 2 3
, ,
x x x
.
Ta cũng có thể trình bày nh sau:
Phơng trình đặc trng
3
1

=
của dãy số đã cho có các nghiệm là
2 2
cos sin ,
3 3
h h
i

+ với
0,1,2
h
=
Hay viết cụ thể là

+ +


= + + =
2 2
cos sin , 1,2,
3 3
n
n n
x A B C n ,
trong đó các hằng số A, B, C sẽ đợc xác định khi biết
1 2 3
, ,
x x x
.
Bài toán 3. (dãy số tuần hoàn chu kỳ k


bất kỳ)
Tìm dãy số
{
}
1
n
n
x
+
=
biết
, 1,2,
n k n
x x n

k k k k k k


+ + +
Do đó
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 6

= + + + + +


1 1 2 2
2 2 4 4
cos sin cos sin
n
x c A B A B
k k k k


= =
nên ta có thể viết lại nh sau



=



= + =






1
0
2 2
cos sin , 1,2,
k
n h
h
h h
x n
k k
,
trong đó các hằng số
0 1 1

)
n
x
nh sau:
1
x R

và với mọi
1,2,
n
=
thì
1
n
n
n
ax b
x
cx d
+
+
=
+
, nếu nó tồn tại. Khi đó dãy số
1
( )
n n
x
+
=

+
=


+

=

+

, trong đó a, b, c, d, và p là các hằng
s
ố cho trớc.
Giả sử
n
n
n
y
x
z
= . Khi đó:
1 1
1
1 1
n
n n n n n n
n
n
n n n n n
n

, 1
n n n
n n n
y p z
y ay bz n
z cy dz n
+
+
= =


= +


= +

thì coi nh đã xác định
đợc số hạng tổng quát của dãy phân tuyến tính.
b)Ta xét
(
)
(
)
,
n n
y z
:
1 1
1
1

n n n n n n
n n n
y ay bz ay b cy dz
a
y bcy bdz
ay bcy d y ay a d y bc ad y
y a d y bc ad y
+ + + +
+
+
+ +
+ +
= + = + +
= + +
= + + = + +
= + +
Tìm đợc
n n
y z

Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 7
Cách 2:
( ) ( )
( )
1 1
= =



( ) ( )
( )
1 1
1 1
1 1
1 1
*)
chọn
n n n n n n
n n n n
n n n n n n
n n n n
a
y ay bz y ay bz
y z a c y b d z
z cy dz z cy dz
b d b d
y z a c y z
a c a






x
z
= ,
1
y
và
1
z
cho trớc và
1 1
,
n n n n n n
y ay bz z cy dz
+ +
= + = +
2.3. Bài tập
0 0
1 1
1 1
0
1
1
0
1
1
2; 1
1; 2 , 1
2 , 1
1
2;






= =


= +


= +

=



=

+

=




=

+


9 5 5 22 24
9 9 24
*)
5 5 13 5 5 13
*) : 5 22 24 0
Đặt
Chọn
n
n
n
n
n n n n
n
n
n
n
n
n n n n
n n
u
u
u n
u
u
u u u u
u
u
u n
u
t x t t

+



= + + = =
+ + + +
=
1
1 1
2
1
1
*) 3. 5
5 3
n
n
n
n n
t
x
x
x
x x



=
= =
+
+

+
=
+
,
nếu nó tồn tại. Xét hàm số f(x) nh sau:
: \ \
d a
f
c c
ax b
x
cx d







+
+
a) Chứng minh f là song ánh.
b) Cho dãy số
(
)
n
t
đợc định nghĩa bởi:
1
1

Chứng minh.
Với mọi , , ,
d a
x y x y
c c


ta có
ax b b dy
y cyx dy ax b x
cx d cy a
+
= + = + =
+
Vậy f là song ánh.
b)
{
}
1
n
n
x
+
=
là dãy phân tuyến tính khi và chỉ khi
1 1
2 2 1
3 3 1
,
,

n
ax b
x n
cx d
+
+
= =
+
Khi đó ta có các định lí sau:
Định lí 2. Nếu dãy
{
}
n
x
hội tụ đến L thì
2
( ) 0
cL d a L b
+ =
Chứng minh
Từ
1
, 1,2,
n
n
n
ax b
x n cho n
cx d
+

. Khi đó:
a)
1
, 1,2,
n
x x n

= = =
b) Giả thiết
1
x


, đặt
*
, ,
n
n
n
x
c d
X n N
x c d





+
= =
Trang 9
Nếu
1
c d
c d



+
= >
+
thì lim
n
n
x


=

Nếu
1

=
và
1
x

=


=
không thể xảy ra.
Chứng minh
Vì
,

là nghiệm của phơng trình
aL b
L
cL d
+
=
+
nên
,
a b a b
c d c d
+ +
= =
+ +
a) Ta chỉ cần chứng minh nếu
1
x

=
thì

. Khi đó
1
n
n
n
ax b
a b
x
cx d c d



+
+
+
= = =
+ +
. Vậy theo nguyên lý quy nạp suy ra nếu
1
x

=
thì
, 1,2,
n
x n

= =
b)Ta có
1

c d
X X n
c d x




+

+
= = =
+

c) Theo kết quả câu (b) suy ra
1
1
, 1,2,
n
n
X X n


= =
Nếu
1

<
thì
1
lim 0

ta có
lim lim
1 1
n n
n n
n n
n n
X X
x x
X X

= = =

.
Nếu
1

>
thì
1
lim
n
n



=







= = = = =


.
Ta có
1
1
1
x
X
x



=

. Do đó nếu
1
x

=
thì
1
0

1
0
X

và
1 1
( 1) , 1,2,
n
n
X X n
+
= = . Ta sẽ chứng minh dãy số
(
)
n
y
với
( 1)
n
n
y
=
, với mọi n=1, 2,, không hội tụ (phân kỳ).
Ta có
2 1 2
lim lim( 1) 1 1 lim
n n
n n n
y y


n
n
n
x
X
x



=

suy ra dãy
{
}
n
x
không hội tụ ( vì nếu lim
n
n
x v

=

thì lim
n
n
v
X
v



+ = + = =
. Mà điều này không thể xảy ra đợc do
2
( ) 4
d b bc
= + >0.
Định lí 5. Giả thiết
2
( ) 4 0
d a bc
= + =
và đặt
2
a d
g
c

= . Khi đó
a)
1
x g
=
khi và chỉ khi
, 1,2,
n
x g n= =
b) Giả thiết
1
x g

=
.
Chứng minh
a) Vì

=0 nên phơng trình
2
( ) 0
cL d a L b
+ =
( tức là phơng trình
aL b
L
cL d
+
=
+
) có nghiệm kép là
2
a d
g
c

= . Tiếp theo ta làm tơng tự nh đã làm ở định lý (4a)
b) Với mọi n = 1, 2, , ta có
1
2
1
2 ( )
1

= . Do đó
( )
2
2 2 2 2 2
( ) 1
2 2 2 2
2 2
d a
bc ad d ad d d ad a ad d

+ = + = + + =
2 2
1 1 1
( ) ( )( ) .2 ( ) ( )
2 2 2
d a a d a d gc a d c a d g
= = + = + = +
Từ đó
1
2 ( ) 2( )
( ) ( ) ( )( )
n n
n
n n
c cx d cx d
X
c a d x c a d g a d x g
+
+ +
= =

+
= + = + = +
+ + +
( 2( )
cg d a d
+ = +
Vì
(
)
2 2 2 2 )
cg d cg d a d d a d
+ = + = + = +
c) Nếu
1
x g
=
thì theo định lý (5a) suy ra
, 1,2,
n
x g n= = do đó lim
n
n
x g

=
. Nếu
1
x g

thì theo định


Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 11
Vì
2
0
c
a d
à
=
+
nên
[
]
1
lim lim ( 1)
n
n n
X X n
à

= + =
. Do đó lim
n
n
x g

v


= =
+
.Chứng minh rằng dãy đã cho có giới hạn
và tìm giới hạn đó.
Lời giải
Cách 1.
(
)
n
v
là dãy phân tuyến tính,
1
n
n
n
av b
v
cv d
+
+
=
+
, với
0
a
=
,

3 5
2
x

+
= = .
Ta có
0 2
3 5
2
v x
+
= ,
14 6 5
1 1
4
c d
c d



+ +
= = > >
+

Vậy theo định lý (4c) dãy đã cho hội tụ và
3 5
lim
2
n

(với
, ,
a b c
là các số dơng,
2
4 0,
2
b
b ac
c

+
= > ). Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ và tính
lim
n
n
v

.
Lời giải
Cách 2. Ta có
2 2 2
b b b
c c c

+
>
Ta có
2
1

Cho dãy số
{
}
n
x
định nghĩa truy hồi bởi:
1
1
( 1,2, )
4 3
n
n
x n
x
+
= =


Hãy tìm các giá trị của
1
x
để dãy trên hội tụ và trong các trờng hợp đó hãy tính
lim
n
n
x

.
Hớng dẫn giải

Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 12
Xét hai dãy số
(
)
n
y
và
(
)
n
z
thõa mãn điều kiện sau:
1
1
3 4
n n
n n n
y z
z y z
+
+
=


+ =

=


Vậy số hạng tổng quát của dãy số
{
}
n
y
là:
.3 , 1,2,
n
n
y A B n= + =
( A và B là các hằng số sẽ tìm sau )
Vì
1
n n
z y
+
= nên
1
.3 , 1,2,
n
n
z A B n
+
= + = .
Vì

1
1
3 1
2
1
6
x
A
x
B


=





=


. Vậy với mọi n = 1, 2, , ta có
1
1 1 1 1
3 1 1 3 1 1
.3 , .3
2 6 2 6
n n
n n
x x x x

n n n n
n
y z
x
y
z y z x
z
+
+
+
= = = =
+


Vậy theo nguyên lý quy nạp suy ra
1 1
1
1 1
3 1 1
.3
2 6
, 1,2,
3 1 1
.3
2 6
n
n
n
n
n

Vậy
n
x
không xác định khi và chỉ khi
1 1 1
1 1 1 1
1 3
9 3 (1 )3 0 (9 3 ) 3 3
3 3
n
n n n
n
x x x x
+ + +

+ = = =

.
Vậy ta có kết quả nh sau:
+) Khi
1
1 3
3 3
n
n
x

=

,

9 3 (1 )3
, 1,2,
9 3 (1 )3
n
n
n
x x
x n
x x
+
+
= =
+

do đó
www.VNMATH.com
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 13
1
1



+
.
Nhận xét. Để cho lời giải đợc ngắn gọn thì việc tìm ra công thức tổng quát
n
x
của dãy
{
}
n
x
đợc làm ở ngoài
giấy nháp, còn khi trình bày lời giải ta chỉ cần nêu công thức
1 1
1
1 1
9 3 (1 )3
, 1,2,
9 3 (1 )3
n
n
n
x x
x n
x x
+
+
= =
+

n
+
. Hãy tìm
giới hạn đó.
Lời giải
Trờng hợp 1:
1

=
. Khi đó
0, 1,2,
n
x n= =
Trờng hợp 2:
1


. Khi đó
, 1,2,
n
x n

= . Do đó ta có

1
1
, 1,2,
n
n
x n

1
b

= +
,
1
c
=
, d

=
,
0
c

và
(
)
1 0 1
ad bc do

= +

Xét hai dãy số
(
)
n
y
và
(

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 1 1
1 1 1 1 1
n n n n n n n n
y z y z y z y y

+ + +
= + = + + = + + + = + + .
Vậy phơng trình đặc trng của dãy số
{
}
n
y
là
( )
2
1
1 0
1

n
y C Dn n= + = ( với C và D là các hằng số sẽ tìm sau )
Vì
1
0
y
=
nên
0
C D
+ =
.
Vì
(
)
2 1
1 1 1
y z

= + = + =
nên
2 1
C D
+ =
.
Từ hệ
0
2 1
C D
C D

y
z n n

+
+
= = =
+

Ta có
www.VNMATH.com
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 14
1
, 1,2,
n
n
n
y
n
x n

A B

+ + =
.
Vì
(
)
2 1
1 1
y z

= + = +
nên
( )
2
. 1 1
A B

+ + = +

Từ
(
)
( )
2
. 1 0
. 1 1
A B
A B


. Vậy với mọi n=1, 2, ta có
( ) ( )
1 1
1 1 , 1,2,
2 2
n n
n
y n



+
= + + =
+ +

( ) ( )
1
1
1 1
, 1,2,
1 2 2
n n
n
n
y
z n


+
+

+ + +
+ + +

= = = =
+ + + +

c) Theo kết quả câu (a) suy ra:
Nếu
1

=
thì
0, 1,2,
n
x n= = . Do đó
lim 0
n
n
x

=

Nếu
2

=
thì
1
, 1,2,
n

1 1
n n
n
n n
x n



+

+ + +

= =
+ +

Ta có
( ) ( )
( )
( )
( )
2 1 2 2
2 1
2 1
2 1
1
1
1 1 1
, 1,2,
1
1 1

1
1 1 1
, 1,2,
1
1 1
1
1
n n
n
n
n
x n




+
+ + + +
= = =
+

+

Do đó nếu
1 1

+ >
thì
2 2 1
lim lim 1 lim 1

Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 15
Xét dãy số
{ }
1
n
n
x
+
=
nh sau:
1
1
x
=
và với mọi n = 1, 2 ,, thì
(
)
( )
2
1
2 cos2 cos
2 2cos2 2 cos2

k
y n
x
=
= =
+

có giới
hạn hữu hạn khi
n
+
. Hãy tìm giới hạn của dãy số
{
}
n
y
trong các trờng hợp đó.
Hớng dẫn giải
Cách 1: Tơng tự nh bài tập 4, bài tập 6, ta tìm đợc số hạng tổng quát của dãy số
(
)
n
x
. Từ đó tìm
đợc số hạng tổng quát của dãy số
{
}
n
y
. Tuy nhiên, giải theo cách này sẽ gặp phải những tính toán không đơn

( )
2
2 2 cos2 2cos 2 2cos2 2 cos2
2 2cos2 2 cos2
n n
n
x x
x


+ + + +
= =
+

(
)
( )
( )
( )
2 2
6 2cos 2 2cos 1
3 2 1
2 2cos2 2 cos2 2 2cos2 2 cos2
n
n
n n
x
x
x x


x x

+ + + +
= =
+ +

Bởi vậy
(
)
2
2
1
2sin 2 1 1
1 1 1 1
. 2sin , 1,2,
2 1 3 2 1 3 2 1
n
n n n
x
n
x x x


+
+ +

= = + =

+ + +


. Khi đó
1
1
, 1,2,
3
n n
u u n
+
= = . Nh thế
(
)
n
u
là một cấp số nhân
với số hạng đầu
2
1
1
sin
3
u

= và công bội
1
3
q
=
. Do đó
2 2
1

2 1 2 3 3
n n
n
n
k k
n
u n
x

= =

= + = +

+


.
Vì dãy số
1
3
n
hội tụ nên dãy số
(
)
n
y
hội tụ


.
www.VNMATH.com
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 16
Bài tập 8: Cho dãy
{ }
1
n
n
x
+
=
nh sau:
1 1
2(2 1)
1, , 1,2,
3
n
n

n
x x n
x
+
= = =

. Hãy tìm
lim
n
n
x

.
Bài tập 10 ( Đề thi vô địch Tiệp ).
Cho dãy số
(
)
n
a
đợc xác định nh sau:
1 1
3
2, 4 ( 1,2, )
n
n
a a n
a
+
= = = .
Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn và tính giới hạn của dãy số đó.

x x n
x
+
+
+ +
+ +
= = =
+ + +
.
Chứng minh rằng dãy
{
}
n
x
hội tụ và tìm
lim
n
n
x

.
Hớng dẫn giải
Đặt
(
)
1
2 1
n
n n
x u

n n
u n
+ +
+ +
= =
+

Vậy
( )
1
lim lim 2 1
2 1
n
n
n
n n
u
x
+

= =
+

3. phơng pháp quy nạp
phơng pháp quy nạpphơng pháp quy nạp
phơng pháp quy nạp

Việc dự đoán công thức rồi dùng phơng pháp qui nạp để chứng minh cũng là một phơng pháp mạnh cho dãy
số vì các công thức trong phần dãy số đều phụ thuộc vào các số tự nhiên.
( )


= =


+

=


+ + + =
= = = = =

www.VNMATH.com
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 17
Tổng quát dãy số có dạng
( )
1 2
2
1

1 3
n
n
n
n
u
u
u
u n
u
+
=


+

= =




Tìm
1997
u
.
HD: Ta hy vọng rằng dãy này sẽ tuần hoàn. Tính trực tiếp ta thấy
3 0
u u
=
. Do đó ta dự đoán:

Xét dạng: Khi đó,

n n
n
n n n n n n n n n n
n
n n n
n n
n n
n
u
u u u n
u u a b
u u a b a b a b ab a b a b
u ab a
+ +
+
+
=



= =


= +
= + + = + + + +
= +
( ) ( )
3 3 3


=



( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1 1
0
3
1
3 3
3
3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3
3
1
3
4;
3 , 0,1,2,
*) .
3 3 3 3
3
Xét dạng: Khi đó,

n n
n

3 3.
3
3 13 3 13
*) .
1
2 2
Nh vậy, nếu ta chọn thì đã thỏa công thức truy hồi.
n n n n
n n
n
b a b
ab
u a b
a b
u
ab
+ + +
=
= + =

+ =

+
= +



=



n n n
v
v v v n
+
=


= =


Lu ý: Chắc bạn đọc đang băn khoăn tại sao lại đặt
1( 1,2, )
n n
v u n= + = . Điều này đợc lí giải nh sau:
Xét hàm số
3 2
( ) 3 3
f x x x
= +
. Khi đó
1
( ), 1,2,
n n
u f u n
+
= =
www.VNMATH.com
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân



= +

. Nh vậy ở bài tập trên ta phải đặt
1( 1,2, )
n n
v u n= + = .
Bạn đọc nên ghi nhớ một số phép đổi biến rất thờng dùng sau đây (không những thờng dùng trong dãy
số mà những phép đổi biến này còn hay dùng khi giải phơng trình, chứng minh bất đẳng thức, )
+) Nếu ta gặp hàm đa thức bậc hai
2
( )
f x ax bx c
= + +
thì ta dời gốc tọa độ về đỉnh
( , ( ))
2 2
b b
A f
a a

của Parabol. Tức là ta đổi biến
2
b
X x
a
= + .
+) Nếu ta gặp hàm đa thức bậc ba
3 2



= +


Đặt
1
3
1
2
6 1
4 3 ( 1,2, )
n n
n n n
v
v u
v v v n
+
=

=

= + =

(Đây là ta mới là mất bậc chẵn, giống chứng minh hàm
lẻ đó mà)
Tiếp theo ta làm mất hệ số của
3
n
v

x
v ax x
x x x
x v u

+
=

= =

= +


= + + = + + = + + +


1
3
1
2
7;
9 3 , 1,2,
n n n
u
u u u n
+
=


= + =

www.VNMATH.com
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 19
1
2
1
1
1
1
1;
2
2 1, 2
*) cos cos2
1
*) cos
2 3
n n
n n
u
u u n

2
1
1
1 1
2
1 1
2
2;
2 1, 2
*) 1 cos cos2
1 1 1 1
*) 1
2 2
n
n
n n
n
n
n
u
u u n
u u u
u u a u a
a
a









2
1
*) 2 1
n n n n
u bv v v
+
= =

Và ta cũng biết rằng mọi tam thức bậc hai bất kỳ ta đều có thể đổi biến về đỉnh của nó để ta đợc hàm chẵn, tức
là mất đi bậc nhất:
2
ax b
+
. Tuy nhiên, nó có thỏ tính chất trên hay không thì ta cần phải kiểm tra cụ thể.
1
3
1 1
1
1 1
1
1 1
1
1
3
1 1
1
1

u u u n
u u u
u u a u a
a a
u
u u u n
u a u a
a a
u
u au bu cu d n








=

= =

> = + = +





1 1
1
2
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
2
1
2
6; sin
2 2 1
, 2
2
;
2
7; ;0
;
2
*) cos cos ; cos
2 2
*) cos .cos ; cos .cos
2 2 2 2
*) cos .cos cos
2 2 2
n
n
n
n n

→ =

− −

= ∀ ≥


+

= =


< <

+

= =


= → = =
= =
= =

( )
1
1
3
8;
2 1
, 1,2,

*) 2 1 , 1,2,
8
1 .tan
8
*) tan tan
8
n
n
n
n n
u
tg u n
u
u u
π
π
π
π
α α
+
+
+
= − ⇒ = ∀ =
−
 
= → = +
 
 

( )

6 12
n
u tg n n
π π
 
= + − ∀ =
 
 

1
1
1
10;
, 2
1
n
n
n
u
u b
u n
bu
−
−


+

= ∀ ≥


n n n n
n n n
n
n n
u
u
u n
u
u
u x x x
u u u
u
x cot x cot cot cot
α α
α α α α
α α
−
−
−
− −
− −
−
−

=


= ∀ ≥

+ +

1
1 1 2
1 2 1
n n
n(n ) (n k )
x , x x , n , ,
(n k ) (n k )

+
+ +
= = + =
+ + + +

Bài toán 1. Tìm
n
x
biết rằng
( )
1 1
0 1
1
*
n n
n
x , x x , n N
n
+
= = +
+


3
u u
= +
1n n
u u n
+
= +

Cộng lại và rút gọn ta đợc:
( )
1 1
1
1 2 1 2
2
n
n(n )
u u n , n , ,
+
+
= + + + + = =
Vậy
1
1 2
2
n
n(n )
u , n , ,

+
+
= +
+ +
(1)
Hớng dẫn giải
Từ giả thiết (1), ta có
( )
2
1
2
1 2
1
1 2 3
*
n n
n(n ) (n )
x x , n N
(n )(n ) (n )
+
+ +
= +
+ + +

Do đó
2 2 2
1
1 2 3 1 2 1 2
n n
(n )(n ) (n )x n(n ) (n )x n(n ) (n )


Nhận xét. Việc giải bài toán tổng quát đợc tiến hành tơng tự.
3.2 Dãy số dạng:
1
1
0
( ) , 1
k
n n
x a
x g n x n
+

= >




=


, trong đó
( ) 0,
g n
>
*
,
n N k R

.

n n
n
g n
u u
k
+
= . Suy ra
www.VNMATH.com
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 22
2 1
ln (1)
g
u u
k
= +
3 2
2
ln (2)
g

=
= +


Suy ra với mọi
1,2,
n
=
, thì
1 1
1 1
1
1
1 1
ln ( ) ln ( )
ln
n n
n n
i i
n
i i
n n
g i g i
k u k a
k k
y k u
n
x e e e e
k
n n
k
x a
f n
f n n k
x x n
f n
+

= >




+
>

=




Hớng dẫn giải
Ta có
(
)

. Vì
0
n
v
>
, nên từ
1
k
n n
v v
+
=
ta có
1
ln ln
n n
v k v
+
=
. Gọi
ln
n n
u v
=
. Khi đó
1
, 1,2,
n n
u ku n
+

x
+
=
.
3.4 Dạng:
2
1
1
1 2
n
n
n
x a
x
x
x b, x c
+



=



= =


Cách giải. Từ
2
1

x x x x x x x x x x x x
+ +
= + = +

( ) ( )
1
1 1 1 2
1 1 2
n n
n n n n n n
n n n n
x x
x x x x x x
x x x x

+
+
+ = + =
+ +
.
Bởi vậy
1
2
2
1 1 2 1 3
n n
n n n n
x x x
c


Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 23
3.5 Dãy số dạng:
1 1
2 2
1 1
1 1
;
2
n n n
n n n
u v
u u av
v u v

= =




= +



n n
u av u av
u u av
u u av
v u v
av au v
u av u av
u av u a


+ = +




= +

= +










=




VD:
1 1
2 2
1 1
1 1
2; 1
2
2
n n n
n n n
u v
u u v
v u v
= =







+

=





HD: Đặt
n
n
n
u
x
v
= ta sẽ đa về dạng 3.5 (Lu ý phơng pháp chuyển về hệ này nhé, cũng khá mạnh đấy)
3.7 Dãy số dạng:
1
2
2
1 1
, 1
, 2
với
n n n
u

1 1
2 2
1 1 2 2
2 2 0
2 0
2
2 0
2 0
n n n n n n n n n
n n n n n n n n n
n n n n
n n
n n n n
n n n n
u au bu c u au bu c u au bu c
u au u a u bu c u au u a b u c
u au u u c
u au
u au u u c
u au u u c






= + + = + = +
+ = + + =
+ =


n n n n
n n
n n n
u u c
u u
u au u u c
au t u c
u u au




+ =





+ =



+ =
+ =

3.8 Dãy số dạng:
1


+ +



HD:
2
1
2
1 1
1
1 1 1
1
Đặt sẽ chuyển về dạng trên.
n
n
n n n
n
n
n
u
u a b c
u u u
a cu b
x
u





www.VNMATH.com
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 24
HD:

(
)
(
)
(
)
(
)
2 1 1 2 1 1 1 1
1 1
2 1 1 1
3 2 2 2
1 1 1
*) .
*)

1 1
1 1 1
1 1
1
.
.

.
.n n n n
n n
n n
i i
n n n
i i
n i i
a a
v q v f
q q
a a
v q v f
q q
a a
v q v f
q q
f f
a
v av a v q v

+ + =


, tức là pt trình đặc trng có hai nghiệm là:
;
n
q


VD:
( )( )
1 2
1 2
1; 2
1 , 3
n n n
u u
u n u u n

= =



= +



( ) ( )
1 2
1 1 2
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 25
Luyện tập:
Luyện tập:Luyện tập:
Luyện tập: Baứi taọp 1 :
1
1
2
3 0, 1
n n
u
u u n
+
=


+ =


Baứi taọp 2 :
1

1
1
3 4 5, 1
n n
u
u u n n
+
=


+ = +


Baứi taọp 5 :
1
1
1
4 5, 1
n n
u
u u n n
+
=


= +


Baứi taọp 6 :
1



Baứi taọp 8 :
1 2
2 1
2, 3
3 2 0, 1
n n n
u u
u u u n
+ +
= =


+ =


Baứi taọp 9 :
1 2
2 1
9, 45
2 8 27.5 , 1
n
n n n
u u
u u u n
+ +
= =





+ = +


Baứi taọp 12 :
1 2 3
3 2 1
1, 2, 3
6 11 6 0, 1
n n n n
u u u
u u u u n
+ + +
= = =


+ =


Baứi taọp 13 :
1 2 3
2
3 2 1
4, 26, 74
6 11 6 6 4 8, 1
n n n n
u u u
u u u u n n n
+ + +


Baứi taọp 15 :
1
1
1
1
3
n
n
n
u
u
u
u
+
=


+

=

+


Baứi taọp 16 : Tìm dãy số
(
)
n
x