TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ
Áp dụng lý thuyết về dãy số; cấp số cộng và cấp số nhân ta có thể giải được một số bài toán về
tìm số hạng tổng quát của một dãy số. Ở đây ta chỉ xét một số bài toán đơn giản thuộc loại này.
Bài toán 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau: 1; 2; 4; 7; 11 …
Giải:
Nếu kí hiệu các số hạng của dãy trên là:
1 2 3
; ; ;
n
u u u u
thì ta có:

2 1 3 2 4 3 1 1
1; 2; 3 1 1 2 3 1
n n n
u u u u u u u u n u u n
−
− = − = − = − = − ⇒ − = + + + + −

( 1)/ 2 ( 1)/ 2 1
n
n n u n n= − ⇒ = − +

Một số bài toán tương tự: Tìm số hạng tổng quát của các dãy số sau:
1/ 1; 4; 10; 19; 31; … ; 2/ 1; 2; 6; 15; 31; …
Bài toán 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy
1
*
1
1
( ) :

3 2(1 3 3 3 ) 3 2. 2.3 1
3 1
n
n n n n
n
u u
−
− − − −
−
⇒ = + + + + + = + = −
−
Cách 2: Đặt
1 1n n
v u
α
+ +
= +
sao cho
1
3
n n
v v
+
=
1 1
3 2 3 3( ) 1
n n n n n
v u u v u
α α α α
+ +


= + ≠

Giải:
Đặt
1 1n n
v u
α
+ +
= +
sao cho:

1 1 1
. . ( )
1
n n n n n n n
c
v b v v u bu c b v b u
b
α α α α
+ + +
= ⇒ = + = + + = = + ⇒ =
−
Như vậy
( )
n
v
là một cấp số nhân có
DOÃN XUÂN HUY THPT ÂN THI HƯNG YÊN
1 1 1



Giải:
Cho n chạy từ 1 đến n-1 ở hệ thức truy hồi rồi cộng các hệ thức lại ta được:

[ ]
2
1
2 ( 1) ( 2) 3 2 1 ( 1) 1 ( 1) 2
n
u u n n n n n n n= + − + − + + + + − = + + − = − −
Bài toán 4: Tìm số hạng tổng quát của dãy
1
*
1
2
( ) :
2 3 2( )
n
n n
u
u
u u n n N
+
=



= + + ∈


2 2(3 1) 2 (3 4) 8.2 5.2 3.2 3.2 3.2
5.2 3 1 6(1 2 2 ) 5.2 3 1 6(2 1) 5.2 3 1
8.2 3 5 4.2 3 5 5.2 3 5.
n n n
n n n n n
n n n
n
S n n S
n n n
n n u n
− − −
− − − − −
−
⇒ = − + − + + + ⇒ = + + + +
− + = + + + + − + = − + − + =
− − = − − ⇒ = − −
Chú ý: trong lời giải trên ta đã tính tổng của tích các số hạng tương ứng của một cấp số cộng
và một cấp số nhân.
- Cách 2: Đặt
n n
v u an b= + +
sao cho
1
2
n n
v v
−
=
1 1
2 3 1 2( ( 1) ) 3; 5

u u n N
+
+
=



= + ∈


2
DOÃN XUÂN HUY THPT ÂN THI HƯNG YÊN
Giải:
- Cách 1: Theo giả thiết ta có:
2 1 2 1 2 2
1 1 2 2 1
3 2 ;3 3 2 .3; 3 3 2 .3
n n n n n
n n n n
u u u u u u
− − − −
− − −
= + = + = +
2 2
1 1 1 1 1 1
1
2 2
3 3 3
3 2 (1 ) 3 4(3 2 ) 5.3 2
2

− − −
− − − +
= ⇒ + + = + ⇒ + = ⇒ =
⇒ + = = = ⇒ = −
Bài toán 6: Tìm số hạng tổng quát của dãy
1 2
*
2 1
1; 5
( ) :
5 6 ( )
n
n n n
u u
u
u u u n N
+ +
= =



= − ∈


Giải:
Từ giả thiết ta suy ra:
2 1 1
2 3( 2 )
n n n n
u u u u

⇒ = − = = ⇒ = +
. Đặt
1
.3
n
n n
x u k
−
= +
sao cho:
1 1 1 2
1 1 1 1
2. .3 2. 3 .3 2. 2( .3 )
n n n n
n n n n n n n
x x x u k u k x u k
− − − −
− − − −
= ⇒ = + = + + = = +
3 3. 2. 3k k k⇒ + = ⇒ = −
. Do
( )
n
x
là cấp số nhân có công bội q = 2 và
0 1 1
1 1 1
.3 2 .2 2 .3 3 3 2
n n n n n n
n n n n

n
u r=
với r là một số thực nào đó. Khi đó từ (1) ta suy ra:
2 1
. . 0
n n n
r c r d r
+ +
− − =
2
. 0(2)r c r d⇔ − − =
. (2) được gọi là phương trình đặc trưng ( PTĐT ) của dãy
( )
n
u
.
Có hai trường hợp:
1/ (2) có hai nghiệm phân biệt
1
r
và
2
r
. Khi đó ta có:
2 1
1 1 1
. . 0
n n n
r c r d r
+ +


+ =


. Do
( ) ( )
1 2
1 2 1 2 1 2
2 2
1 2
0
r r
D r r r r d r r
r r
= = − = − − ≠
nên hệ
phương trình trên có nghiệm duy nhất; điều đó cũng chứng tỏ dãy số đã cho được xác định một
cách duy nhất.
Áp dụng vào bài 6 ta có a = 1; b = 5; c = 5; d = -6
1 2
2; 3 1; 1r r k l⇒ = = ⇒ = − =
1 2
. . 2 3
n n n n
n
u k r l r
⇒ = + = − +
Đối với dãy Fibônaxi ta có a = b = c = d = 1 nên PTĐT
2
1 0r r− − =

.
Vậy
1 1 5 1 5
2 2
5
n n
n
u
 
   
+ −
 
= −
 ÷  ÷
 
   
 
.
2/ (2) có nghiệm kép
2
1 2 1 2
.
2 4
c c
r r d r r= = ⇒ − = =
. Đặt
1
.
n
n n


+ =


Do
1 2
3
1
2 2
1 1
0
2.
r r
D r
r r
= = ≠
nên k và l được xác định một cách duy nhất; tức
là có duy nhất dãy
( )
n
u
mà
1
( . )
n
n
u k n l r= +
thỏa mãn điều kiện của bài toán.
Áp dụng: Tìm số hạng tổng quát của dãy
1 2

//
5