Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 1
1.
1.1.
1. Dãy tuyến tính với hệ số hằng số.
Dãy tuyến tính với hệ số hằng số.Dãy tuyến tính với hệ số hằng số.
Dãy tuyến tính với hệ số hằng số. 1.1 Bài tập cụ thể.
[ ]
( )
( ) ( ) ( )
0
1
0
1
0
1
0
1

u u n
u
n n n
u u n n
n g n g n g n an b
u
u




=



=

=



=

=

= +

=

=

7;
2 2 , 1
2 2 1 2
cùng hệ số nên phải nâng bậc:
n n
n n n
n
n n
n n n
n
n n
n n n
n n n n n
u n n
n g n g n g n an bn
u
u u n
a a
u
u u n
n n







2 2
1
2
1 2
0 1
1 2
0
1; 2
8;
5 6 0, 2
1; 3
9;
4 4 0, 2
1; 3
10; 2 2 1 5 1 6 2 ,
5 6 2 2 1, 2
1; 4
11;
3 2 2 1, 2
1
12;
n n n
n n n
n
n n n
n n n
u u
u u u n
u u
u u u n



+ = +

=
1
1 2
0 1
1 2
0 1
1 2
0 1
1 2
; 4
2 2 1, 2
1; 3
13;
5 6 2.5 , 2
1; 3
14;
5 6 2.3 , 2
1; 4
15;
4 4 2 , 2
n n n
n
n n n
n
n n n
n



= =



+ =



Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 2
1.2 Xác lập phơng pháp (Phơng pháp sai phân).
1.2.1 Loại thuần nhất:
1 2
0 1 1
, , ,
0, 1
k
n k n k k n

có k nghiệm thực phân biệt
1 2
, , ,
k

thì nghiệm của (1) là
1 1 2 2
, 1,2,
n n n
n k k
x c c c n

= + + =

( với
1 2
, , ,
k
c c c
là các hằng số ).
(ii) Nếu
(
)
*
đợc viết lại nh sau
(
)
(
)
(


3
, ,
q
là các nghiệm đơn, và
( 2)
s h q k
+ + =
, thì (1) có nghiệm là
(
)
1
3 3 11 12 1 1

n n s n
n q q s
x c c c c n c n


= + + + + + + +

(
)
1
21 22 2 2
, 1,2,
h n
h
c c n c n n


k k
r a b Arg

= = + =
)
là nghiệm phức thì số phức liên hợp
(
)
cos sin
k
a bi r i

= =
cũng là nghiệm của
(
)
*
. Khi đó
(1) có nghiệm là
(
)
1 1 2 2 2 2
cos sin , 1,2,
n n n n
n k k
x c c c r A n B n n


= + + + + =


= = + =
)
là nghiệm phức bội h, thì số phức liên hợp
(
)
cos sin
q
a bi r i

= =

cũng là nghiệm phức bội h của
(
)
*
. Khi đó (1) có nghiệm tổng quát là

= + + +
1 1 2 2

n n n
n s s
x c c c

(
)
(
)
phức, nghiệm bội phức trong công thức nghiệm của (1).
VD: Giải lại các bài tập trong phần trớc.

Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 3
1.2.2 Loại không thuần nhất:
1 2
0 1 1
, , ,
, 1
k
n k n k k n n
x x x
a x a x a x f n
+ +



= + + =
vào (2) để xđ các hàm
(
)
i
c n
.
B3: Nghiệm của (2) là:
*
n n n
x x x
= +Để không sử dụng kiến thức ngoài chơng trình thì ta nên làm
Để không sử dụng kiến thức ngoài chơng trình thì ta nên làmĐể không sử dụng kiến thức ngoài chơng trình thì ta nên làm
Để không sử dụng kiến thức ngoài chơng trình thì ta nên làm theo hớng: Làm
theo hớng: Làm theo hớng: Làm
theo hớng: Làm
nháp bằng phơng pháp sai phân để tìm nghiệm rồi ta sẽ chứng minh bằng qui
nháp bằng phơng pháp sai phân để tìm nghiệm rồi ta sẽ chứng minh bằng qui nháp bằng phơng pháp sai phân để tìm nghiệm rồi ta sẽ chứng minh bằng qui
nháp bằng phơng pháp sai phân để tìm nghiệm rồi ta sẽ chứng minh bằng qui
nạp.
nạp.nạp.
nạp. VD: Tìm số hạng tổng quát của dãy:
{ }
1

n
n
x c c n

= = =
( c
là hằng số sẽ tìm sau), và
*
n
x
đợc tìm nh sau:
Ta xem c là một hàm theo n và tìm
*
n n
x c
=
. Thay
*
n n
x c
=
vào
1
sin , 1,2,
n n
x x nx n
+
= + =
, ta
đợc


=

Cộng lại ta đợc
1
sin sin 2 sin( 1)
n
c c x x n x
= + + +

Vậy
[
]
*
1
sin sin 2 sin( 1) , 1,2,
n n
x c c x x n x n
= = + + + + =

Vì
*
n n
x c
=
thỏa
1
sin , 1,2,
n n
x x nx n

x

thì với mọi
1,2,
n
=
, ta có
*
1
sin sin sin sin 2 sin sin( 1)
2 2 2
sin
2
n
x x x
x x x n x
x

= + + + =
3 3 5 ( 2) ( 1)
cos cos cos cos cos cos
2 2 2 2 2 2
2sin
2
x x x x n x n x
x



Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 4
( 2)
sin sin
4 4
, 1,2,
sin
2
n
nx n x
x c n
x

= + =

Vì
1
0
x
=
nên
sin sin sin
1
4 4 4
0 tan

n
=
thì

( 2)
sin sin
1
4 4
tan
2 4
sin
2
n
nx n x
x
x
x

= +
(1)
bằng phơng pháp quy nạp.
Theo giả thiết ta có
1
sin sin sin sin
1 1
4 4 4 4
0 tan tan
2 4 2 4
2sin cos sin
4 4 2

sin tan sin
2 4
sin
2
k k
kx k x
x
x x kx kx
x
+

= + = + + =

( 2)
sin sin sin sin
1
4 4 2
tan
2 4
sin
2
kx k x x
kx
x
x

+
= + =

( 1) ( 1)


Định nghĩa. Dãy số
{ }
1
n
n
x
+
=
đợc gọi là dãy số tuần hoàn nếu tồn tại số
k N

sao cho

, 1,2,
n k n
x x n
+
= =
. (1)
Số k bé nhất thỏa mãn (1) đợc gọi là chu kỳ của dãy số tuần hoàn
{ }
1
n
n
x
+
=
.
Sử dụng phơng trình sai phân ta sẽ xác định đợc các dãy số tuần hoàn.

{
}
2
1 1,1

=
. Do đó
.1 ( 1) , 1,2,
n n
n
x A B n= + =
. Bởi vậy từ giả thiết
1 2
,x x

= =
, ta có
2
2
A
A B
A B
B




+
=


+
=
biết
3
, 1,2,
n n
x x n
+
= =
và
1 2 3
, ,
x x x
cho trớc.
Lời giải
Phơng trình đặc trng
3
1

=
của dãy số đã cho có các nghiệm là
+
1 3 1 3
1, ,
2 2
i i
( hay
2 2 2 2
1, cos sin , cos sin
3 3 3 3

+
=
biết
, 1,2,
n k n
x x n
+
= =
và
1 2
, , ,
k
x x x
cho trớc.
Lời giải
Phơng trình đặc trng
1
k

=
của dãy số đã cho có các nghiệm là
2 2
cos sin ,

+
h h
i
k k
với
0,1,2, , 1


Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 6



+ + + =





1 1
2( 1) 2( 1)
cos sin , 1,2,
k k
k k







1
0
2 2
cos sin , 1,2,
k
n h
h
h h
x n
k k
,
trong đó các hằng số
0 1 1
, , ,
k


sẽ đợc xác định khi biết
1 2
, , ,
k
x x x
.
2.

1,2,
n
=
thì
1
n
n
n
ax b
x
cx d
+
+
=
+
, nếu nó tồn tại. Khi đó dãy số
1
( )
n n
x
+
=
gọi là dãy phân tuyến tính.
Chú ý rằng nếu cho
( )
1
n
n
x
+


+

, trong đó a, b, c, d, và p
là các hằng số cho trớc.
Giả sử
n
n
n
y
x
z
=
. Khi đó:
1 1
1
1 1
n
n n n n n n
n
n
n n n n n
n
y
a b
ax b y z y ay bz
x
y
cx d z z cy dz
c d

+
+
= =


= +


= +

thì coi nh đã xác
định đợc số hạng tổng quát của dãy phân tuyến tính.
b)Ta xét
(
)
(
)
,
n n
y z
:
1 1
1
1
, 1
, 1
, 1
n n n
n n n
y p z

ay bcy bdz
ay bcy d y ay a d y bc ad y
y a d y bc ad y
+ + + +
+
+ + +
+ +
= + = + +
= + +
= + + = + +
= + +

Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 7
Tìm đợc
n n
y z


Cách 2:


= + = +
= =



( ) ( )
( )
1 1
1 1
1 1
1 1
*)
chọn
n n n n n n
n n n n
n n n n n n
n n n n
a
y ay bz y ay bz
y z a c y b d z
z cy dz z cy dz
b d b d
y z a c y z
a c a



n
n
y
x
z
=
,
1
y
và
1
z

cho trớc và
1 1
,
n n n n n n
y ay bz z cy dz
+ +
= + = +

2.3. Bài tập
0 0
1 1
1 1
0
1
1
0
1

u
u n
u



= =


= +


= +

=



=

+

=





2
2;
9 24
, 1
5 13
9 5 5 22 24
9 9 24
*)
5 5 13 5 5 13
*) : 5 22 24 0
Đặt
Chọn
n
n
n
n
n n n n
n
n
n
n
n
n n n n
n n
u
u
u n
u
u
u u u u




=

+



= + + = =
+ + + +
=
1
1 1
2
1 1
*) 3. 5
5 3
n
n
n n n
t
x
x
x x x


=
= = +
+

1
n
n
n
ax b
x
cx d
+
+
=
+
, nếu nó tồn tại. Xét hàm số f(x) nh sau:
: \ \
d a
f
c c
ax b
x
cx d







+
+

a) Chứng minh f là song ánh.

x
+
=
là dãy phân
tuyến tính khi và chỉ khi
1
, 1,2,
n
x t n =

Chứng minh.
Với mọi
, , ,
d a
x y x y
c c


ta có
ax b b dy
y cyx dy ax b x
cx d cy a
+
= + = + =
+

Vậy f là song ánh.
b)
{
}

x t

với mọi n mà
n
t
xác định.

Xét dãy (x
n
) :
1
, 1,2,
n
n
n
ax b
x n
cx d
+
+
= =
+
Khi đó ta có các định lí sau:
Định lí 2. Nếu dãy
{
}
n
x
hội tụ đến L thì
2

( ) 4
d a bc
= +
<0 thì dãy phân kì (không hội tụ)
Định lí 4. Giả sử
2
( ) 4
d a bc
= +
>0. Gọi
,

là hai nghiệm của phơng trình (ẩn là x)
2
( ) 0
cx d a x b
+ =
. Khi đó:
a)

1
, 1,2,
n
x x n

= = =

Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân

= =
+
. Khi đó:
1
, 1,2,
n n
X X n

+
= =

c) Nếu
1
c d
c d



+
= <
+
thì
lim
n
n
x


=
.

n
n
x


=

Nếu
1

=
và
1
x


thì dãy
{
}
n
x
phân kỳ với các giá trị
1
x
và
n
x
xen kẽ.
Trờng hợp
1

thì
, 1,2,
n
x n

= =
vì chiều ngợc lại là hiển nhiên.
Ta dùng phơng pháp quy nạp. Giả sử
1
x

=
. Khi đó
1
2
1
ax b a b
x
cx d c d



+
+
= = =
+ +
.
Giả sử
n
x


b)Ta có
1
1
1
:
n n n
n
n n n
x ax b ax b
a b a b
X
x cx d c d cx d c d



+
+
+

+ +
+ +
= =

+ + + +

,
1
. , 1,2,
n

<
thì
1
lim 0
n
n



=
. Do đó
1
1
lim lim 0
n
n
n n
X X



= =
. Từ
n
n
n
x
X
x





=
. Do đó
1
1
lim lim
n
n
n n
X X



= =
. Do đó
1 0
lim 0 lim lim lim
1
1 1 0
1
n n
n
n n n x
n n
n
X X
x
X X

=
thì
1
0
X
=
. Theo kết quả câu (b) suy ra
0, 1,2,
n
X n= =
Suy ra
lim 0
n
n
X

=
. Tơng tự nh trên suy ra
lim
n
n
x


=
.
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân


. Ta sẽ chứng minh dãy số
(
)
n
y

với
( 1)
n
n
y
=
, với mọi n=1, 2,, không hội tụ.
Ta có
2 1 2
lim lim( 1) 1 1 lim
n n
n n n
y y


= = =
. Vậy dãy
(
)
n
y
phân kỳ. Dãy
(
)

n
x
không hội tụ ( vì nếu
lim
n
n
x v

=

thì
lim
n
n
v
X
v




=

, nghĩa
là dãy
{
}
n
X
hội tụ, đến đây ta gặp mâu thuẫn).

d a bc
= + =
và đặt
2
a d
g
c

=
. Khi đó
a)
1
x g
=
khi và chỉ khi
, 1,2,
n
x g n= =

b) Giả thiết
1
x g

, đặt
1
, 1,2,
n
n
X n
x g

2
( ) 0
cL d a L b
+ =
( tức là phơng trình
aL b
L
cL d
+
=
+
) có
nghiệm kép là
2
a d
g
c

=
.
b) Với mọi n = 1, 2, , ta có
1
2
1
2 ( )
1
1:
2 ( ) 2
n n
n

( )
2
2 2 2 2 2
( ) 1
2 2 2 2
2 2
d a
bc ad d ad d d ad a ad d

+ = + = + + =

2 2
1 1 1
( ) ( )( ) .2 ( ) ( )
2 2 2
d a a d a d gc a d c a d g
= = + = + = +

Từ đó
1
2 ( ) 2( )
( ) ( ) ( )( )
n n
n
n n
c cx d cx d
X
c a d x c a d g a d x g
+
+ +

X
a d a d x g a d x g
à
+
= + = + = +
+ + +

(
2( )
cg d a d
+ = +
Vì
(
)
2 2 2 2 )
cg d cg d a d d a d
+ = + = + = +

Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 11

{
}
n
X
là cấp số cộng có công sai là
à
và số hạng đầu là
1
X
. Do đó
1
( 1) , 1,2,
n
X X n n
à
= + =

Vì
2
0
c
a d
à
=
+
nên
[
]
1
lim lim ( 1)

1
v
=
và
1
1
, 1,2,
3
n
n
v n
v


= =
+
.Chứng minh rằng dãy
đã cho có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Lời giải
(
)
n
v
là dãy phân tuyến tính,
1
n
n
n
av b
v

+ + =
có hai nghiệm phân biệt là
1
3 5
2
x


= =
và
2
3 5
2
x

+
= =
.
Ta có
0 2
3 5
2
v x
+
=
,
14 6 5
1 1
4
c d


=
và
1
, 1,2,
n
n
a
v n
b cv
+

= =
+
(với
, ,
a b c
là các số dơng,
2
4 0,
2
b
b ac
c

+
= >
). Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ và tính
lim
n

= = <
+ +
+
+

Vậy
lim
2
n
n
b
v
c

+
=
.
Bài tập 3. Cho dãy số
{
}
n
x
định nghĩa truy hồi bởi:
1
1
( 1,2, )
4 3
n
n
x n



và dãy số thực
{
}
, 1,2,3,
n
x n =
, xác định bởi:
(
)
1 1
0, ( ) 1 1,2,
n n
x x x n

+
= + = + =

a) Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số đã cho.
b) Chứng minh dãy số
(
)
n
x
có giới hạn hữu hạn khi
n
+
. Hãy tìm
giới hạn đó.


+
+
= =
+
(1)
Vậy
1
n
x
+
có dạng
1
n
n
n
ax b
x
cx d
+
+
=
+
, với
0
a
=
,
1
b

n
z
thõa mãn điều kiện sau:
(
)
1
1
1
n n
n n n
y z
z y z


+
+
= +


= +


,
1 1 1
0, 1
y x z
= = =
.
Khi đó
(




=

+ =

= +


Trờng hợp 2a:
2

=
. Khi đó phơng trình
(
)
2
1 0

+ =
có nghiệm kép
1 2
1

= =
.
Suy ra
( )( )
1 , 1,2,

C D
C D
+ =


+ =

ta có
1
1
D
C
=


=

.
Vậy
( )( )
1 1 , 1,2,
n
n
y n n= =
và
( )
1
1
1 , 1,2,
1

}
n
y
là:
( ) ( )
1 . 1 , 1,2,
n n
n
y A B n

= + + =

( A và B là các hằng số sẽ tìm sau )
Vì
1
0
y
=
nên
(
)
. 1 0
A B

+ + =
.
Vì
(
)
2 1

. 1 1
A B
A B


+ + =



+ + = +


ta có
1
2
1
2
A
B



+

=


+





+
+
+
= = + =
+ + +

Tơng tự trờng hợp 2a, bằng quy nạp ta chứng minh đợc:
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
1 1
1 1 1
1 1 1
, 1,2,
1 1 1 1
n n
n n
n
n
n n n n
n
y
x n
z
=
thì
1
, 1,2,
n
n
x n
n

= =
. Do đó
1 1
lim lim lim 1 1
n
n n n
n
x
n n



= = =
Nếu
2


thì

1
1
1 1 1
, 1,2,
1
1 1
1
1
n n
n
n
n
x n







+
+ + +
= = =
+ +
+
+

( )
( )
( )

1 1

+ >
thì
2 2 1
lim lim 1 lim 1
n n n
n n n
x x x


= =

=
. Nếu
1 1

+ <
thì
(
)
(
)
2 2 1
lim 1 lim lim 1
n n n
n n n
x x x



x+
+ +
=
+
,
trong đó

là một tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của

để dãy số
{
}
n
y
, với
1
1
, 1,2,
2 1
n
n
k
k
y n
x
=
= =

(
)
( )
2
1
2 2 cos2 2cos
2 1 1
2 2cos2 2 cos2
n
n
n
x
x
x+
+ +
+ = + =
+

(
)
(
)
( )
2
2 2 cos2 2cos 2 2cos2 2 cos2
2 2cos2 2 cos2
n n


Do đó
(
)
( )
1
2 2cos2 2 cos2
1
2 1 3 2 1
n
n n
x
x x

+
+
= =
+ +

( ) ( )
(2 1) 1 2cos2 . 2 cos2 (1 cos2 )(2 1) 1
3 2 1 3 2 1
n n n
n n
x x x
x x

+ + + +
= =
+ +

sin sin , 1,2,
2 1 3 2 1
n n
n
x x

+

= =

+ + Gọi
2
1
sin , 1,2,
2 1
n
n
u n
x

= =
+
. Khi đó
1
1
, 1,2,
3

3
sin . sin 1
1
3 2 3 3
1
3
n
n
k
n
k
u

=


= =




. Suy ra
2 2 2
1 1
1 3 1 1
( sin ) sin 1 sin
2 1 2 3 3
n n
n
n

sin
n
n

+
=
hội tụ
2
sin 0 ,
k k Z

= =
. Khi đó:
3 1 1 3 1 1
lim lim 0 1 .
2 3 3 2 3 2
n
n
n n
y


= = =


.
Bài tập 6: Cho dãy
{ }
1
n

Cho dãy
{
}
n
x
nh sau:
0 1
1
1982, ( 0,1, )
4 3
n
n
x x n
x
+
= = =

. Hãy tìm
lim
n
n
x

.
Bài tập 8 ( Đề thi vô địch Tiệp ).
Cho dãy số
(
)
n
a

=
.
Bài tập 9
Cho dãy số
{
}
n
x
nh sau:
(
)
( ) ( )
1
0 1
2 3 2
2 1 1
2 1, , 0,1,2,
2 1 3 2 1
n
n
n
n n
n
x
x x n
x
+
+
+ +
+ +

2
, 3
0, 3
3,4,5 4; 1; 0 4 , 3
Ta hy vọng rằng sẽ đa đợc về dãy tuyến tính:
Ta dùng qui nạp để chứng minh công thức vừa dự đoán.
n
n
n
n
n n n
n n n
u u
u
u
u n
u
u au bu c n
n a b c u u u n

= =


+

=



có thể tuyến tính hóa.
( )
0
1
1
2; :
3
, 0,1,2,
1 3
n
n
n
n
u
u
u
u n
u
+
=


+

= =





3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3
3
1
3
3;
3 , 0,1,2,
*) .
3 3 3 3
3
Xét dạng: Khi đó,

n n
n
n n n n n n n n n n
n
n
n n n
n n
n n
n
u
u u u n
u u a b
u u a b a b a b ab a b a b
u ab a
+ +
+
+

3
3 5 3 5
*) .
1
2 2
Nh vậy, nếu ta chọn thì đã thỏa công t
hức truy hồi.
n n
n
ab
u a b
a b
u
ab
=
= + =

+ =

+
= +


=



( ) ( )
( )
( ) ( )

u u u n
u u a b
u u a b a b a b ab a b a b
u ab a
+ +
+
+
=


= + =

= +
+ = + + + = + + + + +
= + +
( ) ( )
3 3 3
0
3 3
3
*) 1
3 3.
3
3 13 3 13
*) .
1
2 2
Nh vậy, nếu ta chọn thì đã thỏa công thức truy hồi.
n n n
n n

u
u u u n
+
=


= + =

Đặt
1( 1,2, )
n n
v u n= + =

1
3
1
3
3 , 1,2,
n n n
v
v v v n
+
=


= =


b b
A f
a a

của đồ thị của f(x). Tức là ta đổi biến
3
b
X x
a
= +
.
+) Nếu ta gặp hàm số tổng quát thì ta đổi biến sao cho hàm số đó trở thành hàm số lẻ
hoặc hàm số chẵn.
1
3 2
1
3
6
6;
24 12 6 15 6, 1
n n n n
u
u u u u n
+

=



= +

Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 17
3 3 3 2
1 1
1
4 3 3 4 1
2
n n n n n n
av a v av v v v a a
+ +
= + = + = =

Đặt
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1
1
3
1
3 3 3 3 3 3
4
1
2

9 3 , 1,2,
n n n
u
u u u n
+
=


= + =

(đề nghị thi OLYMPIC 30/04/1999)

HD:Đặt
1
3
1
6
3
3
n n
n n n
v
u v
v v v
+
=

=

= +

=



=

= =
= =

1
2
*) cos , 1
3
. Chứng minh bằng qui nạp
n
n
u n


=

1
1
1
2
1
1
1 1
2
1 1


> = + = + TQ:
0
2
1
, 2
, 0
n n
u c
ab
u au b n
+
=

=

=


2
1
*) 2 1
n n n n
u bv v v

1
3
1 1
1
1
1
1
3 2
1 1 1
3;
4 3 , 2
*) 1 cos cos3
1 1 1 1
*) 1
2 2
4;
4 3 , 2
1 1 1 1
*)
2 2
5;
, 2
§
n n n
n
n
n
n
n
n n n

> → = + → = +
   
   


= + ∀ ≥

   
= − → = −
   
   


= + + + ∀ ≥

−a vÒ hai d¹ng trªn.

1
1
2
1
1 1 1
1 1
1
2
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2

u v bu
a b
u v
u v u v
a
u b v b
b
u b v b
u v b
α
α α
α
α α α α
α α α
−
−
− −
−

=


→ =

− −

= ∀ ≥


+

+

=


+ −

= ∀ =

+ −



T×m
2003
u
( §Ò thi chÝnh thøc OLYMPIC 30/04/2006 ).
HD:
1
1
tan
8
*) 2 1 , 1,2,
8
1 .tan
8
*) tan tan
8
n
n
Trang 19
( )
1
1
3
3
9;
2 3
, 1,2,
1 3 2
n
n
n
u
u
u n
u
+

=



+

= =



+

=




1
1
2
1
2
1
1 1
2
2
1 1
1
2
1
3
11;
, 2
1 1
1 1 1
*) 1 1
1 1
1 cos 1
*) 1 cot
sin sin 2


=

+ +

= = + + = + +
+ +
+
= = + + = + = =

5.
5.5.
5. một vài Dãy số khác.
một vài Dãy số khác.một vài Dãy số khác.
một vài Dãy số khác. 3.1 Dãy số có dạng:
( )
1 1
1
1 1 2
1 2 1
n n
n(n ) (n k )
x , x x , n , ,
(n k ) (n k )

+
+ +

u nx
=
, ta có
1
1 2
n n
u u n, n , ,
+
= + =

Vậy
2 1
1
u u
= +

3 2
2
u u
= +

4 3
3
u u
= +
1n n
u u n

n
x , n , ,

= =

Bài toán 2. Tìm
n
x
biết rằng
1
0
x
=
và

( )
1
1
1
2 3
*
n n
n(n )
x x , n N
(n )(n )
+
+
= +
+ +
(1)


Do đó
2 2 2
1
1 2 3 1 2 1 2
n n
(n )(n ) (n )x n(n ) (n )x n(n ) (n )
+
+ + + = + + + + +

Đặt
2
1 2
n n
n(n ) (n )x u
+ + =
, thay vào trên ta đợc
2
1
1 2 1 2
n n
u u n(n ) (n ), n , ,
+
= + + + =

Từ đây ta tìm đợc
n
u
, sau đó ta tìm đợc
1 2 1

( ) 0,
g n
>
*
,
n N k R

.
Lời giải
Ta có
1
ln ln ( ) ln
n n
x g n k x
+
= +
. Đặt
ln
n n
x y
=
, khi đó:

1
ln ( ), 1,2,
n n
y ky g n n
+
= =
(1)

= +
1
1
ln ( 1)
n n
n
g n
u u
k



= +

Cộng lại ta đợc
1
1
1
ln ( )
n
n
i
i
g i
u u
k



= =


+ +



= = = =

3.3 Dãy số dạng:
( )
1
* *
1
0
( 1)
, ( ) 0, ;
, 1
( )
trong đó

1
( 1)
( )
k
n
n
k
x
x
f n
f n
+
=
+
. Đặt
( 1)
n
n
x
v
f n
=
+
, khi đó
1
k
n n
v v
+
=

= =

Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 21
Vậy
{
}
1
n
n
u
+
=
tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu là
1
u
, công bội là k, do đó
1
1
, 1,2,


=



= =


Cách giải. Từ
2
1
1
n
n
n
x a
x
x
+


=
, ta có

2
1 1n n n
x x x a
+
= +
(1)

+ = + =
+ +
.
Bởi vậy
1
2
2
1 1 2 1 3
n n
n n n n
x x
x
c

c a
x x x x x x
b
b


+
= = = = =
+
+ + +
+

Suy ra
(
)
1 1 1 1





=



HD:
(
)
( )
2
2 2
2 2
1 1
1 1
1 1
2
1 1
1 1
1 1
1
2
2

n n n n
n n n
n n n
n n n



=
=


=




+ = +

( )
(
)
1
2
1
2
1 1
;
n
n n
n n
v
u v
u av u av







= +




=



3.6 Dãy số dạng:
0
2
1
1
, 1
2
n
n
n
x
x a
x n
x




u
x
v
=
ta sẽ đa về dạng 3.5 (Lu ý phơng pháp chuyển về hệ này nhé, cũng khá
mạnh đấy)
3.7 Dãy số dạng:
1
2
2
1 1
, 1
, 2
với
n n n
u
a b
u au bu c n



=



=


= + +


u au bu c u au bu c u au bu c
u au u a u bu c u au u a b u c
u au u u c
u au
u au u u c
u au u u c






= + + = + = +
+ = + + =
+ =



+ =




+ =


( )
( )
( )
2


+ =





+ =



+ =
+ =

3.8 Dãy số dạng:
1
2
1
2
1
, 0; 1; 1
, 2
trong đó:
n
n
n
u
u
a a b
u n

n
n
n n n
n
n
n
u
u a b c
u u u
a cu b
x
u







= = + +






+ +
=

3.9 Dãy số dạng:

1 1 1
*) .
*)

Với vn n n n n n n n n n n n n n n n n
n n n n
n n n n
u p q u p q u u p u q u p u v q v
u p u
v q v f
v q v f
v q v f
+ + + + + +
+

+ + = =
=
=
=
=

( )
( )
( )
2 1 1 1
1 1
3 2 2 2
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 23
1 1
1 1 1
1 1
1
.
n n
i i
n n n
i i
n i i
f f
a
v av a v q v
q q q


= =


= = +
1; 2
1 , 3
n n n
u u
u n u u n

= =



= +



( ) ( )
1 2
1 1 2
1 1
*) ! 0
1
*) 1;
1
*) 0
Đặt
có hai nghiệm
n n n n n
n n n n
n
u n v v v v
n n


Baứi taọp 2 :
1
1
2
3 2, 1
n n
u
u u n
+
=


+ =


Baứi taọp 3 :
1
1
2
2, 1
n n
u
u u n
+
=


=



Baứi taọp 6 :
1
1
2
3 2 , 1
n
n n
u
u u n
+
=


+ =


Baứi taọp 7 :
1
1
1
1
7 7 , 1
n
n n
u
u u n
+
+
=

= =


+ =


Baứi taọp 10 :
1 2
2
2 1
9, 45
2 8 2 , 1
n n n
u u
u u u n n n
+ +
= =


+ = +


Baứi taọp 11 :
1 2
2
2 1
9, 45
2 3 2 , 1
n n n
u u



+ =


Baứi taọp 13 :
1 2 3
2
3 2 1
4, 26, 74
6 11 6 6 4 8, 1
n n n n
u u u
u u u u n n n
+ + +
= = =



+ =



Baứi taọp 14 :
1 1
1
1
1, 1
6
6

=


+

=

+


Baứi taọp 16 :
(
)
n
x
:
1
2
1
2
3 1, 1,2,
n n
x
x x n n
+
=


= + + =


1
1
3 2 , 1,2,
n
n n
x
x x n
+
=


= + =


Đáp số:
3 2 , 1,2,
n n
n
x n= =

Baứi taọp 19 :
{ }
1
n
n
x
+
=
:
1

Đáp số.
cos , 0,1,2,
4
n
n
x n

= =

Baứi taọp 21 :
2 *
1 1
1, 2 2.2 ,
n
n n
u u u n n N
+
= = + +
.
ĐS:
1 2
5.2 2 3 .2 , 1,2,
n n
n
u n n n n

= + =

Baứi taọp 22 :
1 2 1 1

x n= + =

Baứi taọp 24 :
Cho dãy số
{
}
( )
p n
đợc xác định nh sau:
(1) 1, ( ) 1. ( 1) 2. ( 2) ( 1) (1)
p p n p n p n n p
= = + + +
.
Hãy xác định p(n) với mỗi n=1,2,
Baứi taọp 25 :
1 2 1 1
1, 0, 2 2.2 , 2,3,
n
n n n
x x x x x n
+
= = + = =

Đáp số:
1
2 9 2.2 , 1,2,
n
n
u n n
+


Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số Trang 25
Đáp số. Với mọi
1,2,
n
=
, thì
1 1
2 , 2
n n
n n
x y

= =

Baứi taọp 27 :
(
)
n
u
;
(
)
n
v




= +



=



= + +




Baứi taọp 28 :
Cho dãy số
{ }
1
n
n
x
+
=
đợc xác định nh sau:
1 1
2
, ( 1,2, )
3 2(2 1) 1

1
3
2
2 , 2
n n
u
u u n


=



=


2 2 2 2
1 1 1
*) 2 2 2 1 2 , 2
n n n n n n n n
u u au a u a v v u v

= = = = =

Baứi taọp 30 :
( )
1
2 1
2 2
1


Baứi taọp 31 :
1
2 2
1
6
2.6 , 1
n
n n
u
u u n
+
=



=



2
2 2 2
1 1
2
2.6
*) 2. 2 ln 6 2 1
2.
Đặt chọn
n
n




( )
2
1
1
2
log
1 1
*)
2
n n
n n
arit
n n n n
x c x c
x c x c
y y u u
+
+
+ +=+ +

= =


+ + + +


2 1
2 1
2
*) , 3 2
2 1
3
3 2 1
3 2
Chia hai vế cho ta đợc:
n n n
n n n
x x x
n
n
n n n
n
n n n
u u u n
+ +
+ +
+
+ =
+ +
+
+ + +
+ =