Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 1
1.
1.1.
1. Dãy tuyến tính với hệ số hằng số.
Dãy tuyến tính với hệ số hằng số.Dãy tuyến tính với hệ số hằng số.
Dãy tuyến tính với hệ số hằng số. 1.1 Bài tập cụ thể.
[ ]
( )
( ) ( ) ( )
0
1
0
1
0
1
0
1

u u n
u
n n n
u u n n
n g n g n g n an b
u
u




=



=

=



=

=

= +

=

=

7;
2 2 , 1
2 2 1 2
cùng hệ số nên phải nâng bậc:
n n
n n n
n
n n
n n n
n
n n
n n n
n n n n n
u n n
n g n g n g n an bn
u
u u n
a a
u
u u n
n n







2 2
1
2
1 2
0 1
1 2
0
1; 2
8;
5 6 0, 2
1; 3
9;
4 4 0, 2
1; 3
10; 2 2 1 5 1 6 2 ,
5 6 2 2 1, 2
1; 4
11;
3 2 2 1, 2
1
12;
n n n
n n n
n
n n n
n n n
u u
u u u n
u u
u u u n



+ = +

=
1
1 2
0 1
1 2
0 1
1 2
0 1
1 2
; 4
2 2 1, 2
1; 3
13;
5 6 2.5 , 2
1; 3
14;
5 6 2.3 , 2
1; 4
15;
4 4 2 , 2
n n n
n
n n n
n
n n n
n



= =



+ =



www.VNMATH.com
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 2
1.2 Xác lập phơng pháp (Phơng pháp sai phân).
1.2.1 Loại thuần nhất:
1 2
0 1 1
, , ,
0, 1
k

*
có k nghiệm thực phân biệt
1 2
, , ,
k

thì nghiệm của (1) là
1 1 2 2
, 1,2,
n n n
n k k
x c c c n

= + + =

( với
1 2
, , ,
k
c c c
là các hằng số ).
(ii) Nếu
(
)
*
đợc viết lại nh sau
(
)
(
)


3
, ,
q
là các nghiệm đơn, và ( 2)
s h q k
+ + =
, thì (1) có nghiệm là
(
)
1
3 3 11 12 1 1

n n s n
n q q s
x c c c c n c n


= + + + + + + +

(
)
1
21 22 2 2
, 1,2,
h n
h
c c n c n n



r a b Arg

= = + = )
là nghiệm phức thì số phức liên hợp
(
)
cos sin
k
a bi r i

= =
cũng là nghiệm của
(
)
*
. Khi đó (1) có
nghiệm là
(
)
1 1 2 2 2 2
cos sin , 1,2,
n n n n
n k k
x c c c r A n B n n


= + + + + =

( với
1 2 2

(
)
cos sin
q
a bi r i

= =

cũng là nghiệm phức bội h của
(
)
*
. Khi đó (1) có nghiệm tổng quát là

= + + +
1 1 2 2

n n n
n s s
x c c c
(
)
(
)
+ + + + + + + + =


+ + + =


(2)
B1: Tìm nghiệm của loại thuần nhất tơng ứng. Gs:
1 1 2 2
, 1,2,
n n n
n k k
x c c c n

= + + =

B2: Ta thay
(
)
(
)
(
)
*
1 1 2 2
, 1,2,
n n n
n k k
x c n c n c n n

= + + =

pháp sai phân để tìm nghiệm rồi ta sẽ chứng minh bằng qui nạp.
pháp sai phân để tìm nghiệm rồi ta sẽ chứng minh bằng qui nạp.pháp sai phân để tìm nghiệm rồi ta sẽ chứng minh bằng qui nạp.
pháp sai phân để tìm nghiệm rồi ta sẽ chứng minh bằng qui nạp. VD:
Tìm
{ }
1
n
n
x
+
=
sao cho
1 1
0, sin , 1,2,
n n
x x x nx n
+
= = + =
Nháp: Giải phơng trình đặc trng
1 0

=
tìm đợc
1

=
.

n n
x x nx n
+
= + = , ta đợc
1
sin , 1,2,
n n
c c nx n
+
= + =
1
sin , 1,2,
n n
c c nx n
+
= =
Suy ra
2 1
sin
c c x
= ,
3 2
sin 2
c c x
= , 1
sin( 1)
n n

0
c x
= =
. Vậy
[
]
*
sin sin 2 sin( 1) , 1,2,
n
x x x n x n= + + + =
Nếu
sin 0
2
x
=
thì
*
0 0, 1,2,
n n
x x n= = = . Còn nếu
sin 0
2
x

thì với mọi
1,2,
n
=
, ta có
*

4 4
cos cos
2 2
2sin sin
2 2
nx n x
x n x
x x



= =.
Vậy
( 2)
sin sin
4 4
, 1,2,
sin
2
n
nx n x
x c n
x

= + =
Vì
1

( 2)
sin sin
1
4 4
tan , 1,2,
2 4
sin
2
n
nx n x
x
x n
x

= + =
Lời giải: Ta sẽ chứng minh với mọi
1,2,
n
=
thì

( 2)
sin sin
1
4 4
tan
2 4
sin
2
n

2
k
kx k x
x
x
x

= +
khi đó
1
( 2)
sin sin
1
4 4
sin tan sin
2 4
sin
2
k k
kx k x
x
x x kx kx
x
+

= + = + + =

( 2)
sin sin sin sin
1

{ }
1
n
n
x
+
=
đợc gọi là dãy số tuần hoàn nếu tồn tại số
k N

sao cho

, 1,2,
n k n
x x n
+
= = . (1)
Số k bé nhất thỏa mãn (1) đợc gọi là chu kỳ của dãy số tuần hoàn
{ }
1
n
n
x
+
=
.
Sử dụng phơng trình sai phân ta sẽ xác định đợc các dãy số tuần hoàn.
Bài toán 1. (dãy số tuần hoàn chu kỳ 2)
Tìm dãy số
{

Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 5
Phơng trình đặc trng của dãy số đã cho là
{
}
2
1 1,1

= . Do đó
.1 ( 1) , 1,2,
n n
n
x A B n= + = .
Bởi vậy từ giả thiết
1 2
,x x

= =
, ta có
2
2
A
A B

Bài toán 2. (dãy số tuần hoàn chu kỳ 3)
Tìm dãy số
{
}
1
n
n
x
+
=
biết
3
, 1,2,
n n
x x n
+
= = và
1 2 3
, ,
x x x
cho trớc.
Lời giải
Phơng trình đặc trng
3
1

=
của dãy số đã cho có các nghiệm là
+
1 3 1 3

của dãy số đã cho có các nghiệm là
2 2
cos sin ,
3 3
h h
i

+ với
0,1,2
h
=

Hay viết cụ thể là

+ +
2 2 4 4
1, cos sin , cos sin
3 3 3 3
i i
Do đó
1 1 1 2 2
2 2 4 4
cos sin cos sin , 1,2,
3 3 3 3
n
n n n n
x c A B A B n





bất kỳ)
Tìm dãy số
{
}
1
n
n
x
+
=
biết
, 1,2,
n k n
x x n
+
= = và
1 2
, , ,
k
x x x
cho trớc.
Lời giải
Phơng trình đặc trng
1
k

=
của dãy số đã cho có các nghiệm là
2 2

Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 6

= + + + + +


1 1 2 2
2 2 4 4
cos sin cos sin
n
x c A B A B
k k k k

+ + + =




=



= + =






1
0
2 2
cos sin , 1,2,
k
n h
h
h h
x n
k k
,
trong đó các hằng số
0 1 1
, , ,
k


sẽ đợc xác định khi biết

nh sau:
1
x R

và với mọi
1,2,
n
=
thì
1
n
n
n
ax b
x
cx d
+
+
=
+
, nếu nó tồn tại. Khi đó dãy số
1
( )
n n
x
+
=
gọi là dãy phân tuyến tính.
Chú ý rằng nếu cho
( )


+

=

+

, trong đó a, b, c, d, và p là các hằng
số cho trớc.
Giả sử
n
n
n
y
x
z
= . Khi đó:
1 1
1
1 1
n
n n n n n n
n
n
n n n n n
n
y
a b
ax b y z y ay bz
x

y p z
y ay bz n
z cy dz n
+
+
= =


= +


= +

thì coi nh đã xác định
đợc số hạng tổng quát của dãy phân tuyến tính.
b)Ta xét
(
)
(
)
,
n n
y z
:
1 1
1
1
, 1
, 1
, 1

n n n n n n
n n n
y ay bz ay b cy dz
ay bcy bdz
ay bcy d y ay a d y bc ad y
y a d y bc ad y
+ + + +
+
+ + +
+ +
= + = + +
= + +
= + + = + +
= + +

Tìm đợc
n n
y z

www.VNMATH.com
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số


= + = +

= +

= + = +
= =



( ) ( )
( )
1 1
1 1
1 1
1 1
*)
chọn
n n n n n n
n n n n
n n n n n n
n n n n
a
y ay bz y ay bz
y z a c y b d z
z cy dz z cy dz
b d b d
y z a c y z

n
x
, với
n
n
n
y
x
z
= ,
1
y
và
1
z
cho trớc và
1 1
,
n n n n n n
y ay bz z cy dz
+ +
= + = +
2.3. Bài tập
0 0
1 1
1 1
0
1
1
0

u
u
u n
u



= =


= +


= +

=



=

+

=




2
2;
9 24
, 1
5 13
9 5 5 22 24
9 9 24
*)
5 5 13 5 5 13
*) : 5 22 24 0
Đặt
Chọn
n
n
n
n
n n n n
n
n
n
n
n
n n n n
n n
u
u
u n
u
u
u u u u




=

+



= + + = =
+ + + +
=
1
1 1
2
1 1
*) 3. 5
5 3
n
n
n n n
t
x
x
x x x


=
= = +
+

, đặt
1
n
n
n
ax b
x
cx d
+
+
=
+
,
nếu nó tồn tại. Xét hàm số f(x) nh sau:
: \ \
d a
f
c c
ax b
x
cx d







+
+

1
( )
n n
x
+
=
là dãy phân tuyến tính khi và
chỉ khi
1
, 1,2,
n
x t n =
Chứng minh.
Với mọi , , ,
d a
x y x y
c c


ta có
ax b b dy
y cyx dy ax b x
cx d cy a
+
= + = + =
+

Vậy f là song ánh.
b)
{

n
x t

với mọi n mà
n
t
xác định.
Cho (x
n
) là dãy phân tuyến tính nh sau
1
, 1,2,
n
n
n
ax b
x n
cx d
+
+
= =
+
Khi đó ta có các định lí sau:
Định lí 2. Nếu dãy
{
}
n
x
hội tụ đến L thì
2

( ) 4
d a bc
= + <0 thì dãy phân kì (không hội tụ)
Định lí 4. Giả sử
2
( ) 4
d a bc
= + >0. Gọi
,

là hai nghiệm của phơng trình (ẩn là x)
2
( ) 0
cx d a x b
+ =
. Khi đó:
a)
1
, 1,2,
n
x x n

= = =
b)
Giả thiết
1
x


, đặt



+
= <
+
thì lim
n
n
x


=
.
www.VNMATH.com
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 9
Nếu
1
c d
c d


Nếu
1

=
và
1
x


thì dãy
{
}
n
x
phân kỳ với các giá trị
1
x
và
n
x
xen kẽ.
Trờng hợp
1

=
không thể xảy ra.
Chứng minh
Vì
,

phơng pháp quy nạp. Giả sử
1
x

=
. Khi đó
1
2
1
ax b a b
x
cx d c d



+
+
= = =
+ +
.
Giả sử
n
x

=
. Khi đó
1
n
n
n

n n n
x ax b ax b
a b a b
X
x cx d c d cx d c d



+
+
+

+ +
+ +
= =

+ + + +

,
1
. , 1,2,
n
n n
n
x
c d
X X n
c d x



=
. Do đó
1
1
lim lim 0
n
n
n n
X X



= =
. Từ
n
n
n
x
X
x



=

ta có
lim lim
1 1
n n
n n

n
n n
X X



= =
. Do đó
1 0
lim 0 lim lim lim
1
1 1 0
1
n n
n
n n n x
n n
n
X X
x
X X
X









X n= = Suy ra
lim 0
n
n
X

=
. Tơng tự nh trên suy ra lim
n
n
x


=
.
Nếu
1

=
và
1
x


thì
1
0
X

và

y
phân kỳ. Dãy
(
)
n
y
không hội tụ mà
1 1
, 1,2,
n n
X y X n
+
= = nên dãy
{
}
n
X
cũng không hội tụ.
www.VNMATH.com
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
v




=

, nghĩa là dãy
{
}
n
X
hội tụ, đến đây ta gặp mâu thuẫn).
Trờng hợp
1

=
không thể xảy ra bởi vì nếu
1

=
thì
1
c d
c d


+
=
+

1
x g

, đặt
1
, 1,2,
n
n
X n
x g
= =

, đặt
2
c
a d
à
=
+
. Khi đó
1
, 1,2,
n n
X X n
à
+
= + =
c) lim
n
n

2 ( )
1
1:
2 ( ) 2
n n
n
n n n
ax b c cx d
a d
X
x g cx d c c a d x bc ad d
+
+

+ +

= = =

+ + + +Vì
2
( ) 4
d a bc
= + =0, nên
2
( )
2
2

c a d x c a d g a d x g
+
+ +
= =
+ + +

2 ( ) 2 2
( )( )
n
n
c x g cg d
a d x g
+ +
= =
+
2 ( )
2( )
( )( ) ( )( )
n
n n
c x g
cg d
a d x g a d x g

+
+
+ +

2 ( ) 2 1
( )( )

x g

=
. Nếu
1
x g

thì theo định
lý (5b) ta có
1
, 1,2,
n n
X X n
à
+
= + =
suy ra
{
}
n
X
là cấp số cộng có công sai là
à
và số hạng đầu là
1
X
. Do đó
1
( 1) , 1,2,
n

n n
X X n
à

= + =
. Do đó lim
n
n
x g

=
. Vậy trong mọi trờng hợp ta đều có
lim
n
n
x g

=
.
2.5. Các bài tập.
Bài tập 1.
Xét dãy
(
)
n
v
xác định bởi
0
1
v

+
+
=
+
, với
0
a
=
,
1
b
=
,
1
c
=
và
3
d
=

(
1 0, 0
ad bc c
=
). Phơng trình
2
3 1 0
x x
+ + =

+ +
= = > >
+

Vậy theo định lý (4c) dãy đã cho hội tụ và
3 5
lim
2
n
n
v


+
= = .
Bài tập 2 sau đây là tổng quát của bài tập 1.
Bài tập 2.
Cho dãy
{
}
n
v
nh sau:
1
v

=
và
1
, 1,2,

2 2 2
b b b
c c c

+
>
Ta có
2
1
2
b
b c
b
b
c
b b
b
b c
c

+= = <
+ +
+
+

Vậy theo định lý (4c) suy ra lim
2

để dãy trên hội tụ và trong các trờng hợp đó hãy tính
lim
n
n
x

.
Hớng dẫn giải

Dãy số đã cho có dạng
1
n
n
n
ax b
x
cx d
+
+
=
+
, với
0, 1, 3, 4
a b c d
= = = =
,
0
c

,

3 4
n n
n n n
y z
z y z
+
+
=


= +

,
1 1 1
, 1
y x z
= =
.
Khi đó
2 1 1
3 4 3 4
n n n n n n
y z y z y y
+ + +
= = + = + . Vậy phơng trình đặc trng của dãy số
{
}
n
y
là

= nên
1
.3 , 1,2,
n
n
z A B n
+
= + = .
Vì
1
1
z
=
nên
1 9
A B
= +
. Vì
1 1
y x
=
nên
1
3
x A B
= +
.
Từ hệ
1
3

. Vậy với mọi n = 1, 2, , ta có
1
1 1 1 1
3 1 1 3 1 1
.3 , .3
2 6 2 6
n n
n n
x x x x
y z
+

= + = +
Ta có
1
1
1
y
x
z
=
. Giả sử
n
n
n
y
x
z
=
, khi đó

, 1,2,
3 1 1
.3
2 6
n
n
n
n
n
x x
y
x n
x x
z
+

+
= = =

+

Tức là
1 1
1
1 1
9 3 (1 )3
, 1,2,
9 3 (1 )3
n
n

1 3
3 3
n
n
x

=

,
( 2,3, )
n
=
thì dãy không xác định
+) Khi
1
1
x
=
thì
1, 1,2,
n
x n= = , do đó
lim 1
n
n
x

=

+) Với các giá trị khác của


Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 13
1
1
1
1
1
1
9 3
(1 )
1
1
3
lim lim
9 3
(1 )3 3
(1 )3
3
n
n
n n
n
x
x
x

n
n
x x
x n
x x
+
+
= =
+
, rồi chứng
minh công thức này bằng phơng pháp quy nạp.
Ngoài cách giải trên, sử dụng định lý 1 và định lý 4 ta cũng suy ra đợc kết quả.
Bài tập 6 ( đề thi học sinh giỏi quốc gia, bảng B, năm học 2002-2003)
Cho số thực
0


và dãy số thực
{
}
, 1,2,3,
n
x n = , xác định bởi:
(
)
1 1
0, ( ) 1 1,2,
n n
x x x n



= . Do đó ta có

1
1
, 1,2,
n
n
x n
x


+
+
= =
+
(1)
Vậy
1
n
x
+
có dạng
1
n
n
n
ax b
x
cx d

= +

Xét hai dãy số
(
)
n
y
và
(
)
n
z
thõa mãn điều kiện sau:
(
)
1
1
1
n n
n n n
y z
z y z


+
+
= +


= +

}
n
y
là
( )
2
1
1 0
1



=

+ =

= +


Trờng hợp 2a:
2

=
. Khi đó phơng trình
(
)
2
1 0

+ =

2 1
C D
+ =
.
Từ hệ
0
2 1
C D
C D
+ =


+ =

ta có
1
1
D
C
=


=

.
Vậy
( )( )
1 1 , 1,2,
n
n

Trang 14
1
, 1,2,
n
n
n
y
n
x n
z n

= = =
Trờng hợp 2b:
2


. Khi đó số hạng tổng quát của dãy số
{
}
n
y
là:
( ) ( )
1 . 1 , 1,2,
n n
n
y A B n

= + + =
( A và B là các hằng số sẽ tìm sau )

(
)
( )
2
. 1 0
. 1 1
A B
A B


+ + =



+ + = +


ta có
1
2
1
2
A
B



+

=

n n
n
n
y
z n


+
+
+
= = + =
+ + +

Tơng tự trờng hợp 2a, bằng quy nạp ta chứng minh đợc:
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
1 1
1 1 1
1 1 1
, 1,2,
1 1 1 1
n n
n n
n
n
n n n n
n


Nếu
2

=
thì
1
, 1,2,
n
n
x n
n

= = . Do đó
1 1
lim lim lim 1 1
n
n n n
n
x
n n



= = =
Nếu
2

2 1
2 1
2 1
1
1
1 1 1
, 1,2,
1
1 1
1
1
n n
n
n
n
x n







+
+ + +
= = =
+ +
+
+


+

Do đó nếu
1 1

+ >
thì
2 2 1
lim lim 1 lim 1
n n n
n n n
x x x


= = =
. Nếu
1 1

+ <
thì
(
)
(
)
2 2 1
lim 1 lim lim 1
n n n
n n n
x x x


=
và với mọi n = 1, 2 ,, thì
(
)
( )
2
1
2 cos2 cos
2 2cos2 2 cos2
n
n
n
x
x
x+
+ +
=
+
, trong
đó

là một tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của

để dãy số
{
}
n

n
x
. Từ đó tìm
đợc số hạng tổng quát của dãy số
{
}
n
y
. Tuy nhiên, giải theo cách này sẽ gặp phải những tính toán không đơn
giản, dễ gây nhầm lẫn nếu kỹ năng tính toán không thật vững.
Cách 2: Dễ chứng minh
0, 1,2,
n
x n> = . Với mọi n = 1, 2, , ta có:
(
)
( )
2
1
2 2 cos2 2cos
2 1 1
2 2cos2 2 cos2
n
n
n
x
x
x
3 2 1
2 2cos2 2 cos2 2 2cos2 2 cos2
n
n
n n
x
x
x x


+ +
+
= =
+ +

Do đó
(
)
( )
1
2 2cos2 2 cos2
1
2 1 3 2 1
n
n n
x
x x

+
+



+
+ +

= = + =

+ + + Suy ra
2 2
1
1 1 1
sin sin , 1,2,
2 1 3 2 1
n n
n
x x

+

= =

+ + Gọi
2
1


= và công bội
1
3
q
=
. Do đó
2 2
1
1
1
1 3 1 1
3
sin . sin 1
1
3 2 3 3
1
3
n
n
k
n
k
u

=


= =


hội tụ nên dãy số
(
)
n
y
hội tụ

dãy số
{
}
2
1
sin
n
n

+
=
hội tụ
2
sin 0 ,
k k Z

= =
. Khi đó:
3 1 1 3 1 1
lim lim 0 1 .

+
=
nh sau:
1 1
2(2 1)
1, , 1,2,
3
n
n
n
x
x x n
x
+
+
= = =
+
. Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ
và tìm giới hạn của dãy số đó.
Đáp số
lim 2
n
n
x

=

Bài tập 9 ( Đề thi vô địch sinh viên Moskva, 1982 ).
Cho dãy
{

3
2, 4 ( 1,2, )
n
n
a a n
a
+
= = = .
Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn và tính giới hạn của dãy số đó.
Đáp số:
lim 3
n
n
a

=
.
Bài tập 11
Cho dãy số
{
}
n
x
nh sau:
(
)
( ) ( )
1
0 1
2 3 2

Hớng dẫn giải
Đặt
(
)
1
2 1
n
n n
x u
+
+ =
. Khi đó
0 1
1
1, , 0,1,2,
3
n
n
n
u
u u n
u
+
+
= = =
+

Ta chứng minh đợc
(
)

+

3. phơng pháp quy nạp
phơng pháp quy nạpphơng pháp quy nạp
phơng pháp quy nạp

Việc dự đoán công thức rồi dùng phơng pháp qui nạp để chứng minh cũng là một phơng pháp mạnh cho dãy
số vì các công thức trong phần dãy số đều phụ thuộc vào các số tự nhiên.
( )
1 2
2
1
2
1 2
1 2
1
1; :
2
, 3
0, 3
3,4,5 4; 1; 0 4 , 3
Ta hy vọng rằng sẽ đa đợc về dãy tuyến tính:
Ta dùng qui nạp để chứng minh công thức vừa dự đoán.
n
n
n
n
n n n
n n n
u u

Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 17
Tổng quát dãy số có dạng
( )
1 2
2
1
2
;
:
n
n
n
n
u a u b
u
u c
u
u


= =


+

=


Tìm
1997
u
.
HD: Ta hy vọng rằng dãy này sẽ tuần hoàn. Tính trực tiếp ta thấy
3 0
u u
=
. Do đó ta dự đoán:
3 0
, 0,1,2,
n
u u n= = Bằng quy nạp ta chứng minh điều đó.
1997
3 2
u
=
.
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1 1
0
3
1
3 3
3
3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3


= =


= +
= + + = + + + +
= +
( ) ( )
3 3 3
0
3 3
3
*) 1
3 3.
3
3 5 3 5
*) .
1
2 2
Nh vậy, nếu ta chọn thì đã thỏa công thức truy hồi.
n n n n
n n
n
b a b
ab
u a b
a b
u
ab
+ +

4;
3 , 0,1,2,
*) .
3 3 3 3
3
Xét dạng: Khi đó,

n n
n
n n n n n n n n n n
n
n n n
n n
n n
n
u
u u u n
u u a b
u u a b a b a b ab a b a b
u ab a
+ +
+
+
=



= + =




+
= +



=



Lu ý: Mọi đa thức bậc ba ta đều có thể đa về hai dạng trên.
1
3 2
1
2
5;
3 3, 1,2,
n n n
u
u u u n
+
=


= + =

Đặt

( ), 1,2,
n n
u f u n
+
= =
www.VNMATH.com
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 18
Ta có f(x) là đa thức bậc 3 và
2
'( ) 3 6 , ''( ) 6 6 0 1
f x x x f x x x
= + = + = =
. Vậy điểm uốn của đồ thị
của hàm số f(x) là
( 1, 1)
A

. Ta biết rằng đồ thị hàm số f(x) nhận điểm uốn
( 1, 1)


của Parabol. Tức là ta đổi biến
2
b
X x
a
= + .
+) Nếu ta gặp hàm đa thức bậc ba
3 2
( )
f x ax bx cx d
= + + +
thì ta dời gốc tọa độ về điểm uốn
( , ( ))
3 3
b b
A f
a a
của đồ thị của f(x). Tức là ta đổi biến
3
b
X x
a
= + .
+) Nếu ta gặp hàm số tổng quát thì ta đổi biến sao cho hàm số đó trở thành hàm số lẻ hoặc hàm số chẵn.
1
3 2
1
3
6


= + =

(Đây là ta mới là mất bậc chẵn, giống chứng minh hàm
lẻ đó mà)
Tiếp theo ta làm mất hệ số của
3
n
v
.
3 3 3 2
1 1
1
4 3 3 4 1
2
n n n n n n
av a v av v v v a a
+ +
= + = + = =

Đặt
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1
1
3
1
3 3 3 3 3 3
4
1
2

9 3 , 1,2,
n n n
u
u u u n
+
=


= + =

(đề nghị thi OLYMPIC 30/04/1999)

HD:Đặt
1
3
1
6
3
3
n n
n n n
v
u v
v v v
+
=

=

= +

2 1, 2
*) cos cos2
1
*) cos
2 3
n n
n n
u
u u n
u u
u





=



=

= =
= =

1
2
*) cos , 1
3
. Chứng minh bằng qui nạp

u u u
u u a u a
a
a







=

= => = + = + TQ:
0
2
1
, 2
, 0
n n
u c

1 1
1
1 1
1
1
3
1 1
1
1
1
1
3 2
1 1 1
3;
4 3 , 2
*) 1 cos cos3
1 1 1 1
*) 1
2 2
4;
4 3 , 2
1 1 1 1
*)
2 2
5;
, 2
Đ
n n n
n
n

=

= =

> = + = +




= +


= =




= + + +

a về hai dạng trên.

www.VNMATH.com
Huúnh Thanh Lu©n
Huúnh Thanh Lu©nHuúnh Thanh Lu©n
Huúnh Thanh Lu©n
X¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè
X¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sèX¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè

2 2
*) cos .cos ; cos .cos
2 2 2 2
*) cos .cos cos
2 2 2
n
n
n
n n
n n n n
n n
n
u
u
u
u n
a b
u v bu
a b
u v
u v u v
a
u b v b
b
u b v b
u v b
α
α α
α
α α α α

= =

( )
1
1
3
8;
2 1
, 1,2,
1 1 2
n
n
n
u
u
u n
u
+

=


+ −

= ∀ =

+ −




+
= − ⇒ = ∀ =
−
 
= → = +
 
 

( )
1
1
3
3
9;
2 3
, 1,2,
1 3 2
n
n
n
u
u
u n
u
+

=




bu
−
−


+

= ∀ ≥

−


1
1
2
1
2
1
1 1
2
2
1 1
1
2
1
3
11;
, 2
1 1
1 1 1

−
−

=


= ∀ ≥

+ +

= → = + + → = + +
+
+
+
= → = + + = + = =

www.VNMATH.com
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 21
5.

*
n n
n
x , x x , n N
n
+
= = +
+

Lời giải
Từ giả thiết ta có
1
1
n n
(n )x nx n
+
+ = +
. Đặt
n n
u nx
= , ta có
1
1 2
n n
u u n, n , ,
+
= + =
Vậy
2 1
1

+
= + + + + = =
Vậy
1
1 2
2
n
n(n )
u , n , ,

= = . Suy ra
1
1 2
2
n
n
x , n , ,

= =
Bài toán 2. Tìm
n
x
biết rằng
1
0
x
=
và

( )

= +
+ + +

Do đó
2 2 2
1
1 2 3 1 2 1 2
n n
(n )(n ) (n )x n(n ) (n )x n(n ) (n )
+
+ + + = + + + + +

Đặt
2
1 2
n n
n(n ) (n )x u
+ + =
, thay vào trên ta đợc
2
1
1 2 1 2
n n
u u n(n ) (n ), n , ,
+
= + + + =
Từ đây ta tìm đợc
n
u
, sau đó ta tìm đợc

, trong đó
( ) 0,
g n
>
*
,
n N k R

.
Lời giải
Ta có
1
ln ln ( ) ln
n n
x g n k x
+
= +
. Đặt ln
n n
x y
=
, khi đó:

1
ln ( ), 1,2,
n n
y ky g n n
+
= =
(1)

ln (1)
g
u u
k
= +
3 2
2
ln (2)
g
u u
k
= + 1
1
ln ( 1)
n n
n
g n
u u
k



= +
Cộng lại ta đợc
1
1
1

n n
g i g i
k u k a
k k
y k u
n
x e e e e
= =


+ +



= = = =

3.3 Dãy số dạng:
( )



Hớng dẫn giải
Ta có
(
)
1
( 1)
( )
k
n
n
k
x
x
f n
f n
+
=
+
. Đặt
( 1)
n
n
x
v
f n

n n
u v
=
. Khi đó
1
, 1,2,
n n
u ku n
+
= =

Vậy
{
}
1
n
n
u
+
=
tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu là
1
u
, công bội là k, do đó
1
1
, 1,2,
n
n
u u k n




= =


Cách giải. Từ
2
1
1
n
n
n
x a
x
x
+


= , ta có

2
1 1n n n
x x x a
+
= +
(1)
Tơng tự ta cũng có

2

1
2
2
1 1 2 1 3
n n
n n n n
x x x
c

c a
x x x x x x
b
b


+
= = = = =
+
+ + +
+

Suy ra
(
)
1 1 1 1
0
n n n n n n
x x x x x x

+ +


= =




= +




=



HD:
(
)
( )
2
2 2
2 2
1 1
1 1
1 1
2
1 1
1 1
1 1
1

= +

= +



=
=


=




+ = +

( )
(
)
1
2
1
2
1 1
;
n

u v
u u v
v u v
= =




= +




=



3.6 Dãy số dạng:
0
2
1
1
, 1
2
n
n
n

1
2
2
1 1
, 1
, 2
với
n n n
u
a b
u au bu c n



=



=


= + +




HD:
(
)
( )






= + + = + = +
+ = + + =
+ =



+ =




+ =


( )
( )
( )
2
1 1
2
2 2
2 1 2 1
2 2
1 1
2 1

+ =



+ =
+ =

3.8 Dãy số dạng:
1
2
1
2
1
, 0; 1; 1
, 2
trong đó:
n
n
n
u
u
a a b
u n
a cu b





=

u a b c
u u u
a cu b
x
u







= = + +






+ +
=

3.9 Dãy số dạng:
( ) ( )
1 2
2 1 1
;
. , 1
n n n n n n n n
u u

(
)
2 1 1 2 1 1 1 1
1 1
2 1 1 1
3 2 2 2
1 1 1
*) .
*)

Với vn n n n n n n n n n n n n n n n n
n n n n
n n n n
u p q u p q u u p u q u p u v q v
u p u
v q v f
v q v f
v q v f
+ + + + + +
+

+ + = =
=
=
=
=


a a
v q v f
q q
a a
v q v f
q q
f f
a
v av a v q v
q q q

= =

=
=
=

= = +

Trờng hợp đặc biệt của dạng này hay gặp là khi một trong hai hàm trên là một hàm hằng.
( ) ( )
1 2
2 1
;



= +



( ) ( )
1 2
1 1 2
1 1
*) ! 0
1
*) 1;
1
*) 0
Đặt
có hai nghiệm
n n n n n
n n n n
n
u n v v v v
n n
Pt
n
v v v v
n



= =

+
=


+ =


Baứi taọp 2 :
1
1
2
3 2, 1
n n
u
u u n
+
=


+ =


Baứi taọp 3 :
1
1
2
2, 1
n n
u
u u n

+
=


= +


Baứi taọp 6 :
1
1
2
3 2 , 1
n
n n
u
u u n
+
=


+ =


Baứi taọp 7 :
1
1
1
1
7 7 , 1
n

2 8 27.5 , 1
n
n n n
u u
u u u n
+ +
= =


+ =


Baứi taọp 10 :
1 2
2
2 1
9, 45
2 8 2 , 1
n n n
u u
u u u n n n
+ +
= =


+ = +


Baứi taọp 11 :
1 2

1 2 3
2
3 2 1
4, 26, 74
6 11 6 6 4 8, 1
n n n n
u u u
u u u u n n n
+ + +
= = =



+ =



Baứi taọp 14 :
1 1
1
1
1, 1
6
6
n n n
n n n
u v
u u v
v u v
+


+


Baứi taọp 16 : Tìm dãy số
(
)
n
x
biết
1
2
1
2
3 1, 1,2,
n n
x
x x n n
+
=


= + + =


Lời giải
Phơng trình đặc trng
3 0

=